高等数学第一章 函数、极限与连续第一节 函数

第一章 极限与连续第一节 函 数【例1】研究函数)1ln()(2x x x f ++=的奇偶性，并求其反函数. 【分析】()f x 定义域为R ，()ln(ln(()f x x x f x -=-==-+=-故()f x 为奇函数.由)1ln()(2x x x f ++=得，y e x =yex -=-+两式相减得.2y ye e x --=【例2】设0,0()1,0x f x x <⎧=⎨≥⎩, 22,1()||2,1x x g x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩， 试求[()],[()]f g x g f x .【分析】0,12[()]1,12x f g x x x ⎧≤<⎪=⎨<≥⎪⎩或，2,0[()]=1,0x g f x x <⎧⎨-≥⎩.【例3】设函数2||sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界( ).()()A 1,0- ()()B 0,1 ()()C 1,2 ()()D 2,3【分析】()1,0x ∈-，2||sin(2)11()(1)(2)144x x f x x x x -=≤=--⨯，故有界，选（A ） 2111||sin(2)sin(2)lim ()lim lim (1)(2)(1)x x x x x x f x x x x x ---→→→--===+∞--- 111sin(2)sin(2)lim ()lim lim (1)(1)x x x x x f x x x +++→→→--===-∞-- 222222sin(2)(2)1lim ()lim lim lim (2)(2)2x x x x x x f x x x x ++++→→→→--====+∞--- 故BCD 均不正确.第二节 极 限【例1】讨论11012lim12x x x→-+.【分析】1111001212lim 1,lim 11212x x x x xx+-→→--=-=++,故此极限不存在.【例2】讨论1121lim ()xx x x e e+→-. 【分析】111111221122lim ()lim ,lim ()limttttt t xx xx t t x x e e e ex e e x e e t t +-++++→+∞→-∞→→---==+∞-==故此极限不存在.【例3】110|sin |lim 21x x x x e x e →⎛⎫⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭. 【分析】1111000|sin |sin lim 2lim 2lim 12111x xx x x x x x e x e x x e e +++→→→⎛⎫ ⎪-=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭1111000|sin |sin lim 2lim 2lim 10111x xx x x x x x e x e x x e e --+→→→⎛⎫- ⎪-=-=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭,故110|sin |lim 2 1.1x x x x e x e →⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪+⎝⎭【例1】)0,0,0()(lim 1>>>++∞→c b a c b a nnnn n【分析】不妨设0a b c ≥≥>，由3n n n nna abc a ≤++≤得11()3n nn n na abc a ≤++≤ 又因为1lim lim3nn n a a a →∞→∞==，由三明治定理得1lim().nnn nn a b c a →∞++=故()1lim()max ,,.nnn nn a b c a b c →∞++=【例2】)2211(lim 222n n nn n n +++++∞→【分析】由2221i i i n n n i n ≤≤+++得2221111n n n i i i i i in n n i n ===≤≤+++∑∑∑又因为22111lim lim 12nn n n i i i i n n n →∞→∞====++∑∑，由三明治定理得211lim .2nn i i n i→∞==+∑题型一 极限概念与性质【例1】设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=, 则下面断言正确的是 ( ).(A)若{}n x 发散，则{}n y 必发散 (B)若{}n x 无界，则{}n y 必有界 (C)若{}n x 有界， 则{}n y 必为无穷小 (D)若1{}nx 为无穷小，则{}n y 必为无穷小 【分析】令,0n n x n y ==，(A)不正确；令0,n n x y n ==，(C)不正确；令,1,3,50,1,3,5,0,2,4,6,2,4,6n n n n n x y n n n ==⎧⎧==⎨⎨==⎩⎩(B)不正确；选(D). 事实上，lim lim01nn n n n ny x y x →∞→∞==，分母趋于0，分子趋于0，(D)正确. 【例2】{},{},{}n n n a b c 均为非负数列, 且lim 0n n a →∞=,lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞, 则 ( ). (A),n n a b n <∀ (B),n n b c n <∀ (C)lim n n n a c →∞不存在 (D)lim n n n b c →∞不存在【分析】对n ∀，(A) (B)肯定不正确，lim n n n a c →∞可能存在可能不存在，选(D).【例3】设函数()f x 在(),-∞+∞内单调有界, {}n x 为数列, 下面命题正确的是 ( ). (A)若{}n x 收敛，则{()}n f x 必收敛 (B)若{}n x 单调，则{()}n f x 必收敛 (C)若{()}n f x 收敛， 则{}n x 收敛 (D)若{()}n f x 单调， 则{}n x 收敛【分析】{}n x 单调，由于()f x 单调，则{()}n f x 单调，又因为其有界，故由单调有界定理，(B)正确.题型二 不定式求极限【例1】(1) 0x0011233lim .3x x xx o x o x x (2) )cos 1(sin 1tan 1limx x xx x -+-+→()30002tan 1cos 1tan sin 1lim lim .1222x x x x x x xx x x →→→--===⨯(3) limxlimlimlim1.x x x ===(4) 3012cos lim 13x x x x32200012cos 12cos 1cos 11lim 1lim ln lim .3336x x x x x x x xx x(5) sin 30limx xx e e x →-()sin sin 3330001sin 1lim lim lim .6x x x x x x x x e e e e x x x x x -→→→---===-(6) 211lim (arctan arctan )1x x x x →∞-+()222220011arctan arctan 11111lim (arctan arctan )lim lim 12x t t t t t t t t x x x t t →∞→→--++++-==+()()222011lim1.2t t t t t→++-+==(7) ()()4sin sin sin sin limx x x x x →-()()()34330001sin sin sin sin sin sin sin sin 16lim lim lim .6x x x x x x x x x x x x →→→--=== (8)()()()401cos ln 1tan limsin x x x x x→--+()()()()()42220001cos ln 1tan ln 1tan tan ln 1tan 11tan limlim lim sin 22x x x x x x x x x x x x xx x x →→→--+-+-+⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭2201tan 112lim .24x xx →==【例2】 (1) 22211lim sin cos x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2222222224000cos sin cos sin 11cos sin lim lim lim sin cos cos sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→+--⎛⎫-== ⎪⎝⎭30cos sin 22lim.3x x x x x →-==-(2)()12lim x x x x e →+∞⎛- ⎝ ()()()121222011lim lim 1.txx t t e t x x e t +→+∞→--+⎛-==- ⎝【例3】(1) 310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→()333000tan 1cos 11tan 1tan sin 1limln lim lim .1sin 1sin 2x x x x x x x x x x x x x →→→-+-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 311201tan lim .1sin x x x e x →+⎛⎫= ⎪+⎝⎭(2) 21coslim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 222211111lim ln cos lim cos 1lim .22x x x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2121lim cos .x x e x -→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭ (3) ()110ln 1lim xe x x x -→+⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()2000ln 1ln 1ln 1111lim ln lim 1lim .12x x x x x x x x e x x x x →→→+++-⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()11120ln 1lim .xe x x e x --→+⎛⎫= ⎪⎝⎭(4)()()2lim xx xx a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()()()()()22lim ln lim .x x x x a x b x x x a b x a x b x a x b →∞→∞⎡⎤--+==-⎢⎥-+-+⎣⎦()()2lim .xa b x x e x a x b -→∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(5) 11ln lim 1xxx x →+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭()1112111ln 1ln 1ln 11ln lim ln 1lim lim lim 1.ln 111xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e →+∞→+∞→+∞→+∞-⎛⎫ ⎪⎛⎫--⎝⎭-=⋅===- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11ln 1lim 1.xxx x e -→+∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭(6) lim nn →∞⎣⎦()02ln ln 1lim ln lim 1lim ln 22222t t x x t a b a b x x ab t +→+∞→+∞→⎤+-+=-===⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦lim lim n xn x →∞→+∞==⎣⎦⎣⎦【例4】 (1) 若30sin 6()lim0x x xf x x →+=, 求206()lim .x f x x →+233300006()sin 6()6sin 6sin 6()6sin 6limlim lim lim 36.x x x x f x x xf x x x x xf x x xx x x x →→→→+++-+-==+=(2)设0ln(1()sin 5)lim 121x x f x x →+=-, 求0lim ().x f x →000ln(1()sin 5)()sin 55()lim lim lim 1.21ln 2ln 2x x x x f x x f x x f x x →→→+===-0ln 2lim ().5x f x →= 题型三 连加或连乘求极限【例1】(1) ()11lim ()nn i l N i i l +→∞=∈+∑(2)231lim nn i i n →∞=∑ (3) n n x x x 2cos 4cos 2cos lim ∞→ 11111111111,11,lim 1.()22311()nnn i i l i i l n n n i i l →∞====-+-++-=-=++++∑∑1111111111112,11,()232422212ni l i i l n n n n =⎛⎫⎛⎫==-+-++-=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑1111lim 1.()22nn i i i l →∞=⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∑同理，得()11111lim1.()2nn i l N i i l l l +→∞=⎛⎫∈=+++ ⎪+⎝⎭∑ (2)231lim nn i i n →∞=∑ ()()2331111lim lim 121.63nn n i i n n n nn →∞→∞==⨯++=∑ (3) n n xx x 2cos 4cos 2coslim ∞→cos cos cos 2sin sin sin 2422lim cos cos cos limlim .2422sin 2sin 22n n nn n n n n n n nx x x xx x x x x x x x →∞→∞→∞⋅===【例2】 (1))212654321(lim nn n -⋅⋅∞→()()()()()22222212+11352113355711()=24622462+12+12n n n n n n n --⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅≤ 因为1lim=02+1n n →∞，由三明治定理得213521lim()=02462n n n →∞-⋅⋅， 故13521lim()=0.2462n n n→∞-⋅⋅ (2)⎰∞→xx dt t x 0sin 1lim()()()10sin sin 11,sin 1n n xt dtt dt n x n t dt n x n ππππππ+≤<+≤≤+⎰⎰⎰即()()02121sin 1xn n t dt n x n ππ+≤≤+⎰ ()()2122lim lim 1x x n n n n πππ→∞→∞+==+，由三明治定理得012lim sin .x x t dt x π→∞=⎰(3))0,0i n p a >>设()12max ,,p M a a a =M ≤≤lim n n M M →∞==，由三明治定理得()1max ,,.p n M a a == 【例3】(1)1limn n i →∞=11011limlnln 1112lim lim .nn i in nxdxn n n n i n e e e n n n →∞=-→∞→∞=∑⎛⎫⎰=⋅⋅⋅=== ⎪⎝⎭(2)lim n11013lim 112lim .n n i i xdxn n n e e e →∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑⎰===【例4】(1) 1limn i →∞=111nnni i i ===≤≤11lim lim 1.nnn n i i →∞→∞====由三明治定理，得1lim 1.nn i →∞==(2)1limnn i →∞=((11111lim lim ln ln 1.nnn n i i x n →∞→∞======+⎰(3)1limnn i →∞=)10111lim lim 21.nn n n i i n →∞→∞======⎰(4)21limnn i →∞=222111nn ni i i ===≤≤22111lim lim .3n n n n i i →∞→∞====故211lim.3nn i →∞==(5)11limnn i n i →∞=+∑()1100111111lim lim ln 1ln 2.11nn n n i i dx x i n i n x n→∞→∞=====+=+++∑∑⎰(6)21limn i nn i →∞=++∑2221111nn ni i i i i in n n n n i n n ===≤≤++++++∑∑∑ 22111lim lim .12nnn n i i i i n n n n n →∞→∞====++++∑∑ 故211lim.2nn i i n n i →∞==++∑ (7) 221limnn i n n i →∞=+∑ 1102222011111lim lim arctan .141nnn n i i n dx x n i n x i n π→∞→∞======++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑⎰(8) 221lim1nn i n n i →∞=++∑()22222211111nnni i i nn nn i n i ni ===≤≤+++++∑∑∑()1222220111lim lim .141nnn n i i nn dx n i x n i π→∞→∞=====++++∑∑⎰【例5】(1)2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭222sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111112n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n πππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+++≤+++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪++++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1022sin sin sin sin sin sin 2lim lim sin .111n n n n n n n n n n xdx n n n n n n ππππππππ→∞→∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++=+++== ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2sin sin sin 2lim .1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪+++=⎪+ ⎪++⎝⎭(2)21tanlim nn i i n n n i →∞=+∑222111tann tan tan 1n n ni i i i i in n n n n n n n i n ===≤≤+++∑∑∑1100222111tantan tanlim lim lim tan ln cos lncos1.1n n n n n n i i i i i in n n n n n xdx x n n n n →∞→∞→∞=======-=-++∑∑∑⎰【例6】(1)1lim 1nn i →∞=⎫⎪⎪⎭∑111lim 1lim .4nn n n i i →∞→∞==⎫==⎪⎪⎭∑ (2)()1222411lim n n n i n i n →∞=+∏()()()12222421011limln 2ln 12242arctan 2411lim25.n n n i n i nn nx dx n i niee e n →∞=⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦→∞=∏⎰+===∏题型四 数列极限的存在性【例1】(1)设111,0n a a +=+=，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞.121,0a a ==设1k k a a +≤，则≤21k k a a ++≤由数学归纳法得{}n a 递减下面证明n a ≥显然112a ≥-设12k a +≥-则12+≥-，即112k a +≥-由数学归纳法得n a ≥由单调有界必收敛得{}n a 收敛.设lim ,n n a A →∞=两边取极限得0A =，即A =(2) 123a a a === ，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞.lim 2.n n a →∞=(3) 设1111,2n n n a a a a a a +⎛⎫=>=+ ⎪⎝⎭，证明数列{}n a 收敛，并求lim n n a →∞. lim n n a →∞=(4) 设1103,n a a +<<={}n a 收敛，并求lim n n a →∞.3lim .2n n a →∞= 【例2】设)(x f 是区间[)0,+∞上单调减少且非负的连续函数，()()()11,1,2,nnn k a f k f x dx n ==-=∑⎰…证明数列{}n a 的极限存在.()()()()1111110n n n n nna a f n f x dx f n f n dx +++-=+-≤+-+=⎰⎰，即{}n a 递减.()()()()()()23112112nn n k a f k f x dx f f x dx f f x dx ==-=-+-+∑⎰⎰⎰()()()()110.nn f n f x dx f n f n -+--+≥≥⎰故{}n a 有下界.由单调有界定理，{}n a 的极限存在.题型五 含参数的极限【例1】确定,,a b c 值，使()()3sin lim0ln 1x x bax xc c t dtt→-=≠+⎰. 【分析】分式极限不为0，分子趋于0，则分母趋于0，故0.b =()()()233000sin cos cos limlimlim 0ln 1ln 1x x x x ax xa x a xc c x t x dttx→→→---===≠++⎰故11,.2a c ==【例2】()()22ln 1lim2x x ax bx x →+-+=，求,a b .【分析】()()()()222222001ln 12lim lim 2x x x x o x ax bx x ax bx x x →→-+-++-+==故51,.2a b ==-题型六 含变积分限的极限【例1】设()(),g f x x 连续，且()()()g 0f x x x → ，又lim ()0x ax ϕ→=，证明：()()()()()0x x f t dt g t dt x a ϕϕ→⎰⎰.【例2】设)(x f 是[)0,+∞上的连续函数，且满足()2lim 1x f x x →+∞=，求()()220limxx t x e e f t dtf x -→+∞⎰.【分析】()()()()()222222222limlimlimxxxxttt xxx x x ee f t dte f t dte f t dt xf x x e f x x e -→+∞→+∞→+∞=⋅=⎰⎰⎰()()()2222221limlim .22222xxx x f x e f x x x x x xx e →+∞→+∞==⋅=++题型七 函数的连续与间断【例1】设()()()f x x ϕ-∞+∞和在内有定义，()f x 为连续函数，且()()0,f x x ϕ≠有间断点，则 ( ). (A)()f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点(B)()2f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点(C)()f x ϕ⎡⎤⎣⎦必有间断点 (D)()()x f x ϕ必有间断点【分析】(D) 【例2】设函数nn x xx f 211lim)(++=∞→，讨论函数)(x f 的连续性与间断点.【分析】0,11,11()1,10,1x x x f x x x ≤-⎧⎪+-<<⎪=⎨=⎪⎪>⎩()f x 在1x =处是跳跃间断点，在其他区域均连续.【例3】求()sin sin sin lim sin x t xt x t f x x -→⎛⎫=⎪⎝⎭的间断点，并判别其类型.【分析】()sin sin sin sin lim .sin xx t xxt x t f x e x -→⎛⎫== ⎪⎝⎭其中,,0x k k Z k π=∈≠且为第二类间断点，0x =为可去间断点.。

第一篇 函数、极限与连续第一章 函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.第1节 集合与函数1.1 集合1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素.如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ∉，读作“a 不属于A ”.一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ.集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为{}P x x M 具有性质|=.例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为{}02|2<--=x x x A .由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即{} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+N ，即{} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即{} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p N q Z p q p Q ,,；（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R .1.1.2 区间与邻域在初等数学中，常见的在数集是区间.设R b a ∈,，且b a <，则 （1）开区间 {}b x a x b a <<=|),(；（2）半开半闭区间 {}b x a x b a <≤=|),[，{}b x a x b a ≤<=|],(； （3）闭区间 {}b x a x b a ≤≤=|],[；（4）无穷区间 {}a x x a ≥=+∞|),[， {}a x x a >=+∞|),(，{}b x x b ≤=-∞|],(， {}b x x b <=-∞|),(，{}R x x ∈=+∞-∞|),(.以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）图 1-1在微积分的概念中，有时需要考虑由某点0x 附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.定义1 设δ为某个正数，称开区间),(00δδ+-x x 为点0x 的δ邻域，简称为点0x 的邻域，记作),(0δx U ，即{}δδδ+<<-=0000|),(x x x x x U {}δ<-=|||0x x x .在此，点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：图1-2另外，点0x 的邻域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心邻域，记作),(0δx U o，即{}δδ<-<=||0|),(00x x x x U o,图形表示为（图1-3）：图1-3其中),(00x x δ-称为点0x 的左邻域，),(00δ+x x 称为点0x 的右邻域. 1.2函数的概念1.2.1函数的定义定义2 设x 、y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个D x ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的y 与之对应，则称y 为是x 的函数，记作)(x f y =.其中x 为自变量，y为因变量，D 为定义域,函数值)(x f 的全体成为函数f 的值域，记作f R ，即{}D x x f y y R f ∈==),(|.函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g ”、“F ”、“ϕ”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.例1 求函数211x xy --=的定义域. 解x1的定义区间满足：0≠x ；21x -的定义区间满足：012≥-x ，解得11≤≤-x .这两个函数定义区间的公共部分是1001≤<<≤-x x 或.所以，所求函数定义域为]1,0()0,1[ -.例2 判断下列各组函数是否相同. （1）x x f lg 2)(=，2lg )(x x g =； （2）334)(x xx f -=，31)(-=x x x g ； （3）x x f =)(，2)(x x g =.解 （1）x x f lg 2)(=的定义域为0>x ，2lg )(x x g =的定义域为0≠x .两个函数定义域不同，所以)(x f 和)(x g 不相同.（2）)(x f 和)(x g 的定义域为一切实数.334)(x x x f -=)(13x g x x =-=,所以)(x f 和)(x g 是相同函数.（3）x x f =)(，x x x g ==2)(,故两者对应关系不一致，所以)(x f 和)(x g 不相同.函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.函数举例:例3 函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn x x x x y ，函数为符号函数，定义域为R ，值域{}1,0,1-. 如图1-4：图1-4例4 函数[]x y =，此函数为取整函数，定义域为R ， 设x 为任意实数, y 不超过x 的最大整数，值域Z . 如图1-5：图1-5特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量x 通过对于法则f 有确定的y 值与之对应，但这个y 值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.1.2.2 函数的性质设函数)(x f y =，定义域为D ，D I ⊂. （1）函数的有界性定义3 若存在常数0>M ，使得对每一个I x ∈，有M x f ≤)(，则称函数)(x f 在I 上有界.若对任意0>M ，总存在I x ∈0，使M x f >)(0，则称函数)(x f 在I 上无界.如图1-6：图1-6例如 函数 x x f sin )(=在),(+∞-∞上是有界的:1sin ≤x .函数 xx f 1)(=在)1,0(内无上界，在)2,1(内有界.（2）函数的单调性设函数)(x f y =在区间I 上有定义, 1x 及2x 为区间I 上任意两点, 且21x x <.如果恒有)()(21x f x f <, 则称)(x f 在I 上是单调增加的；如果恒有)()(21x f x f >, 则称)(x f 在I 上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.图1-7（3）函数的奇偶性设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称.如果在D 上有)()(x f x f =-, 则称)(x f为偶函数；如果在D 上有)()(x f x f -=-, 则称)(x f 为奇函数.例如，函数2)(x x f =，由于)()()(22x f x x x f ==-=-，所以2)(x x f =是偶函数；又如函数3)(x x f =，由于)()()(33x f x x x f -=-=-=-，所以3)(x x f =是奇函数.如图1-8：图1-8从函数图形上看，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.(4)函数的周期性设函数)(x f y =的定义域为D . 如果存在一个不为零的数l ,使得对于任一D x ∈有()D l x ∈±, 且())(x f l x f =±, 则称)(x f 为周期函数, l 称为)(x f 的周期.如果在函数)(x f 的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为)(x f 的最小正周期.我们通常说的周期是指最小正周期.例如，函数x y sin =和x y cos =是周期为π2的周期函数，函数x y tan =和x y cot =是周期为π的周期函数.在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.例如，常量函数C x f =)(，对任意实数l ，都有)()(x f l x f =+，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.又如，狄里克雷函数⎩⎨⎧∈∈=cQ x Qx x D ,0,1)(， 当c Q x ∈时，对任意有理数l ，cQ l x ∈+，必有)()(x D l x D =+，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期.1.3 反函数在初等数学中的函数定义中，若函数)(:D f D f →为单射,若存在:1-f D D f →)(，称此对应法则1-f 为f 的反函数.习惯上,D x x f y ∈=),(的反函数记作)(),(1D f x x f y ∈=-.例如，指数函数),(,+∞-∞∈=x e y x的反函数为),0(,ln +∞∈=x x y ，图像为（图1-9）图1-9反函数的性质：（1）函数)(x f y = 单调递增(减)，其反函数)(1x f y -=存在，且也单调递增（减）.（2）函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=的图形关于直线x y =对称.下面介绍几个常见的三角函数的反函数：正弦函数x y sin =的反函数x y arcsin =，正切函数x y tan =的反函数x y arctan =.反正弦函数x y arcsin =的定义域是]1,1[-，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ；反正切函数x y arctan =的定义域是),(+∞-∞，值域是⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，如图1-10：9图1-101.4复合函数定义4 设函数f D u u f y ∈=),(，函数f g g D R D x x g u ⊂∈=值域,),(，则()()g D x x g f y x g f y ∈==),()( 或称为由)(),(x g u u f y ==复合而成的复合函数，其中u 为中间变量.注：函数g 与函数f 构成复合函数g f 的条件是f g D R ⊂，否则不能构成复合函数.例如，函数]1,1[arcsin -∈=u u y ，，R x x u ∈+=,22.在形式上可以构成复合函数()2arcsin 2+=x y .但是22+=x u 的值域为]1,1[),2[-⊄+∞，故()2arcsin 2+=x y 没有意义.在后面的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则： 从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.例5 对函数xa y sin =分解.解 xa y sin =由u a y =，x u sin =复合而成.例6 对函数)12(sin 2+=x y 分解.解 )12(sin 2+=x y 由2u y =，v u sin =，12+=x v 复合而成.1.5初等函数在初等数学中我们已经接触过下面各类函数： 常数函数：C y =（C 为常数）；幂函数：)0(≠=ααx y ；指数函数：)10(≠>=a a a y x且；对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且；三角函数：x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======； 反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====.这六种函数统称为基本初等函数.定义5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如，x e y sin =，)12sin(+=x y ，2cot xy =等都是初等函数.需要指出的是，在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数，但是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化，可以用一个式子表示，就是初等函数.例如，函数⎩⎨⎧≥<-=0,0,x x x x y ， 可表示为2x y =.习题 1-11.求下列函数的定义域.（1）21x y -=； （2）2411x xy -++=； （3）2ln 2x x y -=； （4）43arcsin -=x y ；（5）452+-=x y ； （6）2)3ln(--=x x y .2.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同，为什么？（1）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （2）x x f =)(，2)(x x g =；（3）x x f =)(，xe x g ln )(=； （4）x xf =)(，)sin(arcsin )(x xg =.3.已知)(x f 的定义域为]1,0[，求下列函数的定义域.（1）)(2x f ； （2）)(tan x f ； （3）)0)(()(>-++a a x f a x f . 4.设()5312++=+x x x f ，求)(x f ，)1(-x f .5.判断下列函数的奇偶性.（1）x x y tan sin ⋅=； （2）()1lg 2++=x x y ；（3）2x x e e y -+=； （4）)1(3+=x x y ；（5）⎩⎨⎧>+≤-=0,10,1x x x x y .6.设下列考虑的函数都是定义在区间)0)(,(>-l l l 上的，证明： （1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数.7.下列函数中哪些是周期函数？如果是，确定其周期.（1）)1sin(+=x y ； （2）x y 2cos =；（3）x y πsin 1+=； （4）x y 2cos =.8.求下列函数的反函数.（1）31-=x y ； （2）)2lg(1++=x y ；（3）x x e e y +=1； （4）),(2sin2ππ-∈=x xy ；（5）⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=4,241,1,2x x x x x y x .9.下列函数是有哪些函数复合而成的.（1）)13sin(+=x y ； （2）)21(cos 3x y +=；（3）))1ln(arcsin(+=x y ； （4）2sin x e y =.10.设2)(x x f =，x x ln )(=ϕ，求())(x f ϕ，())(x f f ，())(x f ϕ.第2节 极限极限在高等数学中占有重要地位，微积分思想的构架就是用极限定义的. 本节主要研究数列极限、函数极限的概念以及极限的有关性质等内容.2.1 数列的极限2.1.1 数列的概念定义1 若按照一定的法则，有第一个数1a ，第二个数a 2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数n a ，那么，我们称这列有次序的数a 1，a 2，…，a n ，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。

高等数学教材北大版本目录目录第一章极限与连续函数第一节极限的概念与性质1.1 实数集的性质1.2 数列极限的定义与性质1.3 无穷小量与无穷大量的比较1.4 函数极限的定义与性质1.5 极限存在准则1.6 极限运算法则1.7 极限存在的计算方法第二节一元函数的连续性2.1 连续函数的概念与性质2.2 连续函数的运算法则2.3 连续函数的分段定义与分段连续性2.4 介值定理及其推论2.5 零点存在性的判定第三节导数与微分3.1 导数的概念与几何意义3.2 导数的计算3.3 切线与法线方程3.4 高阶导数与莱布尼茨公式3.5 微分的概念与性质3.6 高阶导数的计算方法第二章微分学第一节函数的单调性与极值1.1 单调数列的判定1.2 函数单调性的判定1.3 极值的概念1.4 极值的判定条件1.5 函数的最值与最值存在性的判定第二节函数的凹凸性与拐点2.1 函数的凹凸性的概念与性质2.2 函数的拐点概念2.3 拐点的判定与求法2.4 函数的凹凸区间与拐点的图像第三节函数的图形与曲率3.1 函数的图形与切线方程3.2 曲率的概念与曲率圆方程3.3 渐近线与极限曲线第三章积分学第一节不定积分1.1 不定积分的概念与基本性质1.2 不定积分的计算方法1.3 牛顿-莱布尼茨公式与定积分第二节定积分2.1 定积分的概念与性质2.2 定积分的计算2.3 定积分与不定积分的关系2.4 定积分的应用第三节微积分基本定理与换元积分法3.1 微积分基本定理3.2 定积分的换元积分法3.3 径向对称函数的定积分第四章无穷级数第一节数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数收敛性的判定1.3 常见数项级数的性质与收敛域第二节幂级数2.1 幂级数的概念与收敛域2.2 幂级数的运算法则2.3 幂级数的收敛半径与收敛区间 2.4 幂级数的和函数及其性质第五章二元函数与多元函数的微分学第一节二元函数的极限与连续性1.1 二元函数的极限概念1.2 二元函数的连续性1.3 多元函数的限制与间断点第二节多元函数的偏导数与全微分 2.1 多元函数的偏导数2.2 隐函数的求导2.3 多元函数的全微分第三节多元函数的泰勒公式与极值 3.1 多元函数的泰勒公式3.2 多元函数的极值与条件极值 3.3 多元函数的拉格朗日乘数法第六章多元函数的积分学第一节二重积分1.1 二重积分的概念与性质1.2 二重积分的计算1.3 二重积分的应用第二节三重积分2.1 三重积分的概念与性质2.2 三重积分的计算2.3 三重积分的应用第七章常微分方程第一节常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的基本概念1.2 一阶常微分方程的解1.3 可分离变量的方程第二节一阶常微分方程的应用2.1 可解的方程2.2 高效变量的方程2.3 齐次方程第三节高阶常微分方程3.1 二阶线性常微分方程3.2 常系数齐次线性方程3.3 变动参数法与电路问题总结以上为高等数学北大版本教材目录，涵盖了极限与连续函数、微分学、积分学、无穷级数、二元函数与多元函数的微分学、多元函数的积分学、常微分方程等多个主要章节。

高数知识点总结(上册).doc 高等数学知识点总结（上册）第一章：函数、极限与连续性1.1 函数定义：变量之间的依赖关系。

性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。

1.2 极限定义：函数在某一点或无穷远处的趋势。

性质：唯一性、局部有界性、保号性。

1.3 无穷小与无穷大无穷小：当自变量趋于某一值时，函数值趋于零。

无穷大：函数值趋于无限。

1.4 连续性定义：在某点的极限值等于函数值。

性质：连续函数的四则运算结果仍连续。

第二章：导数与微分2.1 导数定义：函数在某一点的切线斜率。

几何意义：曲线在某点的瞬时速度。

2.2 基本导数公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。

2.3 高阶导数定义：导数的导数，用于描述函数的凹凸性。

2.4 微分定义：函数在某点的线性主部。

第三章：导数的应用3.1 切线与法线几何意义：曲线在某点的切线和法线方程。

3.2 单调性与极值单调性：导数的符号与函数的增减性。

极值：导数为零的点可能是极大值或极小值。

3.3 曲线的凹凸性与拐点凹凸性：二阶导数的符号。

拐点：凹凸性改变的点。

第四章：不定积分4.1 不定积分的概念定义：原函数，即导数等于给定函数的函数。

4.2 基本积分公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的积分。

4.3 积分技巧换元积分法：凑微分法、代换法。

分部积分法：适用于积分中存在乘积形式的函数。

第五章：定积分5.1 定积分的概念定义：在区间上的积分，表示曲线与x轴围成的面积。

5.2 定积分的性质线性：可加性、可乘性。

区间可加性：积分区间的可加性。

5.3 定积分的计算数值计算：利用微积分基本定理计算定积分。

5.4 定积分的应用面积计算：曲线与x轴围成的面积。

物理意义：质量、功、平均值等。

第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续性定义：多元函数在某点的极限和连续性。

6.2 偏导数与全微分偏导数：多元函数对某一变量的局部变化率。

全微分：多元函数的微分。

6.3 多元函数的极值定义：多元函数在某点的最大值或最小值。

（完整版）⼤⼀⾼数第⼀章函数、极限与连续第⼀章函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为⾃然科学的中⼼问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进⼊了⼀个被称为“⾼等数学时期”的新时代，这⼀时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究⽐“形”更重要，以积极的态度开展对“⽆限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创⽴更是这⼀时期最突出的成就之⼀.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数.极限是研究函数的⼀种基本⽅法，⽽连续性则是函数的⼀种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍⾼等数学的⼀些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作⽤的⽆穷⼩量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运⽤极限的概念引⼊函数的连续性概念，它是客观世界中⼴泛存在的连续变化这⼀现象的数学描述.第⼀节变量与函数⼀、变量及其变化范围的常⽤表⽰法在⾃然现象或⼯程技术中，常常会遇到各种各样的量.有⼀种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这⼀类量叫做变量；另⼀类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这⼀类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如⾃然数由⼩到⼤变化、数列的变化等，⽽更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何⼀个数.变量取值范围常⽤区间来表⽰.满⾜不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ，即 ,{|}a b x a x b =≤≤；满⾜不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即(,){|}a b x a x b =<<；满⾜不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即(,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数a ，b 称为区间的端点.以上这些区间都称为有限区间.数b a -称为区间的长度.此外还有⽆限区间：(){|}x x -∞+∞=-∞<<+∞=R ，，(,{|}b x x b -∞=-∞<≤??，(,){|}b x x b -∞=-∞<<， ){|}a x a x +∞=≤<+∞??，， (){|}a x a x +∞=<<+∞，，等等. 这⾥记号“-∞”与“+∞”分别表⽰“负⽆穷⼤”与“正⽆穷⼤”.邻域也是常⽤的⼀类区间.设0x 是⼀个给定的实数，δ是某⼀正数，称数集:{}00|x x δxx δ-<<+为点0x 的δ邻域，记作0(,)U x δ.即(){}000,|U x δx x δx x δ=-<<+称点0x 为该邻域的中⼼，δ为该邻域的半径(见图1-1).称{}00(,)U x δx -为0x 的去⼼δ邻域，记作0(,)x δoU ，即{}00(,)|0U x δx x x δ?=<-<图1-1下⾯两个数集(){}000,|U x δx x δx x ?-=-<<，(){}000,|U x δx xx x δ?+=<<+，分别称为0x 的左δ邻域和右δ邻域.当不需要指出邻域的半径时，我们⽤0()U x ，0()x oU 分别表⽰0x 的某邻域和0x 的某去⼼邻域，(),x δ-oU ，(),U x δ?+分别表⽰0x 的某左邻域和0x 的某右邻域.⼆、函数的概念在⾼等数学中除了考察变量的取值范围之外，我们还要研究在同⼀个过程中出现的各种彼此相互依赖的变量，例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧的恢复⼒与它的形变，等等.我们关⼼的是变量与变量之间的相互依赖关系，最常见的⼀类依赖关系，称为函数关系.定义 1 设A ，B 是两个实数集，如果有某⼀法则f ，使得对于每个数x A ∈，均有⼀个确定的数y B ∈与之对应，则称f 是从A 到B 内的函数.习惯上，就说y 是x 的函数，记作()y f x = ()x A ∈其中，x 称为⾃变量，y 称为因变量，()f x 表⽰函数f 在x 处的函数值.数集A 称为函数f 的定义域，记为()D f ；数集{}()|(),f A y y f x x A B ==∈?称为函数f 的值域，记作()R f .从上述概念可知，通常函数是指对应法则f ，但习惯上⽤“() ,y f x x A =∈”表⽰函数，此时应理解为“由对应关系()y f x =所确定的函数f ”.确定⼀个函数有两个基本要素，即定义域和对应法则.如果没有特别规定，我们约定：定义域表⽰使函数有意义的范围，即⾃变量的取值范围.在实际问题中，定义域可根据函数的实际意义来确定.例如，在时间t 的函数()f t 中，t 通常取⾮负实数.在理论研究中，若函数关系由数学公式给出，函数的定义域就是使数学表达式有意义的⾃变量x 的所有可以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现，它表⽰两个变量之间的⼀种对应关系.例如，⽓温曲线给出了⽓温与时间的对应关系，三⾓函数表列出了⾓度与三⾓函数值的对应关系.因此，⽓温曲线和三⾓函数表表⽰的都是函数关系.这种⽤曲线和列表给出函数的⽅法，分别称为图⽰法和列表法.但在理论研究中，所遇到的函数多数由数学公式给出，称为公式法.例如，初等数学中所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三⾓函数与反三⾓函数都是⽤公式法表⽰的函数.从⼏何上看，在平⾯直⾓坐标系中，点集()(){(,)|,}x y y f x x D f =∈称为函数()y f x =的图像（如图1-2所⽰）.函数()y f x =的图像通常是⼀条曲线，()y f x =也称为这条曲线的⽅程.这样，函数的⼀些特性常常可借助于⼏何直观来发现；相反，⼀些⼏何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨.现在我们举⼀个具体函数的例⼦.图1-2例1求函数y . 解要使数学式⼦有意义，x 必须满⾜> ,240,10x x ?-≥??-??即 >2,1.x x ?≤由此有 12x <≤，因此函数的定义域为(12??，.有时⼀个函数在其定义域的不同⼦集上要⽤不同的表达式来表⽰对应法则，称这种函数为分段函数.下⾯给出⼀些今后常⽤的分段函数.例2 绝对值函数<,0,,0.x x y x x x ≥?==?-? 的定义域()()D f =-∞+∞，，值域()[0,)R f =+∞，如图1-3所⽰. 例3 符号函数<>1,0,sgn 0,0,1,0x y x x x -??===的定义域()()D f =-∞+∞，，值域()11{0}R f =-，，，如图1－4所⽰.图1-3 图1-4例4 最⼤取整函数y x =，其中x 表⽰不超过x 的最⼤整数.例如，113??-=-，00=，12??=??，π3=等等.函数y x =的定义域()()D f =-∞+∞，，值域(){}R f =整数.⼀般地，y x n ==，1n x n ≤<+，120,,n =±±L ，，如图1-5所⽰.图1-5在函数的定义中，对每个()x D f ∈，对应的函数值y 总是唯⼀的，这样定义的函数称为单值函数.若给定⼀个对应法则g ，对每个()x D g ∈，总有确定的y 值与之对应，但这个y 不总是唯⼀的，我们称这种法则g 确定了⼀个多值函数.例如，设变量x 与y之间的对应法则由⽅程2225x y +=给出，显然，对每个55[,]x ∈-，由⽅程2225x y +=可确定出对应的y 值，当5x =或5-时，对应0y =⼀个值；当55(,)x ∈-时，对应的y 有两个值.所以这个⽅程确定了⼀个多值函数.对于多值函数，往往只要附加⼀些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分⽀.例如，由⽅程2225x y +=给出的对应法则中，附加“0y ≥”的条件，即以“2225x y +=且0y ≥”作为对应法则，就可以得到⼀个单值分⽀()2125y g x x ==-；附加“0y ≤”的条件，即以“2225x y +=且0y ≤” 作为对应法则，就可以得到⼀个单值分⽀22()25y g x x ==--.关系的，如⾼度为⼀定值的圆柱体的体积与其底⾯圆半径r 的关系，就是通过另外⼀个变量其底⾯圆⾯积S 建⽴起来的对应关系.这就得到复合函数的概念.定义2 设函数()y f u =的定义域为()D f ，函数()u g x =在D 上有定义，且()()g D D f ?.则由下式确定的函数()()y f g x =，x D ∈称为由函数()y f u =与函数()u g x =构成的复合函数，记作()()()()y f g x f g x =?=，x D ∈，它的定义域为D ，变量u 称为中间变量.这⾥值得注意的是，D 不⼀定是函数()u g x =的定义域()D g ，但()D D g ?.D 是()D g 中所有使得()()g x D f ∈的实数x 的全体的集合.例如，()y f u u ==， ()21u g x x ==-.显然，u 的定义域为(),-∞+∞，⽽()(0,)D f =+∞.因此，11,D -＝，⽽此时1()0,R f g =.两个函数的复合也可推⼴到多个函数复合的情形.例如， log a µxu y x a ==()10a a >≠且可看成由指数函数u y a =与log a u µx =复合⽽成.⼜形如()log ()()()a v x u x v x y u x a ==()0u x ＞()10a a >≠且的函数称为幂指函数，它可看成由wy a =与()log ()a w v x u x =复合⽽成. ⽽y =可看成由y =sin u v =，2v x =复合⽽成.例5 设()1xf x x =+()1x ≠-，求()()()f f f x解令()y f w =，()w f u =，()u f x =，则()()()f f f x 是通过两个中间变量w 和u 复合⽽成的复合函数，因为()111121x x x x uxw f u u x ++====+++，12x ≠-；()2121,1131x x x x wxy f w w x ++====+++13x ≠-，所以 ()()()31x f f f x x =+，111,,23x ≠---.定义3 设给定函数()y f x =，其值域为()R f .如果对于()R f 中的每⼀个y 值，都有只从关系式()y f x =中唯⼀确定的x 值与之对应，则得到⼀个定义在()R f 上的以y 为⾃变量，x 为因变量的函数，称为函数()y f x =的反函数，记为()1x fy -=.从⼏何上看，函数()y f x =与其反函数()1x f y -=有同⼀图像.但⼈们习惯上⽤x 表⽰⾃变量，y 表⽰因变量，因此反函数()1xf y -=常改写成()1y f x -=.今后，我们称()1y f x -=为()y f x =的反函数. 此时，由于对应关系1f-未变，只是⾃变量与因变量交换了记号，因此反函数()1y fx -=与直接函数()y f x =的图像关于直线y x =对称，如图 1 - 6所⽰.图1-6值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数2y x =的定义域为()-∞+∞，，值域为，但)0+∞??，对每⼀个()0y ∈+∞，，有两个x 值即1x =和2x =因此x 不是y 的函数，从⽽2y x =不存在反函数.事实上，由逆映射存在定理知，若f 是从()D f 到()R f 的⼀⼀映射，则f 才存在反函数1f -.例6 设函数(1)1xf x x +=+ ()1x ≠-，求()11f x -+.解函数()1y f x =+可看成由()y f u =，1u x =+复合⽽成.所求的反函数()11y f x -=+可看成由()1y fu -=，1u x =+复合⽽成.因为()11x u f u x u-==+，0u ≠，即1u y u -=，从⽽，()11u y -=-， 11u y=-，所以 ()111y f u u-==-，因此 ()1111,01(1)f x x x x-+==-≠-+.三、函数的⼏种特性1. 函数的有界性设函数()f x 在数集D 上有定义，若存在某个常数L ，使得对任⼀x D ∈有()f x L ≤（或()f x L ≥），则称函数()f x 在D 上有上界（或有下界），常数L 称为()f x 在D 上的⼀个上界（或下界）；否则，称()f x 在D 上⽆上界（或⽆下界）.若函数()f x 在D 上既有上界⼜有下界，则称()f x 在D 上有界；否则，称()f x 在D 上⽆界.若()f x 在其定义域D f （）上有界，则称()f x 为有界函数.容易看出，函数()f x 在D 上有界的充要条件是：存在常数M>0，使得对任⼀x D ∈，都有()f x M ≤.例如，函数sin y x =在其定义域()-∞+∞，内是有界的，因为对任⼀()x ∈-∞+∞，都有sin 1x ≤，函数1y x=在()10,内⽆上界，但有下界. 从⼏何上看，有界函数的图像界于直线y M =±之间.2. 函数的单调性设函数()f x 在数集D 上有定义，若对D 中的任意两数12,x x 12()x x <，恒有()()12f x f x ≤ [或()()12f x f x ≥]，则称函数()f x 在D 上是单调增加（或单调减少）的.若上述不等式中的不等号为严格不等号，则称为严格单调增加（或严格单调减少）的.在定义域上单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数.如图1-7所⽰.图1-7例如，函数()3f x x =在其定义域()-∞+∞，内是严格单调增加的；函数()cos f x x =在π0,（）内是严格单调减少的.从⼏何上看，若()y f x =是严格单调函数，则任意⼀条平⾏于x 轴的直线与它的图像最多交于⼀点，因此()y f x =有反函数.3. 函数的奇偶性设函数()f x 的定义域()D f 关于原点对称（即若()x D f ∈，则必有()x D f -∈.若对任意的()x D f ∈，都有()()f x f x -=-[或()()f x f x -=]，则称()f x 是()D f 上的奇函数（或偶函数）.奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于y 轴，如图1－11所⽰.图1-8例7 讨论函数()(ln f x x =的奇偶性. 解函数()f x 的定义域()-∞+∞，是对称区间，因为()(lnln f x x ??-=-= (()ln x f x =-+=-所以，()f x 是()-∞+∞，上的奇函数. 4. 函数的周期性设函数()f x 的定义域为()D f ，若存在⼀个不为零的常数T ，使得对任意()x D f ∈，有x T D f ±∈（）（），且f x T f x +=（）（），则称()f x 为周期函数，其中使上式成⽴的常数T 称为()f x 的周期，通常，函数的周期是指它的最⼩正周期，即：使上式成⽴的最⼩正数T T （如果存在的话）.例如，函数sin f x x =（）的周期为π2；()tan f x x =的周期是π. 并不是所有函数都有最⼩正周期，例如，狄利克雷（Dirichlet ）函数为数为⽆数10 ,) (,x D x x ?=??有理，理.任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最⼩正周期.四、函数应⽤举例下⾯通过⼏个具体的问题，说明如何建⽴函数关系式.例8 ⽕车站收取⾏李费的规定如下：当⾏李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的⾏李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像.解当500x <≤时，150.y x =；当50x >时，1552550.00.(0)y x =?+-. 所以函数关系式为：0.15, 050;7.50.25(50),50.x x y x x <≤?=?+->?这是⼀个分段函数，其图像如图1－9所⽰.图1-9例9 某⼈每天上午到培训基地A 学习，下午到超市B ⼯作，晚饭后再到酒店C 服务，早、晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或⼯作的地⽅吃.A B C ，，位于⼀条平直的马路⼀侧，且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km ，酒店与超市相距5km ，问该打⼯者在这条马路的A 与B 之间何处找⼀宿舍（设随处可找到），才能使每天往返的路程最短. 解如图1-10所⽰，设所找宿舍D 距基地A 为x （km ），⽤f x （）表⽰每天往返的路程函数.图1-10当D 位于A 与C 之间，即30x ≤≤时，易知()()8823222f x x x x x =++-+-=-（），当D 位于C 与B 之间，即38x ≤≤时，则()882312()()0.f x x x x x =++-+-=+ 所以22,03;()102,38.x x f x x x -≤≤?=?+≤≤?这是⼀个分段函数，如图1-11所⽰，在30,上，()f x 是单调减少，在38,上，()f x 是单调增加.从图像可知，在3x =处，函数值最⼩.这说明，打⼯者在酒店C 处找宿舍，每天⾛的路程最短.图1-11五、基本初等函数初等数学⾥已详细介绍了幂函数、指数函数、对数函数、三⾓函数、反三⾓函数，以上我们统称为基本初等函数.它们是研究各种函数的基础.为了读者学习的⽅便，下⾯我们再对这⼏类函数作⼀简单介绍.1. 幂函数函数µy x = (µ是常数)称为幂函数.幂函数µy x =的定义域随µ的不同⽽异，但⽆论µ为何值，函数在()0+∞，内总是有定义的. 当0µ>时，µy x =在)0+∞??，上是单调增加的，其图像过点0,0（）及点()1,1，图1-12列出了12µ=，1µ=，2µ=时幂函数在第⼀象限的图像. 当0µ<时，µy x =在()0+∞，上是单调减少的，其图像通过点()1,1，图1-13列出了12µ=-，1µ=-，2µ=-时幂函数在第⼀象限的图像.图1-12 图1-132. 指数函数函数x y a =(a 是常数且10a a >≠，)称为指数函数.指数函数x y a =的定义域是()-∞+∞，，图像通过点()10,，且总在x 轴上⽅. 当时1a >，x y a =是单调增加的；当10a <<时，x y a =是单调减少的，如图1-14所⽰.以常数e 271828182.=L 为底的指数函数e x y =是科技中常⽤的指数函数.图1-143. 对数函数指数函数x y a =的反函数，记作log a y x =（a 是常数且10,a a >≠)，称为对数函数.对数函数log a y x =的定义域为()0+∞，，图像过点()1,0.当1a >时，log a y x =单调增加；当10a <<时，log a y x =单调减少，如图1-15所⽰.科学技术中常⽤以e 为底的对数函数e log y x =，图1-15它被称为⾃然对数函数，简记作ln y x =.另外以10为底的对数函数1log 0y x =，也是常⽤的对数函数，简记作g l y x =.4. 三⾓函数常⽤的三⾓函数有正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =，正切函数tan y x =，余切函数 cot y x =，其中⾃变量x 以弧度作单位来表⽰.它们的图形如图1-16，图1-17，图1-18和图1-19所⽰，分别称为正弦曲线，余弦曲线，正切曲线和余切曲线.图1-16图1-17正弦函数和余弦函数都是以π2为周期的周期函数，它们的定义域都为(),-∞+∞，值域都为1,1-.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.图1-18 图1-19由于πcos sin 2x x ??=+ ??，所以，把正弦曲线sin y x =沿x 轴向左移动π2个单位，就获得余弦曲线cos y x =.正切函数sin tan cos xy x x==的定义域为()21{|(),}D f x x x n n =∈≠+R ，整为数. 余切函数cos cot sin xy x x==的定义域为 ()π{,}D f x x x n n =∈≠R ｜，整为数.正切函数和余切函数的值域都是()-∞+∞，，且它们都是以π为周期的函数，且都是奇函数.另外，常⽤的三⾓函数还有正割函数sec y x =；余割函数cscy x =.它们都是以π2为周期的周期函数，且1sec cos x x=； 1csc sin x x =.5. 反三⾓函数常⽤的反三⾓函数有反正弦函数 arcsin y x = (如图1-20)；反余弦函数 arccos y x = (如图1-21)；反正切函数 arctan y x = (如图1-22)；反余切函数arccot y x = (如图1-23).它们分别称为三⾓函数sin y x =，cos y x =，tan y x =和cot y x =的反函数.这四个函数都是多值函数.严格来说，根据反函数的概念，三⾓函数sin y x =，cos y x =，tan y x =和cot y x =在其定义域内不存在反函数，因为对每⼀个值域中的数y ，有多个x 与之对应.但这些函数在其定义域的每⼀个单调增加（或减少）的⼦区间上存在反函数.例如，sin y x=在闭区间,22ππ??-上单调增加，从⽽存在反函数，称此反函数为反正弦函数arcsin x 的主值，记作y =arcsin x .通常我们称arcsin y x =为反正弦函数.其定义域为11,-，值域为,22ππ??-.反正弦函数arcsin y x =在11,-上是单调增加的，它的图像如图1-20中实线部分所⽰. 类似地，可以定义其他三个反三⾓函数的主值arccos arctan ,y x y x ==和arccot y x =，它们分别简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数.反余弦函数arccos y x =的定义域为1,1-，值域为π0,，在1,1-上是单调减少的，其图像如图1-21中实线部分所⽰.反正切函数arctan y x =的定义域为(),-∞+∞，值域为ππ22??-，，在()-∞+∞，上是单调增加的，其图像如图1-22中实线部分所⽰.反余切函数arccot y x =的定义域为()-∞+∞，，值域为π0,（），在()-∞+∞，上是单调减少的，其图像如图1-23中实线部分所⽰.图1-20 图1-21图1-22 图1-23六、初等函数由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能⽤⼀个式⼦表⽰的函数，称为初等函数.例如，23sin4y x x =+，(ln y x =+，3arctan22sin 1xy x x =+等等都是初等函数.分段函数是按照定义域的不同⼦集⽤不同表达式来表⽰对应关系的，有些分段函数也可以不分段⽽表⽰出来，分段只是为了更加明确函数关系⽽已.例如，绝对值函数也可以表⽰成y x =1,,()0,x a f x x a ? 也可表⽰成1()12f x ? = ??.这两个函数也是初等函数.七、双曲函数与反双曲函数1. 双曲函数双曲函数是⼯程和物理问题中很有⽤的⼀类初等函数.定义如下：双曲正弦 sh e e 2x xx --= ()x -∞<<+∞，双曲余弦 ch e e 2x xx -+= ()x -∞<<+∞，双曲正切 th e e e e sh ch x xx x+ ()x -∞<<+∞，其图像如图1-24和图1-25所⽰图1-24 图1-25.双曲正弦函数的定义域为()x -∞<<+∞，它是奇函数，其图像通过原点()0,0且关于原点对称.在()x -∞<<+∞内单调增加.双曲余弦函数的定义域为()x -∞<<+∞，它是偶函数，其图像通过点()10,且关于y 轴对称，在(),0-∞内单调减少；在()0+∞，内单调增加. 双曲正切函数的定义域为()x -∞<<+∞，它是奇函数，其图像通过原点()0,0且关于原点对称.在()x -∞<<+∞内是单调增加的.由双曲函数的定义，容易验证下列基本公式成⽴.()sh sh ch ch sh x y x y x y ±=±，()ch ch ch sh sh x y x y x y ±=±，sh22sh ch x x x =，2222ch2ch sh 12sh 2ch 1x x x x x =+=+=-，22ch sh 1x x -=.2. 反双曲函数双曲函数的反函数称为反双曲函数，sh y x =，ch y x =和th y x =的反函数，依次记为反双曲正弦函数 a rsh y x =，反双曲余弦函数 arch y x =，反双曲正切函数 a rth y x =.反双曲正弦函数a rsh y x =的定义域为()-∞+∞，，它是奇函数，在()-∞+∞，内单调增加，由sh y x =的图像，根据反函数作图法，可得a rsh y x =的图像，如图1-26所⽰.利⽤求反函数的⽅法，不难得到(a rsh ln y x x ==+.反双曲余弦函数arch y x =的定义域为)1+∞??，，在)1+∞??，上单调增加，如图1-27所⽰，利⽤求反函数的⽅法，不难得到(arch ln y x x ==.图1-26 图1-27反双曲正切函数a rtanh y x =的定义域为11()-，，它在11()-，内是单调增加的.它是奇函数，其图像关于原点(00)，对称，如图1-28所⽰.容易求得a rth 1ln 1xy x x+==-.第⼆节数列的极限⼀、数列极限的定义定义1 如果函数f 的定义域()*{}D f N ==L ，，，123，则函数f 的值域()(){}**|f N f n n N =∈中的元素按⾃变量增⼤的次序依次排列出来，就称之为⼀个⽆穷数列，简称数列，即()()()12,,f f f n L L ，，.通常数列也写成12,n x x x L L ，，，，并简记为{}n x ，其中数列中的每个数称为⼀项，⽽()n x f n =称为⼀般项.对于⼀个数列，我们感兴趣的是当n ⽆限增⼤时，n x 的变化趋势.我们看下列例⼦：数列 12,,,,231nn +L L (1－2－1) 的项随n 增⼤时，其值越来越接近1；数列 2462 n L L ，，，，， (1－2－2)的项随n 增⼤时，其值越来越⼤，且⽆限增⼤；数列 1111(1)0,n n-+-L L ，，，， (1－2－3)的各项值交替地取1与0；数列 ()11111,,,,,23n n---LL (1－2－4) 的各项值在数0的两边跳动，且越来越接近0；数列 2222L L ，，，，， (1－2－5)各项的值均相同.在中学教材中，我们已知道极限的描述性定义，即“如果当项数n ⽆限增⼤时，⽆穷数列{}n x 的⼀般项n x ⽆限地趋近于某⼀个常数a （即n x a -⽆限地接近于0），那么就说a 是数列{}n x 的极限”.于是我们⽤观察法可以判断数列{}1n n -，1(1)n n -??-，{}2都有极限，其极限分别为1,20，.但什么叫做“n x ⽆限地接近a ”呢？在中学教材中没有进⾏理论上的说明.我们知道，两个数a 与b 之间的接近程度可以⽤这两个数之差的绝对值b a -来度量.在数轴上b a -表⽰点a 与点b 之间的距离，b a -越⼩，则a 与b 就越接近，就数列(1-2-1)来说，因为111n x n n-=-=，我们知道，当n 越来越⼤时，1n 越来越⼩，从⽽n x 越来越接近1.因为只要n ⾜够⼤， 11n x n-=就可以⼩于任意给定的正数，如现在给出⼀个很⼩的正数1100，只要n 100>即可得11100n x -<，11120,0,n =L如果给定110000，则从10001项起，都有下⾯不等式1110000n x -<成⽴.这就是数列1n n x n-=12 (,,)n =L ，当n →∞时⽆限接近于1的实质.⼀般地，对数列{}n x 有以下定义.定义2 设{}n x 为⼀数列，若存在常数a 对任意给定的正数ε(⽆论多么⼩)，总存在正整数N ，当n N >时，有不等式n x a ε-<即(,)n x U a ε∈，则称数列{}n x 收敛，a 称为数列{}n x 当n →∞时的极限，记为lim n n x a →∞=或n x a →()n →+∞.若数列{}n x 不收敛，则称该数列发散.定义中的正整数N 与ε有关，⼀般说来，N 将随ε减⼩⽽增⼤，这样的N 也不是唯⼀的.显然，如果已经证明了符合要求的N 存在，则⽐这个N ⼤的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如⽆特殊声明，N 均表⽰正整数.此外，由邻域的定义可知，()n x U a ε∈，等价于n x a ε-<.我们给“数列{}n x 的极限为a ”⼀个⼏何解释：将常数a 及数列123,,,,,n x x x x L L 在数轴上⽤它们的对应点表⽰出来，再在数轴上作点a 的ε邻域，即开区间(,)a εa ε-+，如图1-29所⽰图1-29因两个不等式 ||n x a ε-<， n a εx a ε-<<+等价，所以当n N >时，所有的点n x 都落在开区间(,)a εa ε-+内，⽽只有有限个点（⾄多只有N 个点）在这区间以外.为了以后叙述的⽅便，我们这⾥介绍⼏个符号，符号“?”表⽰“对于任意的”、“对于所有的”或“对于每⼀个”；符号“?”表⽰“存在”；符号“{}ax m X ”表⽰数集X 中的最⼤数；符号“{}min X ”表⽰数集X 中的最⼩数.数列极限lim n n x a →∞=的定义可表达为：lim n n x a →∞=0ε??>，?正整数N ，当n N >时，有n x a ε-<.例1 证明 1lim 02n n →∞=.证 0ε?>(不防设1ε<)，要使11022nn ε-=<，只要21nε>，即ln ln21/n ε>（）. 因此，0ε?>，取ln /ln21N ε= ???，则当n N >时，有102n ε-<.由极限定义可知1lim 02n n →∞=. 例2 证明π1lim cos04n n n →∞=. 证由于ππ111cos 0cos 44n n n n n -=≤，故0ε?>，要使π1cos 04n εn -<，只要1εn <，即1n ε>.因此，0ε?>，取1N ε??=，则当n N >时，有π1cos 04n εn -<.由极限定义可知π1lim cos 04n n n →∞=. ⽤极限的定义来求极限是不太⽅便的，在本章的以后篇幅中，将逐步介绍其他求极限的⽅法.⼆、数列极限的性质定理1（惟⼀性）若数列收敛，则其极限惟⼀. 证设数列{}n x 收敛，反设极限不惟⼀：即lim n n x a →∞=，lim n n x b →∞=，且a b ≠，不妨设a b <，由极限定义，取2b a ε-=，则10N ?＞，当1n N >时，2n b ax a --<，即 322n a b a bx -+＜＜，（1-2-6） 20N ?>，当2n N >时，2n b ax b --<，即322n a b b ax +-＜＜， (1-2-7) 取{}12m ,N ax N N =，则当n N >时，(1-3-6)，(1-3-7)两式应同时成⽴，显然⽭盾.该⽭盾证明了收敛数列{}n x 的极限必惟⼀.定义3 设有数列{}n x ，若存在正数M ，使对⼀切12,,n =L ，有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的，否则称它是⽆界的.对于数列{}n x ，若存在常数M ，使对12n =L ，，，有n x M ≤，则称数列{}n x 有上界；若存在常数M ，使对12,,n =L ，有n x M ≥，则称数列{}n x 有下界.显然，数列{}n x 有界的充要条件是{}n x 既有上界⼜有下界. 例3 数列{}211n +有界；数列{}2n 有下界⽽⽆上界；数列{}2n -有上界⽽⽆下界；数列{}11nn --（）既⽆上界⼜⽆下界.定理2（有界性）若数列{}n x 收敛，则数列{}n x 有界.证设lim n n x a →∞=，由极限定义，0ε?>，且1ε<，0N ?>，当n N >时，1||n x a ε-<<，从⽽<1n x a +.取{}12m 1,,,,N M ax a x x x =+?，则有n x M ≤，对⼀切123,,,n =L ，成⽴，即{}n x 有界.定理2 的逆命题不成⽴，例如数列{}1()n -有界，但它不收敛.定理3（保号性）若lim n n x a →∞=，0a >（或0a <），则0N ?>，当n N >时，0n x >（或0n x <）.证由极限定义，对02aε=>，0N ?>，当n N >时，2n a x a -<，即322n a x a <<，故当n N >时，02n ax >>.类似可证0a <的情形.推论设有数列{}n x ，0N ?> ，当n N >时，0n x > (或0n x <)，若lim n n x a →∞=，则必有0a ≥ (或0a ≤).在推论中，我们只能推出0a ≥ (或0a ≤)，⽽不能由0n x > (或0n x <)推出其极限(若存在)也⼤于0(或⼩于0).例如10n x n=>，但1lim lim 0n n n x n →∞→∞==.下⾯我们给出数列的⼦列的概念.定义4 在数列{}n x 中保持原有的次序⾃左向右任意选取⽆穷多个项构成⼀个新的数列，称它为{}n x 的⼀个⼦列.在选出的⼦列中，记第1项为1n x ，第2项为2n x ，…，第k 项为k n x ，…，则数列{}n x 的⼦列可记为{}k n x .k 表⽰k n x 在⼦列{}k n x 中是第k 项，k n 表⽰k n x 在原数列{}n x 中是第k n 项.显然，对每⼀个k ，有k n k ≥；对任意正整数h ，k ，如果h k ≥，则h k n n ≥；若h k n n ≥，则h k≥由于在⼦列{}k n x 中的下标是k ⽽不是k n ，因此{}k n x 收敛于a 的定义是：0ε?>，0K ?>，当k K >时，有k n x a ε-<.这时，记为lim k n k x a →+∞= .定理4 lim n k x a →∞=的充要条件是：{}n x 的任何⼦列{k n x }都收敛，且都以a 为极限. 证先证充分性.由于{}n x 本⾝也可看成是它的⼀个⼦列，故由条件得证. 下⾯证明必要性.由lim n k x a →∞=，0ε?>，0N ?>，当n N >时，有n x a ε-<.今取K N =，则当k K >时，有k K N n n n N >=≥，于是k n x a ε-<.故有lim k n k x a →∞=.定理4⽤来判别数列{}n x 发散有时是很⽅便的.如果在数列{}n x 中有⼀个⼦列发散，或者有两个⼦列不收敛于同⼀极限值，则可断⾔{}n x 是发散的.例4 判别数列{}*πsin ,8n n x n N =∈的收敛性.解在{}n x 中选取两个⼦列：{}*8πsin ,8k k N ∈，即{}πππ8168sin ,sin ,sin ,888k ； ()*164πsin ,8k k N +??∈，即()ππ16420sin ,sin ,88k ??+??. 显然，第⼀个⼦列收敛于0，⽽第⼆个⼦列收敛于1，因此原数列{}πsin 8n 发散.三、收敛准则定义5 数列{}n x 的项若满⾜121n n x x x x +≤≤≤≤≤L L ，则称数列{}n x 为单调增加数列；若满⾜121n n x x x x +≥≥≥≥≥L L ，则称数列{}n x 为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成⽴时，则分别称{}n x 是严格单调增加和严格单调减少数列.收敛准则单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限. 该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明.例5 证明数列11nn ??+?? ??收敛.证根据收敛准则，只需证明11nn ??+?? ??单调增加且有上界（或单调减少且有下界）.由⼆项式定理，我们知道1221111(1)1n n n n n n nx C C C n n n n =+=++++L 11112112111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!!n n n n n n n n -=++-+--++---L L ，11211111211111(1)111(1)(1)n n n n n n n x C C C n n n n +++++++=+=++++++++L 1111211(1)(1)(1)2!13!11n n n =++-+--++++L1121(1)(1)(1)!111n n n n n -+--++-+++L 112(1)(1)(1)(1)!111n n n n n +--++-++++L ，逐项⽐较n x 与1n x +的每⼀项，有1n n x x +<，1,2,.n =L这说明数列{}n x 单调增加，⼜111112!3!!n x n <+++++L 211111222n <+++++L。