第16讲 等腰三角形（三）作辅助线构造等腰三角形
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1、作平行构等腰。
2、倍长中线构等腰。
3、利用二倍角构等腰。
【板块一】作平行线构造等腰三角形
方法技巧
作腰或底的平行线构造等腰三角形，作角平分线的平行线也可得等腰三角形。
【例1】如图，△ABC中，AB=AC，BC=10，△ABC的面积为10，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长。
【例2】如图，AE，BC交于点D，且AB=CE，∠B+∠DCE=0180，求证：AD=DE。
针对练习1
1、如图，在△ABC中，∠BAC=060，∠C=040，P，Q两点分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP。
2、如图1，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，AO，BO分别平分∠BAC，∠ABC，连接OC。
（1）求证：OC平分∠ACB；
（2）如图2，若AB=6，AC=10，求OB的长。
【板块二】中线倍长构造等腰三角形
方法技巧
中线倍长，将相等的角或边集中到新的三角形中构成等腰三角形。
【例3】如图，AD为△ABC的中线，E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AB=CF，过点E作AF的垂线交AC于点P，求证：AP=PF。
针对练习2
1、如图，AB∥CD，BD与AC交于点E，DO平分∠CDE，若点O为AC的中点，试探究线段CD，AB，BD之间的数量关系。
2、如图，在△ABC中，D为CA的中点，∠ABD=2∠CBD，AO⊥BD于点O。
（1）若OD=3，OB=5，求AB的长；
（2）求证：AB=2OD。
【板块三】利用∠=2∠构造等腰三角形
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1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法
数学组 田茂松
八年级数学的几何题，有部分题需要做出辅助线才能完成。有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。
常见辅助线的作法有以下几种：
1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。
常见辅助线的作法举例：
例1 如图1,//ABCD，//ADBC. 求证：ADBC.
分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。
证明：连接AC（或BD）
∵//ABCD, //ADBC （已知）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等）
在ABC与CDA中
∴ABC≌CDA（ASA） ∴ADBC（全等三角形对应边相等）
(完整word版)八年级数学上几何证明中的辅助线添加方法
八年级数学(上)几何证明中的辅助线添加方法
数学组 田茂松
八年级数学的几何题，有部分题需要做出辅助线才能完成.有的时候,做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。
常见辅助线的作法有以下几种：
1。遇到等腰三角形，可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.
2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转".
3。遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折"，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4.过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移"或“翻转折叠"。
5。截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。
常见辅助线的作法举例:
例1 如图1,//ABCD，//ADBC. 求证：ADBC。
分析:图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。
证明：连接AC(或BD)
∵//ABCD, //ADBC (已知） AD1234(完整word版)八年级数学上几何证明中的辅助线添加方法
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等)
在ABC与CDA中
)(43)()(21已证公共边已证CAAC
DCBA全等三角形问题中常见的辅助线的作法
三角形辅助线做法
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
本题的关键是如何把AB,AC,AD三条线段转化到同一个三角形当中.
解:延长AD到E,使DE=DA,连接BE.
又∵BD=CD;∠BDE=∠CDA.
∴⊿BDE≌⊿CDA(SAS),BE=AC=5.
∵AB-BE
即7-5<2AD<7+5.
∴1
【经验总结:见中线,延长加倍.】
EDFCBA例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
