瞬时变化率——导数 学案 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-2

3．已知 f (x) 1 x2 ，求曲线 y f (x) 在 x 1 处的切线斜率和切线方程． 2
课堂练习：
练习：已知 f (x) x ，求曲线 y f (x) 在
x 1 处的切线Байду номын сангаас率和切线方程． 2
小 结：
1．曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接 近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由 该点处的切线反映 (局部以直代曲)．
所以xQ＝x＋2
＝xQ＋2
kPQ＝
(2＋x) x
2－4
＝ 4x＋x2 x
＝4＋x
当xQ无限趋近于2时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
线 Q
切线 l
x
如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线. 随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当 点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的
直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼
近切线.
y
P为已知曲线C上的一点，
Q
如何求出点P处的切线方程？
＝2＋ x
当△x无限趋近于
0时，割线逼近切线， 割线斜率逼近切线斜 率．
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数2， 从而曲线f(x)＝x2＋1 在点x＝1处的切线斜率为2．
y
割线
Q
切线
y=f(x) P（x0,f(x0))
y = f(x)
f (x0+x) f (x0) Q(x0+△x,f(x0+ △x))

1．曲线上一点处的切线 设 Q 为曲线 C 上不同于 P 的一点，这时，直线 PQ 称
割线 ，随着点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动，割线 PQ 为曲线的______ 逼近 曲线 C.当点 Q__________ 无限逼近 点 P 时， 在点 P 附近越来越______
逼近 曲线的直线 l，这条 直线 PQ 最终就成为在点 P 处最______
常数 ，则称 f(x)在 x＝x0 处______ 可导 ，并 限趋近于一个_____A 常数 为函数 f(x)在 x＝x0 处的______ 导数 ，记作 f′(x0)． 称该_____A
2．导数的几何意义 导数 f′(x0)的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))
斜率 处 的 切 线 的 _______ ， 切 线
●教学建议 新课标对“导数及其应用”内容的处理有较大的变化， 它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变 化率——曲线在某一点处的切线——瞬时速度(加速度)—— 瞬时变化率 ——导数的概念”这样的顺序来安排，用“逼 近”的方法来定义导数，这种概念建立的方式直观、形象、 生动，又易于理解，突出导数概念的形成过程． 因此，在教学中采用教师启发诱导与学生动手操作、自 主探究、合作交流相结合的教学方式，引导学生动手操作、 观察、分析、类比、抽象、概括，并借助 excel 及几何画板 演示，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) ___________________________ ．
PT
的 方 程 是
求瞬时速度、瞬时加速度
已知质点 M 的运动速度与运动时间的关系为 v＝ 3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)， Δv (1)当 t＝2，Δ t＝0.01 时，求 ； Δt (2)求质点 M 在 t＝2 时的瞬时加速度． 【思路探究】

1.1 导数的概念1.1.1 平均变化率1.1.2 瞬时变化率——导数知识梳理1.函数f(x)在区间［x 1,x 2］上的平均变化率为___________.2.设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t),当Δt 趋近于0时,函数f(t)在t 0+Δt 之间的平均变化率tt f t t f ∆-∆+)()(00趋近于常数.我们把这个常数称为t 0时刻的____________. 3.函数y=f(x)在x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即k=f′(x 0)=_____________.知识导学要学好本节内容,最重要的是理解平均变化率和瞬时变化率的概念.本节的重点是导数的定义及其几何意义,难点是利用割线逼近的方法求曲线在某点处的导数,及两种变化率之间的关系.疑难突破1.正确理解平均变化率和瞬时变化率的关系.剖析:平均变化率和瞬时变化率都是反映事物变化程度的量,平均变化率表示的是曲线在某区间上的变化趋势;瞬时变化率表示的是曲线上某一点处的变化趋势.2.怎样理解导数的定义及几何意义?剖析:导数是函数在某一点处的瞬时变化率，导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.导数的概念就是变量变化速度在数学上的一种抽象,深刻理解导数的定义是本节的关键.典题精讲【例1】 已知f(x)=x 2,求曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率.思路分析：为求得过点(3,9)处的切线斜率,我们从经过点(3,9)的任意一条直线(割线)入手.解：设P(3,9),Q(3+Δx,(3+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =xx ∆-∆+9)3(2=6+Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数6,从而曲线y=f(x)在点P(3,9)处的切线斜率为6. 绿色通道：利用割线逼近切线的方法,求曲线在某一点处的切线斜率的方法是一种比较直观的解题方法.变式训练：已知f(x)=2x 2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率.思路分析:为求得过点(1,2)处的切线斜率,我们从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手. 解:设P(1,2),Q(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =xx ∆-∆+2)1(22=4+2Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(1,2)处的切线斜率为4.【例2】 已知f(x)=x 2+3.(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a 处的导数.思路分析：函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率,深刻理解概念是正确解题的关键.解:(1)因为xx x f x f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)31(3)1()1()1(22=2+Δx ， 当Δx 无限趋近于0时,2+Δx 无限趋近于2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为xa x a x a f x a f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)3(3)()()(22=2a+Δx ， 且当Δx 无限趋近于0时,2a+Δx 无限趋近于2a,所以f(x)在x=a 处的导数等于2a.绿色通道：本题主要考查对导数概念的理解程度,及应用定义解题的熟炼程度.变式训练：已知f(x)=3x+5,求当x=2时的导数.思路分析：函数在某一点处的导数的几何意义就是函数图象在该点切线的斜率.解:因为3)523(5)2(3)2()2(=∆+⨯-+∆+=∆-∆+=∆∆xx x f x f x y . 所以f(x)在x=2时的导数为3.【例3】 已知曲线y=3x 2-x,求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.思路分析：求曲线上某点的切线斜率就是求函数在那一点的导数值.解:因为x xx x x y ∆+=∆-⨯-∆+-∆+=∆∆35)113()1()1(322, 当Δx 趋近于0时,5+3Δx 就趋近于5,所以曲线y=3x 2-x 在点A(1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.绿色通道：根据导数的定义将切线的斜率求出,再根据点斜式方程求出切线方程,这是用导数求某点处切线的一般方法.变式训练：已知曲线y=331x 上一点P(2,38),求点P 的切线斜率及点P 处的切线方程. 思路分析：先求出某点处的切线斜率,即求该函数在某点处的导数，然后利用导数定义求解.解:因为xx x y ∆⨯-∆+=∆∆33231)2(31 xx x x x x x x ∆∆+∆+∆=∆∆+∆⨯+∆⨯=323223124])()(2323[31=4+2Δx+231x ∆， 当Δx 趋近于0时,4+2Δx+2 31x ∆就趋近于4， 所以曲线y=331x 上点P(2,38)处的切线斜率为4，切线方程为)2(438-=-x y ，即03164=--y x 问题探究问题：某钢管厂生产钢管的利润函数为P(n)=-n 3+600n 2+67 500n-1 200 000,其中n 为工厂每月生产该钢管的根数,利润P(n)的单位是元.(1)求边际利润函数P′(n)=0时n 的值;(2)解释(1)中n 的实际意义.导思：这是一道有关边际函数的实际应用题,由于利润函数已给出，只需先求边际利润函数P′(n),再根据P′(n)=0解出n 的值即可.探究：(1)因为nn n n n n n n y ∆-∆++∆++∆+-=∆∆1200000)(67500)(600)(23 =(-3n 2+1 200n+67 500)+Δn.当Δn 无限趋近于0时,-3n 2+1 200n+67 500+Δn 无限趋近于-3n 2+1 200n+67 500.∴P′(n)=-3n 2+1 200n+67 500.由P′(n)=0,即-3n 2+1 200n+67 500=0.解得n=450或n=-50(舍).即当边际利润函数P′(n)=0时,n 的值为450.(2)P′(n)=0时,n 的值为450表示的实际意义是当工厂生产450根钢管时,利润增加量为零.。

高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导本节课重点是导数的定义和导数的几何意义，难点是利用定义求函数在某点处的导数和在开区间内的导数.一、函数y=f(x)在点x 0处的导数(变化率)是f′(x 0)或y′0|x x =，即 f′(x 0)=0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00，它是函数的平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限值，如果极限不存在，我们就说函数在点x 0处不可导.疑难疏引 (1)函数应在点x 0的附近有定义，否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中，Δx 趋近于0可正、可负，但不为0，而Δy 可能为0. (3)xy∆∆是函数y=f(x)对自变量x 在Δx 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))及点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))的割线斜率. (4)导数f′(x 0)= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00是函数y=f(x)在点x 0处的瞬时变化率，它反映的函数y=f(x)在点x 0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率.因此，如果y=f(x)在点x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为y-f(x 0)=f′(x 0)(x-x 0).(5)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在x 0及其附近的函数值有关，与Δx 无关. (6)在定义式中，设x=x 0+Δx，则Δx=x -x 0，当Δx 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，导数的定义式可写成f′(x 0)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim x x →∆00)()(x x x f x f --. (7)若极限0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00不存在，则称函数y=f(x)在点x 0处不可导.(8)若f(x)在x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))有切线存在.反之不然，若曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0)有切线，函数y=f(x)在x 0不一定可导，并且，若函数y=f(x)在x o 不可导，曲线在点(x 0，f(x 0))也可能有切线，如切线平行与y 轴时. 一般地，0lim →∆x (a+bΔx)=a，其中a ，b 为常数.特别地，0lim →∆x a=a.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x).称这个函数f′(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y′，即 f′(x)=y′=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.函数y=f(x)在x 0处的导数y′0|x x =就是函数y=f(x)在开区间(a ，b)上导函数f′(x)在x 0处的函数值，即y′0|x x ==f′(x 0).所以函数y=f(x)在x 0处的导数也记作f′(x 0). 二、注意导数与导函数的区别与联系1.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内每一点都有导数则称函数y=f(x)在开区间(a ，b)内可导.2.导数与导函数都可称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在点x 0处的导数就是导函数f′(x)在点x 0的函数值.3.求导函数时，只需将求导数式中的x 0换成x 即可，即f′(x)=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.4.由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数的一般方法是： (1)求函数的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x).(2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(. (3)取极限，得导数y′=0lim →∆x xy∆∆.三、导数与切线的理解 导数集数与形于一身，新教材在介绍导数几何意义时，利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.从代数角度看，平均变化率是由函数上的一点(x 0，f(x 0))到另一点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))函数值增量与自变量增量的比值，当Δx 无限趋近于零时，曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数，这个常数称为在该点的导数；从几何角度看过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，因此导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率.用运动变化的观念分析曲线C:y=f(x)上某点(x 0，y 0)的切线，从点(x 0，y 0)引割线，当另一交点无限趋近某点(x 0,y 0)时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点(x 0,y 0)的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为Δx→0时，k=x y∆∆=f′(x 0)，或x→x 0时，k=00x x y y --=f′(x 0).特别地，如果曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线平行于y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x=x 0.四、导数的物理意义瞬时速度是路程对时间的变化率，某时刻的瞬时速度就是路程在某时刻的导数，加速度是速度的导数，动量是动能的导数. 活学巧用1.如果一个质点从定点A 开始沿直线运动的位移函数为y=f(t)=t 3+3. (1)当t 0=4且Δt=0.01时，求Δy 和ty ∆∆; (2)当t 0=4时，求0lim →∆t ty∆∆的值; (3)说明0lim →∆t ty∆∆的几何意义. 解析：(1)Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=(Δt)3+48Δt+12(Δt)2=(0.01)3+48(0.01)+12(0.01)2=0.481 201， ∴t y ∆∆=01.0481201.0=48.120 1. (2)当Δt=0.001时，ty∆∆=48.012 01， 当Δt=0.000 1时，t y∆∆=48.001 201. 所以当Δt→0时，0lim →∆t ty∆∆=48.(3)Δy 是质点由固定点A 开始在Δt 这段时间内的位移，所以ty∆∆是质点A 在Δt 这段时间内的平均速度，而0lim →∆t ty∆∆是质点A 在时间t 0的瞬时速度. 2.已知y=f(x)=x2,求y′及y′|x=1.解析：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=xx ∆+2-x2=xx x x x x •∆+∆+-)(2,∴y′=0lim→∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x x x x x x ∆••∆+∆+-)(2=0lim →∆x )()(2x x x x x x x x x x ∆++•∆••∆+∆--=0lim→∆x xx x x x x x x x 22)(2••-=∆++••∆+-=23--x.y′|x =1=f′(1)=23)1(--=-1.点评:函数的导数与在点x 0处的导数不是同一概念,在点x 0处的导数是函数的导数在x=x 0处的函数值.求函数的导数分三个步骤:(1)求函数增量Δy=f(x+Δx)-f(x); (2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(; (3)取极限并求极限值,得导数f′(x)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.3.如果曲线y=x 2+x-3的某一条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标与切线方程. 解析：∵切线与直线y=3x+4平行，∴斜率为3. 设切点坐标为(x 0,y 0),则y′0|x x ==3. 又y′0|x x ==0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim →∆x xx x x x x x ∆+---∆++∆+33)()(020020 =0lim →∆x (Δx+2x 0+1)=2x 0+1,∴2x 0+1=3,从而得⎩⎨⎧-==.1,100y x∴切点坐标为(1，-1)，切线方程为3x-y-4=0.4.在曲线y=x 2+3的图象上取一点P(1，4)及附近一点(1+Δx，4+Δy)，求(1)xy∆∆；(2)Δx→0时，求xy∆∆的值；(3)在点P(1，4)的切线方程. 解析：(1)x y ∆∆=xf x f ∆-∆+)1()1(=xx ∆+-+∆+)31(3)1(22=2+Δx.(2)Δx→0时，xy∆∆=2+Δx→2, 即0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x (2+Δx)=2. (3)由(2)知过点P(1,4)的切线的斜率为2，故在点P(1，4)的切线方程为y-4=2(x-1)，即2x-y+2=0.5.(1)已知质点运动方程是s(t)=221gt +2t-1,求质点在t=4时的瞬时速度，其中s 的单位是m ，t 的单位是s.(2)已知某质点的运动方程是s(t)=3t 2-2t+1,求质点在t=10时的瞬时速度和动能.(设物体的质量为m)分析:瞬时速度是路程对时间的变化率，而动能U=221mv . 解：(1)质点在t=4时的瞬时速度为v (t=4)=0lim →∆t tt s t s ∆-∆+)()4(=0lim →∆t tg t t g ∆+⨯-•--∆++∆+1424211)4(2)4(2122=0lim →∆t ttt g t g ∆∆+∆+∆24212=0lim →∆t (21gΔt+4g+2)=4g+2, 所以质点在t=4时的瞬时速度为4g+2 (m/s). (2)质点在t=10时的瞬时速度为v (t=10)=0lim→∆t ts t s ∆-∆+)10()10(=0lim →∆t t t t ∆-⨯+⨯-+∆+-∆+11021031)10(2)10(322 =0lim →∆t tt t ∆∆+∆5832=0lim →∆t (3Δt+58)=58, 所以质点在t=10时的瞬时速度为v=58 m/s ；质点在t=10时的动能为 U=m mv 21212=×(58)2=1 682m J.。