a a
b b
=(0)b ≠知识点整合
绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对
值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“
”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值
符号.
②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对
值是0.
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.
求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；
（2）若a b =，则a b =或a b =-；
（两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或者互为相反数）
（3）ab a b =?；
（两个数的乘积的绝对值等于这两个数的绝对值的乘积）
（4） ； （两个数相除的绝对值等于这两个数的绝对值再相除）
（5）222||||a a a ==；
（一个数的平方等于这个数的平方的绝对值，也等于这个数的绝对值的平方）
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =
利用数轴化简绝对值
通过实数在数轴上的位置，判断数的大小，去绝对值符号
例题1 有理数a ，b ，c 在数轴上的对应位置如图，化简：|a ﹣b|+|b ﹣c|+|a ﹣c|
原式=|a-b|-(b-c)-(a-c)
=a-b-b+c-a+c
=-2b+2c
例题2 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值.
原式=|a-(-b)|+(a-c)-|b-(-c)|
=-[a-(-b)]+a-c+[b-(-c)]
=-a-b+a-c+b+c
=0
第一步 标位
第二步 改写成相减的形式
第三步 利用数轴判断是大减小还是小减大从而去掉绝对值，但是要记得带上括号
第四步 去括号(根据去括号的法则)
第五步 合并同类项 从而化简求值
特别注意绝对值前面是减号的
例题3 若用A 、B 、C 、D 分别表示有理数a 、b 、c ，0为原点。如图所示，已知a
下列各式：
（1）||||||a c b a c a -+---； （2）||||||a b c b a c -+---+-+；
原式=-(a-c)+(b-a)-(c-a) 原式=|-a-(-b)|-(-c-b)+|-a-(-c)|
=-a+c+b-a-c+a =-a-(-b)+c+b+[-a-(-c)]
=-a+b =-a+b+c+b-a+c
=-2a+2b+2c
（3）2||||||c a b c b c a +++---
原式=2c+|a-(-b)|-(c-b)-(c-a)
=2c-[a-(-b)]-(c-b)-(c-a)
=2c-(a+b)-(c-b)-(c-a)
=2c-a-b-c+b-c+a
=0
例题4 已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a ﹣b| 原式=-2a-|a-(-c)|-(1-b)+[(-a)-b] =-2a+[a-(-c)]-(1-b)-a-b =-2a+a+c-1+b-a-b =-2a+c-1 例题5 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤
(1)化简
原式=x-b-(x-20)+|x-(b+20)|
=x-b-x+20-[x-(b+20)]
=x-b-x+20-x+b+20
=40-x
(2) 求y 的最小值
20
课堂检测：
1．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式
的值等于
（ C ）．
（A ） （B ） （C ） （D ） 原式 =-a-|a-(-b)|+(c-a)-(b-c)
=-a+[a-(-b)]+c-a-b+c
=-a+a+b+c-a-b+c
=2c-a
2．已知有理数c b a ,,在数轴上的对应点的位置如图所示：那么求a c c b b a -+---的值
原式=-(a-b)-(b-c)+(c-a)
=-a+b-b+c+c-a
=-2a+2c
3.实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-
原式=-a+(c-b)-|a-(-b)|-(a-c)
=-a+c-b+[a-(-b)]-a+c
=-a+c-b+a+b-a+c
=-a+2c 4．有理数c b a ,,在数轴上对应的点（如下图）,图中O 为原点，化简a c b b a b a --+++-。
原式=-(a-b)+|a-(-b)|+(b-c)-(-a)
=-a+b-[a-(-b)]+b-c+a
=-a+b-(a+b)+b-c+a
=-a+b-c
5．a 、b 、c 的大小关系如图所示，求
a b b c c a ab ac a b b c c a ab ac -----++----的值．
原式=b)-(a -b -a -c)-(b -c -b +a -c a -c +c)-a(b )c -b (a 解释c)]-a[-(b -)c -b (a |c -b ||a |)c -b (a |c)-a(b |)c -b (a ===c)-a(b )c -b (a =-1+1+1+1
=2
提高部分 6.已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227
a b a b +--- (a+b)+(a-b)=2a<0 得a<0
(a+b)-(a-b)=2b<0 得b<0 所以a+b<0 b-7<0
所以a+a+b<0
所以原式=|a+a+b|-2(-a)-[-(b-7)]
=-a-a-b+2a+b-7
=-7
7.数a b ，在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--
原式=|a-(-b)|+(b-a)+b+(a-|a|)
=-[a-(-b)]+b-a+b+a-(-a)
=-a-b+b-a+b+a+a
=b
8.如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--.
原式=x-m-(x-10)+|x-(m+10)|
=x-m-x+10-[x-(m+10)]
=x-m-x+10-x+m+10
=-x+20
a-b a+b