证明线面垂直的四种方法
直线与平面垂直是空间元素中最重要的关系之一，是建立空间概念的主要支柱，而直线与平面垂直的证明也常有以下四种方法，下面分类举例解析，供参考。
一、运用直线与平面垂直的判定定理若一条直线与平面
内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面。
例1 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，
D为CC1的中点，求证AB1⊥平面A1BD。
证明：由题意知，四边行ABB1A1是正方形，则AB1⊥
A1B；取BC中点E，连AE，EB ，则AE⊥BC，在正三棱柱中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，故AE⊥面BB1C1C，又BD?面BB1C1C，所以AE⊥BD，在正方形BB1C1C中又D为CC1中点，易证△BC D≌△BB1E，得∠EB1B=∠DBC，而∠DBC+∠DBB1=90°，则∠EB1B+∠DBB1=90°，故EB⊥BD，又AE∩EB=E，∴BD⊥平面AEB1，∴BD⊥AB1，又A1B∩BD=B，故AB1⊥平面A1BD。
点评：在本题的证明中，多次证明了直线与平面垂直，其中直线与平面垂直的判定定理是常用判定方法，必须深刻理解这个定理的内涵与实质。
二、运用直线与平面垂直的第二判定定理若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，
则另一条也垂直于这个平面。
例2 已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证：l⊥γ。
证明：如图，要证l⊥γ，则由线面垂直第二判定定理知，只
需证l平行于γ的一条垂线即可。设α∩γ=c，β∩γ=d，在α
内任取一点A，作AQ⊥c于Q，则AQ⊥γ。同理，在β内任取一点B，作BR⊥d于R，则BR⊥γ，且AQ∥BR。又
AQ?β，BR?β，故AQ∥β，由α∩β=l，得AQ∥l，而AQ⊥γ，故l⊥γ。
点评：此证法可能不是此题的最简证法，但说明了一个道理，每一条路都可能是成功之路，只是对问题的理解角度不同罢了。
三、运用课本中的已证命题：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
B1C1为正三棱柱，D、E分别为AC、
例3 如图，已知ABC—A
A1C1的中点，CF⊥C1D于F，求证：CF⊥平面B1EA。
证明：∵正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AC 、A 1C 1的中点。∴BB 1平行等于DE ，∴四边形BB 1ED 是平行四边形，∴B 1E ∥BD ，又 EC 1平行等于AD ，四边形EC 1DA 是平行四边形，∴AE ∥C 1D ，∴平面B 1EA ∥平面BC 1D ；在正三棱柱中，由侧面A 1C 1CA ⊥底面ABC ，又易知BD ⊥AC ，则BD ⊥平面ACC 1A 1，又BD ?平面BDC 1，∴平面BDC 1⊥平面ACC 1A 1，且交线为C 1D ，而CF ?平面ACC 1A 1且CF ⊥C 1D ，∴CF ⊥平面BDC 1，∴CF ⊥平面B 1EA 。
点评：此题中已知条件较多，围绕证题目标，正确选择解题方案、清晰地表述解题过程是立体几何证题的重要环节。
例4 如图，四棱锥P-ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD-2AB=2，M 为PC 的中点，在△PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD 。
解析：∵M 为PC 的中点，取PD 中点E ，则M E ∥CD 且
M E=12CD ，又AB ∥CD 且AB=12
CD ，∴M E ∥AB 且M E=AB ，即四边形ABME 是平行四边形；又PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，∴AB ⊥平
面PAB ，因此AB ⊥AE ，四边形ABME 是矩形，又PD ⊥AB ，
由PA=AD 且E 为PD 中点得PD ⊥AE ，∴PD ⊥平面ABME 。而平面PB D ∩平面ABME=BE ，
作MN ⊥BE 于F ，则MN ⊥平面PB D ，其中ME=1
2CD=1，tan ∠,EN=ME ·tan
∠EMN= ME ·tan ∠MBE=1
2，即N 为AE 中点时，MN ⊥平面PBD 。 点评：本题是存在性探索题，首先围绕使结论成立的目标进行论证，然后再确定点的位置，而通过平面与平面垂直，证直线与平面垂直是非常有效的方法。
线面垂直判定 1、已知：如图，PA⊥AB，PA⊥AC。 求证：PA⊥平面ABC。 ] 2、已知：如图，PA⊥AB，BC⊥平面PAC。 求证：PA⊥BC。 ' 3、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。 求证：VB⊥AC | 4、在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD中心。 求证：BD⊥平面AEGC 5、如图，AB是圆O的直径，PA⊥AC, PA⊥AB, 求证：BC⊥平面PAC ;
6、如图，AD ⊥BD, AD ⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60° 求证： BD ⊥平面ADC : 7、.如图所示，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面PAD . (2)求证：MN ⊥CD . (3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 《 . 8、已知：如图，P 是棱形ABCD 所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC PBD 平面 ： A D ~ C B P
9、已知四面体ABCD 中，CD BD AC AB ==,,平面⊥ABC 平面BCD ,E 为棱BC 的中点。 （1）求证：⊥AE 平面BCD ; （2）求证：BC AD ⊥; \ 10、三棱锥A-BCD 中，AB=1，BC=2，BD=AC=3 AD=2，求证：AB ⊥平面BCD > ! 11、 在四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形 求证：AC ⊥平面SBD > ? 12、 如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，求证：AB ⊥平面ADE ； · C B A E D A B
立体几何证明 【知识梳理】 1. 直线与平面平行 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”） 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线平行”） 2.．直线与平面垂直 判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直?线面垂直”） 判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 （线面垂直?线线垂直） 性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 三。平面与平面 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 1. 平面与平面平行 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行?面面平行”） 2. 两个平面垂直 判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直?面面垂直”） 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直?线面垂直）
知识点一 【例题精讲】 1.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。 （1）求证：EF//平面11D ABC ；（2）求证： 平面B 11D C C B 1⊥ EF C B 1⊥； （3）求三棱锥EFC B -1的体积V. 2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的 中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V . 3、如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，证明： （1）AE ⊥CD （2）PD ⊥平面ABE ．
怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB 在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD 垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。 面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
如何证明线面垂直∵PA⊥平面α，直线L∈平面α ∴PA⊥L========================① ∵PB⊥平面β，直线L∈平面β ∴PB⊥L========================② 综合①②得： 直线L⊥平面PAB(垂直于平面两条相交直线的直线垂直于这个平面) ∴L⊥AB(垂直于平面的直线垂直于平面内的任一直线) 线面垂直的判定定理证明，我一直觉得证明过程太过复杂。前年曾经这样证明，今天写在这里。m和n为平面中两条相交直线，通过平移或者说原本就在，使得l经过m、n的交点O，我们只需证明l垂直与平面中的任意一条直线g 即可!在m、n上分别以O点为中点截取AC、BD，则得到平行四边形ABCD。此时不难由三角形全等的知识得到l⊥g。 答案补充 证明：已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直，L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线(重合或平行直接可得它与L1平行) 在L3上取E、F令OE=OF，分别过E、F作ED、FB交L2于D、B (令OD=OB)则⊿OED ≌⊿ OFB (SAS) 延长DE、BF分别交 L1于A、C 则⊿OEA≌⊿OFC(ASA)(注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等)。所以OA=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC(SAS)所以AD=CB 因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB 所以⊿MAD≌⊿MCD(SSS)所以角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF(SAS) 所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF(SSS)，所以角MOE=角MOF 又因为角MOE与角MOF互补，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。
线面垂直的证明及应用 一、单选题(共10道，每道10分) 1.若为平面，为直线，则下列选项中能得到的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定 2.如图，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，则图中一定与AC垂直的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定
3.如图，在三棱柱中，底面是正三角形，且侧棱，若E是BC的中点，则下列叙述正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质 4.在长方体中，已知AB=BC=1，，E是侧棱的中点，则直线 AE与平面所成角的大小为( ) A.60° B.90° C.45° D.以上都不正确
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质 5.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，且SD⊥底面ABCD，则下列结论不正确的是( ) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.AC⊥平面SBD D.AB与SC所成的角等于CD与SA所成的角 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质 6.如图，在正方体中，O是底面ABCD的中心，，H为垂足，则与平面的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.斜交 D.以上都不对 答案：A
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定 7.如图，在等边三角形ABC中，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点，现将△ACD 沿CD折起，使平面ACD⊥平面BCD，则下列结论中不正确的是( ) A.AB∥平面DEF B.CD⊥平面ABD C.EF⊥平面ACD D. 答案：C
A P B C E D 一：线面平行的证明方法： 1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线（一般为表示面的三角形的边界直线，或三角形某边上的中线） 看找到的这条线与已知线的长度关系，1）若相等应该构造平行四边形；2）若不相等一般利用三角形中位线的性质（将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形）。 2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质，则应再构造一个此直线所在的平面，证明此平面与已知平面平行（先证面面平行，推出线面平行） 例一：如图，已知菱形ABCD ，其边长为2， 60BAD ∠= ，ABD ?绕着BD 顺时针旋转120 得到PBD ?，M 是PC 的中点． （1）求证：//PA 平面MBD ； （2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值． 例二：已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、 边 长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是 棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离． 例三：如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点， 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 二：线面垂直的证明方法： 通过线线垂直，证明线面垂直 1） 利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°； 2） 利用等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂 直等； 3） 通过线面垂直，反推线线垂直； 4） 利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。 例四：如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点. (1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2)求四面体PCEF 的体积. C
线面垂直的证明中的找线技巧 ◆ 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D - 中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥ 1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =， ∴DB ⊥平面 11A ACC ，而1 AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2 234MO a =． 在Rt △11A C M 中，2 21 94 A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． ◆ 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ． 证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ． 因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ， AD ?平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ?平面PBC ， ∴ AD ⊥BC ． ∵PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ． （另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）． 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直． 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直???→←???判定性质 线面垂直???→←??? 判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明 问题．下面举例说明． 3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过 A 且垂直于SC 的平面分别交S B S C S D ，，于 E F G ，，．求证：AE SB ⊥， AG SD ⊥． 证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ?平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥． ∵AD BD =，∴DF AB ⊥． 又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ?平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =， ∴ AH ⊥平面BCD ．
理科数学复习专题 立体几何 线面垂直与面面垂直专题复习 【知识点】 一．线面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 如果直线l 和平面α的__________一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作__________． 重要性质：__________________________________________________________ (2)直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面的两条__________都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．用符号表示为： ②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号可表示为： (3)直线与平面垂直的性质： ①由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的_______直线． ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．用符号可表示为： 二、面面垂直 (1)平面与平面垂直的定义： 两平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条__________，那么这两个平面互相垂直．简述为“线面垂直，则面面垂直”， 用符号可表示为： (3)平面与平面垂直的性质： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号可表示为： 【题型总结】 题型一 小题：判断正误 1．“直线l 垂直于平面α的无数条直线”是“l ⊥α”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2．已知如图，六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ．则下列结论不正确的是( )． A.CD ∥平面PAF B.DF ⊥平面PAF C.CF ∥平面PAB D ．CF ⊥平面PAD 2. 设m ，n, l 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，判断命题正误： α αααααββααβαβα//n ,,m //,,n ,//,,//,//,,则⑤则④则③则②则①n m n m n m n m m m m m m ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ γ αβγβαγαγββααα⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥则，⑩则⑨则，⑧则⑦则⑥,//m ,//,m //,//m ,,m n ,//,n m l l n n l l n n m
线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC⊥AD； 2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面 ABC，平面SAB⊥平面SBC． (第1题) （1）求证：AB⊥BC； 3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB． （1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离． 4. 如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.
5. 如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D 为斜边AC的中点. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC. 6. 证明：在体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D 11 A B1 D C B 7. 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M. 求证：CD⊥平面BDM.
8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD， 作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC． 10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB． (1)求证：平面EDB⊥平面EBC； (2)求二面角E－DB－C的正切值. 11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC^平面PBC。 12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.
专题7 线面垂直的判定与证明 秒杀秘籍：第一讲 在被垂直平面找垂直（鳖臑法则） 定理：若一条直线l 垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到相互垂直的两条线1l ⊥2l （1l 与l 相交），则与l 异面的直线2l 垂直于l 和1l 构成的平面．鳖臑是最典型的例子． 当出现重垂线P A 时，就需要在水平面ACB 内找到两条垂直相交的直线BC AC ⊥，由于AC 与重垂线P A 相交，故能得到PAC BC 面⊥，同理，P AC 作为被垂直的平面，在平面内找到PC AD ⊥，BC 与PC 相交，故可以得到PBC AD 面⊥，PBC 作为被垂直的平面，需要在这个面内找到垂直的两条直线，当PB DE ⊥时（或PB AE ⊥），能得到ADE PB 面⊥． 具体书写格式： PAC BC A AC PA AC BC CB PA ACB BC ACB PA 面面面⊥??????????=⊥⊥?????⊥ ，同理PBC AD C BC PC PC AD BC AD PAC AD PAC BC 面面面⊥?????? ? ? ??=⊥⊥???? ?⊥ () ()ADE PB A AD AE D AD DE PB AE PB DE PB AD PBC PB PBC AD 面或或面面⊥???? ?? ???? ==⊥⊥⊥?? ?? ?⊥ 【例1】已知ABC △中?=∠90ACB ，⊥SA 面ABC ，SC AD ⊥，求证：⊥AD 面SBC ． 【例2】已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ； （2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 【小结】按照推导式写的证明步骤比传统方式更简洁明了．
线面垂直平行六种关系的证明方法 一、线线平行的证明方法： 1、利用平行四边形。 2、利用三角形或梯形的中位线。(分线段成比例的直线平行) 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（线面平行的性质定理） 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理） 5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理） 6、平行于同一条直线的两条直线平行。（平行公理） 7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。（需证明） 8. 两直线的方向向量共线（平行） 二、线面平行的证明方法： 1、定义法：直线与平面没有公共点。 2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理） 3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 4、直线的方向向量与平面的法向量垂直，且线在面外。 5、直线的方向向量与平面内的两个不共线向量共面（线性表示）且线在面外。
三、面面平行的证明方法： 1、定义法：两平面没有公共点。 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理） 3、平行于同一平面的两个平面平行。 4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。 5、垂直于同一直线的两个平面平行。 6、两平面的法向量共线 四、线线垂直的证明方法： 1、勾股定理。 2、等腰三角形（三线合一）。 3、菱形对角线。 4、圆所对的圆周角是直角。 5、点在线上的射影。 6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。 7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理，需证明） 8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线逆定理，需证明） 9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。
线面垂直的证明中的找线技巧 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，（Ⅰ）求证： 1 AO ⊥平面MBD ．（Ⅱ）求1M A BD -的体积 练习1：如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC ==． （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． 练习2、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． 求证：DE ⊥平面PAE ； A B C M P D
利用面面垂直寻求线面垂直 例2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面P AC ． 练习 3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥． 应用等腰(等边)三角形三线合一性质 所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以很轻松的得到线线垂直,从而为证明线面垂直做了很好的准备工作. 例3：如图2所示，已知PA 垂直于O 所在平面，AB 是O 的直径， C 是O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC =，点E 是线段PC 的中点.求证：AE ⊥平面PBC . A C B P E O 图2
线面垂直证明专题 1.直线与平面垂直的定义： 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直. 2.直线与平面垂直的判定: 线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么就垂直另一个平面。 性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 专题一线面垂直的判定应用 1 下列条件中，能使直线m⊥α的是（） A m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α B m⊥b,b∥α C m I b=A,b⊥α D m∥b 1 如图，在平面α内有Y ABCD，O是它的对角线的 交点，点P在α外，且PA=PC，PB=PD， 求证：PO⊥α。 2 在正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中，P为DD 1 的中点，O为ABCD中心，求证：B 1 O ⊥面PAC
3 如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD， E为垂足，作AH⊥BE于H， 求证：AH⊥面BCD 4 如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥面ABCD， PAD是等腰三角形，M,N分别是AB,PC的中 点，求证：MN⊥面PCD 5 如图，在正方体AC 1 中，M,N,E,F分别是中点。 （1）求证A 1E⊥面ABMN；（2）求异面直线A 1 E与MF所成角的大小。 专题二线面垂直性质的应用 1 已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的异于A，B的任意一点，过A作
线面垂直的证明 方法总结：直线垂直于平面内的两条相交直线；利用面面垂直的性质；利用勾股定理逆定理； 1. 如图①所示，在正方形 SGGG 中，E 、F 分别是边GG 2、G2G 的中点，D 是EF 的中点，现沿 SE 、SF 及EF 把这个正方形折 成一个几何体（如图②使G 、G 、G 3三点重合于一点 G ）,则下列结论中成立的有 ①SGL 面EFG ②SDL 面EFG ③EF 丄面SGD; ④GDL 面SEF. 2. PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面， C 为圆上异于A, B 的任一点，则下列关系正确的是 ①PAL BC;②BC 丄平面 PAC ③AC 丄PB;④PC 丄BC 内，PA 于A , C 在圆上，连PB PC 过A 作AE L PB 于E , AF L PC 于F ,指出图中所有线面 &如图，在四面体 SABC 中, SA=SB=SC Z ASC=90，/ ASB=/ BSC=60，若 0 为 AC 中点，求证： BO 平面 SAC 3.以AB 为直径的圆在平面 垂直并逐一证明。 4?如图，是圆柱的母线, 求证：BC 平面A 1AC ; AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于 代B 的任意一点, 5 .已知，如图正方体 ABCD 三垂线定理的运用 A 1 B 1 C 1 D 1 中，求证：A i C 平面A B 1D 1 6 .正方体 ABCD-ABQD 中，0是AC 的中点，在平面 B 1BDD 中，过B 1作BH L DO,垂足为 H, 求证：B 1H 丄平面ACD 。 7 ?已知正方形ABCD 勺边长为1, ADA O .将正方形 ABCD 沿对角线BD 折起，使AC A — BCD 如图所示.求证：A0平面BCD ； IA _______ （填序号）. （填序号）.
立体几何线面垂直的证明 Prepared on 22 November 2020
立体几何证明 【知识梳理】 1. 直线与平面平行 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”） 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线平行”） 2.．直线与平面垂直 判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直?线面垂直”） 判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 （线面垂直?线线垂直） 性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 三。平面与平面 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 1. 平面与平面平行 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行?面面平行”） 2. 两个平面垂直
判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直?面面垂直”） 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直?线面垂直） 知识点一 【例题精讲】 1.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。 （1）求证： EF 11D ABC 11D C C B 1⊥C B 1⊥EFC B -1 2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V . 3、如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，证明： （1）AE ⊥CD （2）PD ⊥平面ABE ． 4、.如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°（Ⅰ）证明：AB ⊥A 1C ； 练习 1、如图，菱形ABCD 与等边△PAD 所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．
证明线面垂直的四种方法 直线与平面垂直是空间元素中最重要的关系之一，是建立空间概念的主要支柱，而直线与平面垂直的证明也常有以下四种方法，下面分类举例解析，供参考。 一、运用直线与平面垂直的判定定理若一条直线与平面 内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面。 例1 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2， D为CC1的中点，求证AB1⊥平面A1BD。 证明：由题意知，四边行ABB1A1是正方形，则AB1⊥ A1B；取BC中点E，连AE，EB ，则AE⊥BC，在正三棱柱中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，故AE⊥面BB1C1C，又BD?面BB1C1C，所以AE⊥BD，在正方形BB1C1C中又D为CC1中点，易证△BC D≌△BB1E，得∠EB1B=∠DBC，而∠DBC+∠DBB1=90°，则∠EB1B+∠DBB1=90°，故EB⊥BD，又AE∩EB=E，∴BD⊥平面AEB1，∴BD⊥AB1，又A1B∩BD=B，故AB1⊥平面A1BD。 点评：在本题的证明中，多次证明了直线与平面垂直，其中直线与平面垂直的判定定理是常用判定方法，必须深刻理解这个定理的内涵与实质。 二、运用直线与平面垂直的第二判定定理若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。 例2 已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证：l⊥γ。 证明：如图，要证l⊥γ，则由线面垂直第二判定定理知，只 需证l平行于γ的一条垂线即可。设α∩γ=c，β∩γ=d，在α 内任取一点A，作AQ⊥c于Q，则AQ⊥γ。同理，在β内任取一点B，作BR⊥d于R，则BR⊥γ，且AQ∥BR。又 AQ?β，BR?β，故AQ∥β，由α∩β=l，得AQ∥l，而AQ⊥γ，故l⊥γ。 点评：此证法可能不是此题的最简证法，但说明了一个道理，每一条路都可能是成功之路，只是对问题的理解角度不同罢了。 三、运用课本中的已证命题：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。 例3 如图，已知ABC—A 1B1C1为正三棱柱，D、E分别为AC、 A1C1的中点，CF⊥C1D于F，求证：CF⊥平面B1EA。
线面垂直练习题及答案 线面垂直的证明中的找线技巧 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：1 如图1，在正方体ABCD?A1BC11D1中，AO?平面MBD． 1 A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A， ∴DB⊥平面A?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1． 1 323222 设正方体棱长为a，则A1O?a，MO?a． 2492222 AM?a．∵AO 在Rt△AC中，，∴AOM?OM?MO2?AM111111 4 ∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD． 证明：连结MO， ? ．∵OM 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． 利用面面垂直寻求线面垂直 如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC． 证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．
因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC， AD?平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC?平面PBC ， ∴ AD⊥ BC． ∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC． ． 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直． 判定性质 判定性质 ????线面垂直???????面面垂直．这三者一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直????? 之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当
线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案 1．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC ⊥AD ； 2如图，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． （1）求证：AB ⊥BC ； 3.如图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA=AB ． （1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（2）求点A 到平面PCE 的距离． 4. 如图2-4-2所示，三棱锥S —ABC 中，SB=AB ，SC=AC ，作AD ⊥BC 于D ，SH ⊥AD 于H ， 求证：SH ⊥平面ABC. (第1题)
5. 如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC. 6. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D A C 7. 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M. 求证：CD⊥平面BDM.
8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD， 作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平 面BSC． 10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB． (1)求证：平面EDB⊥平面EBC； (2)求二面角E－DB－C的正切值. 11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC 平面PBC。
垂直证明习题——线线垂直?线面垂直 1. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，1AB BC ==， PA ⊥ 平面ABCD ，CD ⊥PC ．证明：CD ⊥平面PAC ． 2. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，点 为 的中点．求证： 平面 ． 3. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=AC ，AC ⊥BC ，H 为PC 的中点．求证：AH ⊥平面PBC ． 4. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面．求证：平面． A C ABCD CDE CD AE ⊥ CDE AB ⊥ADE
5. 如图所示，已知P ABC -为正三棱锥，设D 为PB 的中点，且AD PC ⊥．求证：PC ⊥平面PAB ． 6. 如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， PA ⊥平面ABCD ，60 ABC ∠=E 是BC 的中点．证明：AE ⊥平面PAD ． 7. 如图，四面体P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB == ，BC = 2AC =．证 明：BC ⊥平面PAB ． 8. 如图，四面体ABCD 中， O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AB AD ==
9. 如图，在三棱锥中， 是棱的中点，，且，求证： 直线平面． 10. 如图，在三棱锥中，面 求证： 平面 PAE ． 11. 如图，在三棱锥中底面，为 上一点，， 平面． P ABC -G PA PC AC ⊥2PB AB AC BC ==== 1.PC =BG ⊥PAC P ABC -PA ⊥,,22,ABC AC AB PA AD DC AE AB ⊥=====DE ⊥P ABC -PA ⊥ABC D BC 24AC AB ==BD CD ==AD ⊥PAB
证明面面垂直以二面交线上任意一点为垂足向二面各引一条与交线垂直的直线,如果两直垂直则二面也垂直 1.建立坐标系，最实用，但是麻烦，计算量大 2.先证一个平面里的一条直线与另一个面垂直，那么这两个平面垂直 2 证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 2 一、初中部分 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂