线面垂直证明中找线技巧

线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，（Ⅰ）求证：

1

AO ⊥平面MBD ．（Ⅱ）求1M A BD -的体积

练习1：如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC ==．

（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；

（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．

练习2、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． 求证：DE ⊥平面PAE ；

A

B

C

M

P

D

利用面面垂直寻求线面垂直

例2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面P AC ．

练习 3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．

应用等腰(等边)三角形三线合一性质

所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以很轻松的得到线线垂直,从而为证明线面垂直做了很好的准备工作.

例3：如图2所示，已知PA 垂直于O 所在平面，AB 是O 的直径，

C 是O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC =，点E 是线段PC 的中点.求证：AE ⊥平面PBC .

A

C

B

P E

O

图2

应用两条平行线的性质

大家知道两条平行线中如果有一条与一个面中的直线垂直,则两条平行线都与平面中的直线垂直. 在三角形中位线与底边平行,可以得到线线平行的关系,平行四边形对边平行也可以得到线线平行,这样的结论很多,我们可以欣赏体会这样的方法.

例3:如图3所示,P 为△ABC 所在平面外一点, ⊥BC 平面PAB ,G 为PB 的中点,M 为PC 的中点,N 在AB 上,NB AN 3=,求证:⊥AB 平面MNG .

应用平面图形的几何性质

我们都发现在立体几何问题的解决中,平面图形的性质产生了很重要的地位,在学习立体几何的过程中,平面几何的诸多知识点不能推广到三维空间,但同学们要注意平面图形的性质在解决立体几何的时候会发挥很重要的作用.

例4:如图4所示,四边形ABCD 是边长为1的菱形,点P 是菱形ABCD 所在平面外一点， ∠︒=60BCD ,E 是CD 的中点,⊥PA 平面ABCD ,求证:BE ⊥平面PAB .

A B

C P

H

N M G

图3 A

B

C

E

D P

图4

4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，

作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．

∵AD BD =，∴DF AB ⊥．

又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =，

∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．

∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，

∴ AH ⊥平面BCD ．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5 如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ． 证明：∵AB 是圆Ｏ的直径，∴AC BC ⊥． ∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面APC ． ∵BC ⊂平面PBC ， ∴平面APC ⊥平面PBC ．

∵AE ⊥PC ，平面APC ∩平面PBC ＝PC ， ∴AE ⊥平面PBC ．

∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC ．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找

平面的垂

线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

（2）【解】平面PAC ⊥平面ABCD ；平面PAC ⊥平面PBC ；平面PAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面ABCD ；平面PAD ⊥平面ABCD ．

2．ABC —A ′B ′C ′是正三棱柱，底面边长为a ，D ，E 分别是BB ′，CC ′上的一点，BD ＝

21

a ，EC ＝a ．

（1）求证：平面ADE ⊥平面ACC ′A ′； （2）求截面△ADE 的面积．

（1）【证明】分别取A ′C ′、AC 的中点M 、N ，连结MN ， 则MN ∥A ′A ∥B ′B ，

∴B ′、M 、N 、B 共面，∵M 为A ′C ′中点，B ′C ′=B ′A ′，∴B ′M ⊥A ′C ′，又B ′M ⊥AA ′且AA ′∩A ′C ′=A ′

∴B ′M ⊥平面A ′ACC ′． 设MN 交AE 于P ，

∵CE ＝AC ，∴PN ＝NA ＝2a

．

又DB ＝21

a ，∴PN ＝BD ．

∵PN ∥BD ， ∴PNBD 是矩形，于是PD ∥BN ，BN ∥B ′M ， ∴PD ∥B ′M ．

∵B ′M ⊥平面ACC ′A ′，

∴PD ⊥平面ACC ′A ′，而PD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面ACC ′A ′．

（2）【解】∵PD ⊥平面ACC ′A ′，

∴PD ⊥AE ，而PD ＝B ′M ＝23

a ，

AE ＝2a ．

∴S △ADE ＝21

×AE ×PD ＝21

×246232a

a a =⨯．

1、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.

S

C