立体几何证明方法——证线面垂直 ppt

掌握平面与平面垂直的性质定理.
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中

因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.

又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.

⇒l⊥α
解 题 训
练
要
高
效
直线、平面垂直的判定及性质
3．直线与平面垂直的性质定理
基
文字语言 图形语言
础 知 识 要 打 牢
性 垂直于同一个
质 平面的两条直
定 线_平__行__
理
高
频
如果两条平行线中的
考 点
推 一条垂直于一个平面，
要 通
论 那么另一条直线也
关
该平垂面直
符号语言
高
分
a_⊥___α__
直线、平面垂直的判定及性质
基 2．直线与平面垂直的判定定理
高
础
分
知
障
识 要
文字语言
图形语言 符号语言
碍 要
打 判 一条直线与一个平面
牢
定 内的两条相交直线都
高 定 垂直，则该直线与此
频
考 理 平面垂直
点 要 通 关
_a_，__b_⊂__α
破
__a_∩_b_＝__O__
除
_l_⊥__a_ _l_⊥__b_
进行平移，将其转为相交垂直
高
解
频
题
考
训
点
练
要
要
通
高
关
效
直线、平面垂直的判定及性质
基
高
础
分
知
证明直线和平面垂直的常用方法有：
障
识
碍
要
(1)利用判定定理．
要
打 牢
(2)利用线面垂直性质定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．
破 除
(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．
高

→ → 所以BD＝(－3a,3b,0)，EA＝(0，－3b，－3c).
→ 1→ → 1→ 因为BM＝3BD＝(－a，b,0)，NA＝3EA＝(0，－b，－c)， → → → → 所以NM＝NA＋AB＋BM
＝(0，－b，－c)＋(3a,0,0)＋(－a，b,0)＝(2a,0，－c).
→ 又平面 CDE 的一个法向量是AD＝(0,3b,0)， → → 由NM· AD＝(2a,0，－c)· (0,3b,0)＝0， → → 得到NM⊥AD.
AB＝5，
∴AC、BC、C1C两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
→ → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)，
→ → → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1，即 AC⊥BC1.
1 3 1 → → ∴MN＝(－4， 4 ，4)，AB1＝(1,0,1)，
1 1 → → ∴MN· AB1＝－4＋0＋4＝0.
→ → ∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.
要点二 利用空间向量证明平行关系
例 2 如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M，N 分别在对角线 BD， 1 1 AE 上，且 BM＝3BD，AN＝3AE.求证：MN∥平面 CDE.
c2)，则l∥m⇔a∥b⇔
.
⇔ a＝kb
a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，
k∈R
(2)线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝ (a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔ ⇔ . a· u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 (3)面面平行 设平面 α ， β 的法向量分别为 u ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， v ＝ (a2 ， b2 ， c2)，则α∥β⇔u∥v⇔ ⇔ u＝kv a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，

提示：(1)假命题，真命题．
(2)垂直.
第七章 第5讲
第12页
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考点 2 平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的判定定理
限时规范特训
第七章 第5讲
第13页
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B. 若 m∥α，n∥β，α⊥β，则 m⊥n
C. 若 α⊥β，m⊥α，则 m∥β
D. 若 α∥β，m⊄β，m∥α，则 m∥β
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第21页
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解析：对于 A，若 α⊥β，β⊥γ，则 α 与 γ 可以平行，也可以
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(3)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第 三个平面.
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都和另一个平面垂直吗？
(3)如果两个平面都和第三个平面垂直，那么这两个平面平行
吗？
提示：(1)垂直 (2)不一定 (3)不一定
第七章 第5讲
第15页
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思考：在问题10的等 腰梯形ABCD中，我们 找到了怎样的直角。
第四方面：基于代数运算下的垂直关系 ★基于代数运算下的垂直关系，经常涉及勾股 定理和余弦定理的运用。
第四方面：基于代数运算下的垂直关系
题目问题111：1：如图，在直三棱柱
ABC
A1B1C1
中，ACB
90
，AC
BC
1 2
AA1
1
，D
，
第二方面：基于菱形（正方形）的垂直关系+基于矩形（正方形）的垂直关系
第二方面：基于菱形（正方形）的垂直关系+基于矩形（正方形）的垂直关系
题目3：（选自2013年全国高考文科Ⅰ卷） 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1， ∠BAA1＝60°， 证明：AB⊥A1C。
第二方面：基于菱形（正方形）的垂直关系+基于矩形（正方形）的垂直关系
7.全等三角形（相似三角形） 8.余弦定理
题目探讨：
第一方面：等腰三角形折叠模型+基于筝形的垂直关系
五、问题探讨：
第一方面：等腰三角形折叠模型+基于筝形的垂直关系 1.有着共底边的两个等腰三角形构成的立体图形，两个顶点的连线一定垂直于底边； 2.筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形，也可以说是两组邻边相等的四边形，它的形状就像一个风 筝，基于筝形可以设计许多垂直问题。
题目1：
D
C
E
B A
第一方面：等腰三角形折叠模型+基于筝形的垂直关系
题目2：
第二方面：基于菱形（正方形）的垂直关系+基于矩形（正方形）的垂直关系
第二方面：基于菱形（正方形）的垂直关系+基于矩形（正方形）的垂直关系

直：即在一个面内找一条线与另一个面垂直
证明：取BC的中点D，连接AD，SD。由题意知
, 为等边三角形，所以 = ,易证 ⊥
。
因为 ∆是等腰直角三角形，所以 =SD，可得
2
2
2
2
2
2
+ = + = = 。
在 ∆中，由勾股定理的逆定理知 ⊥SD.由 ∩
B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.两个平面与第三个平面垂直，则这两个平面互相平行
D.两个平行平面中的一个平面与第三个平面垂直，则另一
个平面也与第三个平面垂直
分析：本题主要考查空间直线与直线，直线与平
面，平面与平面的位置关系。
解：对于A，平行于同一个平面的两条直线可能
的位置关系有相交、异面、平行，因此不一定是
互相平行。
对于B，垂直于同一条直线的两条直线的位置关
系有平行、相交、异面，因此不一定是互相平行。
对于C，如图3所示，平面ABC与平面ABE都垂直
平面BCE，但平面ABC与平面ABE相交 。D是正
确的。
说明
这种方法用的比较少，在理论中行得通，
在实践中，针对性的题比较少。
四、向量法
已知两个平面α，β，两个平面的法向量分别为
垂线在平面BDM内.
(1)如图所示，取EC的中点F，连接DF.
∵EC⊥平面ABC，
∴EC⊥BC，
又由已知，易得DF∥BC，
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF＝EC＝BD，
且由已知，易得FD＝BC＝AB，
∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故ED＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，
则MN∥EC，又BD∥CE，且MN=EC，又BD=CE

课前基础巩固
◈ 知识聚焦 ◈
任意一条直线
垂线
垂面
类别
语言表述
图形表示
符号语言
应用
判定
根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线
b是平面α内任意一条直线, a⊥b⇒a⊥α
证明直线和平面垂直
如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
(2)直线与平面垂直的判定与性质
课堂考点探究
探究点一 垂直关系的基本问题
[思路点拨]画出图形,利用线面平行、线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理和性质定理逐一判断;
B
课堂考点探究
[解析] 对于A,如图①,平面α⊥平面β,α∩β=l,a⊂α,若a∥l,则由线面平行的判定定理可得a∥β,故A中说法正确;由A可知,B中说法错误;对于C,如图②,设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内直线a,b外任取一点O,作OA⊥a,因为
[解析]如图②,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于点H,D,G.∵PC ⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,∴PC⊥平面PAB,又AB ⊂平面PAB,∴PC⊥AB,∵AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面POC, ∴AB⊥平面POC,又CG⊂平面POC,∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.
例1 (1)下列说法中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

(1) 证明 如图所示，取线段 BC 的中点 F， 连接 EF、FD.
在△PBC 中，E、F 分别为 PC、CB 的中点， ∴EF∥PB. 在直角梯形 ABCD 中，F 为 CB 的中点， ∴BF＝12BC＝1. 又∵AD∥BC，且 AD＝1， ∴AD // BF. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴FD∥AB. 又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B， ∴平面 EFD∥平面 PAB. 又∵DE⊂平面 EFD，∴DE∥平面 PAB.
F
构造平面法
(1) 证明 如图所示，取线段 PB 的中点 H， 连接 EH、ＡＨ.
在△PBC 中，E、Ｈ和分别为 PC、PB 的中点， ∴EH // BC. 在直角梯形 ABCD 中， ∵AD∥BC，且 AD＝1，BC＝２ ∴AD // 12BC. ∴AD // EH. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴ＥD∥AH.
β
a
αlHale Waihona Puke a all
a
☺ 简称：面面垂直，线面垂直.
归纳小结
1．垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若 这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂 直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转 化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线 垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．
➳性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ，那么它们的交线平行．
//
a
a // b
b
☺ 简称：面面平行，线线平行.
定理应用
空间中的平行
1.长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E, F分别是BA1，BC1的中点。 求证：EF // 平面ABCD

第1轮 ·数学
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第七章 立体几何
考向 2：平行、垂直关系中的探索性问题 (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧C︵D 所在平面垂直，
M 是C︵D 上异于 C，D 的点．
(1)证明：平面 AMD⊥平面 BMC； (2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由．
两个平面垂直，则一个平面内
性质 定理
垂直于_交__线_____的直线与另
一个平面垂直
第1轮 ·数学
α⊥β lα⊂∩ββ＝a⇒l⊥α l⊥a
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第七章 立体几何
重要结论 (1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明 线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
第1轮 ·数学
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第七章 立体几何
[变式探究] 在本例条件下，证明：平面PBC⊥平面PAB. 证明 由(1)知PA⊥BC，又BC⊥AB且PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB， 又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.
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第七章 立体几何
面面垂直的两种证明方法 (1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将 证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题． (2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的 一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．
又 BP＝DQ＝23DA，所以 BP＝2 2.
如图，过点 Q 作 QE⊥AC，垂足为 E，则 QE

计算.
【变式训练2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
解:(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,
√
设 A1A=1,则 AC=√,∴tan∠A1CA= .
D1O⊂平面ACD1,AC⊂平面ACD1”,其余不变.
判定定理的条件中,“平面内两条相交直线”是关键性词语,此
处强调相交,若两条直线不相交(即平行),即使直线垂直于平
面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直.
【变式训练】 如图,已知PA⊥BC,AB是☉O的直径,C是☉O上
不同于点A,B的任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证: AE⊥
图形
直线与
平面垂
直的判
定定理
文字
符号
m ⊂ α,
如果一条直线与
n ⊂ α,
一个平面内的
两条相交直线垂 m⋂n = P, ⇒l⊥α
l ⊥ m,
直,那么该直线与
l⊥n
此平面垂直
3.做一做:一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,不能
保证该直线与平面垂直的是
(填序号).
①平行四边形的两条对角线;②梯形的两条边;③圆的两条直
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,易证AE=CE.
因为AO=OC,
所以OE⊥AC.
在正方体中易求出:
D1O=

OE=√
D1E=
+
+



+
=

=



=