2020最新中考数学试题分类汇编 知识点20 二次函数几何方面的应用

1 知识点20 二次函数几何方面的应用

1. （2018贵州遵义，17题，4分）如图，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE、DF，则DE+DF的最小值为______

第17题图

【答案】322

【解析】点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，所以DE、DF是△PBC的中位线，DE=12PC，DF=12PB，所以DE+DF=12(PC+PB)，即求PC+PB的最小值，因为B、C为定点，P为对称轴上一动点，点A、B关于对称轴对称，所以连接AC，与对称轴的交点就是点P的位置，PC+PB的最小值等于AC长度，由抛物线解析式可得，A(-3,0)，C(0,-3)，AC=32，DE+DF=12(PC+PB)=322

【知识点】三角形中位线，勾股定理，二次函数，最短距离问题

2. ．（2018江苏淮安，14，3） 将二次函数y=x2 -1的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是 .

【答案】y=x2+2

【解析】由平移规律“左加右减”、“上加下减”，可得平移后的解析式.

解：. 由平移规律，直线y=x2 -1向上平移3个单位长度，则平移后直线为y=x2 -1+3

即y=x2 +2

故答案为y=x2 +2． 2 【知识点】二次函数图象与几何变换

3. （2018山东省泰安市，17，3）如图，在ABC中，6AC，10BC，3tan4C，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DEBC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CDx，DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为 ．

【答案】233252Sxx

【解析】，由3tan4C可以知道线段DE、EC的数量关系， CDx，则由勾股定理，可以将DE、EC用含x的代数式来表示，由点F是BD的中点，则1=2DEFBDESS,从而列出S与x之间关系式.

解：∵3tan4C ∴设3,4.DEkECk，由勾股定理得：5DCk.

∵CDx，∴34,.55DEkECk ∴410.5BEk

∵点F是BD的中点 ∴21113433===(10)22255252DEFBDESSSxxxx

故答案是：233252Sxx

【知识点】三角函数，勾股定理，三角形中线性质，二次函数.

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三、解答题

1. （2018湖北鄂州，23，12分）

如图，已知直线1122yx与抛物线2yaxbxc相交于A(-1，0)，B（4，m）两点，抛物线2yaxbxc交y轴于点C（0，32），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．

（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；

（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；

（3）点Q为x轴上一动点，点N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD（点Q与点M对应），求Q点的坐标．

【思路分析】（1）将B（4，m）一次函数的关系式即可解得点B的坐标，再将A、B、C三点的坐标代入二次函数关系式即可求出其关系式，再将其化为顶点式就能得到点M的坐标；（2）过点P作PE⊥x轴，交AB于点E，交x轴与点G，过点B作BF⊥x轴于点F，则S△CDE＝12PE·AF，求出直线AB的关系式，设点P的坐标为（m，13222mm），则点E的坐标为（m，1122m），即可得到S△CDE的函数关系式，将其化为顶点式即可求出最大值；（3）由勾股定理的逆定理可证得△MAD是等腰直角三角形，则QMN也是等腰直角三角形，从而得到点Q的坐标．

【解析】 5 解：（1）将B（4，m）代入1122yx得，

1154222m

，∴B（4，52），将A(-1，0)，B（4，

52），C（0，32）代入2yaxbxc得05164232abcabcc，解得12132abc，∴抛物线的解析式为13222yxx，1311312222112222222yxxxx，故顶点M的坐标为（1，－2）；

（2）如下图（1），过点P作PE⊥x轴，交AB于点E，交x轴与点G，过点B作BF⊥x轴于点F，∵A(-1，0)，B（4，52），∴AF＝4―（―1）＝5，设直线AB的关系式为y＝kx＋b，设点P的坐标为（m，13222mm），则点E的坐标为（m，1122m），∵点P为直线AB下方，∴PE＝（1122m）－（13222mm）＝132222mm，∴S△CDE＝S△APE ＋S△BPE＝12PE·AG＋12PE·FG ＝12PE·（AG＋FG）＝12PE·AF＝12×5（132222mm）＝2531254216x，∴当32m时，△PAB的面积最大，且最大面积为12516，当32m时，21313331522222228mm，故此时点P的坐标为（32，158）；

（3）∵抛物线的解析式为13222yxx，12122yx，∴抛物线的对称轴为：直线x＝1，又∵A(-1，0)，∴点D的坐标为（3，0），又∵M的坐标为（1，－2），∴AD＝3―（―1）＝4，AD2＝42＝16，AM2＝（―1―3）2＋（―1―3）2＝8，DM2＝（3―1）2＋（―2―0）2＝8，∴AD2＝AM2＋DM2，且AM＝DM，

∴△MAD是等腰直角三角形，∠AMD＝90°，又∵△QMN∽△MAD，∴△QMN也是等腰直角三角形且QM＝QN，∠MQN＝90°，∠QMN＝45°，又∵∠AMD＝90°，∴∠AMQ＝∠QMD＝45°，此时点D（或点A）与点N重合，（如下图（2））此时MQ⊥x轴，故点Q的坐标为（1,0）．

【知识点】二次函数关系式；顶点式；一次函数；相似三角形的性质；等腰直角三角形的性质和判定；勾股定理 6 的逆定理；三角形面积公式

2. （2018湖北黄冈，24题，14分）如图，在直角坐标系XOY中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C=120°，边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB与P，交对角线OB与Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动.

（1）当t=2时，求线段PQ的长；

（2）求t为何值时，点P与N重合；

（3）设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围.

第24题图

【思路分析】（1）由题可知Rt△POM中，∠POM＝60°，Rt△QOM中，∠QOM＝30°，当t＝2时，OM＝2，可得PM和QM的长度，进而求得PQ；（2）根据点P和点N的运动速度，可知点P和点N在边BC上相遇，因为BC=8，用含有t的代数式表示出PC和NB的长度，二者之和为8，解方程可得t的值；（3）根据（2）中的分析，可以将运动的过程分为4个阶段：0≤t≤4，4≤t≤203，203＜t≤8，8＜t≤12，前3个阶段，边PN都与x轴平行，求出PN长度和点P到x轴距离即可求出△APN的面积，第4个阶段，△APN的三边与坐标轴都不平行，因此，由APNAONCPNAPB=SSSSS△△△△菱形，其中菱形面积易求，三个三角形都有一边与x轴平行，可以逐个求出面积，从而得到△APN的面积。

【解析】（1）菱形OABC中，∠AOC＝60°，所以Rt△POM中，∠POM＝60°，Rt△QOM中，∠QOM＝30°，当t＝2时，OM＝2，可得PM＝23，QM＝233，所以PQ＝433；

（2）当t≤4时，AN=PO=2OM=2t， 当t=4时，P到达C点，N到达B点，由此可推断，点P、N在BC上相遇， 7 设t秒时，点P与N重合，则PC=t-4，BN=2(t-4)，PC+BN=BC=8，即(t-4)+2(t-4)=8，t=203，即t=203时，点P与N重合；

（3）①当0≤t≤4时，PN=OA=8，且PN∥OA，PM=3t，11834322APNSPNPMtt△

②当4＜t≤203时，P、N在边BC上，所以PN∥OA，PN=8-3(t-4)=20-3t，11203434036322APNSPNPMtt△

③当203＜t≤8时，P、N相遇后还在BC边上运动，所以PN∥OA，PN=3(t-4)-8=3t-20，11320436340322APNSPNPMtt△

④当8＜t≤12时，如图所示，ON=24-2t，N到OM距离为1233t，N到CP距离为431233383tt，CP=t-4，BP=12-t，

APNAONCPNAPB2=111=323812334383124322231235632SSSSStttttt△△△△菱形

综上所述，S与t的函数关系式为：

243,(0t4)2040363,(4t)32063403,(t8)33123563,(8t12)2ttSttt＜＜＜

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第24题解图

【知识点】菱形，三角函数，一元一次方程，三角形面积，分段函数

3. （2018湖南郴州，25，10） 如图，已知抛物线2yxbxc与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，与x轴的交点为D，在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S，①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.

【解析】解：（1）∵2yxbxc与x轴交于A（-1，0），B（3，0），