高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例教材解读素材1_1

(1)求 a，b 的值； (2)如果该个体户准备投入 5 万元经销这两种商品，请你帮 他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
解：(1)由投资额为零时收益为零，可知 f(0)＝－a＋2＝0， 解得 a＝2.g(0)＝6ln b＝0，解得 b＝1.
(2)由(1)可得，f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)． 设投入经销 B 商品的资金为 x 万元(0<x≤5)，则投入经销 A 商品的资金为(5－x)万元， 设所获得的收益为 S(x)万元，则 S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1) ＝6ln(x＋1)－2x＋10(0<x≤5)．
11.5 升，欲使每小时的油耗不超过 9 升，求 x 的取值范围；
(2)求该汽车行驶 100 千米的油耗的最小值．
【思路探索】 (1)中先利用条件确定 k 的值．(2)中列出汽 车行驶 100 千米的油耗的函数关系式，再求解．
【解】 (1)∵当 x＝120 时，每小时油耗 11.5 升， ∴15120－k＋4152000＝11.5，解得 k＝100. 若每小时油耗不超过 9 升，则15x－100＋4 5x00≤9，解得 45≤x≤100. 又 60≤x≤120， ∴x 的取值范围为[60,100]．
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
(2019·遂宁月考)某个体户计划经销 A， B 两种商品，据调查统计，当投资额为 x(x≥0)万元时，在经销 A，B 商品中所获得的收益分别为 f(x)万元与 g(x)万元，其中 f(x) ＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a>0，b>0)．已知投资额为零时收 益均为零．
[名 师 点 拨] 认真读题，理解题意，建立数学模型是关键．化简函数关 系式，利用导数求解．定义域要与实际问题相联系．有时要分 情况讨论.

导数的综合应用
分离参数使不等式恒成立问题
学校：华坪一中 姓名：何国涛
教学目标：
（1）通过实际例题，理解导数的实际意义； （2）通过分析实际问题，掌握导数的几何意义； （3）分析具体问题，掌握导数在求值，解方程，含参数问题中 的应用。
重难点： 重点：利用导数研究函数的性质。 难点：导数的实际应用。
基本初等函数的导数公式
1.若f (x) c,则f / (x) 0
3.若f (x) sin x,则f / (x) cos x
2.若f (x) xa ,则f / (x) axa1
4.若f (x) cos x,则f / (x) sin x
5.若f (x) ax ,则f / (x) ax ln a(a 0) 6.若f (x) ex，则f / (x) ex
f (x)与g(x)在x 1处的切线平行。
（1）求函数g(x)在(1, g(1))处的切线方程。
（2）当 x (0,)时 ，g(x) f (x) 0恒成立，求实数 a的取值
范围
例4.已知函数 f (x) ax 1 ln x
（1）讨论函数 f (x) 的定义域内的极值的个数
（2）若函数f (x)在x 1处取极大值 ，对x (0,), f (x) bx 2
3.[ f (x)]/ g(x)
f / (x)g(x) f (x)g / (x) g 2(x)
求函数 f (x)在区间 [a,b]上的最值得步骤： 1.求函数 f (x)在开区间(a,b)上所有使 f / (x) 0 2.计算函数 f (x)在区间上使得 f / (x) 0的所有点及端点的函数 值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
若函数恒小于，求新的函数的最小值，小于最小值。

x来刻画．为了使该球场每
平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应
建几个球场？
【精彩点拨】 先求每平方米的购地费用，综合费用是建设费用与购地费
用之和．
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【自主解答】 设建成 x 个球场，则 1≤x≤10，每平方米的购地费用为
12180×001x04＝1 2x80元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用 f(x)
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1．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本” 或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值．
2．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销 售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．
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[再练一题] 2．甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(千米/时)的函数关 系是 P＝19 1200v4－1160v3＋15v. (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的 最小值．
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法二：设容器的高为 x cm，则容器底边长为(60－2x) cm， 则容器的容积 V(x)关于容器的高 x 的函数为 V(x)＝(60－2x)2x＝4x3－240x2＋3 600x(0<x<30)， ∴V′(x)＝12x2－480x＋3 600＝12(x2－40x＋300)(0<x<30)． 令 V′(x)＝0，得 x＝10 或 x＝30(舍去)． 当 0<x<10 时，V′(x)>0，函数单调递增； 当 10<x<30 时，V′(x)<0，函数单调递减． ∴当 x＝10 时，函数 V(x)取得最大值． 此时底面边长为 40 cm，V(10)＝V(x)max＝16 000 cm3. 即当容器底边长为 40 cm 时，容器的容积最大，最大容积是 16 000 cm3.

高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例练习含解析新人教A 版选修11[学生用书P137(单独成册)])[A 基础达标]1．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时解析：选C.y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)．令y ′＝0，得t ＝8或t ＝－12(舍去)， 则当6≤t <8时，y ′>0， 当8<t ≤9时，y ′<0，所以当t ＝8时，通过该路段所用的时间最多．2．把一段长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.332cm 2B ．4 cm 2C ．3 2 cm 2D ．2 3 cm 2解析：选D.设一段为x ，则另一段为12－x (0<x <12)， 则S (x )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32×32＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 32×32 ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 29－8x 3＋16，所以S ′(x )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫49x －83. 令S ′(x )＝0，得x ＝6， 当x ∈(0，6)时，S ′(x )<0， 当x ∈(6，12)时，S ′(x )>0， 所以当x ＝6时，S (x )最小．所以S ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫2×19×62－83×6＋16＝23(cm 2)． 3．已知生产某产品x 单位的成本为C (x )＝5x ＋200(元)，所得收益为R (x )＝10x －0.01x 2(元)，则生产多少单位产品才能使总利润L 最大( )A ．200B ．250C ．300D ．260解析：选B.总利润L ＝R (x )－C (x )＝5x －0.01x 2－200，L ′＝5－0.02x ，令L ′＝0，得x ＝250.易知x ＝250是唯一的极大值点．因此，生产250单位的产品才能使总利润最大．4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：选D.由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000(0≤x ≤390)．P ′(x )＝－x 2300＋300，由P ′(x )＝0，得x ＝300. 当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．故选D.5．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每1 m 2的造价为15元，箱壁每1 m 2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为( )A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：选D.设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意得箱底面积为483＝16(m 2)，则长为x m 的一边的邻边长度为16x m ，则l ＝16×15＋(2×3x ＋2×3×16x)×12＝240＋72⎝⎛⎭⎪⎫x ＋16x ，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．6．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是________．解析：原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：－17．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为________．解析：设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，所以r 2＝2Rh －h 2， 所以V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3， V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R .当0<h <4R 3时，V ′>0；当4R3<h <2R 时，V ′<0.因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大．答案：43R8．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，当总利润最大时，则产量应定为________件．解析：设产品单价为a 元，产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，y ′＝250x －225x 2.由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0，25)时，y ′>0；当x ∈(25，＋∞)时，y ′<0， 所以x ＝25时，y 取最大值． 答案：259.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m 2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为 2 m ．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．解：设休闲广场的长为x m ，则宽为2 400xm ，绿化区域的总面积为S (x ) m 2.则S (x )＝(x －6)⎝⎛⎭⎪⎫2 400x －4＝2 424－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋6×2 400x＝2 424－4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3 600x ，x ∈(6，600)．所以S ′(x )＝－4⎝⎛⎭⎪⎫1－3 600x2＝－4（x ＋60）（x －60）x2. 令S ′(x )>0，得6<x <60；令S ′(x )<0，得60<x <600. 所以S (x )在(6，60)上是增函数，在(60，600)上是减函数， 所以当x ＝60时，S (x )取得极大值，也是最大值， 所以S (x )max ＝S (60)＝1 944.所以当休闲广场的长为60 m ，宽为40 m 时，绿化区域的总面积最大，最大面积为1 944 m 2.10．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：(1)若商品降低x 元，则一个星期多卖的商品为kx 2件． 由已知条件，得k ·22＝24，解得k ＝6.若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0，21]．(2)对(1)中函数f (x )求导得f ′(x )＝－18(x －2)(x －12)且f ′(x )的变化情况如下表：因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，f (21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．[B 能力提升]11．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( ) A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D ．12πr 2解析：选A.设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ， 则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21. 所以S ＝4πr 2r 21－r 41. 令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r . 此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22r 2＝4π·22r ·22r ＝2πr 2. 12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0，0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( )A ．0.016 2B ．0.032 4C ．0.024 3D ．0.048 6解析：选B.依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048 6kx 2，其中x ∈(0，0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.032 4时，y ′>0； 当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益． 13.如图，已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．解：设AD ＝2x (0<x <2)， 则A (x ，0)，AB ＝y ＝4－x 2，所以矩形面积为S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)， 即S ＝8x －2x 3，S ′＝8－6x 2， 令S ′＝0，解得x ＝23或x ＝－23(舍去)． 当0<x <23时，S ′>0；当23<x <2时，S ′<0，所以，当x ＝23时，S 取得最大值，此时S 最大值＝3239.即矩形的长和宽分别为83，433时，矩形的面积最大．14．(选做题)为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力，降低能耗从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价值a 万元的药品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a －x ) 和x 2的乘积成正比；②当x ＝a2时，y ＝a 3，并且技术改造投入比率为x2（a －x ）∈(0，t ]，t 为常数且t ∈(0，2]．(1)求y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y 的最大值及相应的x 值．解：(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2， 当x ＝a2时，y ＝a 3，即a 3＝k ·a 2·a 24，解得k ＝8.所以f (x )＝8(a －x )x 2. 因为0＜x2（a －x ）≤t ， 所以函数的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2at 2t ＋1. (2)因为f (x )＝8(a －x )x 2⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ≤2at 2t ＋1， 所以f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍去)或x ＝2a 3.当0＜x ＜2a 3时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上是增函数；当x ＞2a3时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞上是减函数． 所以x ＝2a 3为函数f (x )＝8(a －x )x 2的极大值点．当2at 2t ＋1≥2a 3，即1≤t ≤2时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝3227a 3；当2at 2t ＋1＜2a 3，即0＜t ＜1时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2at 2t ＋1＝32a 3t 2（2t ＋1）3.综上可得，当1≤t ≤2时，投入2a 3万元，y 的最大值为3227a 3；当0＜t ＜1时，投入2at 2t ＋1万元，y 的最大值为32a 3t2（2t ＋1）3.。