二面角计算公式的推广及应用
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ｌ２ ２００１年 第９期 数学通报 二面角计算公式的推广及应用 郑远城 （福建省莆田县教师进修学校） 求二面角大小通常的方法是先作出二面角 的平面角，把空间问题转化成平面问题加以解决． 这是立体几何的一个难点．而当二面角的棱没有 事先给出的情形，要作出其平面角更显得困难．为 此，本文把一些常用的二面角计算公式作了推广． 这样，即可依据已知条件，无需作出平面角或添加 辅助面（线），直接确定其二面角的大小 不难看 到，采用这些公式对于解决某一类涉及二面角计 算的问题相当见效． 设 ＡＰＢ在平面Ⅳ的 侧，顶点Ｐ在平面脚上． 边 、Ｐ 与平面盯所成角 分别为ｎ，ｐ（ｏ≤ ．｜９＜ ），在平面Ｍ上的射影分 别为 ｌ，尸 【．平面ＡＰＢ与平面 所成的二面角 为 （０＜ ＜— ）， Ｊ４Ｐ８＝ｅ（ｏ＜０＜丌）， Ａ１ＰＢｌ＝ｙ（０＜ｙ＜玎）． 我们把ｙ称为０在平面Ｍ上的射影角，关于 射影角，这里先导出一个公式，它既是立几课本习 题的一个推广，也是推演下述二面角计算公式的 个基本公式． １射影角公式 ｃ１０ｓｙ：·塑 （１） 证明不妨设ＡＡｌ＜ＢＢｌ，ＰＡ：口，ＰＢ：ｂ． 过Ａ引ＡＣ∥ＡｌＢｌ交ＢＢ 于ｃ．由余弦定理， ｃ０ｓｙ 丝ｉ＝ 皇 ２ＰＡＩ。 ｔ ｝＋ＰＢ｛一ＡＣ 一 ２ＰＡｔ· 而ＡＣ ：ＡＢ — ２ａｂｃｏｓＯ，ＢＣ＝ｂｓｉｎｆｌ 则ＡＣ ＝（￣ｇ２＋ｂ Ｐ８ ‘ ＢＣ ．ＡＢ ：ａ２＋ｂ２ ２ａｂｃｏｓＯ）一（ｂｓｉｎｆｌ ｃｏｓｙ：｛ａ２Ｃ０８ ＋６ｃｏｓ２．９一［ａ２ＣＯＳ！口＋ｂ２ＣＯＳ 卢一 ２· （ｃｏｓＯ—ｓｉｎａｓｉｎ３）Ｊ；／２ａ ｃ０ｓ口·ｂｃｏｓＪ９ 塑 ＝ ｃｏｓ口ｃｏｓｆｌ
从而证得公式（１）． 注｛１） 作为射影角公式的补充，当 或Ｊ９或
为詈时，显然我们有ｙ＝ｏ或ｙ＝ ． ｛２） 射影公式（１）以及下面即将导出的二 面角计算公式也适用于如下的图形： ＡＰＢ与平面Ⅳ斜 交．顶点Ｐ在平面Ⅳ上的 射影为Ｐ。，平面ＡＰＢ与 平面Ⅳ所成的二面角为 这时， ＡＰＢ＝０， ＰＩ＝ ， 朋Ｐｌ＝｜９， ＡＰｔＢ＝ｙ． 事实上，只要过Ｐ作平面埘∥平面Ｎ，则Ｐ ∈平面１ｗ，就转化为上述讨论的情形 ｛３） 若 ＡＰＢ的顶点在平面盯上而边 、 不在平面 的同一侧，这时只要把 、口中的一 个角（比如ｎ）视为负角．此时就以（一ｎ）代入射 影角公式（１）中的ｎ，经调整过的公式仍然有效． 推论ｌ若ＰＡ与平面 所成的角为ｎ，ＰＢ在 平面 上， 在平面 上的射影ＰＡ，与ＰＢ成角 ｙ，设 ＡＰＢ＝０，则 ｃｏｓＯ＝ｃ０ｓ口·ＣＯＳｙ． （Ｉ—Ｉ） 事实上，只要于射影角公式（１）中令口＝０， 即得公式ｃ Ｉ—１）成立． 值得提起．公式（Ｉ一１）就是《立体几 何》Ｐ．１１７题３的结论．可见射影角公式（１）则是 这道课本习题的一个推广． ２ 涉厦二面角计算的一组推广公式 ２．１ 二面角余弦公式
ａｓｉｎｄ） ＝ａ２ｃｏｓ２ａ＋ｂ２ｃ０ｓ２口一２ａｂ（ｃｏｓＯ—
ｓｉｎａｓｉｎｆ１）． 于是 又ＰＡＩ＝Ⅱｃ０ｓ口，ＰＢＩ＝ｂｃｏｓｐ，代人上式，
ｃｏｓ ：ｃｏｓａｃｏｓ￣ ｃｏｓｒ（２）
ｓｉｎＯ
证明 利用面积的射影定理
Ｓ￣ｅ．Ｉ ＝５△ 日·ｃｏｓ￣：
维普资讯 http://www.cqvip.com ２００１年 第９期 数学通报 １３ Ｓ△ Ｂ 专（ ｃ０ｓ口）’（ｂｃｏｓｐ）’ｓｉｎ￣＇ ‘ １ ０ｂｓｉｎ０
￡
ｃｏｓａ ｃｏｓｆｌｓｉｎ７ ｓｉｎ６ 从而证得公式（２）． 推论２ 没 ＡＰＢ＝口，Ｊｐ日在平面 内， 在平面眦上的射影 与ＰＢ成角７，平面ＰＡＢ与 平面Ⅳ所成的二面角为９，则
ｃ０ｓ ： （２—１） 事实上，只要于二面角余弦公式（２）中令 ＝ Ｏ，ｃｏｓ￣＝婴 ＝ 注意到公式 （１—１），就有 ｃ０ｓ ｓｉｎｙ Ｅ ｔｇＯｅｏ—ｓａｃｏｓｙ
这里公式（２—１）就是［１ 中指出的公式４，也 是［２］中得到的一个结果． 例１设ＡＡ Ｂ】Ｂ为圆柱的轴截面，Ｃ为底面 圆周上一点，ＡＡ．＝１，ＡＢ＝４， ＢＡＣ：６。ｐ，求平 面Ａ】ＣＢＩ与圆柱底面ＡＢ所成的二面角． 解 设 Ａ ＣＡ＝ ， Ｂ】ＣＢ＝卢， ＡｌＣＢ】＝日， 因ＡＢ：４， ＢＡＣ＝６。ｐ，所以 ＡＣ＝２，ＢＣ＝２４３，叉因ＡＡ１ １，故Ａ】ｃ＝√５，日１ｃ＝ 则ｅ０ｓｎ＝｛ ，ｃｏｓｆｌ＝ 西２ Ｕ３９ｍ余
Ａ１Ｃ ＋Ｂ１ 一Ａｌ肼
Ｃ 弦 之理，ｃ 曼２ ５ １３＝ ０２，．由
此，得ｓｉｎ ： ８Ｊ６５显然 ＢＡＣ＝ｙ＝９。ｐ，以此代人二面角余弦 公式（２），得ｃ。ｓ ： 塑 ｝ ＝
量二 叠
从而， ：３０。，即平面Ｊ ６５ —２…。。 一… 。
Ａ】ＣＢ】与底面成３０。的二面角 对于所给的已知条件，不易直接求得射影角 ｙ大小的情形，下面导出用 ，卢，０来计算９的二 面角正弦公式．
２．２ 二面角正弦公式 Ｓｌｎ－ 窒± 崖＝至 旦 应 旦 ｓｉｎ２Ｏ （３）
证明 由二面角余弦公式（２），
注意到射影角公式（１）、 ［－一（ ） ］
日 １一ａｉｄ 一ｉ】 ＋日Ⅱ
０ 一Ｂ Ｉ 口ｓｉ ＋ 。 ∞ ０ ｝一 一 日
ｓ … ＋２ｓ ｎ 自 ！ ＝
由此易知公式（３）成立． 推论３设 ＡＰＢ：０，ＰＢ在平面 上，ＰＡ 与平面 成角ｎ，平面ＡＰＢ与平面 所成的二面 角为 ，则
ｓｉｎ ＝ ． （３—１） 事实上，只要于二面角正弦公式ｔ３）中令口＝
０并顾及 ∈【０，詈），即得公式（３—１）． 这里的公式（３—１）就是［１］中指出的公式３， 也是 ３］中得到的一个结果． 推理４设 ＡＰＢ的顶点Ｐ在平面 上，平 面ＡＰＢ与平面 所成的二面角为 ，边 、Ｊｐ８与 平面 分别成角 、口．若 ．． ，则 ｓｉｎ ９＝ｓｉｎ 口＋ｓｉｎ。卢． （３—２） 事实Ｅ，只要于二面角正弦公式（３）中令０： 即得公式（３—２）． 这里的公式（３—２）就是［１ 中指出的公式２． 例２过／＇￣ＡＢＣ的两个顶点Ａ、日分别作平面 ＡＢＣ的同一侧垂线ＡＤ，ＢＥ，得到正三角形ＣＤＥ， 设ＡＤ＝１，ＢＥ＝２，ＤＥ＝３， 求平面ＣＤＥ与平面ＡＢＣ所成 的二面角 解 设 ＤＣＡ＝日， ＥＣＢ＝卢，￣ＤＣＥ＝０，所 求的二面角为∞．由ｓｉｎａ＝
｛＇ｓｊｎ卢＝号及 ＝６０￣，代
人二面角正弦公式（３）， Ｃ
维普资讯 http://www.cqvip.com １４ ．２１３０１年 第９期 数学通报 ， （｛） ＋（号） 一ｚ·｛·号·吉 —— 一 ’
￣￣ｓｉｎ９＝专Ｉ．＿． ：ａｒｅｓｉｎ｛．即平面ＣＤＥ与平面 ＡＢＣ所成的二面角为ａｒｃｓｉｎ ． 例３四棱锥Ｓ—ＡＢＣＤ的底面为直角梯形， ＡＢ／／ｃＤ，ＡＢ上ＡＤ，侧面ＳＡＤ垂直于底面，设 ＡＳＢ＝３００，／／ＤＣＳ＝４５。，求当侧面ＳＡＤ与侧面 ＳＢＣ所成的二面角为６ 时 ＢＳＣ及 ＡＳＤ的大 小． 解 因侧面ＳＡＤ ｌ底 面ＡＢＣＤ．ＡＢ／／ＣＤ，ＡＢ ｌ ＡＤ，故佃，ｃＤ均垂直于侧 面ＳＡＤ，则 ＡＳＢ， ＣＳＤ分 别为ＳＢ，ＳＣ与平面ＳＡＤ所 成角 于是 ＡＳＢ＝ａ： ３ ， ＣＳＤ＝口：４５￣，已知 妒＝６０。，记 口ＳＣ：０，由 二面角正弦公式（３），得
ｓｉｎ２６ ： ！ ＝ ：： 业 ｓｉｎ２０
从而３ｓｉｎ２０：３—２ ｃｏｓＯ．ｃｏｓＯ（３ｃｏｓ０—２ ）： ０， 于是ｃｏｓ口ｔ＝Ｏ，ｃｏｓ ２＝号√２，故 ｔ＝９０￣，
一ｓ号√２． 又由射影角公式（１），当０ ＝９０。时，ｃｏｓｔ： ｓｉｎ３０ｓｉｎ４Ｙ
ｃｏｓ３￣ｃｏｓ４５￣：一迫
３ ．７１： 一ａｒｃｃ。ｓ ３；而当 一 …，ｌ一一……’Ｉ－ｑ
＝ａｒｃｃｏｓ号 时，ｃｏｓ７＝ ５ ｊ．所以ｙ２＝ａ”ｃｏｓ吾√３
２．３ 二面角正切公式 血 （４）
证明 由二面角余弦公式（２）， ， ８ｉｎ２０ 。 —ｃｏｓＺａｅｏｓ—Ｚ／？ｓｉ＃７’
注意到射影角公式（１），ｃｏｓＯ＝ｓｉｎａｓｉｎ口＋ ｃ０ｓａ ｃｏｓ／￣ｃｏｓ）＇． ｔ ＝Ｌ
：１一（１一ＣＯＳ２）（１一ｃｏＥ￣）一 ＣＯＳ２ａ Ｃｏｓ２ｆｌ＋ｃ０ｓ２口ｏ０ｓ ／？ｓｉｎ２ ７
２ｓｉｎａ ｓｉ ｃｏｓａ ｃｏｓ／￣ｃｏｓ）＇］／ ｃ０ 口ｃ０ 口ｃ０ｓ ｙ １＋（ｃ０ｓ２口ｃ０ｓ２口一２ｅｏｓ２ａｃｏｓ２ｆｌ
２ｓｉｎａｓｉｎｆｌｃｏｓａｃｏｓｆｌｃｏｓ７）／ ｃｏｓ２ａｃｏｓ２ｆｌｃｏｓ２ ｙ，
从而， （ｃ０ｓ２ａｓｉｎ２Ｊ９＋ｃｏＥ／￣ｓｉｎ％
２ｓｉｎａｓｉｎｆｌｃｏｓａｅｏｓ口ｃｏｓｙｊ ／ｃｏｓ２ａｃ０ｓ２口ｃ０ｓ２７
±！ 宦＝ ！ｇ ！ ！塑 ｓｉｎ２ｙ 。
于是证得公式（４）成立． 推论５设 ＡＰＢ所在平面与平面 所成的 二面角为ｐ，册在平面肘上， 与平面肘成ａ 角，Ｐ 在平面 上的射影Ｐ 与尸曰成ｙ角，则
ｔｇ９： ． （４一１） 事实上，只要于二面角正切公式（４）中令口＝ ０并顾及ｎ∈［０，詈）．ｙ∈（０， ），立得公式（４— １）成立． 这里的公式（４—１）也是 ３ 中得到的个结 ＝ 果
故ＬＢＳＣ： ，ＺＡＳＤ＝ 一ａｒｃｃｏｓ 或 Ｊ ，一 Ｅ 一 ＢＳＣ＝ａＴ￣ＣＣＯＳ专√２， ＡｓＤ：ａｒ￣ｃｏｓ舌４３．
最后，对于所给的已知条件，没有直接提供或 不易求得０的大小，但较易确定射影角ｙ大小的 情形，我们导出用ａ，Ｊ９，７来计算ｐ的二面角正切 公式．
推论６设 ＡＰＢ所在平面与平面肘所成二 面角为 ，Ｐ∈平面 ，边 ，船在平面 上的 射影分别为 ｌ，船Ｉ， ＡＰＡｌ：口， ＢＰＢｌ＝口， 若ＰＡ】 ＰＢｆ，则 ｔ Ｐ＝ｔ ａ＋ｔ ． （４—２ｊ 事实上，只要于二面角正切公式（４）中令ｙ ９０￣，即得公式（４—２）． 这里的公式（４—２）也是［１］中指出的公式１． 例４在正方体ＡＢＣＤ—ＡｌＢｌＣＩＤｆ中，Ｅ是 ＢＣ的中点，Ｆ在Ｍ１上，且Ａ１Ｆ：ＦＡ＝１：２，求平面
一２一一 一２ ＾ｚ一，ｊ 维普资讯 http://www.cqvip.com
