极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式

极限存在准则两个重要极限公式首先，我们来介绍极限保号公式。

设函数f(x)在点a的一些邻域内有定义，如果存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M，则称M为f(x)在点a处的一个保号常数。

现在我们来证明极限保号公式：假设f(x)在其中一点a的一些邻域内有定义，并且存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M。

如果limx→af(x)=L存在，那么L也满足，L，≤M。

证明：由于limx→a f(x)=L存在，那么对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<ε。

现在我们取ε=M，那么存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<M。

这说明，对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，=，f(x)-L+L，≤，f(x)-L，+，L，<M+，L。

我们再取任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，≤M+，L，但是我们已经知道，在点a的一些邻域内存在保号常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，都有，f(x)，≤M。

所以有，L，≤M。

这就是极限保号公式的证明。

接下来我们来介绍夹逼准则。

设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内有定义，并且对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有g(x)≤f(x)≤h(x)。

如果limx→a g(x)=limx→a h(x)=L存在，那么limx→a f(x)=L也存在。

证明：对于任意的ε>0，由于limx→a g(x)=L存在，那么存在δ1>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ1，那么有，g(x)-L，<ε。

§2.5 极限存在准则两个重要极限 连续复利教学目的：了解夹逼准则的推导过程；能熟练应用夹逼准则、两个重要极限解决相关问题；会正确求解连续复利问题．重点:熟练运用两个重要极限解决相关问题; 会求解连续复利问题．难点: 夹逼准则及两个重要极限的灵活与正确运用. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、夹逼准则【定理2.11】准则Ⅰ若数列{}n x {}n y {}n z (1,2,)n = 满足条件:(1) n n n y x z ≤≤(1,2,)n = ; (2) lim lim n n n n z y a →∞→∞==;则lim n n x →∞存在,且lim n n x a →∞=.证明 由lim lim n n n n z y a →∞→∞==知 对于120,0,0N N ε∀>∃>>,1n N >当时,有n y a ε-<；当2n N >时,有n z a ε-<;取{}12max ,N N N =,当n N >时, 有,n n y a z a εε-<-< 同时成立, 从而n n n a y x z a εε-<<<<+成立, 即n x a ε-<, 故 lim n n x a →∞=.准则Ⅰ1(夹逼准则):lim lim x x u v A λλ→→==,且,()u w v x U λ≤≤∈,则 lim x w A λ→=.证明：因A v u x x ==→→λλl i m l i m⇒)1(o A u +=,)1(o A v +=, )(λ→x .又因v w u ≤≤,于是, ]1,0[∈∃θ ..t s()w u v u θ=+-[(1)](1){[(1)][(1)]}A o O A o A o =+++-+ )1()1()1(o A o o A +=++=, )(λ→x . 所以 A w x =→λlim .( 其实uv uw --=θ, v u ≠； 0=θ, v u =. ) 例1 证明（1）0limsin 0x x →=；（2）0limcos 1x x →=.证：(1)当02x π<<时，0sin x x <<；由 0lim 0x x →=， 故 0lim sin 0x x →=.（0lim sin 0limsin 0x x x x →→=⇔=）(2)22201cos 2sin 2222x x x x ⎛⎫≤-=≤= ⎪⎝⎭，因为 20lim02x x →=，所以 0lim(1cos )0x x →-=； 故 0lim cos 1x x →=.例2 利用夹逼准则计算下列极限(1)22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++解：设2221212n nx n n n n n n n =+++++++++ ，则 2212121n n nn ny x z n n n n n ++++++=≤≤=++++因为21211lim limlim 2(2)2n n n n n n y n n n n →∞→∞→∞++++===+++ 且2212(1)1lim limlim 12(1)2n n n n n n n z n n n n →∞→∞→∞++++===++++ 所以由夹逼准则知：1lim 2n n x →∞=，故222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (2)222111lim()12n n n n n→∞++++++解：设22211112n x n n n n =++++++ ，则221n n n n ny x z n n n =≤≤=++因为222lim lim lim 1n n n n nn y n n n n→∞→∞→∞===++且222lim lim lim 111n n n n nn z n n →∞→∞→∞===++ 所以由夹逼准则知：lim 1n n x →∞=，故222111lim()112n n n n n→∞+++=+++(3) 222111lim ()12n n n n n n πππ→∞⋅+++=+++ . 证明：由于2222222111()2n n n n n n n n n n πππππ≤+++≤+++++ ，而221lim lim 11n n n n n nππ→∞→∞==++,2221lim lim 11n n n n n ππ→∞→∞==++,所以 222111lim()12n n n n n πππ→∞+++=+++ . (4)设12max{,,,}m A a a a = ,(0,1,2,,)i a i m >= ,则有12lim nnnn m n a a a A →∞+++= .证明：由于12nn n n n nn n n m A A a a a mA A m =≤+++≤= ，而 lim lim 1n n n n A m A m A A →∞→∞==⋅=,所以 12lim n n nn m n a a a A →∞+++= .(5)1lim(1234)nn nn nn →∞+++解：设1(1234)n n nn nn x =+++，则111(4)4(44)4n n n n n nn n n y x z +==≤≤⨯==因为lim 4n n y →∞=且1limlim 44n n nn n z →∞+→∞==所以由夹逼准则知：lim 4n n x →∞=，故 1lim(1234)4n n nn nn →∞+++=.例3 证明:lim 1n n a →∞=, (0)a >.证明：(1)当1=a 时,结论显然成立；(2)当1>a 时, 令01>-=n n a t ,有n nn n nk k n k n nn nt t nt t C t a +≤+++==+=∑=11)1(0 ,这样 010→-≤<na t n ,(∞→n ), 于是0lim =∞→n n t ,所以1101lim ]1)1[(lim lim =+=+=+-=∞→∞→∞→n n n n n n t a a ；(3)当10<<a 时,令11>=ab , 1lim 11lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n bb a . 综上所述 1lim =∞→n n a , )0(>a .提问:(00.3) 设对任意的x ,总有()()()x f x g x ϕ≤≤,且lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=,则lim ()x f x →∞=( ).(A )存在且等于零 (B )存在但不一定为零 (C )一定不存在 (D )不一定存在答 因)()()(x g x f x ≤≤ϕ很容易想到夹逼定理,但注意适用条件是)(),(x x g ϕ极限均存在且相等.此题选(D ).例4*(06.4) (1)1lim()nn n n-→∞+= .解法1 由于1(1)1n-≤-≤,有1(1)111111()()11n n n n n n n n n--+++-=≤≤=++因11lim(1)lim(1)11n n n n→∞→∞-=+=+,所以(1)1lim()1nn n n-→∞+=.设有数列()n y f n =，（1）若对于任何正整数n ，恒有()(1)f n f n <+，则称()f n 为单调递增数列.（2）如果对于任何正整数n ，恒有()(1)f n f n >+，则称()f n 为单调递减数列.（3）如果存在两个数,()m M M m >，使得对于任何正整数n ，恒有()m f n M <<，则称()f n 为有界数列.【定理2.12】准则Ⅱ：单调有界数列必有极限.（单调上升且有上界或单调下降且有下界时极限存在），即数列()n y f n =单调有界，则lim ()n f n →∞存在.例如 数列 11231:0,,,,234n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭……， 因为11n y n =-单调增加且有上界 1n y <， 所以 1lim(1)n n →∞-存在.且 1lim(1)1n n→∞-=.例5 （1）设12x =,12n n x x -=+,2,3,n = ,证明数列{}n x 存在极限并求之. 证明:1)先证明数列}{n x 存在极限 显然 122x =<,假设12n x -<, 有 12222n n x x -=+<+=,因此,02n x <<,（ ,3,2,1=n ），{}n x 有界. 由于11222x x x =>+=,假设1->n n x x ,有1122n n n n x x x x +-=+>+=,因此, {}n x 为单调递增数列； 综上所述: 数列}{n x 必存在极限.2)求极限: 设lim n n x a →∞=，显然有02a ≤≤.由2a a =+， 即022=--a a ，得2=a(1-=a 舍去).故 数列}{n x 极限存在且 lim 2n n x →∞=.（2）证明数列21=x ,)1(211nn n x x x +=+的极限存在.并求此极限.证明：①显然121≥=x ,而11221)1(211=⋅⋅⋅≥+=+nn n n n x x x x x ,②由于111()2n n n n nx x x x x +-=+- 221111022221n n n n x x x x --=-=≤=⋅, 即 n n x x ≤+1,因此,}{n x 为单调递减数列；③由①②知,21≤≤n x , ,3,2,1=n ,因此数列}{n x 的极限必存在. 设a x n n =∞→lim ,则2211()211(0)2a a a a a a a =+⇒=+⇒=±> 1a ⇒=. 准则Ⅲ：有界数列必有收敛的子数列.二、两个重要极限1.0sin lim 1x xx→=. 证明：如图,AO D AO B AO B S S S ∆∆<<扇,从而,BADxCO1当20π<<x 时,x x x tan 2121sin 21<<时, 由于sin 0x >所以 1sin cos <<xxx , 显然02<<-x π时此式也成立.（注意：sin xx是偶函数）下证 1cos lim 0=→x x .因 2||0π<<x 时)0( 02)2(22sin 2cos 10222→→=⋅<=-<x x x x x ,所以 1cos lim 0=→x x .由准则Ⅰ, 知 1sin lim0=→x xx .提问：21sin(1)lim 1x x x →-=-【 】.(A )1 (B )0 (C )2 (D )21答221)]1(1)1sin([lim 1)1sin(lim 22121=⋅=+⋅--=--→→x x x x x x x . 例6计算下列极限 (1)0tan limx xx→000sin 1sin 1lim lim lim 111cos cos x x x x x x x x x →→→⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭. (2)201cos limx xx →-222002sin sin222lim lim 42x x x x xx →→⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭22201sin 11lim 1222x t t t t =→⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭. (3)arcsin 00arcsin limlim 1sin t x x t x txt =→→== (4)00sin sin()sin lim lim lim 1t x x t t x t tx t tππππ=-→→→+==-=--．(5)00sin 1sin 11lim lim 0sin sin 111x x x x x x x x x x→→---===+++; (7)30tan sin lim sin x x xx→- 2211cos ~2220sin ~011cos 2lim lim sin cos cos x x x x x x x x x x x x-→→-= 0111lim 2cos 212x x →===⋅. (8)00sin 22sin 22122lim lim sin 5sin 551555x x x x x x x x→→⋅⋅===⋅⋅. 00sin sin limlim x x kx kxk k x kx→→=⋅= （k 为非零常数）. (9)2112122sin 22cos lim 2cot lim 00=⨯=⋅=→→xx x x x x x .(10)2001cos 22sin lim lim sin sin x x x xx x x x→→-⋅=0sin lim(2)212x xx→=⋅=⨯=.(11)lim 2sin 2nn n x →∞12sin lim()1nt n txxx x tx=→∞===⋅=,(x 为不等于零的常数).(12)0sin sin sin()sin lim lim t x a x a t x a a t ax a t=-→→-+-====-022sin cos22limt t a t t→+= 00sin2lim limcos()cos 22t t t t a a t →→=+=. (14)303sin()sin 3lim lim12cos 12cos()3t x t x x t x t ππππ=-→→-====--+sin lim12(cos cossin sin )33t tt t ππ→=--0sin lim1cos 3sin t tt t→=-+0022sin sin lim lim1cos 3sin sin sin 232()2t t tt t tt t t t t t→→==-+⋅+1330131==⨯+⨯. 另解33sin()sin()133limlim 112cos 2cos 2x x x x x x ππππ→→--=-- 3sin()13lim2cos cos 3x x x πππ→-=-33cos112lim 233sin 2x x x πππ→-=-=+. (15)1102lim(1)tan lim 2cot2t x x t x t x t πππ=-→→-==.(16)(07-08期末考试)11lim(sinsin )n n n n n→∞+= 1 .若 lim(1)5xx a x→∞+=,则 ln5a = .例7 (1)(05.4) 极限22lim sin 1x xx x →∞=+ . 答案：2.(2)(93.3) =++∞→xx x x 2sin 3553lim2 . 解 2222sin3526106lim sin lim()253535x x x x x x x x x x→∞→∞++=⋅=++. 2. 1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.将数列1(1)nn+的值列成表格：n1 2 3 4 5 10 100 1000 100001(1)n n +2 2.250 2.370 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718 有表格看出随着n →∞，1(1)nn+的变化趋势是稳定的.下证1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭证明：令0111n n k n n k k x C n n =⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑, 1,2,3,n = (1) 先证{}n x ↑. 由于23(1)1(1)(2)1112!3!n n n n n n x n n ---=++⋅+⋅+ (1)(1)1!n n n n n n n--++⋅ )11()21)(11(!1)11(!2111nn n n n n ----++-++=11111(1)2!1n x n +=++-++1121(1)(1)(1)!111n n n n n -+---+++ 112(1)(1)(1)(1)!111nn n n n +---++++ 显然 1+≤n n x x , ,3,2,1=n ， 所以↑}{n x . (2) 再证3<n x , 即 3||<n x , ,3,2,1=n . 由于1111(1)2!n x n =++-+1121(1)(1)(1)!n n n n n -+--- 111112!3!!n ≤+++++2111111222n -≤+++++111121331212nn --=+=-<-.{}n x 有界 (3) 由(1)(2)及准则Ⅱ知, n n x ∞→lim 存在,记作e ,即e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim . 其中：e 是无理数, 它的值是 718281828.2=e .下证: 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.证明:(1)0x ∀>,n N +∃∈ ..t s 1n x n ≤<+⇒1111111n x n+<+≤++, 从而 11111111n x n n x n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+≤+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 又因为 111lim 1,lim 11nn n n e e n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭所以 1l i m 1xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(2) 111lim 1lim 1lim 1x t t x t x t t x t t t -=-→-∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫+===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪⎝⎭111lim 1111t t t t -→+∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11lim 11t t e t -→+∞⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭.综上所述 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.公式: 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭,1101lim(1)lim 1t txx x t x e t =→→∞⎛⎫+===+= ⎪⎝⎭. 例8 计算下列极限(1)1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭11111lim 111lim 1111lim 111n n n n n e n n e n n ++→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.(2)1111lim 1lim 11n nn n n n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11lim 1lim 1n n n e n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3)lim [ln(2)ln ]n n n n →∞+-22lim 2ln(1)nn n→∞=+2e ln 2==.(4)22lim(1)x x x →∞+e 4422lim[(1)]x x x→∞=+=;（5）100ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x→→+=+10ln[lim(1)]1xx x →=+=所以 ln(1)(0x x x +→ 时）(6) 2111202lim(1) lim(1)xu x u x u u x=----→∞→-+11lim[(1)(1)]u u u u →=++1e=; (7)e1)1(lim 1)1(lim )22(lim 101220=+=+-→-→-=→uu uu xu xx u u x; (8)1lim()1xx x x →∞-+e21(1)11lim lim 111(1)(1)(1)xx x x x x x x x x →∞→∞--===+++-;(9)211lim (1)lim (1)u x x u x u x u=→+∞→+∞-- 1ee )11()11(lim ==-++=-+∞→u uu u u ;(10)22lim()1xx x x →∞- 211lim 111(1)lim[(1)(1)]x x x xx x x x→∞→∞==--+ 1lim(1)11lim(1)xx x x e x e x-→∞→∞-===+.(11)22cot 0lim(13tan )xx x →+2313tan 330lim(1)[lim(1)]t xtt t t t t e =→→===+=+=.(12)0ln(12)lim sin 3x x x→+11220002l i m l n (12)2l n (12)lim sin 3sin 333lim33xxx x x x x x x xx x x→→→++==⋅2l n 2313e ==⨯. (13)3tan 0lim(1)xx x →+01313lim3tan tan 0lim(1)[lim(1)]x x x x xx xx x x x e →⋅→→=+=+=.例9 确定ｃ，使lim()4xx x c x c→∞+=- 解：由于1lim()lim 1xx x x c x c x c x c x →∞→∞⎡⎤+⎢⎥+=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ 2[(1)]lim [(1)]x ccc x x cc c x e c x→∞--+==-. 由24ce =解得：ln 2c = 三、连续复利1.一年一个计息期的复利：设年利率为r ,贷款本金为0A ,那么一年后本利和为：10(1)A A r =+； 两年后本利和为：220(1)A A r =+；……………………k 年后本利和为：0(1)k k A A r =+.2.一年n 个计息期的复利：设年利率为r ,一年n 个计息期,则每期利率为nr , 若贷款本金为0A ,那么, k 年后本利和为：0(1)kn k rA A n=+.3.连续复利：即每时每刻计算复利.设年利率为r ,贷款本金为0A ,让一年计息期的个数n →∞,则k 年后本利和为：000lim (1)lim (1)krnkn kr r k n n r r A A A A e n n →∞→∞⎡⎤=+=+=⎢⎥⎣⎦.这个数学模型在现实世界中应用很多，例如物体的冷却、细胞的繁殖、树木的生长、镭的衰变等.例10某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利息,10年后每份债券一次偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格应定为多少元？ 解：设0A 为发行时每份债券的价格,年利率为6.5%r =,10k =年后每份债券一次偿还本息1000k A =元,若以连续复利计算利息,则0krk A A e =, 即100.06501000A e⨯=,得 100.06501000552.05A e-⨯==(元).小结：1.利用两个重要极限时，计算式必须符合重要极限的形式才能套用公式.但需注意巧算.2．运用夹逼准则解题时放缩尺度要把握好，两边极限要相等.3．解决经济问题时注意：以年计息时，月利息=年利息的12分之一；每期到时结一次息，按年数乘以年息.课后记：1.计算技巧运用不到位，不能灵活变形，蛮算.使用公式时，不注意公式的条件限制.2.用夹逼准则解题时放缩的尺度把握不好；用重要极限时不能灵活运用变量替换进行适当变形．。

§2.5 极限存在准则 两个重要极限连续复利·夹逼准则·单调有界收敛准则 ·连续复利 一、夹逼准则准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→那末数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明:因 a z a y n n →→,，据数列极限定义，有 εε<->>∃>∀ay N n N n 有时当,,0,011；对于上述ε， 02>∃N ，,,2ε<->a z N n n 有时当故可取},max{21N N N =则当 N n > 时，有 ε<-a y n ，ε<-a z n 同时成立，亦即：εεεε+<<-+<<-a z a a y a n n ,从而有 εε+<≤≤<-a z x y a n n n 亦即ε<-a x n 成立这就是说， a x n n =∞→lim . 准则I '如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件: (1) )()()(x h x f x g ≤≤ ;(2) A x h A x g ==)(lim ,)(lim (;那么)(lim x f 存在, 且A x f =)(lim .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义,准则I 及准则I ' 称为夹逼准则. 例1：求 )12111(lim 222n n n n n ++++++∞→解：,11112222+<++++<+n nn n n n n n n n n n n n 111limlim2+=+∞→∞→又 ,1=22111lim1limn n n n n +=+∞→∞→由夹逼定理得.1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n下面根据准则I '证明第一个重要极限:1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数xxsin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, CD ⊥OB , AB ⊥OB . 圆心角∠AOB =x (0<x <2π). 显然 x CD sin =弦,x BC =弧x AB tan =弦.因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以 x x x tan 2121sin 21<< ,即 x x x tan sin <<. 不等号各边都除以sin x , 就有xx x cos 1sin 1<<,或 1sin cos <<xxx . 注意此不等式当2π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x ,根据准则I ',1sin lim 0=→xxx . 应注意的问题:在极限)()(sin lim x x αα中, 只要)(x α是无穷小, 就有1)()(s i n l i m =x x αα.这是因为, 令)(x u α= , 则0→u , 于是 )()(sin limx x αα1sin lim 0==→u u u . 1sin lim 0=→x x x ， 1)()(sin lim =x x αα (0)(→x α) 例2. 求 xx x tan lim 0→.解: x xx tan lim0→x x x x cos 1sin lim 0⋅=→1cos 1lim sin lim 00=⋅=→→x x x x x . 例3. 求 20cos 1lim xxx -→. 解: 20cos 1limx x x -→220220)2(2sin lim 212sin 2lim x x x x x x →→== 2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x . 二、单调有界准则满足条件如果数列n x,121 ≤≤≤≤+n n x x x x 单调增加 ,121 ≥≥≥≥+n n x x x x 单调减少准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.单调数列准则Ⅱ的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生.例4：.)(333的极限存在重根式证明数列n x n +++= 证：,1n n x x >+显然 {};是单调递增的n x ∴331<=x 又， ,3<k x 假定331<+=+k k x x ，{};是有界的n x ∴ .lim 存在n n x ∞→∴ ,31n n x x +=+ ,321n n x x +=+ ),3(lim lim 21nn n n x x +=∞→+∞→ ,32A A += 2131,2131-=+=A A 解得 (舍去) .2131lim +=∴∞→n n x 根据准则Ⅱ, 可以证明极限 nn n)11(lim +∞→ 存在. 设n n nx )11(+= 现证明数列{n x }是单调有界的.按牛顿二项公式, 有123x 1+n n A Mnn n nn n n n n nn n n n n n n n n x 1!)1()1(1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+=)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nn n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++= )111()121)(111(!1)121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n)11()121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n nn n n .比较n x , 1+n x 的展开式, 可以看出除前两项外, n x 的每一项都小于1+n x 的对应项, 并且1+n x 还多了最后一项, 其值大于0, 因此 n x <1+n x ,这就是说数列{n x }是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为n x 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121212111!1!31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n nn n n x . 根据准则II , 数列{n x }必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即e nnn =+∞→)11(lim . 我们还可以证明e xxx =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e =2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数x e y =以及对数函数x y ln = 中的底e 就是这个常数.因此的极限都存在且等于时，函数或取实数而趋向可以证明，当,)11(e xx x+∞-∞+.)11(lim e xxx =+∴∞→ 在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要)(x α是无穷小, 就有e x x =+)(1)](1lim[αα.ez z x xz zz =+→∞→=→10)1(lim ,01于是有时，，则当利用代换例5. 求xx x)11(lim -∞→.解: 令t =-x , 则x →∞时, t →∞. 于是x x x )11(lim -∞→tt t-∞→+=)11(lim e tt t 1)11(1lim=+=∞→. 或)1()11(lim )11(lim --∞→∞→-+=-x x x x x x 11])11(lim [---∞→=-+=e x x x . 例6．.)23(lim 2xx xx ++∞→求 解：422)211(])211[(lim -+∞→++++=x x x x 原式 .2e = 例7．.)1ln(lim0xx x +→求 解：.1ln )1(lim ln )1ln(lim )1ln(lim 10100==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+→→→e x x x x xx x x x 例8．.1lim0xe x x -→求 解：,1u e x =-令 ),1ln(u x +=即 ,0,0→→u x 有时则当)1ln(lim1lim 00u ux e u x x +=-→→ uu u )1ln(1lim 0+=→ .1= 三、连续复利则，年利率为称为本金设一笔贷款,)(0r A)1(01r A A +=一年后本利和2012)1()1(r A r A A +=+=两年后本利和k k r A A k )1(0+=年后本利和，则，年利率仍为期计息如果一年分r n，于是一年后的本利和每期利率为nrnnr A A )1(01+=nkk nr A A k )1(0+=年后本利和年后的本利和，则称为连续复利复利，即每时每刻计算如果计息期数k n )(∞→rkrkrn n nkn k e A r n A nr A A 00011lim )1(lim =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→∞→。

极限的两个重要极限公式极限是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。

在研究函数的性质、求导、积分等方面，极限都起着重要的作用。

本文将介绍两个重要的极限公式，它们分别是复合函数的极限公式和级数的比较判别法。

一、复合函数的极限公式复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，例如f(g(x))。

当我们需要计算复合函数的极限时，可以使用复合函数的极限公式，它的表述如下：设函数f(x)在x0处连续，g(x)在x0处极限存在且等于a，则有：lim f(g(x)) = f(a)x→x0这个公式的意义是，当自变量x趋近于x0时，函数g(x)的值趋近于a，因此f(g(x))的值也趋近于f(a)。

这个公式的证明可以使用ε-δ定义，但在这里我们不再赘述。

这个公式的应用非常广泛，特别是在微积分中，它可以用于求导和积分。

例如，当我们需要求f(g(x))的导数时，可以先求出g(x)的导数，然后将它代入f(x)中，再乘以g'(x)，即可得到f(g(x))的导数。

同样地，当我们需要对f(g(x))求积分时，可以将它转化为f(u)du的形式，其中u=g(x)，du=g'(x)dx，然后再对f(u)进行积分。

二、级数的比较判别法级数是由无穷多个数相加得到的数列，例如1+1/2+1/3+1/4+...。

在研究级数的性质时，我们经常需要判断它是否收敛。

如果一个级数收敛，那么它的和就是一个有限的数；如果一个级数发散，那么它的和就是无穷大或无穷小。

级数的比较判别法是判断级数收敛性的一种方法，它的表述如下：设有两个级数an和bn，如果存在一个正整数N，使得当n>N 时，有an≤bn，则有：若级数bn收敛，则级数an也收敛。

若级数an发散，则级数bn也发散。

这个公式的意义是，如果级数an的每一项都小于等于级数bn 的对应项，那么an的收敛性和bn的收敛性是相同的。

如果bn收敛，那么an也收敛；如果an发散，那么bn也发散。

这个公式的证明也比较简单，可以使用比较原理和收敛级数的性质进行推导。

第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)。

第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。

极限的求法有很多种：
1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。