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高等数学 两个重要极限

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两个重要极限

两个重要极限

高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
sin x 1. lim =1 x0 x
1 0.75 0.5 0.25
f ( x)
5
s i nx x
10 15
-15
-10
-5
o
-0.25 -0.5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
例10
解
求极限
2x 3 x lim( ) . x 2 x 1
2x 3 x 2 l i m( ) l i m(1 )x x 2 x 1 x 2x 1
2 x 1 2 x 2 2 x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 x 1 1 2 2
e
2x x 2 x 1 lim
e.
2 (1 ) 2x 1 lim 1 x 2 2 (1 ) 2x 1
2 x 1 2
e.
高等数学
advanced mathematics
3 1 另解: 2x 3 x 2x )x l i m( ) l i m( x 2 x 1 x 1 1 2x 3 x 3 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2 x lim x 1 x 1 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2x


4x 1 5 x
解
4 2 (2)求 lim(1 ) x 3x 3x 3x 4 2 4 4 2 e2 lim(1 ) lim(1 ) x x 3x 3x
e .3 x

高等数学极限存在准则两个重要极限公式

高等数学极限存在准则两个重要极限公式

原式 lim t lim t0 sin t t0
1
sin t
1
t
注: 利用变量代换，可得更一般的形式 lim sin (x) 1 (x)0 (x)
2021/5/6
15
例6 求lim sin 3x x0 sin 5x
解: lim sin 3x 3 lim sin 3x 5x x0 sin 5x 5 x0 3x sin 5x
即
xn a
,
故
lim
n
xn
a
.
2021/5/6
9
我们可将准则II推广到函数的情形：
准则II′ 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0
x x0
(x )
(x )
lim f (x) A
yn
1
1 n
n
zn
1
1 n
n1
n
n
1
n
1
1 n n1 n 1
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1 n
n
1
1 n
n1
zn
z1
4
则 2 xn 4 . 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2021/5/6
lim sin x 1
2
)
x0
x0 x
2021/5/6
13
例4 求lim tan x . x0 x
解:
lim

高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限

高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限
n
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x

两个重要极限

两个重要极限

x
元
。
现在若以天为单位计算复利，则x年末资金变为：
Q
1
r 365
365
x
元
；
若以
1 n
年为单位计算复利，则x年末末资金变为：Q
1
r n
nx
元
；
若令 n ，即每时每刻计算复利（称为连续复利）则x年末末资金为：
lim
n
Q
1
r n
nx
=
Q
lim
n
1
r n
n r
rx
=Q erx 元 。
高等数学
或若
lim
xa
x
0
a可以是有限数x 0
， ，
则
1
1
x
x
lim1 x lim 1 x e 。
xa
x0
例1.5 求
lim
x
1
2 x
x
。
解 令 2 t ，则 x 2 当 x 时 t 0 ，于是
x
t
lim
x
1
2 x
x
lim t0
1 t
2 t
ltim0
1 t
1 2 t
x0 x
t0 sint
两个重要极限
1.2 第二个重要极限：
lim
x
1
1 x
x
e
注意：这个重要极限也可以变形和推广：
(1) 令 1，则t x
时 x 代入后得t 到 0
1
lim1 t t
t0
e
；
(2) 若limxa Nhomakorabeax
a可以是有限数x 0
， ， 则

高等数学中两个重要极限

高等数学中两个重要极限
x
X -10 -100
(1 1 ) x 2.868 2.732 x
-1000 -10000
2.720 2.7183
-100000 …
2.71828
li( m 11)xe x x
li(m 11)xe (1 )
x x
令t 1,
lim (1
1
)
x
lim(1
1
t)t
e
x x
x
t 0
1
lim(1 t)t e (1 )
1 x 1 ,
sinx coxs
CD
即coxs sinx1. x
sin x lim 1.
x x0＋
Ox BA
例 1 求 lim tan x x 0 x
解
limtanxlim (sinx1)
x 0 x x 0 cosx x
sinx 1 lim( )
x0 x cosx
limsinxlim 1 x0 x x0 cosx
0.001 …. 0.9999998
X －1 －0.5
sin x
0.84147 0.95885
x
－0.1 0.99833
－0.01 0.99998
－0.001 …. 0.9999998
lim six n1 x 0 x
证明 limsinx1. x x0＋
证
即sinxxtanx
各 式 同 除 以 s i n x ( 因 为 s i n x 0 ) ,得
t0
1
推 广 为 某 过 程 中 的 无 穷 小 量 ,lim (1) e 某过程
使 用lim (11)xe 须 注 意 : x x
(1)类 型 :

高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限

高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限

则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x

大一高等数学 第一章第六节 极限存在准则 两个重要极限

大一高等数学 第一章第六节 极限存在准则 两个重要极限

lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
二、 两个重要极限证:Leabharlann 当x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜
圆扇形AOB的面积
BD
1
x O
C
A
＜△AOD的面积
即 亦故即有 显然有
1 2
sin
x
1 2
tan
x
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
有
lim
n
f
(xn
)
A.
法1 找一个数列
xn x0 ,
使
lim
n
f
(xn
)
不存在
.
法2 找两个趋于
的不同数列 xn 及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
1 2n π
及
xn
1 2n π
π 2
(n 1, 2,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
3. lim xsin 1 __0__ ;
x0
x
2. lim xsin 1 _1___ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e__1_; n n
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ;
(4) ;
2
(2)，(3)，
4
(4) , (5)

高等数学：第八讲 第二个重要极限

高等数学：第八讲 第二个重要极限

1
1 x
x
x
1
1
1 x
x
2
2
3
4
5
10
100
1000 10000
…
2.25 2.37 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718
…
x
-10 -50 -100 -1000
-10000
-100000
-1000000
…
1
1 x
x
2.87
2.75
2.73
2.720
2.7184
2.71830
2.718283
…
第二个重要极限
从上表可以看出，当
x无限增大时，函数
1
1 x
x
变化的大致趋势，可以证明当
时， x
1
1 x
x
的极限确实存在，并且是一个无理数，其值为
e 2.718282828
第二个重要极限 第二个重要极限的特点：
(1)它是底的极限为1、指数趋近于无穷大的变量的极限，
例2
求
lim
x
3 2
பைடு நூலகம்
x x
x
解:
lim
x
3 2
x x
x
lim
x
x x
3 2
x
lim
x
1
1
x
x 2
lim
x
1
1
x2
x 2
1
1 2
x 2
lim
x
1
1
x2
x 2
lim
x
1
1
2

高等数学1.6极限存在准则、两个重要极限

高等数学1.6极限存在准则、两个重要极限

二、两个重要极限
例4
1 cos x 求 lim . 2 x0 x
2 x x 2 sin 2sin 2 1 lim 2 解 原式 lim 2 x 0 2 x x 0 x 2 2 2
0 0
sin x lim 1 x 0 x
lim cos x 1,
x 0
x x0 x x0
lim f ( u ) A， 则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u )
u a
证明
lim(1 x ) e
x 0
1 x
x x0 1 x
u a
1 1 令 x , lim(1 )t ＝ lim(1 x ) t t t x0
x x0 ( x ) x x0 ( x )
f ( x) lim h( x ) A, 那末 xlim x
( x)
0
存在, 且等于 A 上述两准则称为两边夹准则.
例1 求 lim( n 解：
1 n 1
2

1 n 2
2

1 n n
2
).
n n n
2
n
x 1 sin x 1, cos x 1 sin x cos x x
A
下面证 lim cos x 1,
x0
2 x x x 2 2 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2
0 cos x 1 x2 lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 x0 2 sin x lim cos x 1, lim1 1, lim x 0 x0 x0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.3 两个重要极限

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.3 两个重要极限
则若有函数()在0 的某邻域内恒有
() ≤ () ≤ ()，
那么当 → 0 时，有 ≤ () ≤ ()，
即
故
≤ () ≤ ，
() = .
→0
= 1.
(−)
证：因为
−
−
−

=
=
，

所以我们只需讨论 → 0+ 的情形，

→∞
→∞ 2 + 1
1+
= 1 +
→∞
方法二
2 + 3

→∞ 2 + 1
=
2
2+1
2
2+1
3
1+
2
=
1
→∞
1+
2
+1

→∞

→∞
1+
1+
3
2
1
2
2 3
3 ×2
1
2×2
2+1
2
2+1
2
⋅ 1+
2
2+1
∙ 1 +
→∞
1
2
2
2+1
1
2
= ⋅ 1 = .
+1
∙ 1+
∙ 1+
3
2
1
2
=
3
2
×1
1
2
×1
=


→0
例3 计算
解
≠ 0， ≠ 0）






→0

=

高等数学 第六节 极限存在准则 两个重要极限

高等数学 第六节 极限存在准则 两个重要极限

1 + 2 +⋯+ n < I n 2 2 2 n +n n +n n +n < 1 + 2 +⋯+ n , n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1
+ 即 1 + 22 ⋯ + n < In < 1 + 2 + ⋯ + n , n +n n2 + 1
n(n + 1) n(n + 1) < In < , 2 2 2(n + 1) 2(n + n)
n
或 lim(1+ x)
x→0
1 x
=e .
e = 2.7182818284 59045⋯ (无理数 ⋯ )
sin x =1 . 2) . lim x→0 x
弦长 AB = 2 sin x , 弧长 AB = 2 x , 切线长 CD = 2 tan x .
F
A C
x
B
E
D
7
sin x < x < tan x . ( x > 0)
∀ε > 0 , ∃ N1 , 当 n > N1 时, A − ε < yn < A + ε ;
∃ N 2 , 当 n > N 2 时, A − ε < zn < A + ε , 从而 , 当 n > max{ N1 , N 2 } 时 ,
A − ε < yn ≤ xn ≤ z n < A + ε
n→∞
13
uk + uk uk −1 − uk −1 − uk −1uk uk uk−1 = − (1 + uk ) (1 + uk −1 ) 1+ uk 1+ uk−1 uk − uk −1 = > 0 ⇒ uk +1 > uk , { un } 单调增加 . (1 + uk ) (1 + uk −1 )

2011-2012高等数学(4)两个重要极限

2011-2012高等数学(4)两个重要极限
e2 x 1 (2) lim x 0 ln(1 2 x )
1 cos x (3) lim x 0 sin x 2
解： （1） x 0 时， 3 x ) ~ 3 x , tan x ~ x ln(1
lim ln(1 3 x ) 3x lim 3 x 0 x 0 x tan x
ln(1 2 x ) ~ 2x
（2） x 0 时，e 2 x 1 ~ 2 x ,
e2x 1 2x lim lim 1 x 0 2 x x 0 ln(1 2 x )
1 cos x (3) lim x 0 sin x 2
x2 x 0 时， cos x ~ 1 , 2
当 x 0 时， x ~ x sin
常用的等价无穷小量有：
当 x 0时
sin x ~ x
tan x ~ x
x2 1 cos x ~ 2
ln(1 x ) ~ x
e 1 ~ x
x
上面的等价中，x 可以换成 u(x)，即
sin u( x ) ~ u( x )
tan u( x ) ~ u( x )
x2 1 cos x 1 lim lim 22 x0 x x 0 sin x 2 2
习题2-5 3(1)
sin x 2 ~ x 2
xa
二、两个重要极限 1．
sin x lim 1 x 0 x
0 “ ”未定式 0
在单位圆中考虑面积
1 1 （ S AOB 1 1 sin x） sin x 2 2 S 扇形 AOB 1 12 x 1 x 2 2 1 1 （ S DOB 1 1 tan x） tan x 2 2
解: （1） sin(3 x 6) lim

高等数学 第二章 极限与连续 2.6 两个重要极限

高等数学 第二章 极限与连续 2.6 两个重要极限
sin kx kx k lim sin kx kx
k 1 k .
解： 原式 k lim x 0
kx 0
例4
求
2 sin x
2 2 x 2
解： 原式 lim 例5 求
x 0
sin lim x 2 x 0 2
1
x 2

2

1 2
1
2
解： 令 t
例11
求 x
lim (
x 2
x
2
2
x 1
)
x
x x x x 解： lim ( 2 ) lim lim x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
x
x
x
x
1 1 lim 1 1 x x 1 x 1
x,
OAB 的高为 BD ,
于是有
sin x BD ,
tan x AC ,
C
二、两个重要极限
B
(1)
lim
sin x x
x 0
1
0 0
型
x
o
D
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin x

1 2
tan x
(0 x

2

2
sin x x tan x ,
单调减少
定理2.12
准则Ⅱ
单调有界数列必有极限.
几何解释:
m
x1
x 2 x 3x n x n 1
A
M
x
C

1-6高等数学—极限存在准则(两个重要极限)

1-6高等数学—极限存在准则(两个重要极限)
第六节 极限存在准则 两个重要极限
• 一、极限存在准则 • 二、两个重要极限 • 三、小结 思考题
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列xn , yn 及zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn

a,
lim
n
zn

a,
那末数列xn 的极限存在,
x
[ lim (1

2x )2
]4

e6 e4
x
x
e2
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小 ,
10 lim sin 1; 某过程
1
20 lim (1 ) e. 某过程
思考题
1
求极限 lim 3x 9x x x
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n

N
时恒有
2
zn

a

,
取 N max{N1 , N 2 }, 上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
x 是有界的; n
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1

3

xn ,
lim
n
x2 n1

lim(3
n
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n
1 n
)n
e
lim(1
n
1 n1
)n1
?e
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用x代替n,可得 (1) 当x 取实数 对任意正数 x，总有
时情形 n为非负整数，则有
lim (1 1 )x e.
x
x
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(2) 当x 取实数
时情形
lim(1 1 )x e
x
x
令
则
1
此极限也可写为 lim(1 z) z e
lim sin (x) 1 (x)0 (x)
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练习. 求下列极限:
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例2. 求
解:
lim tan x x0 x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x x0 x
lim 1 x0 cos x
1
练习.
lim tan(x) 1 (x)0 (x)
2. lim xsin 1 _1___ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e__1_; n n
作业
P34 1 (1) (3) (5) (8) (9) (12) ; 2
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练习题
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思考题
1
求极限 lim 3x 9x x x
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例3. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
练习.
sin t 1
t
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例4. 求
解:
原式 =
2 sin 2
lim
x0
x2
x 2
1 2
lxim0
sin
x 2
x
2
2
1 12 2
练习1. 解
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练习2. 解 或
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内容小结
两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ; x x
3. lim xsin 1 __0__ ;
x0
x
思考题解答
1
lim 3x 9x
x
1
x lim 9x x
1 x
1 3x
1 x
1
9
lim 1 x
1 3x
3x
3xx
9
e0
9
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xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
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o
准则Ⅰ′ 如果当 x U (x0, ) (或 | x | X )时,有
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
第一章
第七节 两个重要极限
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一、 lim sin x 1 x0 x
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列{xn},{yn} 及{zn} 满足下列条件:
(1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那么数列{xn} 的极限存在,
且lim n
)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
(0 x π2)
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
例1
注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：
说明: 计算中注意利用
那么 lim f ( x)存在, 且等于 A.
x x0 ( x)
A
y h( x)
y f (x)
A
y g(x)
A
（（ 1
x0
x0
）） 2
x0
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首先注意到 函数 sin x 对一切x 0都有定义
x
sin x
设法构造一个“夹逼不等式”，使函数 x
在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个
函数 g(x), h(x) 之间，以便应用准则Ⅰ‘.
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
扇形OAB的圆心角为 x ,
2 BD
OAB的高为BC,
作单位圆的切线，得ADO.
1
x O
C
A
sin x BC, x 弧AB, tan x AD,
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当x
(
0,
π 2
例5.
解:
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tan x sin x
例6 求 lim x0
x3
原式
lim
x0
sin
x(1 cos x3 cos x
x)
lim(
x0
sin x
x
1
cos x2
x
1 cos
x
)
1 1 1 1 22
例7 求
解
于是
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二、
lim(1
x
1 x
)x
e
lim(1
z0
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利用变量代换可导出上述极限的一般形式：
1
lim（1 (x)) (x) e
（x )0
lim (1
( x)
) 1 (x)
(x)
e
,
1 型
注意这个极限的特征： 底为两项之和，第一项为1，第二项
是 无穷小量，指数与第二项互为倒数 。
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例1. 求
例3 求
lim x
x x
1 1
x
解一 原式 lim(1 2 )x lim(1 2 )x1 (1 2 )
x x 1 x x 1
x 1
lim (1 x
x
2
) 1
x1 2
2
(1
2) x 1
e2
解二
(1 1 )x
原式
lim
x
(1
x 1 )x
x
e e 1
e2
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解: 令 t x , 则 x 时，t
lim (1
t
1t )t
lim
t
1
说明
：若利用
lim (1
( x)
(1x))
(
x)
e, 则
原式
lim (1
x
1 x
)
x
1
e1
一般地
lim
x
1
k x
x
ek
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例2 解
e 结论：
பைடு நூலகம்lim
x
1
k x
axb
ka
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