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(整理)高等数学第九章重积分

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D1 第9章 重积分典型例题

一、二重积分的概念、性质

1、二重积分的概念：d01(,)lim(,)niiiiDfxyf

其中：D：平面有界闭区域，

：D中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），

i：D中第i个小区域的面积

2、几何意义：当(,)0fxy时，d(,)Dfxy表示以曲面(,)zfxy为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积。所以d1D表示区域D的面积。

3、性质（与定积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理

二、二重积分的计算

1、在直角坐标系下计算二重积分

（1） 若D为X型积分区域：12,()()axbyxyyx，则

21()()(,)(,)byxayxDfxydxdydxfxydy

（2）若D为Y型积分区域：12,()()cydxyxxy，则

21()()(,)(,)dxycxyDfxydxdydyfxydx

（3）D必须经过分割才能化为若干块X－型或者Y－型区域之和，如图，则

123(,)(,)(,)(,)DDDDfxydxdyfxydxdyfxydxdyfxydxdy

（4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函数在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。

（5）对称性的应用

xyO3D2D1D精品文档

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D1

1(,)2(,),(,)0(,)DDfxydxdyfxydxdyfxyyDxfxyy关于为偶函数区域关于轴对称，　　　　　　　　　　　　　关于为奇函数

1(,)2(,),(,)0(,)DDfxydxdyfxydxdyfxyxDyfxyx关于为偶函数区域关于轴对称，　　　　　　　　　　　　　关于为奇函数

（6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算的问题。凡遇到如下积分：2222sin1,sin,cos,,,,lnyxxxxdxxdxxdxedxedxedxdxxx一定要放在后面积分。

1．设),(yxf为连续函数，交换二次积分1202010),(),(yydxyxfdydxyxfdy的积分次序。

2．求积分xxyxxyxdyedxdyedx121212141的值。

3．若D是由1,1,3xyxy所围成的平面有界闭区域，而)(uf是连续函数，则

Ddxdyyxfyxx)](sin[222＝ ；（注意对称性的应用：72）

4、计算二重积分Dxdxdye2，其中D是第一象限中直线xy和曲线3xy围成的区域。

5、用二重积分求由曲线2axy，)0(25aayx所围成的平面图形的面积。

6．利用二重积分计算由曲面22yxZ，1y，0z，2xy所围成的曲顶柱体的体积。

2、在极坐标下计算二重积分

（1）极坐标下区域D的面积为：Ddd 精品文档

精品文档 OADθ

DAODoAθ （2）如果被积函数为2222(),(),(),(arctan)yyfxyfxyffxx，或者积分区域为圆域、扇形域、圆环时，则可用极坐标。

（3） 若积分区域D为：12,()()，则

21()()(,)(cos,sin)(cos,sin)DDfxydxdyfdddfd

（4）若积分区域D为：,0()，则

()0(,)(cos,sin)(cos,sin)DDfxydxdyfdddfd

（5）若积分区域D为：02,0()

2()00(,)(cos,sin)(cos,sin)DDfxydxdyfdddfd

1．计算二重积分Ddxdyyx)(，其中)0(02:22aaxyxD。

2、计算2140)(1041)(2222222dyedxdyedxIxyxxxyx。

3、计算axaaxadyyxayxdxI022222)0()(4122

4．计算二重积分Ddxdyyx)sin(22，其中积分域D为0,0,422yxyx。 精品文档

精品文档 三、三重积分的概念、性质

1、三重积分的概念：d01(,,)lim(,,)niiiiifxyzvfv

其中：：空间有界闭区域，

：中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），

iv：iv中第i个小区域的体积面积

2、几何意义：1dv表示空间闭区域的体积。

3、性质（与二重积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质等

四、三重积分的计算

1、对称性的应用

（1）若积分区域关于xoy坐标面对称，则d(,,)fxyzv

1(,,)2(,,),(,)0(,)fxyzdvfxyzdvfxyzfxyz关于为偶函数，　　　　　　　　　　　　　关于为奇函数

其中1为在xoy坐标面的上半部分区域

（2）若积分区域关于yoz，xoz坐标面同时对称，则d(,,)fxyzv

1(,,)4(,,),(,)0(,)fxyzdvfxyzdvfxyxyfxyxy同时为关于，的偶函数，　　　　　　　　　　　　　同时为关于，的奇函数

其中1为在第一、五卦限部分的区域

（3）若积分区域关于三个坐标面都对称，则d(,,)fxyzv

1(,,)8(,,),(,)0(,)fxyzdvfxyzdvfxyxyzfxyxyz同时为关于，，的偶函数，　　　　　　　　　　　　　同时为关于，，的奇函数

其中1为在第一卦限部分的区域

2、直角坐标系下三重积分的计算

（1） 投影法（先一后二法）

例如，将空间闭区域投影到xoy面： 精品文档

精品文档 1212(,)(,)(,):(,):xyzxyzzxyzzzxyzzxyDxoy　　　　从含有的方程中找出下底面　　　　　　　　　　　　　和上顶面在面上的投影区域

则

21(,)(,)(,,)(,,)xyzxyzxyDfxyzdvdxdyfxyzdz

注意：投影到xoy面上，则最先对z积分。

当然，也可以投影到yoz面上：

1212(,)(,)(,):(,):yzxyzxxyzxxxyzxxyzDyoz　　　　从含有的方程中找出下底面　　　　　　　　　　　　　和上顶面在面上的投影区域

21(,)(,)(,,)(,,)yzxyzxyzDfxyzdvdydzfxyzdx

（2）截面法（先二后一法）

例如把积分区域D先向Z坐标轴投影：

::[,],zxoyzczdDzcd　　　对用过轴且平行于面底平面截所得的截面

(,,)(,,)zdcDfxyzdvdzfxyzdxdy

注意：

 投影到z轴上，则最后对z积分。

 当被积函数仅与变量z有关，且截面zD容易知道时，用上述公式简便

 当然也可以投影到其他两个坐标轴上。

1．化三重积分(,,)Ifxyzdxdydz，其中积分区域为由曲面222zxy及22zx所围。

2．设)(xf在),(上连续，证明：112)()1()(dzzfzdvzf，其中1:222zyx所围成的空间区域。

3．计算dvez，其中1:222zyx。

4．计算DzdxdydzI，其中是由平面1,0zz及柱面122yx围成的区域。 精品文档

精品文档 5、zdxdydz，式中为由2122zyxz所确定的固定的圆台体。

6、求曲面2224zaxy及22zxy所围立体体积。

3、柱坐标系下三重积分的计算

（1）计算公式：(,,)(cos,sin,)fxyzdvfzdddz

例如将投影到xoy面上：1212(,)(,)::()()xyzzzD，则

2211()(,)()(,)(,,)(cos,sin)zzfxyzdvddfdz

（2）如果被积函数为22(),(),()yzfxyzfzfxyx，积分区域为圆柱面（或一部分）、锥面、抛物面所围成时，则柱面坐标比较方便。

1．计算zdxdydzI，其中是由柱面122yx及平面1,0zz围成的区域。

2、计算22Izxydxdydz，其中是由半圆柱面2220(0)xyxy及平面0,0,(0)yzzaa围成的区域。

4、球面坐标

（1）计算公式：

2(,,)(sincos,sinsin,cos)sinfxyzdvfrrrrdrdd

0,02,0r

（2）通常是先对r积分，再对积分，最后对积分。

（3）当积分区域是球形或球的一部分，或上部分是球面、下半部分是顶点在原点的锥面，被积函数为222()fxyz时，则球面坐标比较方便。

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重积分的积分性质和计算规则

重积分的积分性质和计算规则

重积分的积分性质和计算规则

重积分是高等数学中的一种重要概念，指对于一个二元函数而言，将其在一个二维区域上进行积分的过程。与单积分类似，重积分也有其特定的积分性质和计算规则。本文将详细介绍重积分的这些性质和规则，以帮助读者更好地理解和应用重积分的相关知识。

一、积分性质

1. 线性性质：重积分具有线性性，即对于常数c与两个可积函数f(x,y)和g(x,y)，有如下式子成立：

∬ (c*f(x,y) + g(x,y)) dxdy = c * ∬ f(x,y) dxdy + ∬g(x,y)dxdy

2. 可积性与非负性：如果函数f(x,y)在一个有限二维区域上是可积的，那么它在该区域上的积分一定存在；而如果函数g(x,y)在该区域上非负，则其积分也是非负的。

3. 积分次序可交换：如果二元函数f(x,y)在一个矩形区域上是可积的，则对于该区域内的任意两个积分限定，这两个积分的次序可以任意交换而不影响结果，即：

∬ f(x,y) dxdy = ∬ ( ∬f(x,y)dy ) dx = ∬(∬f(x,y) dx)dy

二、计算规则

1. Fubini定理：Fubini定理是重积分中的一个重要定理，可以将对二元函数在一个区域上的重积分转化为两个一元函数相应区域上的积分，即：

∬f(x,y)dxdy = ∫a∫b f(x,y)dxdy = ∫b∫a f(x,y)dydx = ∫a∫b f(x,y)dydx

其中f(x,y)为被积函数，a和b分别为区域在x和y轴上的积分限。

2. 直角坐标系下的计算规则：在直角坐标系下，重积分可以用二重积分的形式表示，即：

∬f(x,y)dxdy = ∫c∫d f(x,y)dxdy

其中 c 和 d 分别为区域在x和y轴上的积分限，这个积分区域可以是矩形、梯形、三角形等形状。在进行计算时，通常需先用对x或y的积分公式进行计算，再对另一个变量进行积分。

3. 极坐标系下的计算规则：在极坐标系下，重积分可以用二重积分的极坐标形式表示，即：

高等数学重积分笔记

高等数学重积分笔记

高等数学重积分笔记

重积分是高等数学中的一个重要概念，它涉及到空间内某些图形的面积、体积、重量等方面的计算。以下是一些重积分的笔记内容:

1. 重积分的概念：重积分是一种积分方法，它可以用来计算空间内某些图形的面积、体积、重量等。重积分的基本思想是将空间内的某个区域分割成多个小区域，然后对每个小区域进行积分。最终通过求和的方式得到整个区域的面积、体积、重量等。

2. 重积分的基本公式：重积分的基本公式可以用来计算任意函数的重积分。基本公式如下:

∫ABf(x,y)dxdy = ∫ABF(x,y)dydx + ∫BFCA(x,y)dydx - ∫ACBf(x,y)dxdy

其中，∫AB 表示空间内某个区域 AB 的面积，f(x,y) 表示区域

AB 内的函数值，∫ABF(x,y)dydx 表示区域 AB 内部的函数值，∫BFCA(x,y)dydx 表示区域 AB 外部的函数值，CB 表示区域 AB 的边界。

3. 重积分的应用领域：重积分广泛应用于空间内的图形计算，例如计算球的体积、圆柱的体积、圆锥的体积等。此外，重积分还可以用于计算曲线的长度、曲线的弧长、函数的极值点等。

4. 重积分的变量替换法：在重积分的计算中，有时候会遇到难以求解的积分，这时可以通过变量替换法来解决。变量替换法是指将某些变量替换成其他变量，使得积分变得容易求解。例如，当积分式中含有根号时，可以通过变量替换来解决。 5. 重积分的分部积分法：在重积分的计算中，有时候会遇到难以求解的积分，这时可以通过分部积分法来解决。分部积分法是指将积分式中的某些变量拆分成两个变量，然后分别进行积分。例如，当积分式中含有 lnx 时，可以通过分部积分来解决。

以上是重积分的一些笔记内容，希望有所帮助。

高等数学重积分总结

高等数学重积分总结

高等数学重积分总结

重积分是高等数学中的一个重要章节，包括了二重积分和三重积分。本文将对重积分的相关概念、性质、计算方法等进行总结。

一、重积分的定义和性质

重积分可以看作是对多元函数在一个区域内的积分，其中二重积分和三重积分分别对应了二元函数和三元函数。对于一个区域D，其可以用极限值对角线的方法划分成n个微小的小区域Di，其中i的取值范围为1到n。设函数f(x,y)在小区域Di上的面积为S，且S趋近于0，则重积分可以表示为：

$$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\substack{n,m\to \infty}} \sum_{i=1}^n

\sum_{j=1}^m f(x_{ij},y_{ij})\Delta S$$

其中$\Delta S$为小区域Di的面积，$(x_{ij},y_{ij})$为小区域Di的任意一点。

与一元函数的积分类似，重积分也具有线性性、可加性、区间可减性和保号性等数学特征。同时，由于重积分的定义，其也满足如下性质：

1.积分与被积函数与积分区域的连续性，即对于在区域D上连续的函数f(x,y)，有：

2.积分与区域的可加性，即对于一个区域D可以分割成两个没有公共点的子区间，则：

同时还有极坐标和柱面坐标下的重积分公式：

对于极坐标，有：

$$\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta$$

$$\iiint_W f(x,y,z)dxdydz=\int_a^b\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}

\int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho cos\varphi,\rho sin\varphi, z)\rho d\rho d\varphi

dz$$

其中W为三维区域，$(\rho,\varphi,z)$为柱面坐标系。

大一高数重积分知识点

大一高数重积分知识点

大一高数重积分知识点

重积分是高等数学中的重要概念，主要是对二重积分的推广和拓展。在本篇文章中，将介绍一些大一高数课程中涉及的重积分的基本知识点和相关概念。

一、重积分的概念

重积分是对多变量函数在某个区域上的积分，主要用于计算空间内的体积、重心以及质心等物理量。

在二维情况下，重积分被称为二重积分，表示对平面上的区域进行积分；在三维情况下，重积分被称为三重积分，表示对空间内的区域进行积分。

二、二重积分的计算

对于二重积分的计算，常用的方法有直角坐标法和极坐标法。

1. 直角坐标法

通过将二重积分化为两个一重积分的形式来计算。

例如，对于函数f(x, y)，其在矩形区域D上的二重积分可以表示为：

∬D f(x, y) dxdy

通过确定积分的上下限，将二重积分转化为两个单变量函数的积分。

2. 极坐标法

对于具有极坐标对称性的函数，可以采用极坐标来进行计算。

通过将二重积分转化为极坐标下的一重积分，可以简化计算过程。

三、三重积分的计算

对于三重积分的计算，也可以采用直角坐标法或柱坐标法进行计算。

1. 直角坐标法

对于函数f(x, y, z)，其在空间内的三重积分可以表示为：

∭E f(x, y, z) dxdydz

通过逐次进行积分，将三重积分转化为三个一重积分的形式。

2. 柱坐标法

对于具有柱坐标对称性的函数，可以采用柱坐标来进行计算。

通过将三重积分转化为柱坐标下的一重积分，可以简化计算过程。

四、变量替换法

在计算重积分时，有时可以通过变量替换法来简化积分的计算过程。

通过适当选择变量替换，可以将原先复杂的积分问题转化为更简单的形式。

变量替换法在求解一些特殊的积分问题时非常有用。

五、应用领域

重积分在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。

在物理学中，通过重积分可以计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。

在工程学中，通过重积分可以计算流体的流量、电荷分布等问题。

总结：