第8讲 类比结构构造-类比探究-2021年中考数学冲刺重点讲义

（2）探究证明 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 MN，
BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸 把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请
直接写出△PMN 面积的最大值．
A
A
E
D
ME
M
P
D
P
B
N
图1
【有关尺规作图】
CB
N
C
图2
1.尺规作图：过一点作已知直线 l 的垂线(保留痕迹，不写作法)
长．
4
A E
A
E
A
D
B
D
CB
CB
C
图1
图2
备用图
5. （2017·河南）如图1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D，E 分别在
边 AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中
点．
（1）观察猜想
图1中，线段 PM 与 PN 的数量关系是___________，位置关系是_________；
边 BD 上，且∠EAF=45°．猜想 EF，BE，DF 之间满足的数量关系，并写出
推理过程．
2. （2016·河南）（1）发现 如图1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC= a ， AB= b ．填空：当点 A 位于_______________时，线段 AC 的长取得最大值， 且最大值为__________． （2）应用 点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=3，AB=1．如图2所示，分别 以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE． ①请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段 BE 长的最大值． （3）拓展 如图3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的 坐 标 为 (5 ， 0) ， 点 P 为 线 段 AB 外 一 动 点 ， 且 PA=2 ， PM=PB ， ∠BPM=90°．请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标．

中考数学复习：类比探究专题（四）中点结构（Word）效果1：类比探求效果的处置思绪是什么？类比探求专题〔四〕——中点结构一、单项选择题(共4 道，每道25 分)1.如图1，在△ABC中，P 为BC 边的中点，直线a 绕顶点A 旋转，假定B，P 在直线a 的异侧，BM⊥直线 a 于点M，CN⊥直线 a 于点N，衔接PM，PN．要证PM=PN，只需延伸MP 交CN 于点E，经过说明某对三角形全等就可以证明此结论．此时，证明结论成立的实际基础是( )A.全等三角形的对应边相等B.直角三角形斜边中线等于斜边一半C.等腰三角形等角对等边D.等量代换答案：B解题思绪：如图，延伸MP 交CN 于点E.此时可证△M BP≌△EC P，∴M P=EP，∵∠M NE=90°，∴PN=PM =PE，即应用的是直角三角形斜边上中线等于斜边一半．应选B试题难度：三颗星知识点：中点结构2.〔上接第1 题〕假定直线a 绕点A 旋转到图2 的位置时，点B，P 在直线a 的同侧，其他条件不变，要证明PM=PN，我们可以停止和上题一样的操作，那么需求证明的全等三角形是( ) A. △APB≌△APE B.△CAN≌△ABMC. △NPB≌△NPED.△M BP≌△ECP答案：D解题思绪：依照要求，作出契合题意的辅佐线：延伸MP 交NC 的延伸线于点E．那么△M BP≌△ECP，∴PM =PE，那么在Rt△NM P中， E M=PN，∴要证明PM=PN 需求证明△M BP≌△EC P．应选D试题难度：三颗星知识点：中点结构3.如图，直线AM∥BN，∠M AB 与∠NBA 的平分线交于点C，过点 C 作一条直线l与两条直线MA，NB 区分相交于点D，E．如图1 所示，当直线l与直线MA 垂直时，那么线段AD，BE，AB 之间的数量关系是( )A. AB2=AD2+BE2B. AB＜AD+BEC. AB=AD+BED. AB=AD+2BE答案：C解题思绪：如图，延伸AC 交BN 于点F．∵AM ∥BN，∴∠DAB+∠EBA=180°，∵∠M AB与∠NBA 的平分线交于点C，∴∠C AB+∠C BA=90°，∴∠AC B=90°，∵∠BAC=∠DAC=∠BFC，∴AB=BF，∵BC⊥AF，∴AC=FC，∵∠DC A=∠EC F，∴△DC A≌△EC F，∴AD=FE，∴AB=BF=BE+FE=BE+AD．应选C 试题难度：三颗星知识点：中点结构4.〔上接第3 题〕如图2 所示，当直线l与直线MA 不垂直，且交点D，E 在AB 的异侧时，那么线段AD，BE，AB 之间的数量关系是( ) A. AB2=AD2+BE2 B. AB2=AD2-BE2C. AB=AD+BED. AB=AD-BE答案：D解题思绪：如图，延伸AC 交BN 于点F．∵AM ∥BN，∴∠DAB+∠NBA=180°，∵∠M AB与∠NBA 的平分线交于点C，∴∠C AB+∠C BA=90°，∴∠AC B=90°，∵∠BAC=∠DAC=∠BFC，∴AB=BF，∵BC⊥AF，∴AC=FC，∵∠DC A=∠EC F，，△ECF∴△DC A≌∴AD=FE，∴AB=BF=FE-BE=AD-BE．应选D。

中考热点，类比探究问题求解策略类比拓展探究问题，近几年来在中考中越来越频繁出现。

这种题型只所以受到各大城市的追捧，就是因为利用它既能很好地考查学生对课程标准要求知识的掌握情况，也能更好地考查学生活学活用的能力，考查学生把书本知识能否很好地迁移拓展到新的清净之中。

这样的题型一般多以解答题大题出现，涉及知识多与图形变换或特殊图形知识有关．对学生的自学能力要求较高．1．（2019秋•永州期末）如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．（1）若C，D，E三点在同一直线上，连接BD交AC于点F，求证：△BAD ≌△CAE．（2）在第（1）问的条件下，求证：BD⊥CE；（3）将△ADE绕点A顺时针旋转得到图2，那么第（2）问中的结论是否依然成立？若成立，请证明你的结论：若不成立，请说明理由．【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角的性质，垂直的判定，判断出△BAD≌△CAE是解本题的关键.（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；（2）由△BAD≌△CAE，得出∠ABD＝∠ACE，再判断出∠ACE+∠CFD＝90°，即可得出结论；（3）先同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，再同（2）的方法判断出BD⊥CE，即可得出结论．【解答】：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）由（1）知，△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠AFB＝90°，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠ACE+∠CFD＝90°，∴∠CDF＝90°，∴BD⊥CE；（3）BD⊥CE仍然成立，理由：如图2，延长BD交CE于点M，交AC于点F，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°,∴∠ABD+∠AFB＝90°，∵∠AFB＝∠CFM，∴∠CMF＝90°，∴BD⊥CE．2.（2019•兰山区二模）如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC 边的中点连接AD，则易证AD＝BD＝CD，即AD＝1/2BC；如图2，若将题中AB＝AC这个条件删去，此时AD仍然等于1/2BC．理由如下：延长AD到H，使得AH＝2AD，连接CH，先证得△ABD≌△CHD，此时若能证得△ABC≌△CHA，即可证得AH＝BC，此时AD＝1/2BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB ≌△HDC（SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【解答】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝1/2BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，∴△EDB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠HCD＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CF2+CH2，∵DF⊥EH，ED＝DH，∴EF＝FH，∴EF2＝BE2+CF2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．证明方法类似（2）．3.（2019秋•常德期末）操作发现：如图1，D是等边△ABC边BA上的一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF，易证AF＝BD（不需要证明）；类比猜想：①如图2，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图1相同，猜想AF与BD在图1中的结论是否仍然成立．深入探究：②如图3，当动点D在等边△ABC边BA上的一动点（点D与点B 不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，你能发现AF，BF′与AB有何数量关系，并证明你发现的结论．③如图4，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图3相同，猜想AF，BF′与AB在上题②中的结论是否仍然成立，若不成立，请给出你的结论并证明．【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理呵呵性质定理是解题的关键．类比猜想：①根据等边三角形的性质得到CB＝CA，CD＝CF，∠ACB＝∠FCD ＝60°，证明△BCD≌△ACF，根据全等三角形的性质证明结论；深入探究：②根据△BCD≌△ACF，得到BD＝AF，根据△BCF′≌△ACD，得到BF′＝AD，结合图形解答；③仿照②的证明过程解答即可．【解答】：类比猜想：①图1中的结论仍然成立，理由如下：∵△ABC和△FDC都是等边三角形，∴CB＝CA，CD＝CF，∠ACB＝∠FCD＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠FCD+∠ACD，即∠BCD＝∠ACF，易证△BCD≌△ACF（SAS）,∴BD＝AF；深入探究：②AF+BF′＝AB，理由如下：如图3，由①可知，△BCD≌△ACF，∴BD＝AF，同理，△BCF′≌△ACD，∴BF′＝AD，∴AF+BF′＝BD+AD＝AB；③AF，BF′与AB在上题②中的结论不成立，AF﹣BF′＝AB，理由如下：如图4，同理可证，△BCD≌△ACF，∴BD＝AF，同理，△BCF′≌△ACD，∴BF′＝AD，∴AF﹣BF′＝BD﹣AD＝AB．4．（2020•长葛市一模）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【解答】：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠GAF＝∠BAD，∴∠GAF﹣∠BAF＝∠BAD﹣∠BAF，即∠GAB＝∠FAD，∴易证△GAB≌△FAD（ASA），∴AG＝AF，即EF＝EG，故答案为：EF＝EG；（2）成立，证明如下：如图2，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH＝EI，∠HEI＝90°，∵∠GEH+∠HEF＝90°，∠IEF+∠HEF＝90°，∴∠IEF＝∠GEH，∴易证△FEI≌△GEH（ASA），∴EF＝EG；（3）如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN＝90°，∴EM∥AB，EN∥AD，∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴NE/AD=CE/CA,，EM/AB=CE/CA，∴NE/AD=EM/AB，即NE/EN=AD/AB=b/a，∵∠NEF+∠FEM＝∠GEM+∠FEM＝90°，∴∠GEM＝∠FEN，又∠GME＝∠FNE＝90°，∴△GME∽△FNE，∴EF/EG=EN/EM＝b/a．方法总结类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主----“条件类似、图形结构类似、问法类似”.类比探究问题的处理思路类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；即整体类比上一问思路，迁移解决下一问。

四边形之类比探究（一）➢ 知识点睛1. 类比探究问题的处理思路：①根据题干条件，结合____________先解决第一问．②用解决__________的方法类比解决下一问．类比的关键是把握住变化过程中的__________． 2. 类比探究问题中常见不变特征举例ABCE MDA BMCNM C BA（类）倍长中线 平行夹中点 中位线➢ 精讲精练1. 已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：BC=CF+CD ． （2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不 变，请直接写出BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系．（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．①请直接写出BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系；②若正方形ADEF的边长为AE ，DF 相交于点O ，求OC 的长．图1D F EC B A B E C FD A 图2图3DF E C BA 2. 如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =45°，则有结论EF =BE +DF成立．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，12EAF BAD ∠=∠，那么结论EF =BE +DF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立， 请说明理由．（2）如图3，若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得12EAF BAD ∠=∠，则结论EF =BE +DF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．3. 在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，P 是DF 的中点，连接PE ，PC ．（1）如图1，当点E 在BC边上时，求证：PE =．（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC ，PE 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．图1EPDCBAABCDP E F图24. 如图1，在四边形ABCD 中，AB =CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA ，CD 的延长线分别交于点M ，N ，则∠BME =∠CNE ． （1）如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF ，与CD ，AB 分别交于点M ，N ，判断OM ，ON 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）如图3，在△ABC 中，AC AB ，点D 在AC 边上，且AB =CD ．E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，连接DG ，若∠EFC =60°，判断△ADG 的形状，并证明你的结论．GE F DCBA 图1图2图3E FNMOCBDANM FE DBA【参考答案】➢ 知识点睛 1．①分支条件②第一问，不变特征 ➢ 精讲精练 1．（1）证明略．提示：题目中有旋转结构，证明△ABD ≌△ACF （SAS ）， 得到BD =CF ，进而得证． （2）BC CF CD =-．（3）①BC CD CF =-；②2OC =． 2．（1）成立，证明略．提示：题目中有旋转结构，证明△ADF ≌△ABH （SAS ）， 得到DF =BH ，进而得证． （2）不成立，BE EF DF =+.提示：题目中有旋转结构，证明△ABH ≌△ADF （SAS ）， 得到AH =AF ，∠BAH=∠DAF ，可证△AHE ≌△AFE （SAS ）, EF =EH ，得到BE EF DF =+.3．（1）PE =，证明略．提示：延长EP ，交CD 于点H ．证明△EFP ≌△HDP （ASA ），得到FE DH =，EP HP =， 可得CE CH =，由三线合一得，CP ⊥EH ，进而可得PE =．（2）PE =．4．（1）OM ON =，证明略．提示：取BD 的中点G'，连接EG'，FG'．则FG'∥AB ，12FG AB '=，EG'∥CD ，12EG CD '=， 由AB CD =得EG FG ''=，进而可得OM ON =．（2）△ADG 是含30°角的直角三角形，证明略． 提示：连接BD ，取BD 的中点G'，连接EG'，FG'．四边形之类比探究（二）（讲义）➢ 知识点睛类比探究问题的处理思路：①根据题干条件，结合__________先解决第一问．②用解决第一问的方法类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找__________． ③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．➢ 精讲精练1. （1）问题探究如图1，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD 1E 1和正方形BCD 2E 2，过点C 作直线K H 交直线A B 于点H ，使∠A H K =∠A C D 1．作D1M ⊥K H ，D 2N ⊥KH ，垂足分别为点M ，N ．试探究线段D 1M 与线段D 2N 的数量关系，并加以证明．（2）拓展延伸①如图2，若将“问题探究”中的“正方形”改为“正三角形”，过点C 作直线K 1H 1，K 2H 2，分别交直线AB 于点H 1，H 2，使∠AH 1K 1=∠BH 2K 2=∠ACD 1．作D 1M ⊥K 1H 1，D 2N ⊥K 2H 2，垂足分别为点M ，N ．D 1M =D 2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变，D 1M =D 2N 是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）BCD 1E 1E 2D 2F 2F 1图2图1ABCD 1K 1K 2D 2MNH 2H 1NM KHD 2E 2E 1D 1CB A2. （1）问题背景如图1，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，∠ABC 的平分线交直线AC 于点D ，过点C 作CE ⊥BD ，交直线BD 于点E ．请探究线段BD 与CE 之间的数量关系． 结论：线段BD 与CE 之间的数量关系为_______________（请直接写出结论）． （2）类比探索在（1）中，如果把BD 改为△ABC 的外角∠ABF 的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．DE AFAB CD图1 图23. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是_______________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是_______________． （2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．图2图1C B (E )A (D )（3）拓展探究已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4， DE ∥AB 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDE ，请直接写出．．．．相应的BF 的长．4. 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．（1）在图1中证明CE =CF ；（2）如图2，若∠ABC =90°，G 是EF 的中点，求∠BDG 的 度数；（3）如图3，若∠ABC =120°，FG ∥CE ，且FG =CE ，求∠BDG 的度数．DFEC BA图1GDFEC BA图2G DFE C BA图3【参考答案】➢知识点睛①分支条件；②不变特征；③不变特征．➢精讲精练1．（1）D1M=D2N，证明略．提示：证明△CMD1≌△AHC，△CND2≌△BHC．（2）D1M=D2N仍成立，证明略．（3）D1M=D2N仍成立，图形略．2．（1）BD=2CE．提示：延长CE，交BA的延长线于点M，由角平分线+垂直可以得到BM=BC，之后证明△ABD ≌△ACM即可．（2）（1）中的结论仍成立，证明略．提示：延长CE，交AB的延长线于点M，由角平分线+垂直可以得到BM=BC，之后证明△ABD ≌△ACM即可．3．（1）①AC∥DE；②S1=S2．（2）证明略．提示：证明△ANC≌△DMC，可得AN=DM，根据等底等高即可得证．．（3）BF的长为334．（1）证明略．（2）∠BDG=45°．（3）∠BDG=60°．。