2020年中考数学压轴解答题14 图形变换和类比探究类几何压轴综合问题 (学生版)

2020中考数学专题《几何变式探究和类比变换综合类问题》【方法指导】图形的类比变换是近年来中考的常考点，常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等．解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力. 【题型剖析】【类型1】几何类比变换综合题【例1】（2018秋•盐都区期中）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，ABC∆是等边三角形，点D是边BC下方一点，120∠=︒，探索线段DA、BDCDB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE BD∠+∠=︒，可证=，连接AE，根据180BAC BDC ∠=∠易证得ABD ACEABD ACE∆≅∆，得出ADE=，从而∆是等边三角形，所以AD DE 探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是____；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt ABC∆中，90∠=︒，=．若点D是边BC下方一点，90BDCBAC∠=︒，AB AC探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为____cm．【变式1-1】（2019•亭湖区二模）【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，点P 在等边三角形ABC 内，且150APC ∠=︒，3PA =，4PC =，求PB 的长．小明发现，以AP 为边作等边三角形APD ，连接BD ，得到ABD ∆；由等边三角形的性质，可证ACP ABD ∆≅∆，得PC BD =；由已知150APC ∠=︒，可知PDB ∠的大小，进而可求得PB 的长．（1）请回答：在图1中，PDB ∠=________︒，PB =____．【问题解决】（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 在ABC ∆内，且1PA =，17PB =，22PC =，求AB 的长．【灵活运用】（3）如图3，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BAC α∠=，且4tan 3α=，点P 在ABC ∆外，且3PB =，1PC =，直接写出PA 长的最大值．【变式1-2】（2018•亭湖区二模）如图，在等腰Rt ABC ∆与等腰Rt ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒．（1）连接BD ，CE （如图①)，请直接写出线段BD ，CE 的数量关系____；（2）在（1）的基础上，延长BD 交CE 于点F ，连接AF （如图②)，试探究线段AF ，BF ，CF 的数量关系，并证明你的结论；（3）连接BE ，取BE 的中点O ，连接AO （如图③)，若5AD =，2AO =，3tan 4DAO ∠=，求AB 的长．【类型2】几何旋转变换综合题【例2】（2019•海州区一模）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90C ∠=︒，30B E ∠=∠=︒．（1）操作发现：如图2，固定ABC ∆，使DEC ∆绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是____；②设BDC ∆的面积为1S ，AEC ∆的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是____．（2）猜想论证：当DEC ∆绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC ∆和AEC ∆中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上一点，6BD CD ==，//DE AB 交BC 于点E （如图4)，若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请求出相应的BF 的长．【变式2-1】（2019•辽阳模拟）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 在边BC 上，且12DAE α∠=． （1）如图1，当60α=︒时，将AEC ∆绕点A 顺时针旋转60︒到AFB ∆的位置，连接DF ， ①求DAF ∠的度数；②求证：ADE ADF ∆≅∆；（2）如图2，当90α=︒时，猜想BD 、DE 、CE 的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当120α=︒，4BD =，5CE =时，请直接写出DE 的长为____．【变式2-2】（2019•宜兴市二模）【问题提出】如图1，四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =，求四边形ABCD 的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB ∆绕点D 顺时针方向旋转60︒，得到DAB ∆'，则BDB ∆'的形状是____________．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD 的面积．[类比应用]如图3，四边形ABCD 中，AD CD =，75ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，2BC =，求四边形ABCD 的面积．【类型3】几何翻折变换综合题【例3】（2019•江都区三模）如图1，有一张矩形纸片ABCD ，已知5AB =，6AD =，现将纸片进行如下操作：首先将纸片沿折痕BF 进行折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，点F 在AD 上（如图2)；然后将纸片沿折痕DH 进行第二次折叠，使点C 落在第一次的折痕BF 上的点G 处，点H 在BC 上（如图3)．（1）如图2，判断四边形ABEF 的形状，并说明理由；（2）如图3，求BG 的长．【变式3-1】（2019•广陵区校级二模）如图，将矩形ABCD 先过点A 的直线1L 翻折，点DA 的对应点D '刚好落在边BC 上，直线1L 交DC 于点F ；再将矩形ABCD 沿过点A 的直线2L 翻折，使点B 的对应点G 落在AD '上，EG 的延长线交AD 于点H ．（1）当四边形AED H '是平行四边形时，求AD H ∠'的度数．（2）当点H 与点D 刚好重合时，试判断AEF ∆的形状，并说明理由．【变式3-2】（2018•深圳模拟）已知矩形纸片ABCD 中，2AB =，3BC =．操作：将矩形纸片沿EF 折叠，使点B 落在边CD 上．探究：（1）如图1，若点B 与点D 重合，你认为1EDA ∆和FDC ∆全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；（2）如图2，若点B 与CD 的中点重合，请你判断1FCB ∆、△1B DG 和△1EAG 之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；（3）如图2，请你探索，当点B 落在CD 边上何处，即1B C 的长度为多少时，1FCB ∆与△1B DG 全等．【达标检测】1．如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ．（1）试说明：△AED ≌△AFD ；（2）当BE ＝3，CE ＝9时，求∠BCF 的度数和DE 的长；（3）如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，D 是斜边BC 所在直线上一点，BD ＝3，BC ＝8，求DE 2的长．2．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝120°．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0），D（0，﹣4），连接AB，AC，BD，点P是线段AB上的一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交线段AC于点E，将线段EP绕点E逆时针旋转90°至EF．（1）过点P的横坐标为，则AE＝__________；（2）当点P在线段AB上运动到何处时，线段AE最长？求出此时点P的坐标；（3）连接OF．当点P在线段AB上运动时，线段OF的长度随之变化，求线段OF长度的最小值．4．如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，点D，E分别在AC，BC上，CD ＝4x，CE＝3x，其中0＜x＜3．（1）求证：DE∥AB；（2）当x＝1时，求点E到AB的距离；（3）将△DCE绕点E逆时针方向旋转，使得点D落在AB边上的D′处．在旋转的过程中，若点D′的位置有且只有一个，求x的取值范围．5．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AP⊥AB，交BC于P点．（1）如图1，若AB＝3，求BC的长；（2）点D是BC边上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE．①如图2，当点E落在AC边上时，求证：CE＝2BD；②如图3，当AD⊥BC时，直接写出的值．6．【操作发现】如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE＝30°，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF、EF，请直接写出下列结果：①∠EAF的度数为________；②DE与EF之间的数量关系为__________；【类比探究】如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D为AB边上的一点，∠DCE＝45°，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF、EF．①则∠EAF的度数为__________；②线段AE，ED，DB之间有什么数量关系？请说明理由；【实际应用】如图3，△ABC是一个三角形的余料，小张同学量得∠ACB＝120°，AC＝BC，他在边BC上取了D、E两点，并量得∠BCD＝15°、∠DCE＝60°，这样CD、CE 将△ABC分成三个小三角形，请求△BCD、△DCE、△ACE这三个三角形的面积之比．7．综合与实践：如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想在图1中，线段PM与PN的数量关系是______________，∠MPN的度数是____________；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，①判断△PMN的形状，并说明理由；②求∠MPN的度数；（3）拓展延伸若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，点DE分别在边AB，AC上，AD ＝AE＝4，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请直接写出△PMN面积的最大值．8．【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是________三角形；∠ADB的度数为________．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为________________．9．点D为△ABC外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，∠DCE＝90°，CD＝CE，求证：∠ADC＝∠BEC；（2）如图2，若∠CDB＝45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE＝BD；（3）如图3，若∠ADC＝15°，CD，BD＝n，请直接用含n的式子表示AD的长．10．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在边AB上，点D、Q分别为边BC上的点，线段AD的延长线与线段PQ的延长线交于点F，连接CP交AF于点E，若∠BPF ＝∠APC，FD＝FQ．（1）如图1，求证：AF⊥CP；（2）如图2，作∠AFP的平分线FM交AB于点M，交BC于点N，若FN＝MN，求证：DQ BC；（3）在（2）的条件下，连接DM、MQ，分别交PC于点G、H，求的值．12．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时，若AD＝DE＝2，AB ＝6，求此时线段CF的长．13．如图①，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点A坐标是（3，0），点C 坐标是（0，2），点O的坐标是（0，0），点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）求点E、F的坐标；（2）如图2，若点P是线段DA上的一个动点（点P不与点D，A重合），过P作PH⊥DB于H，设OP的长为x，△DPH的面积为S，试用关于x的代数式表示S．14．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC 于H，折痕为EF，连接BP，BH．（1）求证：BP平分∠APH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．15．已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB 上（Ⅰ）如图①，当EP⊥BC时，①求证CE＝CN；②求CN的长；（Ⅱ）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长．【题型剖析】【类型1】几何类比变换综合题【例1】（2018秋•盐都区期中）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，ABC∆是等边三角形，点D是边BC下方一点，120BDC∠=︒，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE BD∠+∠=︒，可证BAC BDC=，连接AE，根据180∠=∠易证得ABD ACEABD ACE∆≅∆，得出ADE=，从而∆是等边三角形，所以AD DE 探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =．若点D 是边BC 下方一点，90BDC ∠=︒，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为14cm 的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ 的长分别为 cm ．【分析】（1）由等边三角形知AB AC =，60BAC ∠=︒，结合120BDC ∠=︒知180ABD ACD ∠+∠=︒，由180ACE ACD ∠+∠=︒知ABD ACE ∠=∠，证ABD ACE ∆≅∆得AD AE =，BAD CAE ∠=∠，再证ADE ∆是等边三角形得DA DE DC CE DC DB ==+=+． （2）延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ，先证ABD ACE ∆≅∆得AD AE =，BAD CAE ∠=∠，据此可得90DAE BAC ∠=∠=︒，由勾股定理知222DA AE DE +=，继而可得222()DA DB DC =+；（3）由直角三角形的性质知172QN MN ==，2273MQ MN QN -，利用（2）中的273PQ QN QM =+=+ 【解析】（1）如图1，延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ，ABC ∆Q 是等边三角形， AB AC ∴=，60BAC ∠=︒， 120BDC ∠=︒Q ，180ABD ACD ∴∠+∠=︒，又180ACE ACD ∠+∠=︒Q ，ABD ACE ∴∠=∠，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，AD AE ∴=，BAD CAE ∠=∠，60ABC ∠=︒Q ，即60BAD DAC ∠+∠=︒，60DAC CAE ∴∠+∠==︒，即60DAE ∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形，DA DE DC CE DC DB ∴==+=+，即DA DC DB =+，故答案为：DA DC DB =+； （2）2DA DB DC =+，如图2，延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ，90BAC ∠=︒Q ，90BDC ∠=︒， 180ABD ACD ∴∠+∠=︒， 180ACE ACD ∠+∠=︒Q ， ABD ACE ∴∠=∠， AB AC =Q ，CE BD =， ABD ACE ∴∆≅∆，AD AE ∴=，BAD CAE ∠=∠， 90DAE BAC ∴∠=∠=︒， 222DA AE DE ∴+=，222()DA DB DC ∴=+， ∴2DA DB DC =+；（3）如图3，连接PQ ，14MN =Q ，30QMN ∠=︒，172QN MN ∴==，MQ ∴由（27QN QM =+=+，PQ ∴==【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式1-1】（2019•亭湖区二模）【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，点P 在等边三角形ABC 内，且150APC ∠=︒，3PA =，4PC =，求PB 的长．小明发现，以AP 为边作等边三角形APD ，连接BD ，得到ABD ∆；由等边三角形的性质，可证ACP ABD ∆≅∆，得PC BD =；由已知150APC ∠=︒，可知PDB ∠的大小，进而可求得PB 的长．（1）请回答：在图1中，PDB ∠= ︒，PB = ． 【问题解决】（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 在ABC ∆内，且1PA =，PB =PC =AB 的长．【灵活运用】（3）如图3，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BAC α∠=，且4tan 3α=，点P 在ABC ∆外，且3PB =，1PC =，直接写出PA 长的最大值．【分析】（1）由ACP ABD ∆≅∆，得150ADB APC ∠=∠=︒，4PC BD ==，3AD AP ==，因为ADP ∆为等边三角形，所以60ADP ∠=︒，3DP AD ==，可得90BDP ∠=︒，在Rt BDP ∆中，用勾股定理可求得PB 的长；（2）如图2中，把ACP ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到BCD ∆．首先证明90PDB ∠=︒，再证明A ，P ，D 共线，利用勾股定理即可解决问题． （3）如图3中，作CD CP ⊥，使得3344CD PC ==，则2254PD PC CD =+=，利用相似三角形的性质求出AD ，即可解决问题． 【解析】（1）如图1中，ACP ABD ∆≅∆Q ，150PDB APC ∴∠=∠=︒，4PC BD ==，3AD AP ==，ADP ∆Q 为等边三角形， 60ADP ∴∠=︒，3DP AD ==， 1506090BDP ∴∠=︒-︒=︒，22345PB ∴=+=．故答案为：90︒，5；（2）如图2中，把ACP ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到BCD ∆．由旋转性质可知；1BD PA ==，22CD CP ==，90PCD ∠=︒，PCD ∴∆是等腰直角三角形，22224PD PC ∴==⨯=，45CDP ∠=︒，22224117PD BD +=+=Q ，22(17)17PB ==，222PD BD PB ∴+=，90PDB ∴∠=︒， 135BDC ∴∠=︒，135APC CDB ∴∠=∠=︒，45CPD ∠=︒Q ， 180APC CPD ∴∠+∠=︒，A ∴，P ，D 共线， 5AD AP PD ∴=+=，在RtADB 中，22225126AB AD BD =+=+=． （3）如图3中，作CD CP ⊥，使得3344CD PC ==，则2254PD PC CD =+=，4tan 3BC BAC AC ∠==Q ， ∴BC PCAC CD=， 90ACB PCD ∠=∠=︒Q ， ACD BCP ∴∠=∠， ACD BCP ∴∆∆∽，∴34AD CD PB PC ==， 94AD ∴=， Q93954444PA -+剟，∴3722PA 剟， PA ∴的最大值为72． 【变式1-2】（2018•亭湖区二模）如图，在等腰Rt ABC ∆与等腰Rt ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒．（1）连接BD ，CE （如图①)，请直接写出线段BD ，CE 的数量关系 ；（2）在（1）的基础上，延长BD 交CE 于点F ，连接AF （如图②)，试探究线段AF ，BF ，CF 的数量关系，并证明你的结论；（3）连接BE ，取BE 的中点O ，连接AO （如图③)，若5AD =，2AO =，3tan 4DAO ∠=，求AB 的长．【分析】（1）结论：BD EC =．只要证明BAD CAE ∆≅∆即可解决问题；（2）结论：2BF FA FC =．如图②中，作AM AF ⊥交BF 于M ．想办法证明BM FC =，MAF ∆是等腰直角三角形即可解决问题；（3）如图③中，作DM AO ⊥交AO 的延长线于M ，作EN OA ⊥交OA 的延长线于N ，作AH EO ⊥于H ．想办法求出AH ，BH 即可解决问题；【解析】（1）结论：BD CE =． 理由：如图①中，AB AC =Q ，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒， BAD CAE ∴∆≅∆， BD EC ∴=．故答案为BD EC =．（2）结论：2BF FA FC =．理由：如图②中，作AM AF ⊥交BF 于M ．BAD CAE∆≅∆Q，ABM ACF∴∠=∠，90BAC MAF∠=∠=︒Q，BAM CAF∴∠=∠，AB AC=Q，BAM CAF∴∆≅∆，BM CF∴=，AM AF=，AMF∴∆是等腰直角三角形，2FM FA∴=，2FB FM BM CF AF∴=+=+，2BF AF FC∴-=．（3）如图③中，作DM AO⊥交AO的延长线于M，作EN OA⊥交OA的延长线于N，作AH EO⊥于H．在Rt ADM∆中，3tan4DMDAMAM∠==，设3DM k=，4AM k=，则有222(3)(4)5k k+=，解得1k=±，k>Q，1k∴=，3DM∴=，4AM=，2OA =Q ， 2OM ∴=，由ADM EAN ∆≅∆，可得4NE AM ==，3AN DM ==，在Rt ENO ∆中，EO =OH x =， 22222AH OA OH AE EH =-=-Q ，222225)x x ∴-=-，解得x =，OH ∴AH ，在Rt ABH ∆中，AB ==【类型2】几何旋转变换综合题【例2】（2019•海州区一模）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90C ∠=︒，30B E ∠=∠=︒． （1）操作发现：如图2，固定ABC ∆，使DEC ∆绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是 ；②设BDC ∆的面积为1S ，AEC ∆的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是 ． （2）猜想论证：当DEC ∆绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC ∆和AEC ∆中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究已知60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上一点，6BD CD ==，//DE AB 交BC 于点E （如图4)，若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请求出相应的BF 的长．【分析】（1）①证明60EDC DCA ∠=∠=︒即可判断．②首先证明AD BD =，推出ADC ∆与BDC ∆的面积相等，再证明ADC ∆与ACE ∆的面积相等即可．（2）作AN EC ⊥交EC 的延长线于N ，DM BC ⊥于M ，证明()ACN DCM AAS ∆≅∆即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【解析】（1）①如图1中， 由旋转可知：CA CD =，90ACB ∠=︒Q ，30B ∠=︒， 60CAD ∴∠=︒， ADC ∴∆是等边三角形， 60DCA ∴∠=︒，90ECD ∠=︒Q ，30DEC ∠=︒， 60CDE ∴∠=︒， EDC DCA ∴∠=∠，//DE AC ∴，②2AB AC =Q ，AD AC =，AD BD ∴=，BDC ADC S S ∆∆∴=，//DE AC Q ，ADC ACE S S ∆∆∴=， 12S S ∴=．故答案为：//DE AC ，12S S =． （2）如图3中，DEC ∆Q 是由ABC ∆绕点C 旋转得到， BC CE ∴=，AC CD =，90ACN BCN ∠+∠=︒Q ，1809090DCM BCN ∠+∠=︒-︒=︒， ACN DCM ∴∠=∠，在ACN ∆和DCM ∆中， 90ACN DCM ANC DMC AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ACN DCM AAS ∴∆≅∆，AN DM ∴=，BDC AEC S S ∆∆∴=．（3）如图4中，作//DF BC 交AB 于F ．延长CD 交AB 于H ．//DF BE Q ，//DE BF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，BDF BDE S S ∆∆∴=，BDF DFC S S ∆∆=， DFC BDE S S ∆∆∴=，60ABC ∠=︒Q ，BD 平分ABC ∠， 30ABD DBE ∴∠=∠=︒， //DF BE Q ， 30FDB ∴∠=︒， 30FBD FDB ∴∠=∠=︒，FB FD ∴=，∴四边形DEBF 是菱形，6BD CD ==Q ， 30DBC DCB ∴∠=∠=︒， 60DEC ABC ∠=∠=︒Q ， 90CDE ∴∠=︒，3tan30623DE CD ∴=︒==g 23BF DE ∴==//DE AB Q ，90BHC EDC ∴∠=∠=︒，CH AB ∴⊥，作点F 关于CH 的对称点F '，连接DF '，易知DFC DF C S S ∆'=V ，在Rt DFH ∆中，sin303FH HF DF ='=︒=g ， 43BF ∴'=综上所述，满足条件的BF 的值为23或43．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴．【变式2-1】（2019•辽阳模拟）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 在边BC 上，且12DAE α∠=．（1）如图1，当60α=︒时，将AEC ∆绕点A 顺时针旋转60︒到AFB ∆的位置，连接DF ， ①求DAF ∠的度数； ②求证：ADE ADF ∆≅∆；（2）如图2，当90α=︒时，猜想BD 、DE 、CE 的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当120α=︒，4BD =，5CE =时，请直接写出DE 的长为 ．【分析】（1）①利用旋转的性质得出FAB CAE ∠=∠，再用角的和即可得出结论； ②利用SAS 判断出ADE ADF ∆≅∆，即可得出结论；（2）先判断出BF CE =，ABF ACB ∠=∠，再判断出90DBF ∠=︒，即可得出结论； （3）同（2）的方法判断出60DBF ∠=︒，再用含30度角的直角三角形求出BM ，FM ，最后用勾股定理即可得出结论．【解析】（1）①由旋转得，FAB CAE ∠=∠，603030BAD CAE BAC DAE ∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒Q ， 30DAF BAD BAF BAD CAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒；②由旋转知，AF AE =，BAF CAE ∠=∠，BAF BAD CAE BAD BAC DAE DAE ∴∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，在ADE ∆和ADF ∆中，AF AEDAF DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE ADF SAS ∴∆≅∆；（2）222BD CE DE +=，理由：如图2，将AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒到AFB ∆的位置，连接DF ，BF CE ∴=，ABF ACB ∠=∠，由（1）知，ADE ADF ∆≅∆，DE DF ∴=，AB AC =Q ，90BAC ∠=︒， 45ABC ACB ∴∠=∠=︒，90DBF ABC ABF ABC ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，根据勾股定理得，222BD BF DF +=， 即：222BD CE DE +=；（3）如图3，将AEC ∆绕点A 顺时针旋转120︒到AFB ∆的位置，连接DF ，BF CE ∴=，ABF ACB ∠=∠，由（1）知，ADE ADF ∆≅∆，DE DF ∴=，5BF CE ==， AB AC =Q ，120BAC ∠=︒， 30ABC ACB ∴∠=∠=︒，60DBF ABC ABF ABC ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，过点F 作FM BC ⊥于M ，在Rt BMF ∆中，9030BFM DBF ∠=︒-∠=︒，5BF =，52BM ∴=，FM = 4BD =Q ，32DM BD BM ∴=-=，根据勾股定理得，DF ==DE DF ∴==【变式2-2】（2019•宜兴市二模）【问题提出】如图1，四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =，求四边形ABCD 的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题． （1）如图2，连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB ∆绕点D 顺时针方向旋转60︒，得到DAB ∆'，则BDB ∆'的形状是 ．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD 的面积．[类比应用]如图3，四边形ABCD 中，AD CD =，75ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，2BC =，求四边形ABCD 的面积．【分析】（1）易证DEB DAB ∆≅∆'，则BD DB ='，60BDB ∠'=︒，所以BDB ∆'是等边三角形； （2）知等边三角形的边长为3，求出S BDB ∆'即可；【类比应用】类比（1），连接BD ，由于AD CD =，所以可将BCD ∆绕点D 逆时针方向旋转60︒，得到DAB ∆'，连接BB '，延长BA ，作B E BE '⊥；易证AFB ∆'是等腰直角三角形，AEB ∆是等腰直角三角形，利用勾股定理计算1AE B E ='=，10BB '=ABB ∆'和BDB ∆'的面积和即可．【解析】（1）如图2，连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB ∆绕点D 顺时针方向旋转60︒，得到DAB ∆'，BD B D ='Q ，60BDB ∠'=︒BDB ∴∆'是等边三角形；（2）由（1）知，BCD ∆≅△B AD '，∴四边形ABCD 的面积=等边三角形BDB '的面积，1BC AB ='=Q213BB AB AB ∴'=+'=+=，132BDB ABCD S S ∆'∴==⨯=四边形； 【类比应用】如图3，连接BD ，由于AD CD =，所以可将BCD ∆绕点D 逆时针方向旋转60︒，得到DAB ∆'，连接BB '，延长BA ，作B E BE '⊥； Q AD CDCDB ADB BD B D =⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩， BCD ∴∆≅△B AD 'ABCD BDB A S S '∴=四边形四边形，75ABC ∠=︒Q ，60ADC ∠=︒， 135BAB ∴∠'=︒45B AE ∴∠'=︒，B A BC '=Q1B E AE ∴'==，213BE AB AE ∴=+=+=，BB ∴'，1121122ABB S AB B E ∆'∴='=⨯⨯=g g ，12S BDB ∆'==，1ABB ABCD BDB A S S S BDB S ∆''∴==∆'-=四边形四边形．【类型3】几何翻折变换综合题【例3】（2019•江都区三模）如图1，有一张矩形纸片ABCD ，已知5AB =，6AD =，现将纸片进行如下操作：首先将纸片沿折痕BF 进行折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，点F 在AD 上（如图2)；然后将纸片沿折痕DH 进行第二次折叠，使点C 落在第一次的折痕BF 上的点G 处，点H 在BC 上（如图3)．（1）如图2，判断四边形ABEF 的形状，并说明理由； （2）如图3，求BG 的长．【分析】（1）由折叠可得：AB BE =，且90A ABE BEF ∠=∠=∠=︒，即可得出结论；’ （2）过G 点作//MN AB ，交AD 、BC 于点M 、N ，由四边形ABEF 为正方形，可求得AF 的长，得出BNG ∆和FMG ∆为等腰直角三角形，设BN x =，则可表示出GN 、MG 、MD ，利用折叠的性质可得到CD DG =，在Rt MDG ∆中，利用勾股定理可求得x ，即可得出结果． 【解析】（1）四边形ABEF 是正方形，理由如下： Q 四边形ABCD 为矩形，5AB CD ∴==，6BC AD ==，由折叠可得：AB BE =，且90A ABE BEF ∠=∠=∠=︒， ∴四边形ABEF 为正方形；（2）过点G 作//MN AB ，分别交AD 、BC 于点M 、N ，如图3所示：Q 四边形ABEF 是正方形，5AF AB ∴==， //MN AB Q ，BNG ∴∆和FMG ∆为等腰直角三角形，且5MN AB ==，设BN x =，则GN AM x ==，5MG MN GN x =-=-，6MD AD AM x =-=-， 又由折叠的性质可知：5DG DC ==，在Rt MDG ∆中，由勾股定理可得222MD MG GD +=， 即222(6)(5)5x x -+-=， 解得：2x =，2GN BN ∴==，222BG BN ∴==．【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．【变式3-1】（2019•广陵区校级二模）如图，将矩形ABCD 先过点A 的直线1L 翻折，点DA 的对应点D '刚好落在边BC 上，直线1L 交DC 于点F ；再将矩形ABCD 沿过点A 的直线2L 翻折，使点B 的对应点G 落在AD '上，EG 的延长线交AD 于点H ． （1）当四边形AED H '是平行四边形时，求AD H ∠'的度数．（2）当点H 与点D 刚好重合时，试判断AEF ∆的形状，并说明理由．【分析】（1）如图1中，在RT ABC ∆中，由2AD AB '=推出30AD B ∠'=︒，再证明四边形AED H '是菱形即可解决问题．（2）如图2中，先证明△DD G '≅△DD C '得出DG DC AB AG ===，发现AGD ∆、GED ∆'、DEC ∆都是等腰直角三角形，再证明ABE ECF ∆≅∆即可解决问题．【解析】（1）如图1中，Q 四边形AED H '是平行四边形，AG GD ∴=，EH AD ⊥Q ，∴四边形AED H '是菱形，AD H AD B ∴∠'=∠'，AEG ∆Q 是由AEB ∆翻折得到， AB AG D G ∴=='，Q 四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒， 30AD B ∴∠'=︒， 30AD H ∴∠'=︒．（2）结论：AEF ∆是等腰直角三角形． 理由：如图2中，连接DD '． Q 四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，ADD DD C ∠'=∠'，AB DC =，90B C ∠=∠=︒，AD AD ='Q ， ADD AD D ∴∠'=∠'， DD A DD C ∴∠'=∠'，在△DD G ' 和△DD C '中，DGD DCD DD G DD C DD DD ∠'=∠'⎧⎪∠'=∠'⎨⎪'='⎩， ∴△DD G '≅△DD C '，DG DC AB AG ∴===，90AGD ∠=︒Q ，45GAD GDA AD E DED ∴∠=∠=∠'=∠'=︒， EG GD BE CD ∴='=='， 90AD B FD C ∠'+∠'=︒Q ， 45FD C D FC ∴∠'=''=︒， CD CF BE ∴'==，45CED CDE ∠=∠=︒Q ， EC CD AB ∴==，在ABE ∆和ECF ∆中， 90AB EC B C BE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ABE ECF ∴∆≅∆，AE EF ∴=，BAE CEF ∠=∠， 90BAE AEB ∠+∠=︒Q ， 90AEB CEF ∴∠+∠=︒， 90AEF ∴∠=︒，AEF ∴∆是等腰直角三角形．【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识，第一问的关键是菱形性质的应用，第二个问题的关键是正确寻找全等三角形，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式3-2】（2018•深圳模拟）已知矩形纸片ABCD 中，2AB =，3BC =． 操作：将矩形纸片沿EF 折叠，使点B 落在边CD 上．探究：（1）如图1，若点B 与点D 重合，你认为1EDA ∆和FDC ∆全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；（2）如图2，若点B 与CD 的中点重合，请你判断1FCB ∆、△1B DG 和△1EAG 之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；（3）如图2，请你探索，当点B 落在CD 边上何处，即1B C 的长度为多少时，1FCB ∆与△1B DG 全等．【分析】（1）由四边形ABCD 是矩形，可得90A B C ADC ∠=∠=∠=∠=︒，AB CD =，由折叠的性质可得：1A A ∠=∠，190B A DF ∠=∠=︒，1CD A D =，然后利用同角的余角相等，可证得1A DE CDF ∠=∠，则可利用ASA 证得1EDA ∆和FDC ∆全等；（2）易得△1B DG 和△1EAG 全等，1FCB ∆与△1B DG 相似，然后设FC x =，由勾股定理可得方程2221(3)x x +=-，解此方程即可求得答案；（3）设1B C a =，则有12FC B D a ==-，11B F BF a ==+，在直角1FCB ∆中，可得222(1)(2)a a a +=-+，解此方程即可求得答案．【解析】（1）全等．证明：Q 四边形ABCD 是矩形，90A B C ADC ∴∠=∠=∠=∠=︒，AB CD =，由题意知：1A A ∠=∠，190B A DF ∠=∠=︒，1CD A D =， 190A C ∴∠=∠=︒，90CDF EDF ∠+∠=︒， 1A DE CDF ∴∠=∠，在1EDA ∆和FDC ∆中， 111A C A D CDA DE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，1()EDA FDC ASA ∴∆≅∆；（2）△1B DG 和△1EAG 全等，1FCB ∆与△1B DG 相似， 设FC x =，则13B F BF x ==-，1112B C DC ==， 2221(3)x x ∴+=-，43x ∴=， 1FCB ∴∆与△1B DG 相似，相似比为4:3．（3）1FCB ∆与△1B DG 全等．设1B C a =，则有12FC B D a ==-，11B F BF a ==+， 在直角1FCB ∆中，可得222(1)(2)a a a +=-+， 整理得2630a a -+=，解得：36a =-（另一解舍去），∴当136B C =-时，1FCB ∆与△1B DG 全等．【达标检测】1．如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ． （1）试说明：△AED ≌△AFD ；（2）当BE ＝3，CE ＝9时，求∠BCF 的度数和DE 的长；（3）如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，D 是斜边BC 所在直线上一点，BD ＝3，BC ＝8，求DE 2的长．【分析】（1）想办法证明∠DAE ＝∠DAF ，由DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；（2）如图1中，设DE＝x，则CD＝9﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，推出x2＝（9﹣x）2+32，解方程即可；（3）分两种情形①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．由△EAD≌△ADC，推出∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝5，推出∠EBD＝90°，推出DE2＝BE2+BD2＝52+32＝34；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2＝130；【解析】（1）如图1中，∵△BAE≌△CAF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，∴∠DAE＝∠DAF，∵DA＝DA，AE＝AF，∴△AED≌△AFD；（2）如图1中，设DE＝x，则CD＝9﹣x．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ABE＝∠ACF＝45°，∴∠DCF＝90°，∵△AED≌△AFD，∴DE＝DF＝x，在Rt△DCF中，∵DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，∴x2＝（9﹣x）2+32，∴x＝5，∴DE＝5．（3）①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∵AE＝AD，AB＝AC，∴△EAD≌△ADC，∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝5，∴∠EBD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝52+32＝34，②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．同法可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝11，DB＝3，∴DE2＝EB2+BD2＝121+9＝130，综上所述，DE2的值为34或130．2．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝120°．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．【分析】（1）根据全等三角形的判定证明即可；（2）根据平行线的性质和等边三角形的判定解答即可；（3）根据点D在AB上时，BD最小和点D在BA延长线上时，BD最大矩形分析解答即可．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形．理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，∴PM CE，PM∥CE，∵点N，M分别是BC，DE的中点，∴PN BD，PN∥BD，同理可得BD＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，。

中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1.观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长3．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）解决问题是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．11．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．12．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，（1）问题发现的值为；（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．14．如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG（1）如图1，判断线段DM和GM的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC＝10，CE＝2，正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出△DMG的面积．15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．16.如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN 的周长的最大值．17.已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°.（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.18.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.19.已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．（1）【观察猜想】如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是；②∠BDE的度数是；（2）【探究证明】如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC 边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．20.如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．21.如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．22.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．23．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE ⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．27．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．28.【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．29．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．30．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）如图①中，∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为：BF⊥BE，BC．（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝2，∴BF+BE＝BH＝2；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF＝DE，DB＝DH，∴△BDF≌△HDE，∴BF＝EH，∴BF+BE＝EH+BE＝BH，∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，∴BM＝MH＝BD•sin．∴BF+BE＝BH＝2n•sin．2．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，∴52+62＝92﹣9B′C′，∴B′C′＝．3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣4．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，∵四边形DFGE是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF故答案为：BE＝AF；（2）成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；综上所述，（1）中的结论BE＝AF成立；（3）在△ADE中，∵AE＜AD+DE，∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，∴AE＝AD+DE＝3，即AE的最大值为3．5．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（2）（1）的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（3）如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE＝∠OHF＝90°，∴∠BAD+∠GOH＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠GOH＝∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB＝S△AOD，∵S△AOB＝AB•OG，S△AOD＝AD•OH，∴AB•OG＝AD•OH，∴＝，∴．6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．7．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．8．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．9．【解答】解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．故答案为：45°（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．10．【解答】（1）解：AC⊥BD，理由如下：连接AC、BD，如图2所示：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2；理由如下：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，设BD、AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：如图3，连接CG、BE，∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．11．【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．12．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，∴＝cos30°＝，∴＝2•＝，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴＝＝．故答案为．（2）结论：AG＝BE．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∴＝，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴＝＝，∴AG＝BE．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG＝CF，∴GC＝2，∵HG＝，∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．13．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝1，∴＝1（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝，∴＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．14．【解答】解：（1）如图1，延长GM交AD于H，∵AD∥GF，∴∠GFM＝∠HAM，在△FMG和△AMH中，，∴△FMG≌△AMH（ASA），∴HM＝GM，AH＝FG，∵AD＝CD，AH＝FG＝CG，∴DH＝DG，∵∠HDG＝90°，HM＝GM，∴DM＝MG，DM⊥MG，故答案为DM＝MG，DM⊥MG．（2）结论成立：DM＝MG，DM⊥MG，理由：如图2中，延长GM使得MH＝GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．∵AM＝MF，∠AMH＝∠FMG，MH＝MG，∴△AMH≌△FMG（SAS），∴AH＝GF＝CG，∠AHM＝∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD＝∠N，∵∠ODN＝∠OGC＝90°，∠DON＝∠GOC，∴∠N＝∠OCG，∴∠HAD＝∠DCG，∵AH＝CG，AD＝CD，∴△HAD≌△GCD（SAS），∴DH＝DG，∠HDA＝∠CDG，∴∠HDG＝∠ADC＝90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH＝MG，∴DM⊥GH，DM＝MH＝MG，（3）①如图3﹣1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC＝＝10，在Rt△ACE中，AE＝＝14，∴AF＝AE＝EF＝14﹣2＝12，∴FM＝AM＝AF＝6，在Rt△MGF中，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝20，②如图3﹣2中，连接AC．同法可得AE＝14，AF＝16，FM＝8，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．15．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形P A'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形P A'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CG min＝，PQ min＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣．16．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．（3）∵PM＝EC，∴当EC最大时，等边△PMN的周长最大，∵EC≤AE+AC，∴EC≤8，∴PM≤4，∴PM的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．18．【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，。

教育部2020年中考数学必考压轴题及答案教育部2020年中考数学必考压轴题及答案一、函数与几何综合的压轴题1.如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)求证：E点在y轴上；如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.[解]（1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC∴又∵DO′+BO′=DB∴∵AB=6，DC=3，∴EO′=2又∵，∴∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2②联立①②得∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）E（0，-2）三点，得方程组解得a=-1,b=0,c=-2∴抛物线方程y=-x2-2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x 轴垂足为F。

同（1）可得：得：E′F=2方法一：又∵E′F∥AB，∴S△AE′C=S△ADC-S△E′DC===DB=3+kS=3+k为所求函数解析式方法二：∵BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA∴S△AE′C=S△BDE′∴S=3+k为所求函数解析式.证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4∴∴S=3+k为所求函数解析式.2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点.求点A的坐标；设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线的解析式.解：由已知AM＝，OM＝1，在Rt△AOM中，AO＝，∴点A的坐标为A（0，1）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1∴y＝x＋1令y＝0则x＝－1∴B（—1，0），AB＝在△ABM中，AB＝，AM＝，BM＝2∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°∴直线AB是⊙M的切线解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝，AC ＝2，∴BC＝∵∠BAC＝90°∴△ABC的外接圆的直径为BC，∴而，设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a ＝±5∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法二：（接上）求得∴h＝5由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0，a＝±5∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法三：（接上）求得∴h＝5因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）由已知得∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.3.如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线过点A、B，且顶点C在⊙P上.(1)求⊙P上劣弧的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由如图，连结PB，过P 作PM⊥x轴，垂足为M.在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°的长＝（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝.又OM=1，∴A（1－，0），B（1＋，0），由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，则C(1，－3).点A、B、C在抛物线上，则解之得抛物线解析式为（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.又点D（0，－2）在抛物线上，故存在点D（0，－2），使线段OC与PD互相平分.如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，）在轴的正半轴上，A、B是轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.求过A、B、C三点的抛物线的解析式；请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若.[解](1)在Rt△AB C中，OC⊥AB，∴△AOC≌△COB.∴OC2＝OA·OB.∵OA∶OB＝3∶1,C(0,),∴∴OB＝1.∴OA＝3.∴A(-3,0),B(1,0).设抛物线的解析式为则解之，得∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.证明：连结O1E、OE、OF.∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,∴四边形EOFC为矩形.∴QE＝QO.∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，∴EF与⊙O1相切.同理：EF理⊙O2相切.(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.∵MN∥OA,∴△CMN∽△CAO.∴∴解之，得此时，四边形OPMN是正方形.∴∴考虑到四边形PMNO此时为正方形，∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.故轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且或5.如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y ＝ax2+bx+1以P为顶点．(1)说明点A、C、E在一条条直线上；(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．(本题图形仅供分析参考用)x+1.将点E的坐标E(，)代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=，∵左边=右边，∴点E在直线y=x+1上，即点A、C、E在一条直线上.（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为，且P在矩形ABCD内部，∴1＜＜3，由1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3∴GO·AO—FO·AO=3∵OA=1，∴GO—FO=6.设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=＜0，∴x1＜0＜x2，∴GO=x2，FO=—x1，∴x2—（—x1）=6，即x2+x1=6，∵x2+x1=—∴—=6，∴b=—6a,∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1,其顶点P的坐标为（3，1—9a）,∵顶点P在矩形ABCD内部，∴1＜1—9a＜3,∴—＜a＜0.∴x=0或x==6+.当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，则有：0＜6+≤，解得：—≤a＜—综合得：—＜a＜—∵b=—6a，∴＜b＜6.已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动.求⊙A的半径；若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.(1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90o再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝(2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45o可得：b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1，∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x又由r＝，易得C(2，0)或C(－2，0)由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2)再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分(3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m ＞0)过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，又由切割线定理可得：OP2＝PC.PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2) (8)分同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2)(4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2，当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m，∴S ＝同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m；∴S＝又若C(－2，0)，此时l为y＝x，同理可得；S＝.如图，直线与函数的交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．（1）若的面积的倍，求与之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，是否存在和，使得以为直径的圆经过点．若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．[解]（1）设，(其中)，由，得∴··(····)，，又，∴，即，由可得，代入可得①∴，，∴，即．又方程①的判别式，∴所求的函数关系式为．（2）假设存在,，使得以为直径的圆经过点．则，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．∵与都与互余，∴．∴Rt∽Rt，∴．∴，∴，∴，即②由（1）知，，代入②得，∴或，又，∴或，∴存在,，使得以为直径的圆经过点，且或．8.已知抛物线与x轴交于两点、，与y轴交于点C，且AB=6.（1）求抛物线和直线BC的解析式.（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC.（3）若过A、B、C三点，求的半径.（4）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使被直线BC 分成面积比为1）由题意得：解得经检验m=1，∴抛物线的解析式为：或：由得，或抛物线的解析式为由得∴A（－50），B（1，0），C（0，－5.设直线BC的解析式为则∴直线BC的解析式为(2)图象略.（3）法一：在中，.又∴的半径法二：由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线的对称轴直线上，设P（－2－hh＞0），连结PB、PC，则，由，即，解得h=2.的半径.法三：延长CP交于点F.为的直径，又又的半径为（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为则点E的坐标为若则解得（不合题意舍去），若则解得（不合题意舍去），存在点M，点M的坐标为或（15，280）.9.如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为、，直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.若抛物线经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.求直线DF的解析式.是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.[解](1)∵抛物线过A、B两点，∴，m=3.∴抛物线为.又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点. ∴D点坐标为.(2)由题意知：AB=4.∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2.∴ON=1.由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC，∴NC×4=2×2.∴NC=1.∴C点坐标为.设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°.∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.∵GC、GF是切线，∴GC=GF.∴∠3=∠4.∴∠1=∠2.∴GF=GP.∴GC=GP.可得CP=8.∴P点坐标为设直线DF的解析式为则解得∴直线DF的解析式为：(3)假设存在过点G的直线为，则，∴.由方程组得由题意得，∴.当时，，∴方程无实数根，方程组无实数解.∴满足条件的直线不存在.10.已知二次函数的图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B （－1，0）和点C，顶点为P.求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（1）解：∵二次函数的图象过点A（－3，6），B（－1，0）得解得∴这个二次函数的解析式为：由解析式可求P（1，－2），C（3，0）画出二次函数的（2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45°又已知：∠DPC＝∠BAC∴△DPC∽△BAC∴易求∴∴∴解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.设抛物线的对称轴交x轴于F.亦可证△AEB∽△PFD、∴.易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2∴∴∴（3）存在.（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，∴MG＝MH＝OM又∵且OM＋MC＝OC∴∴（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′同理OM′＋OC＝M′C，得∴M′即在x轴上存在满足条件的两个点.在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.（1），顶点坐标为（1，－4）.（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3），即y＝ax2－2ax－3a，∴A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），M（1，－4a），∴S△ACB＝×4×＝6，而a＞0，∴S△ACB＝6A、作MD⊥x轴于D，又S△ACM＝S△ACO＋SOCMD－S△AMD＝·1·3a＋（3a＋4a）－·2·4a＝a，∴S△ACM：S△ACB＝1：6.（3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k，有菱形可知＝，a＋k＞0，k＜0，∴k＝，∴y＝ax2－2ax＋，∴.记l与x轴交点为D，若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝，∴k＝－，a＝，∴抛物线的解析式为.若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝，∴k＝－，a＝，∴抛物线的解析式为.②当抛物线开口向下时，同理可得，.已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。

2020年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：几何变换（10题）一、解答题（共10小题）1．（2018•金水区校级四模）如图乙，ABC ∆和ADE ∆是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线BD ，CE 的交点．（1）如图甲，将ADE ∆绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，则下列给出的四个结论中，其中正确的是 ．①BD CE =②BD CE ⊥③45ACE DBC ∠+∠=︒④2222()BE AD AB =+ （2）若4AB =，2AD =，把ADE ∆绕点A 旋转， ①当90EAC ∠=︒时，求PB 的长； ②求旋转过程中线段PB 长的最大值．2．（2016•天津）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(4,0)A ，点(0,3)B ，把ABO ∆绕点B 逆时针旋转，得△A BO ''，点A ，O 旋转后的对应点为A '，O '，记旋转角为α． （Ⅰ）如图①，若90α=︒，求AA '的长； （Ⅱ）如图②，若120α=︒，求点O '的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA 上 的一点P 旋转后的对应点为P '，当O P BP '+'取得最小值时，求点P '的坐标（直接写出结果即可）3．（2019•沈丘县一模）观察猜想（1）如图①，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB AC ==，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90︒得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是 ，BE BF += ； 探究证明（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使1AD =，其余条件不变，如图②，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE BF +的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸（3）如图③，在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点D 在边BA 的延长线上，BD n =，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转，旋转角EDF α∠=，连接BF ，则BE BF +的值是多少？请用含有n ，α的式子直接写出结论．4．（2016•湖州）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120︒的平行四边形(120)ABCD BAD ∠=︒进行探究：将一块含60︒的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60︒角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包括线段的端点）． （1）初步尝试如图1，若AD AB =，求证：①BCE ACF ∆≅∆，②AE AF AC +=； （2）类比发现如图2，若2AD AB =，过点C 作CH AD ⊥于点H ，求证：2AE FH =；（3）深入探究如图3，若3AD AB =，探究得：3AE AFAC+的值为常数t ，则t = ．5．（2015•南通）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，15AB =，9BC =，点P ，Q 分别在BC ，AC 上，3CP x =，4(03)CQ x x =<<．把PCQ ∆绕点P 旋转，得到PDE ∆，点D 落在线段PQ 上．（1）求证：//PQ AB ；（2）若点D 在BAC ∠的平分线上，求CP 的长；（3）若PDE ∆与ABC ∆重叠部分图形的周长为T ，且1216T ，求x 的取值范围．6．（2017•天桥区三模）如图1，已知线段2BC =，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED BD =，连接DE ，BE ． （1）依题意补全图1，并证明：BDE ∆为等边三角形；（2）若45ACB ∠=︒，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB ．将CDE ∆绕点D 顺时针旋转α度(0360)α︒<<︒得到△C DE ''，点E 的对应点为E '，点C 的对应点为点C '．①如图2，当30α=︒时，连接BC '．证明：EF BC ='；②如图3，点M为DC中点，点P为线段C E''上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？7．（2018•东莞市）已知Rt OABABOOB=，将Rt OAB∆∠=︒，斜边4∆，90OAB∠=︒，30绕点O顺时针旋转60︒，如图1，连接BC．（1）填空：OBC∠=︒；（2）如图1，连接AC，作OP AC⊥，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在OCB→→路径匀速∆边上运动，M沿O C B运动，N沿O B C→→路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，OMN∆的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？8．（2015•烟台）【问题提出】如图①，已知ABC=，∆是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED EC将BCE∆连接EF∆绕点C顺时针旋转60︒至ACF试证明：AB DB AF=+【类比探究】（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．9．（2015•潜江）已知135MAN∠=︒，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到MAN∠的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD 的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM DN=，则线段MN与BM DN+之间的数量关系是；②如图2，若BM DN≠，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到MAN∠的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．10．（2015•济南）如图1，在ABC∆中，90ACB∠=︒，AC BC=，90EAC∠=︒，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90︒得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出NDE∠的度数；（2）如图2、图3，当EAC∠为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若15EAC∠=︒，60ACM∠=︒，直线CM与AB交于G，62BD+=，其他条件不变，求线段AM的长．2020年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：几何变换（10题）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题）1．（2018•金水区校级四模）如图乙，ABC ∆和ADE ∆是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线BD ，CE 的交点．（1）如图甲，将ADE ∆绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，则下列给出的四个结论中，其中正确的是 ①②③ ．①BD CE =②BD CE ⊥③45ACE DBC ∠+∠=︒④2222()BE AD AB =+ （2）若4AB =，2AD =，把ADE ∆绕点A 旋转， ①当90EAC ∠=︒时，求PB 的长； ②求旋转过程中线段PB 长的最大值．【考点】RB ：几何变换综合题【分析】（1）①由条件证明ABD ACE ∆≅∆，就可以得到结论②由ABD ACE ∆≅∆就可以得出ABD ACE ∠=∠，就可以得出90BDC ∠=︒，进而得出结论；③由条件知45ABC ABD DBC ∠=∠+∠=︒，由ABD ACE ∠=∠就可以得出结论；④BDE ∆为直角三角形就可以得出222BE BD DE =+，由DAE ∆和BAC ∆是等腰直角三角形就有222DE AD =，222BC AB =，就有2222BC BD CD BD =+≠就可以得出结论；（2）①分两种情形a 、如图乙1-中，当点E 在AB 上时，2BE AB AE =-=．由PEB AEC ∆∆∽，得PB BEAC CE=，由此即可解决问题．b 、如图乙2-中，当点E 在BA 延长线上时，6BE =．解法类似；②如图乙3-中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在A 上方与A 相切时，PB 的值最大．分别求出PB 即可； 【解答】（1）解：如图甲：①90BAC DAE ∠=∠=︒，BAC DAC DAE DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠． 在ABD ∆和ACE ∆中， AD AE BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD ACE SAS ∴∆≅∆， BD CE ∴=，∴①正确；②ABD ACE ∆≅∆， ABD ACE ∴∠=∠． 90CAB ∠=︒， 90ABD AFB ∴∠+∠=︒， 90ACE AFB ∴∠+∠=︒． DFC AFB ∠=∠， 90ACE DFC ∴∠+∠=︒， 90FDC ∴∠=︒． BD CE ∴⊥，∴②正确；③90BAC ∠=︒，AB AC =，45ABC ∴∠=︒， 45ABD DBC ∴∠+∠=︒．45ACE DBC ∴∠+∠=︒，∴③正确；④BD CE ⊥，222BE BD DE ∴=+，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，222DE AD ∴=，222BC AB =，2222BC BD CD BD =+≠， 22222AB BD CD BD ∴=+≠，2222()BE AD AB ∴≠+，∴④错误． 故答案为：①②③．（2）①解：a 、如图乙1-中，当点E 在AB 上时，2BE AB AE =-=．90EAC ∠=︒，2225CE AE AC ∴=+= 同（1）可证ADB AEC ∆≅∆． DBA ECA ∴∠=∠． PEB AEC ∠=∠， PEB AEC ∴∆∆∽． ∴PB BEAC CE =， ∴425PB =45PB ∴．b 、如图乙2-中，当点E 在BA 延长线上时，6BE =．90EAC ∠=︒，2225CE AE AC ∴=+=， 同（1）可证ADB AEC ∆≅∆． DBA ECA ∴∠=∠． BEP CEA ∠=∠， PEB AEC ∴∆∆∽， ∴PB BEAC CE =， ∴6425PB =， 1255PB ∴=综上，455PB =或1255．②解：如图乙3-中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在A 上方与A 相切时，PB 的值最大．理由：此时BCE ∠最大，因此PB 最大，(PBC ∆是直角三角形，斜边BC 为定值，BCE ∠最大，因此PB 最大） AE EC ⊥，2223EC AC AE ∴=-=，由（1）可知，ABD ACE ∆≅∆，90ADB AEC ∴∠=∠=︒，23BD CE ==，90ADP DAE AEP ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AEPD 是矩形，2PD AE ∴==，232PB BD PD ∴=+=+．综上所述，PB 长的最大值是232+．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．2．（2016•天津）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(4,0)A ，点(0,3)B ，把ABO ∆绕点B逆时针旋转，得△A BO ''，点A ，O 旋转后的对应点为A '，O '，记旋转角为α． （Ⅰ）如图①，若90α=︒，求AA '的长；（Ⅱ）如图②，若120α=︒，求点O '的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA 上 的一点P 旋转后的对应点为P '，当O P BP '+'取得最小值时，求点P '的坐标（直接写出结果即可）【考点】RB ：几何变换综合题【专题】15：综合题【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出5AB =，再根据旋转的性质得BA BA ='，90ABA ∠'=︒，则可判定ABA ∆'为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA '的长；（2）作O H y '⊥轴于H ，如图②，利用旋转的性质得3BO BO ='=，120OBO ∠'=︒，则60HBO ∠'=︒，再在Rt BHO ∆'中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH 和O H '的长，然后利用坐标的表示方法写出O '点的坐标；（3）由旋转的性质得BP BP ='，则O P BP O P BP '+'='+，作B 点关于x 轴的对称点C ，连接O C '交x 轴于P 点，如图②，易得O P BP O C '+='，利用两点之间线段最短可判断此时O P BP '+的值最小，接着利用待定系数法求出直线O C '的解析式为3y =-，从而得到P 0)，则O P OP ''==，作P D O H '⊥'于D ，然后确定30DP O ∠''=︒后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P D '和DO '的长，从而可得到P '点的坐标．【解答】解：（1）如图①，点(4,0)A ，点(0,3)B ，4OA ∴=，3OB =，5AB ∴=，ABO ∆绕点B 逆时针旋转90︒，得△A BO ''，BA BA ∴='，90ABA ∠'=︒，ABA ∴∆'为等腰直角三角形，AA ∴'==（2）作O H y '⊥轴于H ，如图②，ABO ∆绕点B 逆时针旋转120︒，得△A BO ''，3BO BO ∴='=，120OBO ∠'=︒，60HBO ∴∠'=︒，在Rt BHO ∆'中，9030BO H HBO ∠'=︒-∠'=︒，1322BH BO ∴='=，O H '==， 39322OH OB BH ∴=+=+=，O ∴'点的坐标为9)2； （3）ABO ∆绕点B 逆时针旋转120︒，得△A BO ''，点P 的对应点为P '，BP BP ∴='，O P BP O P BP ∴'+'='+，作B 点关于x 轴的对称点C ，连接O C '交x 轴于P 点，如图②，则O P BP O P PC O C '+='+='，此时O P BP '+的值最小，点C 与点B 关于x 轴对称，(0,3)C ∴-，设直线O C '的解析式为y kx b =+， 把33(2O '，9)2，(0,3)C -代入得339223k b b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得5333k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线O C '的解析式为5333y x =-， 当0y =时，53303x -=，解得335x =，则33(5P ，0)， 335OP ∴=， 335O P OP ∴''==， 作P D O H '⊥'于D ，90BO A BOA ∠''=∠=︒，30BO H ∠'=︒，30DP O ∴∠''=︒，133210O D O P ∴'=''=，9310P D O D '='=， 3333632105DH O H O D ∴='-'=-=， P ∴'点的坐标为63(5，27)5．【点评】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系．3．（2019•沈丘县一模）观察猜想（1）如图①，在Rt ABCAB AC∠=︒，3==，点D与点A重合，点E在边BCBAC∆中，90上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90︒得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是BF BE⊥，BE BF+=；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使1AD=，其余条件不变，如图②，判断BE 与BF的位置关系，并求BE BF+的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在ABC=，∠=，点D在边BA的延长线上，BD n ∆中，AB AC=，BACα连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角EDFα+的∠=，连接BF，则BE BF值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论．【考点】RB：几何变换综合题【专题】15：综合题【分析】（1）只要证明BAF CAE∆≅∆，即可解决问题；（2）如图②中，作//DH AC交BC于H．利用（1）中结论即可解决问题；（3）如图③中，作//⊥于M．只要证明DH AC交BC的延长线于H，作DM BC∆≅∆，可证BF BE BHBDF HDE+=，即可解决问题；【解答】解：（1）如图①中，EAF BAC∠=∠=︒，90∴∠=∠，BAF CAE=，AB ACAF AE=，ABF C ∴∠=∠，BF CE =，AB AC =，90BAC ∠=︒，45ABC C ∴∠=∠=︒，90FBE ABF ABC ∴∠=∠+∠=︒，BC BE EC BE BF =+=+，故答案为：BF BE ⊥，BC ．（2）如图②中，作//DH AC 交BC 于H ．//DH AC ，90BDH A ∴∠=∠=︒，DBH ∆是等腰直角三角形，由（1）可知，BF BE ⊥，BF BE BH +=，3AB AC ==，1AD =，2BD DH ∴==， 22BH ∴=，22BF BE BH ∴+==；（3）如图③中，作//DH AC 交BC 的延长线于H ，作DM BC ⊥于M ．//AC DH ，ACB H ∴∠=∠，BDH BAC α∠=∠=，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠DB DH ∴=，EDF BDH α∠=∠=，BDF HDE ∴∠=∠，DF DE =，DB DH =，BDF HDE ∴∆≅∆，BF EH ∴=，BF BE EH BE BH ∴+=+=，DB DH =，DM BH ⊥，BM M H ∴=，BDM HDM ∠=∠， sin 2BM MH BD α∴==．2sin 2BF BE BH n α∴+==．【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（2016•湖州）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120︒的平行四边形(120)ABCD BAD ∠=︒进行探究：将一块含60︒的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60︒角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD AB =，求证：①BCE ACF ∆≅∆，②AE AF AC +=；（2）类比发现如图2，若2AD AB =，过点C 作CH AD ⊥于点H ，求证：2AE FH =；（3）深入探究如图3，若3AD AB =，探究得：3AE AF AC +的值为常数t ，则t【考点】RB ：几何变换综合题【分析】（1）①先证明ABC ∆，ACD ∆都是等边三角形，再证明BCE ACF ∠=∠即可解决问题．②根据①的结论得到BE AF =，由此即可证明．（2）设DH x =，由题意，2CD x =，3CH x =，由ACE HCF ∆∆∽，得AE AC FH CH=由此即可证明．（3）如图3中，作CN AD ⊥于N ，CM BA ⊥于M ，CM 与AD 交于点H ．先证明CFN CEM ∆∆∽，得CN FN CM EM =，由AB CM AD CN =，3AD AB =，推出3CM CN =，所以13CN FN CM EM ==，设CN a =，FN b =，则3CM a =，3EM b =，想办法求出AC ，3AE AF +即可解决问题．【解答】解；（1）①四边形ABCD 是平行四边形，120BAD ∠=︒，60D B ∴∠=∠=︒，AD AB =，ABC ∴∆，ACD ∆都是等边三角形，60B CAD ∴∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，BC AC =，60ECF ∠=︒，60BCE ACE ACF ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，BCE ACF ∴∠=∠，在BCE ∆和ACF ∆中，B CAF BC ACBCE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCE ACF ∴∆≅∆．②BCE ACF ∆≅∆，BE AF ∴=，AE AF AE BE AB AC ∴+=+==．（2）设DH x =，由题意，2CD x =，CH =，24AD AB x ∴==，3AH AD DH x ∴=-=，CH AD ⊥，AC ∴，222AC CD AD ∴+=，90ACD ∴∠=︒，90BAC ACD ∴∠=∠=︒，30CAD ∴∠=︒，60ACH ∴∠=︒，60ECF ∠=︒，HCF ACE ∴∠=∠，ACE HCF ∴∆∆∽， ∴2AE AC FH CH==， 2AE FH ∴=．（3）如图3中，作CN AD ⊥于N ，CM BA ⊥于M ，CM 与AD 交于点H ．180ECF EAF ∠+∠=︒，180AEC AFC ∴∠+∠=︒，180AFC CFN ∠+∠=︒，CFN AEC ∴∠=∠，90M CNF ∠=∠=︒，CFN CEM ∴∆∆∽，∴CN FN CM EM =， AB CM AD CN =，3AD AB =，3CM CN ∴=，∴13CN FN CM EM ==，设CN a =，FN b =，则3CM a =，3EM b =， 60MAH ∠=︒，90M ∠=︒，30AHM CHN ∴∠=∠=︒，2HC a ∴=，HM a =，3HN a =，33AM a ∴=，233AH a =， 222213AC AM CM a ∴=+=， 1433()3()333333AE AF EM AM AH HN FN EM AM AH HN FN AH HN AM a +=-++-=-++-=+-=，∴1433372213a AE AF AC a +==． 故答案为7．【点评】本题考查几何变换综合题．全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．5．（2015•南通）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，15AB =，9BC =，点P ，Q 分别在BC ，AC 上，3CP x =，4(03)CQ x x =<<．把PCQ ∆绕点P 旋转，得到PDE ∆，点D 落在线段PQ 上．（1）求证：//PQ AB ；（2）若点D 在BAC ∠的平分线上，求CP 的长；（3）若PDE ∆与ABC ∆重叠部分图形的周长为T ，且1216T ，求x 的取值范围．【考点】RB ：几何变换综合题【专题】16：压轴题【分析】（1）先根据勾股定理求出AC 的长，再由相似三角形的判定定理得出PQC BAC ∆∆∽，由相似三角形的性质得出CPQ B ∠=∠，由此可得出结论；（2）连接AD ，根据//PQ AB 可知ADQ DAB ∠=∠，再由点D 在BAC ∠的平分线上，得出DAQ DAB ∠=∠，故ADQ DAQ ∠=∠，AQ DQ =．在Rt CPQ ∆中根据勾股定理可知，124AQ x =-，故可得出x 的值，进而得出结论；（3）当点E 在AB 上时，根据等腰三角形的性质求出x 的值，再分908x<；938x <<两种情况进行分类讨论．【解答】（1）证明：在Rt ABC ∆中，15AB =，9BC =， 222215912AC AB BC ∴=--．393PC x x BC ==，4123QC x x AC ==， ∴PC QC BC AC=． C C ∠=∠，PQC BAC ∴∆∆∽，CPQ B ∴∠=∠，//PQ AB ∴；（2）解：连接AD ，//PQ AB ，ADQ DAB ∴∠=∠．点D 在BAC ∠的平分线上，DAQ DAB ∴∠=∠，ADQ DAQ ∴∠=∠，AQ DQ ∴=．在Rt CPQ ∆中，5PQ x =，3PD PC x ==，2DQ x ∴=．124AQ x =-，1242x x ∴-=，解得2x =，36CP x ∴==．（3）解：当点E 在AB 上时，//PQ AB ，DPE PGB ∴∠=∠．CPQ DPE ∠=∠，CPQ B ∠=∠，B PGB ∴∠=∠，5PB PG x ∴==，359x x ∴+=，解得98x =． ①当908x <时，34512T PD DE PE x x x x =++=++=，此时2702T <； ②当938x <<时，设PE 交AB 于点G ，DE 交AB 于F ，作GH PQ ⊥，垂足为H ， HG DF ∴=，FG DH =，Rt PHG Rt PDE ∆∆∽，∴GH PG PH ED PE PD==． 93PG PB x ==-，∴93453GH x PH x x x -==， 4(93)5GH x ∴=-，3(93)5PH x =-， 33(93)5FG DH x x ∴==--， 43(93)3(93)[3(93)]55T PG PD DF FG x x x x x ∴=+++=-++-+-- 125455x =+，此时，27182T <<． ∴当03x <<时，T 随x 的增大而增大，12T ∴=时，即1212x =，解得1x =；16T =时，即12541655x +=，解得136x =． 1216T ，x ∴的取值范围是1316x ．【点评】本题考查的是几何变换综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．6．（2017•天桥区三模）如图1，已知线段2BC =，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E为射线CA 上一点，且ED BD =，连接DE ，BE ．（1）依题意补全图1，并证明：BDE ∆为等边三角形；（2）若45ACB ∠=︒，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB ．将CDE ∆绕点D顺时针旋转α度(0360)α︒<<︒得到△C DE ''，点E 的对应点为E '，点C 的对应点为点C '．①如图2，当30α=︒时，连接BC '．证明：EF BC ='；②如图3，点M 为DC 中点，点P 为线段C E ''上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围？【考点】RB ：几何变换综合题【分析】（1）根据题画图，易证AC 是BD 的垂直平分线，得到ED EB BD ==，即可证明BDE∆为等边三角形；（2）①易证60EDB FDC ∠=∠'=︒，EDF BDC ∠='，又DE DB =，DF DC ='于是EDF DBC ∆≅∆'，得出结论；②当E C DC ''⊥，MP E C ⊥''，D 、M 、P 、C 共线时，PM 有最小值．当点P 与点E '重合，且P 、D 、M 、C 共线时，PM 有最大值．【解答】解：（1）补全图形，如图1所示；证明：由题意可知：射线CA 垂直平分BD ，EB ED ∴=，又ED BD =，EB ED BD ∴==，EBD ∴∆是等边三角形；（2）①证明：如图2：由题意可知90BCD ∠=︒，BC DC = 又点C 与点F 关于BD 对称，∴四边形BCDF 为正方形，90FDC ∴∠=︒，CD FD =，30CDC α∠'==︒，60FDC ∴∠'=︒，由（1）BDE ∆为等边三角形，60EDB FDC ∴∠=∠'=︒，ED BD =，EDF BDC ∴∠=∠'， 又△E DC ''是由EDC ∆旋转得到的，C D CD FD ∴'==，()EDF DBC SAS ∴∆≅∆'，EF BC ∴='；②线段PM 1221PM +．设射线CA 交BD 于点O ，I ：如图3（1）当E C DC ''⊥，MP E C ⊥''，D 、M 、P 、C 共线时，PM 有最小值． 此时2DP DO ==，1DM =，21PM DP DM ∴=-=-，II ：如图3（2）， 当点P 与点E '重合，且P 、D 、M 、C 共线时，PM 有最大值．此时22DP DE DE DB ='===，1DM =，221PM DP DM ∴=+=+，∴线段PM 的取值范围是：21221PM -+．【点评】本题主要考查了图形的旋转变换、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、以及图形中的最值问题的综合运用，第三小题通过画图找到极限位置是解决问题的关键．7．（2018•东莞市）已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图1，连接BC ．（1）填空：OBC ∠= 60 ︒；（2）如图1，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3）如图2，点M ，N 同时从点O 出发，在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N 的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【考点】RB ：几何变换综合题【专题】152：几何综合题【分析】（1）只要证明OBC ∆是等边三角形即可；（2）求出AOC ∆的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当803x <时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．②当843x <时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动．③当4 4.8x <时，M 、N 都在BC 上运动，作OG BC ⊥于G ．【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB OC =，60BOC ∠=︒，OBC ∴∆是等边三角形，60OBC ∴∠=︒．故答案为：60．（2）如图1中，4OB =，30ABO ∠=︒， 122OA OB ∴==，323AB OA ==， 112232322AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=， BOC ∆是等边三角形，60OBC ∴∠=︒，90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，2227AC AB BC ∴=+=，243221727AOC S OP AC ∆∴===．（3）①当803x<时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则3sin 602NE ON x =︒=，113 1.5222OMN S OM NE x x ∆∴==⨯⨯， 2338y x ∴=． 83x ∴=时，y 有最大值，最大值833=．②当843x <时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动．作MH OB ⊥于H ．则8 1.5BM x =-，3sin 60(8 1.5)2MH BM x =︒=-， 21332328y ON MH x x ∴=⨯⨯=-+． 当83x =时，y 取最大值，833y <，③当4 4.8x <时，M 、N 都在BC 上运动，作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，23OG AB ==1531232y MN OG x ∴==， 当4x =时，y 有最大值，4x >，y ∴最大值23<综上所述，y 83．【点评】本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（2015•烟台）【问题提出】如图①，已知ABC ∆是等腰三角形，点E 在线段AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =，将BCE ∆绕点C 顺时针旋转60︒至ACF ∆连接EF试证明：AB DB AF =+【类比探究】（1）如图②，如果点E 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，线段AB ，DB ，AF 之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E 在线段BA 的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB ，DB ，AF 之间的数量关系，不必说明理由．【考点】RB ：几何变换综合题【专题】16：压轴题【分析】首先判断出CEF ∆是等边三角形，即可判断出EF EC =，再根据ED EC =，可得ED EF =，60CAF BAC ∠=∠=︒，所以120EAF BAC CAF ∠=∠+∠=︒，120DBE ∠=︒，EAF DBE ∠=∠；然后根据全等三角形判定的方法，判断出EDB FEA ∆≅∆，即可判断出BD AE =，AB AE BF =+，所以AB DB AF =+．（1）首先判断出CEF ∆是等边三角形，即可判断出EF EC =，再根据ED EC =，可得ED EF =，60CAF BAC ∠=∠=︒，所以EFC FGC FCG ∠=∠+∠，BAC FGC FEA ∠=∠+∠，FCG FEA ∠=∠，再根据FCG EAD ∠=∠，D EAD ∠=∠，可得D FEA ∠=∠；然后根据全等三角形判定的方法，判断出EDB FEA ∆≅∆，即可判断出BD AE =，EB AF =，进而判断出AB BD AF =-即可．（2）首先根据点E 在线段BA 的延长线上，在图③的基础上将图形补充完整，然后判断出CEF ∆是等边三角形，即可判断出EF EC =，再根据ED EC =，可得ED EF =，60CAF BAC ∠=∠=︒，再判断出DBE EAF ∠=∠，BDE AEF ∠=∠；最后根据全等三角形判定的方法，判断出EDB FEA ∆≅∆，即可判断出BD AE =，EB AF =，进而判断出AF AB BD =+即可．【解答】证明：ED EC CF ==，BCE ∆绕点C 顺时针旋转60︒至ACF ∆，60ECF ∴∠=︒，60BCA ∠=︒，BE AF =，EC CF =， CEF ∴∆是等边三角形，EF EC ∴=，60CEF ∠=︒，又ED EC =，ED EF ∴=，ABC ∆是等腰三角形，60BCA ∠=︒，ABC ∴∆是等边三角形，60CAF CBA ∴∠=∠=︒，120EAF BAC CAF ∴∠=∠+∠=︒，120DBE ∠=︒，EAF DBE ∠=∠， 60CAF CEF ∠=∠=︒，A ∴、E 、C 、F 四点共圆，AEF ACF ∴∠=∠，又ED EC =，D BCE ∴∠=∠，BCE ACF ∠=∠，D AEF ∴∠=∠，在EDB ∆和FEA ∆中，DBE EAF D AEFED EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()EDB FEA AAS ∴∆≅∆，DB AE ∴=，BE AF =，AB AE BE =+，AB DB AF ∴=+．（1）AB BD AF =-；延长EF 、CA 交于点G ，BCE ∆绕点C 顺时针旋转60︒至ACF ∆，60ECF ∴∠=︒，BE AF =，EC CF =，CEF ∴∆是等边三角形，EF EC ∴=，又ED EC =，ED EF ∴=，60EFC BAC ∠=∠=︒，EFC FGC FCG ∠=∠+∠，BAC FGC FEA ∠=∠+∠，FCG FEA ∴∠=∠，又FCG ECD ∠=∠，D ECD ∠=∠，D FEA ∴∠=∠，由旋转的性质，可得120CBE CAF ∠=∠=︒，60DBE FAE ∴∠=∠=︒，在EDB ∆和FEA ∆中，DBE EAF D AEFED EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EDB FEA AAS ∴∆≅∆，BD AE ∴=，EB AF =，BD FA AB ∴=+，即AB BD AF =-．（2）如图③，，BCE ∆绕点C 顺时针旋转60︒至ACF ∆，60ECF ∴∠=︒，BE AF =，EC CF =，BC AC =，CEF ∴∆是等边三角形，EF EC ∴=，又ED EC =，ED EF ∴=，AB AC =，BC AC =，ABC ∴∆是等边三角形，60ABC ∴∠=︒，又CBE CAF ∠=∠，60CAF ∴∠=︒，180EAF CAF BAC ∴∠=︒-∠-∠1806060=︒-︒-︒60=︒DBE EAF ∴∠=∠；ED EC =，ECD EDC ∴∠=∠，BDE ECD DEC EDC DEC ∴∠=∠+∠=∠+∠，又EDC EBC BED ∠=∠+∠，60BDE EBC BED DEC BEC ∴∠=∠+∠+∠=︒+∠，60AEF CEF BEC BEC ∠=∠+∠=︒+∠，BDE AEF ∴∠=∠，在EDB ∆和FEA ∆中，()DBE EAF BDE AEF AAS ED EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩EDB FEA ∴∆≅∆，BD AE ∴=，EB AF =，BE AB AE =+，AF AB BD ∴=+，即AB ，DB ，AF 之间的数量关系是：AF AB BD =+．【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．9．（2015•潜江）已知135MAN ∠=︒，正方形ABCD 绕点A 旋转．（1）当正方形ABCD 旋转到MAN ∠的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，连接MN ．①如图1，若BM DN =，则线段MN 与BM DN +之间的数量关系是 MN BM DN =+ ； ②如图2，若BM DN ≠，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD 旋转到MAN ∠的内部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与直线BD 交于点M ，N ，探究：以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．【考点】RB ：几何变换综合题【专题】16：压轴题【分析】（1）①如图1，先利用SAS 证明ADN ABM ∆≅∆，得出AN AM =，NAD MAB ∠=∠，再计算出1(36013590)67.52NAD MAB ∠=∠=︒-︒-︒=︒．作AE MN ⊥于E ，根据等腰三角形三线合一的性质得出2MN NE =，167.52NAE MAN ∠=∠=︒．再根据AAS 证明ADN AEN ∆≅∆，得出DN EN =，进而得到MN BM DN =+；②如图2，先利用SAS 证明ABM ADP ∆≅∆，得出AM AP =，123∠=∠=∠，再计算出360(34)36013590135PAN MAN ∠=︒-∠-∠+∠=︒-︒-︒=︒．然后根据SAS 证明ANM ANP ∆≅∆，得到MN PN =，进而得到MN BM DN =+；（2）如图3，先由正方形的性质得出45BDA DBA ∠=∠=︒，根据等角的补角相等得出135MDA NBA ∠=∠=︒．再证明13∠=∠．根据两角对应相等的两三角形相似得出ANB MAD ∆∆∽，那么BN AB AD MD=，又AB AD =，变形得出22BD BN MD =，然后证明222()()()MD BD BD BN DM BD BN +++=++，即222MB DN MN +=，根据勾股定理的 逆定理即可得出以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形．【解答】解：（1）①如图1，若BM DN =，则线段MN 与BM DN +之间的数量关系是MN BM DN =+．理由如下：在ADN ∆与ABM ∆中，90AD AB ADN ABM DN BM =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADN ABM SAS ∴∆≅∆，AN AM ∴=，NAD MAB ∠=∠，135MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，1(36013590)67.52NAD MAB ∴∠=∠=︒-︒-︒=︒， 作AE MN ⊥于E ，则2MN NE =，167.52NAE MAN ∠=∠=︒． 在ADN ∆与AEN ∆中，9067.5ADN AEN NAD NAE AN AN ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADN AEN AAS ∴∆≅∆，DN EN ∴=，BM DN =，2MN EN =，MN BM DN ∴=+．故答案为：MN BM DN =+；②如图2，若BM DN ≠，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC 到点P ，使DP BM =，连结AP ．四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90ABM ADC ∠=∠=︒．在ABM ∆与ADP ∆中，90AB AD ABM ADP BM DP =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABM ADP SAS ∴∆≅∆，AM AP ∴=，123∠=∠=∠，1490∠+∠=︒，3490∴∠+∠=︒，135MAN ∠=︒，360(34)36013590135PAN MAN ∴∠=︒-∠-∠+∠=︒-︒-︒=︒．在ANM ∆与ANP ∆中，135AM AP MAN PAN AN AN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ANM ANP SAS ∴∆≅∆，MN PN ∴=，PN DP DN BM DN =+=+，MN BM DN ∴=+；（2）如图3，以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下： 四边形ABCD 是正方形，45BDA DBA ∴∠=∠=︒，135MDA NBA ∴∠=∠=︒．1245∠+∠=︒，2345∠+∠=︒，13∴∠=∠．在ANB ∆与MAD ∆中，13513ABN MDA ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ANB MAD ∴∆∆∽， ∴BN AB AD MD=， 2AB BN MD ∴=， 22AB =， 2221()22BN MD BD ∴==， 22BD BN MD ∴=，222222222222MD MD BD BD BD BD BN BN MD BD BN MD BD BD BN BN MD ∴+++++=+++++，222()()()MD BD BD BN DM BD BN ∴+++=++，即222MB DN MN +=，∴以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形．【点评】本题是几何变换综合题，其中涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，补角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线，利用数形结合是解（1）小题的关键，证明ANB MAD ∆∆∽是解（2）小题的关键．10．（2015•济南）如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，90EAC ∠=︒，点M 为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90︒得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出NDE∠的度数；（2）如图2、图3，当EAC∠为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若15EAC∠=︒，60ACM∠=︒，直线CM与AB交于G，622BD+=，其他条件不变，求线段AM的长．【考点】RB：几何变换综合题【专题】16：压轴题【分析】（1）根据题意证明MAC NBC∆≅∆即可；（2）与（1）的证明方法相似，证明MAC NBC∆≅∆即可；（3）作GK BC⊥于K，证明AM AG=，根据MAC NBC∆≅∆，得到90BDA∠=︒，根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案．【解答】解：（1）90ACB∠=︒，90MCN∠=︒，ACM BCN∴∠=∠，在MAC ∆和NBC ∆中，AC BC ACM BCN MC NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，MAC NBC ∴∆≅∆，90NBC MAC ∴∠=∠=︒，又90ACB ∠=︒，90EAC ∠=︒，90NDE ∴∠=︒；（2）不变，在MAC NBC ∆≅∆中，AC BC ACM BCN MC NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，MAC NBC ∴∆≅∆，N AMC ∴∠=∠，又MFD NFC ∠=∠，90MDF FCN ∠=∠=︒，即90NDE ∠=︒；（3）作GK BC ⊥于K ，15EAC ∠=︒，30BAD ∴∠=︒，60ACM ∠=︒，30GCB ∴∠=︒，75AGC ABC GCB ∴∠=∠+∠=︒，75AMG ∠=︒，AM AG ∴=，MAC NBC ∆≅∆，MAC NBC ∴∠=∠，A ∴、C 、D 、B 四点共圆，90BDA BCA ∴∠=∠=︒， 6BD =62AB ∴=+，31AC BC ==+，设BK a =，则GK a =，3CK a =，331a a ∴+=+，1a ∴=，1KB KG ∴==，2BG =，6AG =，6AM ∴=．【点评】本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用．。

2020中考数学 压轴专题 几何探究题（含答案）1. 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．第1题图(1)概念理解：请你根据定义举一个“等邻角四边形的”例子；(2)问题探究：如图①，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AD 、BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连接AC 、BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由．(3)应用拓展：如图②，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD ＝3，AB ＝5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α(0°)得到Rt △AB ′D ′(如图③)，当凸四边形AD ′BC 为“等邻角四边形”时，求出它的面积．解：(1)矩形；(答案不唯一)(2)AC ＝BD ；如解图①所示，连接PD 、PC ， ∵PE 是AD 的垂直平分线，PF 是BC 的垂直平分线， ∴P A ＝PD ，PB ＝PC ，∴∠P AD ＝∠PDA ，∠PBC ＝∠PCB ，∴∠DPB ＝180°－∠DP A ＝∠P AD ＋∠PDA ＝2∠P AD ，同理可得∠APC ＝2∠PBC ， ∵∠DAB ＝∠ABC ，即∠P AD ＝∠PBC ，∴∠APC ＝∠DPB ，在△APC 和△DPB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PD ∠APC ＝∠DPB PB ＝PC，△APC ≌△DPB (SAS)， ∴ AC ＝BD .第1题解图①(3)①当∠AD ′B ＝∠D ′BC 时，如解图②所示，延长AD ′交CB 的延长线于点E ，过点D ′作DF ⊥CE 于点F ， ∠ED ′B ＝∠EBD ′， ∴EB ＝ED ′，∵∠C ＝∠EFD ′，∠EAC ＝∠ED ′F ， ∴△ED ′F ∽△EAC ， 则D ′F AC ＝ED ′AE， 设EB ＝ED ′＝x ，由勾股定理可知，在Rt △ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝52－32＝4，则AD ′＝4，CE ＝3＋x ，AE ＝4＋x ，在Rt △ACE 中，AC 2＋CE 2＝AE 2，即42＋(3＋x )2＝(4＋x )2， 整理得：2x －9＝0，解得x ＝92，EB ＝ED ′＝92，∴AE ＝172，∴D ′F 4＝92112，∴D ′F ＝3617，S 四边形AD ′BC ＝S △ACE －S △D ′BE ＝12AC ·CE －12D ′F ·BE ＝12×4×(3＋92)－12×92×3617＝15－8117＝17417；第1题解图②②当∠D ′BC ＝90°时，如解图③所示，过点D ′作D ′E ⊥AC ，交AC 于点E ， ∴四边形ECBD ′是矩形，∴ED ′＝BC ＝3，在Rt △AED ′中，根据勾股定理得AE ＝AD′2－ED′2＝42－32＝7，∵S 四边形AD ′BC ＝S △AED ′＋S 矩形ECBD ′＝12AE ·ED ′＋EC ·BC ＝372＋12－37＝12－372.综上所述，当凸四边形AD 为等邻角四边形时，它的面积为17417或12－372.第1题解图③2. (1)发现 如图①，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b .填空：当点A 位于________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为________(用含有a ，b 的式子表示)； (2)应用 点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1.如图②所示，分别以AB ，AC 为边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值；(3)拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．第2题图(1)解：CB的延长线上，a＋b；【解法提示】∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC＋AB＝a＋b.(2)解：①DC＝BE，理由如下：∵△ABD和△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴DC＝BE；②BE长的最大值是4；【解法提示】∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB 的延长线上，∴CD长的最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝4.(3)解：AM长的最大值是3＋22，点P的坐标是(2－2，2)．【解法提示】如解图①，构造△BNP≌△MAP，则NB＝AM，P A＝PN，∴∠APN＝90°，由(1)得出当点N在BA的延长线上时，NB有最大值(如解图②)，可得AN＝22，∴AM＝NB＝3＋22，过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝AE＝2，∴点P的坐标是(2－2，2)．第2题解图3.如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6 cm.点D从O点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动．当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.(1)求证：△CDE是等边三角形；(2)当6<t<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．第3题图(1)证明：∵△BCE是由△ACD逆时针旋转60°得到的，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE是等边三角形；(2)解：存在．理由如下：∵△BCE是由△ACD逆时针旋转60°得到的，∴AD＝BE，又∵△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△BDE＝BD＋BE＋DE＝BD＋AD＋CD＝AB＋CD，∵AB＝4为定值，∴当CD最小，即CD⊥AB时，△BDE的周长最小，∵△ABC是等边三角形，∴当CD最小，即CD⊥AB时，易得CD＝23，∴△BDE的最小周长为23＋4；(3)解：存在．理由如下：如解图，过点C作CF⊥OM于点F，则CF＝23，∴BD＝||t－6，t－10，BE＝AD＝||DE＝CD＝CF2＋DF2＝12＋（t－8）2，①当∠DEB＝90°时，BD2＝BE2＋DE2，即(t－10)2＝(t－6)2＋12＋(t－8)2，第3题解图解得t1＝2，t2＝6(不合题意，舍去)；②当∠EBD＝90°时，DE2＝BD2＋BE2，即12＋(t－8)2＝(t－10)2＋(t－6)2，解得t3＝6，t4＝10(两者均不合题意，舍去)；③当∠BDE＝90°时，BE2＝BD2＋DE2，即(t－6)2＝(t－10)2＋12＋(t－8)2，解得t5＝14，t6＝10(舍去)．综上所述，存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形，此时t＝2或14.4.如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起(图①)，△ABD不动．(1)若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC(图②)，证明：MB＝MC；(2)若将图①中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC(图③)，判断并直接写出MB、MC的数量关系；(3)在(2)中，若∠CAE的大小改变(图④)，其他条件不变，则(2)中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．第4题图（1）证明：如解图①，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，第4题解图①∴ AD ＝AE ， AB ＝AC ， ∠BAD ＝∠CAE ， 又∵MD ＝ME ，∴∠MAD ＝∠MAE (三线合一)， ∴∠MAD －∠BAD ＝∠MAE －∠CAE ， 即∠BAM ＝∠CAM ， 在△ABM 和△ACM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAM ＝∠CAM AM ＝AM， ∴△ABM ≌△ACM (SAS )， ∴MB ＝MC ；第4题解图②(2)解：MB ＝MC ；【解法提示】如解图②，延长DB 、AE 相交于点E ′，延长EC 交AD 于点F ， ∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，又∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点， ∴MB ∥AE ′，∴∠MBC ＝∠CAE ，同理：MC ∥AD ， ∴∠BCM ＝∠BAD ， 又∵∠BAD ＝∠CAE ， ∴∠MBC ＝∠BCM ， ∴MB ＝MC .(3)解：MB ＝MC 还成立．理由如下： 如解图③，延长BM 交CE 于点F ，第4题解图③∵CE ∥BD ， ∴∠MDB ＝∠MEF ， ∠MBD ＝∠MFE ， 又∵M 是DE 的中点， ∴MD ＝ME ，在△MDB 和△MEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MBD ＝∠MFE ∠MDB ＝∠MEF MD ＝ME， ∴△MDB ≌△MEF (AAS)， ∴MB ＝MF ＝12BF ，又∵∠ACE ＝90°，∴∠BCF ＝90°， ∴MC ＝12BF ，∴MB＝MC.5.在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点(与点A，C不重合)，连接BE.(1)将射线BE绕点B顺时针方向旋转45°，交直线AC于点F.①依题意补全图①；②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的数量关系，只需证AE，AM，EM的数量关系．想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系．…请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；(一种方法即可)(2)如图②，若将直线．．AC于点F.小研完成作图后，发现直线AC上存在三．．BE绕点B顺时针旋转135°，交直线条线段(不添加辅助线)满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．第5题图解：(1)①补全图形，如解图①；图① 图②第5题解图②AE 2＋FC 2＝EF 2；证明：如解图②，过B 作MB ⊥BF 于点B ，使BM ＝BF ，连接AM 、EM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，∠1＝∠2＝45°，AB ＝BC ，∵∠3＝45°，∴∠MBE ＝∠3＝45°，在△MBE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BF ∠MBE ＝∠3BE ＝BE，∴△MBE ≌△FBE (SAS )，∴EM ＝EF ，∵∠4＝90°－∠ABF ，∠5＝90°－∠ABF ，∴∠4＝∠5，在△AMB 和△CFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BF ∠4＝∠5AB ＝CB，∴△AMB ≌△CFB (SAS)，∴AM ＝FC ，∠6＝∠2＝45°，∴∠MAE ＝∠6＋∠1＝90°，在Rt △MAE 中，AE 2＋AM 2＝EM 2，∴AE 2＋FC 2＝EF 2；(2)AF 2＋EC 2＝EF 2.【解法提示】如解图③，过B 作MB ⊥BE ，使BM ＝BE ，连接ME 、MF 、AM ，∵直线BE 绕点B 顺时针旋转135°，交直线AC 于点F ，∴∠FBE ＝45°，∴∠MBF ＝90°－45°＝45°，∴∠FBE ＝∠MBF ，在△MBF 和△EBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BE ∠MBF ＝∠FBE ，BF ＝BF∴△MBF ≌△EBF (SAS)，∴MF ＝EF ，∵∠MBA ＝90°－∠ABE ，∠EBC ＝90°－∠ABE ，∴∠MBA ＝∠EBC ，在△AMB 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BE ∠MBA ＝∠EBC AB ＝CB，∴△AMB ≌△CEB (SAS )，∴AM ＝EC ，∠BAM ＝∠BCE ＝45°，∴∠MAE ＝∠BAM ＋∠BAC ＝90°，∴∠MAF ＝90°，在Rt △MAF 中，AF 2＋AM 2＝MF 2，∴AF 2＋EC 2＝EF 2.第5题解图③6.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F.(1)依题意补全图形；(2)小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE＝DF.小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE＝DF；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE＝DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE＝DF；…请你参考上面的想法，帮助小华证明DE＝DF(选一种方法即可)；(3)在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．解：(1)补全图形，如解图①；第6题解图(2)想法1：证明：如解图②，过点D作DG∥AB，交AC于点G，∵点D是BC边的中点，∴DG＝12AB，∴△CDG是等边三角形，∴∠EDB＋∠EDG＝120°，∵∠FDG＋∠EDG＝120°，∴∠EDB＝∠FDG，∵BD＝DG，∠B＝∠FGD＝60°，∴△BDE≌△GDF，∴DE＝DF；想法2：证明：如解图③，连接AD，作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，∵点D是BC边的中点，AB＝AC，∴直线AD是△ABC的对称轴，∴△ADE≌△ADP，∴DE＝DP，∠AED＝∠APD，∵∠BAC＋∠EDF＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝180°，∵∠APD＋∠DPF＝180°，∴∠AFD＝∠DPF，∴DP＝DF，∴DE＝DF；第6题解图想法3：证明：如解图④，连接AD，过D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，∵点D是BC边的中点，∴AD平分∠BAC，∵DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，∴DM＝DN，∵∠A＝60°，∴∠MDE＋∠EDN＝120°，∵∠FDN＋∠EDN＝120°，∴∠MDE ＝∠FDN ，∴Rt △MDE ≌Rt △NDF ，∴DE ＝DF ；(3)当点F 在AC 边上时，BE ＋CF ＝12AB ；当点F 在AC 的延长线上时，BE －CF ＝12AB . 【解法提示】①当点F 在AC 边上时，如解图⑤，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ， ∵∠B ＝∠C ＝60°，BD ＝DC ，∠BDM ＝∠CDN ＝30°，∴△BDM ≌△CDN ，∴BM ＝CN ，DM ＝DN ，又∵∠EDF ＝120°＝∠MDN ，∴∠EDM ＝∠NDF ，又∵∠EMD ＝∠FND ＝90°，∴△EDM ≌△FDN ，∴ME ＝NF ，∴BE ＋CF ＝BM ＋EM ＋NC －FN ＝2BM ＝BD ＝12AB ；图⑤ 图⑥第6题解图②当点F 在AC 的延长线上时，如解图⑥，过D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，∵∠B ＝∠DCN ＝60°，BD ＝DC ，∠BDM ＝∠CDN ＝30°，∴△BDM ≌△CDN ，∴BM ＝CN ，DM ＝DN ，又∵∠EDF ＝120°＝∠MDN ，∴∠EDM ＝∠NDF ，又∵∠EMD ＝∠FND ＝90°，∴△EDM ≌△FDN ，∴ME ＝NF ，∴BE －CF ＝BM ＋EM －(FN －CN )＝2BM ＝BD ＝12AB ，综上所述，当点F 在AC 边上时，BE ＋CF ＝12AB ；当点F 在AC 的延长线上时，BE －CF ＝12AB . 7. 我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图①，在△ABC 中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“极化值”就等于AO 2－BO 2的值，可记为ABAC ＝AO 2－BO 2.第7题图(1)在图①中，若∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，AO 是BC 边上的中线，则ABAC＝________，OCOA＝________；(2)如图②，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，求AB AC、BA BC的值；(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝13A A O，已知ABAC＝14，BN BA＝10，求△ABC的面积．解：(1)0 ，7；【解法提示】∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝AB2＋AC2＝10，在Rt△ABC中，AO是BC边上的中线，∴AO＝BO＝5，∴AB AC＝AO2－BO2＝0，如解图①，取AC的中点D ，连接OD ，则OD ∥AB ，OD ＝12AB ＝4，CD ＝12AC ＝3，∴OC OA ＝OD 2－CD 2＝16－9＝7.第7题解图(2)如解图②，作底边BC 上的中线AE ，由题意可知AE 是∠BAC 的平分线、BC 边上的高． ∵AB ＝ΑC ＝4，∠BAC ＝120°，∴在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AE ＝12×4＝2，BE ＝32×4＝23， ∴AB AC ＝AE 2－BE 2＝22－(23)2＝－8.过点B作AC边上中线BM，过点M作MN⊥BC于点N，∴AM＝CM＝1×4＝2.2在Rt△MNC中，∠MNC＝90°，∠C＝30°，×2＝1，CN＝22－12＝ 3.∴MN＝12∵BC＝2BE＝43，∴BN＝BC－CN＝43－3＝33，BM2＝12＋(33)2＝28.∴BA BC＝BM2－AM2＝28－22＝24；(3)如解图③，过点B作△ABN的AN边上中线BM，∵在△ABC中，AB＝AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON＝13AO，第7题解图③∴AM＝MN＝NO，AO⊥BC，即AO＝3NO.∵AB A AC ＝14，BNBA ＝10，∴ AO 2－BO 2＝14，即(3ON )2－BO 2＝9ON 2－BO 2＝14，①∵BM 2－MN 2＝OM 2＋BO 2－MN 2＝(2ON )2＋BO 2－ON 2＝3ON 2＋BO 2＝10，②由①、②得⎩⎪⎨⎪⎧9ON 2－BO 2＝143ON 2＋BO 2＝10， ∴ON 2＝2，即ON ＝2，BO ＝2，∴BC ＝4，AO ＝32，∴S △ABC ＝12BC ·AO ＝12×4×32＝6 2. 8. 问题发现：如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、BC 为边向外侧作正方形ACDE 和正方形BCFG .(1)△ABC和△DCF面积的关系是________；(请在横线上填写“相等”或“不相等”)(2)拓展探究：若∠C≠90°，(1)中的结论还成立吗？若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；(3)解决问题：如图③，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CD JI、正方形DA LK；运用(2)中的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．第8题图解：(1)相等；【解法提示】∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，∴AC＝DC，BC＝FC，∠ACD＝∠BCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF＝90°＝∠ACB.∴12AC·BC＝12DC·CF，∴S△ABC＝S△DFC.(2)成立．理由如下：如解图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P，过点D作DQ⊥FC于点Q，∴∠APC＝∠DQC＝90°.∵四边形ACDE，四边形BCFG均为正方形，∴AC＝CD，BC＝CF，∠ACP＋∠PCD＝90°，∠DCQ＋∠PCD＝90°，∴∠ACP＝∠DCQ.第8题解图在△APC 和△DQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APC ＝∠DQC ∠ACP ＝∠DCQ AC ＝DC，∴△APC ≌△DQC (AAS)，∴AP ＝DQ .又∵S △ABC ＝12BC ·AP ，S △DFC ＝12FC ·DQ ， ∴S △ABC ＝S △DFC ；(3)图中阴影部分的面积和有最大值．理由如下：由(2)中的结论可知：S △K D J ＝S △ADC ，S △FBG ＝S △ABC ，S △AE L ＝S △ABD ，S △CH I ＝S △BDC ，∴S 阴影＝S △K DJ ＋S △FBG ＋S △AEL ＋S △CHI ＝S △ADC ＋S △ABC ＋S △ABD ＋S △BDC ＝2S 四边形ABCD .设AC ＝m ，则BD ＝10－m ，∵AC ⊥BD ，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝12m ·(10－m )＝－12m 2＋5m ＝－12(m －5)2＋252. ∵－12<0，∴S四边形ABCD有最大值，最大值为252.＝25，∴S阴影＝2×252∴阴影部分的面积和有最大值，最大值为25.9.问题背景如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究如图②，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F 三点不重合)．(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．第9题图解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.证明：如解图①，第9题解图①∵△ABC为正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，而∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE.又∵∠1＝∠2，∴△ABD≌△BCE(ASA)；(2)△DEF是正三角形．理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CF A，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；(3)如解图②，作AG⊥BD，交BD延长线于点G，第9题解图②由△DEF 是正三角形得到∠ADG ＝60°，(或者∠ADG ＝∠1＋∠ABD ＝∠2＋∠ABD ＝60°.)∴在Rt △ADG 中，DG ＝12b ，AG ＝32b . ∴在Rt △ABG 中，c 2＝(a ＋12b )2＋(32b )2， ∴c 2＝a 2＋ab ＋b 2.10. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A ′B ′C .(1)设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S 1和S 2.若θ＝40°，请求出S 1S 2的值； (2)如图①，设A ′B ′与CB 相交于点D ，且AB ∥CB ′：①求证：CD ＝B ′D ；②求BD 的长；(3)如图②，设AC 中点为点M ，A ′B ′中点为点N ，连接MN ，MN 是否存在最大值，若存在，求出MN 的值，判断出此时AA ′与BB ′的位置关系；若不存在，请说明理由．第10题图(1)解： ∵△ABC 绕顶点C 顺时针旋转40°，得到△A ′B ′C ， ∴CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∠ACA ′＝∠BCB ′＝θ，∴△ACA ′∽△BCB ′，∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝32∶42＝9∶16；∴S 1S 2＝916； (2)①证明：∵AB ∥B ′C ，∴∠ABC ＝∠BCB ′；由旋转的性质得∠ABC ＝∠DB ′C ，即∠BCB ′ ＝∠DB ′C ；∴CD ＝B ′D ；②解：根据勾股定理可得A ′B ′＝AB ＝5，据题意可得∠BCB ′ ＋∠BCA ′ ＝∠DB ′C ＋∠CA ′B ′＝90°，∴∠BCA ′ ＝∠CA ′B ′，∴CD ＝A ′D ＝B ′D ＝12A ′B ′＝52， ∴ BD ＝BC －CD ＝32； (3)解：存在，∵∠A ′CB ′＝90°，点M 为AC 的中点，∴CM ＝12AC ＝32， ∵△A ′B ′C 是由△ABC 绕顶点C 顺时针旋转所得，∴A ′B ′＝AB ＝5，第10题解图如解图，连接CN ，可得MN ≤CM ＋CN ，∴只有当点N 在MC 的延长线上时，MN ＝CM ＋CN ，此时MN 最大，∵点N 为A ′B ′的中点，∴CN ＝12 A ′B ′＝52，MN ＝CM ＋CN ＝4， 即MN 的最大值为4.此时AA ′⊥BB ′.。

2020年中考数学压轴题十大题型(含详细答案)函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。

求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。

几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。

一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。

求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。

找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。

求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。

而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。

解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

关键是掌握几种常用的数学思想方法。

一是运用函数与方程思想。

以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。

二是运用分类讨论的思想。

对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。

三是运用转化的数学的思想。

由已知向未知，由复杂向简单的转换。

中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。

因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。

2020中考数学 压轴专题：几何综合（含答案）1. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点P 是AC 上的一个动点(点P 与A 、C 不重合)，连接BP ，分别过点B 、C 作BP 、AC 的垂线BQ 、CQ ，两垂线交于点Q ，连接QP ，交BC 于点E . (1)求证：CQ ＝AP ； (2)求证：△CPB ∽△CEQ ；(3)若AB ＝22，在点P 的运动过程中，是否存在一点P ，使得CE ＝38BC ？若存在，请求出△ABP 的面积，若不存在，请说明理由．第1题图(1)证明：∵在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴∠A ＝∠ACB ＝45°， ∵BQ ⊥BP , CQ ⊥AC ， ∴∠QCB ＝∠A ＝45°，∵∠ABP ＋∠PBC ＝∠QBC ＋∠PBC ＝90°， ∴∠ABP ＝∠QBC . 又∵BA ＝BC ， ∴△BAP ≌△BCQ (ASA). ∴CQ ＝AP ；(2)证明：由(1)得，∠QCB ＝∠ACB ＝45°，又∵∠PCQ ＋∠PBQ ＝180°， ∴P 、C 、Q 、B 四点共圆， ∴∠CQP ＝∠PBC ， ∴△CPB ∽△CEQ ； (3)解：存在．理由如下：由CE ＝38BC ，可得CE ＝38BC ＝38AB ＝324，由勾股定理可得，AC ＝AB 2＋BC 2＝4；设AP ＝CQ ＝x ，则PC ＝4－x ，由(2)得△CPB ∽△CEQ ， ∴CP CE ＝BCCQ ，即4－x 324＝22x ， 可得x 2－4x ＋3＝0， 解得x ＝3或1，第1题解图如解图，过点P 作PD ⊥AB 于D ， 易得△APD ∽△ACB ， ∴PD BC ＝AP AC， 即PD ＝AP ·BC AC ＝AP ·224＝22AP ， 当AP ＝3时，可得PD ＝322，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×322＝3，当AP ＝1时，可得PD ＝22，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×22＝1. ∴存在满足CE ＝38BC 的点P ，此时△ABP 的面积为3或1.2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点P 是线段BC 延长线上任意一点，以AP 为直角边作等腰直角△APD ，且∠APD ＝90°，连接BD . (1)求证：AC AP ＝AB AD；(2)在点P 运动过程中，试问∠PBD 的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势；(3)已知AB ＝2，设CP ＝x ，S △PBD ＝S . ①试求S 关于x 的函数表达式； ②当S ＝38时，求△BPD 的外接圆半径．第2题图(1)证明：如解图，设AD 与PB 交于点K .∵CA ＝BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∵P A ＝PD ，∠APD ＝90°，∴∠PDK ＝∠P AD ＝∠ABK ＝45°，∵∠AKB ＝∠DKP ， ∴△AKB ∽△PKD ， ∴AK PK ＝BKDK， ∴AK KB ＝PKDK，∵∠AKP ＝∠BKD ， ∴△AKP ∽△BKD ，∴∠BDK ＝∠APK ，∠P AK ＝∠DBK ＝45°， ∴∠ABD ＝∠ABK ＋∠DBK ＝90°， ∴∠ABD ＝∠ACP ，∵∠ADB ＝∠APC ， ∴△ABD ∽△ACP ， ∴AC AP ＝ABAD； (2)解：∠PBD 的度数是定值，恒为45°.理由：由(1)可知△AKP ∽△BKD ， ∴∠P AK ＝∠DBK ＝45°，∴在点P 运动过程中，∠PBD 的度数是定值，且∠PBD ＝45° (3)解：①在Rt △ABC 中，∵AB ＝2，∴BC ＝AC ＝1， 在Rt △ACP 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝1＋x 2，∵△ABD ∽△ACP ， ∴AC AB ＝PCBD，∴12＝x BD， ∴BD ＝2x ，∴S ＝S △ABD ＋S △APD －S △ABP ＝12·2·2x ＋12·1＋x 2·1＋x 2－12(1＋x )·1＝12x 2＋12x .②如解图，取AD 的中点O ，连接OB 、OP .第2题解图∵∠ABD ＝∠APD ＝90°， ∴OB ＝OA ＝OP ＝OD ，∴点O 是△PBD 的外接圆的圆心， ∵S ＝38，∴12x 2＋12x ＝38， 解得x ＝12或－32(舍去)，∴PC ＝12，由(2)可知BD ＝2x ， ∴BD ＝22， 在Rt △ABD 中， AD ＝AB 2＋BD 2＝（2）2＋（22）2＝102， ∴OD ＝12AD ＝104，∴△PBD 的外接圆的半径为104. 3. 如图①，点P 在∠MON 的平分线上，且OP ＝2，以P 为顶点作∠APB, 与∠MON 的两边分别交于点A 、B ，其中∠APB 绕点P 旋转时，始终满足OA ·OB ＝OP 2.(1)已知∠MON＝α，求∠APB的度数(用含α的代数式表示)；(2)如图②，若∠MON＝90°，求出四边形OAPB面积的最小值．第3题图解：(1)∵OA·OB＝OP2，∴OA OP ＝OP OB，∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠POB，∴△AOP∽△POB，∴∠P AO＝∠BPO，∴∠APB＝∠APO＋∠BPO＝∠APO＋∠P AO，在△APO中，由三角形内角和定理得：∠APO＋∠P AO＝180°－∠AOP，∵∠MON＝α，∴∠AOP＝12α，∴∠APB＝180°－12α；(2)∵(AO－BO)2＝AO－2AO·BO＋BO≥0，∴AO＋BO≥2AO·BO＝2OP2＝4，第3题解图如解图，过点P作PG⊥OM、PH⊥ON，垂足分别为G、H，∵∠MON＝90°，OP平分∠MON，∴PG＝PH，∠POH＝45°，∴S四边形APBO＝S△APO＋S△POB＝12OA·PG＋12OB·PH＝12(OA＋OB)·PH，∴S四边形APBO≥12×4·PH＝2PH，∵OP平分∠MON，∠MON＝90°，又∵∠PHO＝90°，PO＝2，∴PH＝OH＝2，∴S四边形APBO≥22，即四边形APBO面积的最小值为2 2.4. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB＝90°，PM⊥AD，PN⊥AB.(1)求证：四边形PMAN是正方形；(2)求证：EM＝BN；(3)若点P在线段AC上移动，其他不变，设PC＝x，AE＝y，求y关于x的解析式，并写出自变量x的取值范围．第4题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ， ∵PM ⊥AD ，PN ⊥AB ，∴PM ＝PN ，∠PMA ＝∠PNA ＝90°， ∴四边形PMAN 是矩形， ∵PM ＝PN ，∴四边形PMAN 是正方形；(2)证明：∵四边形PMAN 是正方形， ∴PM ＝PN ，∠MPN ＝90°， ∵∠EPB ＝90°， ∴∠MPE ＝∠NPB ， 在△EPM 和△BPN 中，⎩⎨⎧∠PME ＝∠PNBPM ＝PN∠MPE ＝∠NPB， ∴△EPM ≌△BPN (ASA)， ∴EM ＝BN ；(3)解：如解图，过P 作PF ⊥BC 于F ，第4题解图∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，∠PCF＝45°，∴AC＝12＋12＝2，△PCF是等腰直角三角形，∴AP＝AC－PC＝2－x，BN＝PF＝22x，∴EM＝BN＝22x，∵∠P AM＝45°，∠PMA＝90°，∴△APM是等腰直角三角形，∴AP＝2AM＝2(AE＋EM)，即2－x＝2(y＋22x)，解得y＝1－2x，∴x的取值范围为0≤x≤2，2∴y＝1－2x(0≤x≤22)．5. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝102，直线MN过点A且MN∥BC，以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上(不与点A重合)，如图①，DE与AC交于点P，设BD＝x，DP ＋BC＝y，cos∠ADP＝z.(1)猜想y关于x(2)如图②，DE与CA的延长线交于点P，以上y关于x的函数表达式仍成立吗？请证明；(3)如图③，DE与AC的延长线交于点P，BD与AP交于点Q，若此时x＝BD＝202，求S△ABQ的值．第5题图解：(1)y 关于x 的函数表达式为y ＝x ＋20，z 关于x 的函数表达式为z ＝10x， 证明：如解图①，过点D 作DF ⊥AD 交AB 于点F ，交BC 于点G ， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝45°， ∴∠BAD ＝∠AFD ＝45°，∴△ADF 是等腰直角三角形，∴AD ＝DF ，∠DAP ＝45°＋90°＝135°，∠DFB ＝180°－45°＝135°， ∵∠BDP ＝∠ADF ＝90°， ∴∠ADP ＝∠FDB ， 在△ADP 和△FDB 中，⎩⎨⎧∠ADP ＝∠FDBAD ＝FD∠DAP ＝∠DFB， ∴△ADP ≌△FDB ， ∴DP ＝BD ＝x ，∵AB ＝AC ＝102，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝20，∴y ＝x ＋20， ∵AD ∥BC ，∴DG ＝22AB ＝22×102＝10， 在Rt △BDG 中，cos ∠BDG ＝DG DB ＝10x ，∵∠ADP ＝∠BDG ，∴z ＝cos ∠ADP ＝cos ∠BDG ＝10x ；第5题解图①(2)y 关于x 的函数表达式仍然成立，第5题解图②如解图②，过点D 作DF ⊥MN ，交AB 延长线于点F ， ∵由(1)知∠BAD ＝45°，∴∠AFD ＝45°，∴DA ＝DF ，∵∠FDB ＋∠BDA ＝90°，∠BDA ＋∠ADP ＝90°， ∴∠FDB ＝∠ADP ，∵∠DAP ＝90°－∠BAD ＝45°， 在△ADP 和△FDB 中，⎩⎨⎧∠DAP ＝∠DFBDA ＝DF∠ADP ＝∠FDB， ∴△ADP ≌△FDB ， ∴DP ＝BD ＝x ， ∵BC ＝20， ∴y ＝x ＋20成立；第5题解图③(3)如解图③，过点B 作BT ⊥MN 于点T ， ∵MN ∥BC ，∠ABC ＝45°， ∴∠TAB ＝∠ABC ＝45°， ∵AB ＝102， ∴AT ＝BT ＝10， ∵BD ＝202， ∴在Rt △BTD 中，DT ＝BD 2－BT 2＝107，∵MN ∥BC ， ∴△AQD ∽△CQB ， ∴AQ QC ＝ADBC， ∴AQAC －AQ＝DT －AT BC ，∴AQ102－AQ＝107－1020，解得AQ ＝402－10143，∴S △ABQ ＝12AB ·AQ ＝12×102×402－10143＝400－10073.6. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝8，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，AH ＝2，连接CF .(1)若DG ＝2，求证：四边形EFGH 为正方形； (2)若DG ＝6，求△FCG 的面积．第6题图(1)证明：∵四边形EFGH 为菱形，∴HG ＝EH ， ∵AH ＝2，DG ＝2， ∴DG ＝AH ，在Rt △DHG 和Rt △AEH 中，⎩⎨⎧HG ＝EH DG ＝AH ， ∴Rt △DHG ≌Rt △AEH ， ∴∠DHG ＝∠AEH ， ∵∠AEH ＋∠AHE ＝90°， ∴∠DHG ＋∠AHE ＝90°， ∴∠GHE ＝90°，∴四边形EFGH 为正方形；(2)解：如解图，过点F 作FQ ⊥CD 交DC 的延长线于Q ，连接GE ，第6题解图∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ∥CD ， ∴∠AEG ＝∠QGE ，即∠AEH ＋∠HEG ＝∠QGF ＋∠FGE ， ∵四边形EFGH 为菱形， ∴HE ＝GF ，HE ∥GF ， ∴∠HEG ＝∠FGE ， ∴∠AEH ＝∠QGF ， 在△AEH 和△QGF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠Q∠AEH ＝∠QGF HE ＝FG， ∴△AEH ≌△QGF ， ∴AH ＝QF ＝2， ∵DG ＝6，CD ＝8， ∴CG ＝2，∴S △FCG ＝12CG ·FQ ＝12×2×2＝2.7. 如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，延长AC 到E ，使得CE ＝BD ，连接DE 交BC 于F . (1)求证：CE ＝2CF ；(2)当∠A ＝60°，AB ＝6，将△CEF 绕点C 逆时针旋转角α(0°≤α≤360°)，得到△CE ′F ′，当点F ′恰好落在直线AC 上，连接BE ′，求此时BE ′的长．第7题图(1)证明：如解图①，过D作DG∥BC交AC于G，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵DG∥BC，∴∠GDC＝∠BCD，∴∠GDC＝∠GCD，第7题解图①∴DG＝GC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，∴∠ADG＝∠AGD，∴AD＝AG，∴BD＝CG，∵CE＝BD，∴CG＝CE，∵DG∥BC，∴CF是△EDG的中位线，∴DG＝2CF，∴CE＝CG＝DG＝2CF；(2)解：①当点F旋转到线段AC上点F′处时，如解图②所示，∵∠F′CE′＝∠FCE＝120°，∠ACD＝30°，∴∠DCE′＝90°＝∠CDB，∴AB∥CE′，∵BD＝CE＝CE′，∴四边形BDCE′是矩形，∴BE′＝CD＝32AB＝32×6＝33；第7题解图②当点F旋转到线段AC的延长线上的点F′处时，如解图③，连接AE′，易得四边形ADCE′是矩形，∴AE′＝DC＝33，∠E′AC＝30°，∠BAE′＝90°，在Rt△ABE′中，由勾股定理得BE′＝AB2＋AE′2＝62＋（33）2＝37.8. 如图，在▱ABCD中，AC⊥CD，点E在射线CB上，点F在射线DC上，且∠EAF＝∠B.(1)当∠BAD＝135°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上，求证：BE＋22DF＝AD；(2)当∠BAD＝120°时，若点E在线段CB上，点F在线段DC上，求AD、BE、DF之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；(3)当∠BAD＝120°时，连接EF，直线AF与直线BC交于点Q，当AB＝3，BE＝2时，请分别求出EQ和EF的长．第8题图(1)证明：∵∠BAD ＝135°，且∠BAC ＝90°，∴∠CAD ＝45°，即△ABC 、△ADC 都是等腰直角三角形； ∴AD ＝2AC ，且∠D ＝∠ACB ＝45°； 又∵∠EAC ＝∠DAF ＝45°－∠F AC ， ∴△AEC ∽△AFD ， ∴AE AF ＝EC FD ＝AC AD ＝12，即EC ＝22FD ； ∴BC ＝BE ＋22DF ，即BE ＋22DF ＝AD ； (2)解：2BE ＋DF ＝AD ；理由如下： 如解图①，取BC 的中点G ，连接AG ；第8题解图①易知：∠DAC ＝∠BCA ＝30°，∠B ＝∠D ＝60°； 在Rt △ABC 中，G 是斜边BC 的中点，则： ∠AGE ＝60°，AD ＝BC ＝2AG ；∵∠GAD ＝∠AGE ＝60°＝∠EAF ， ∴∠EAG ＝∠F AD ＝60°－∠GAF ； 又∵∠AGE ＝∠D ＝60°，∴△AGE ∽△ADF ，得：AG AD ＝EG FD ＝12；即FD ＝2EG ；∴BC ＝2BG ＝2(BE ＋EG )＝2BE ＋2EG ＝2BE ＋DF ， 即AD ＝2BE ＋DF ；(3)解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝30°，AB ＝3，则BC ＝AD ＝6，EC ＝4.①当点E 、F 分别在线段BC 、CD 上时，如解图②，过F 作FH ⊥BQ 于H ；同(2)可知：DF ＝2EG ＝2，CF ＝CD －DF ＝1；在Rt △CFH 中，∠FCH ＝60°，CH ＝12，FH ＝32；易知：△ADF ∽△QCF ，由DF ＝2CF ，可得CQ ＝12AD ＝3；∴EQ ＝EC ＋CQ ＝4＋3＝7；在Rt △EFH 中，EH ＝EC ＋CH ＝92，FH ＝32；由勾股定理可求得：EF ＝21；②当点E 、F 分别在CB 、DC 的延长线上时，如解图③； 分别过点A 、F 作BC 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵∠EAF ＝∠GAD ＝60°， ∴∠EAG ＝∠F AD ＝60°＋∠F AG ， 又∵∠EGA ＝∠D ＝60°，∴△EAG ∽△F AD ，得：EG FD ＝AG AD ＝12；即FD ＝2EG ＝10，FC ＝10－CD ＝7； 在Rt △FCN 中，∠FCN ＝60°， 易求得FN ＝732，NC ＝72，GN ＝12； 在等边△ABG 中，AM ⊥BG ，易求得AM ＝332，MG ＝32，MN ＝MG －GN ＝1； 由△AMQ ∽△FNQ ，得：AM FN ＝MQ NQ ＝37，即QN ＝710，MQ ＝310； EQ ＝EB ＋BM ＋MQ ＝2＋32＋310＝195；由勾股定理得EF ＝57；综上可知：EQ ＝7或195，EF ＝21或57.图②图③第8题解图9. 如图①，已知△ACB和△DCE为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE.(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数；(3)如图②，若△ACB和△DCE为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM⊥DE于点M，连接BE.①计算∠AEB的度数；②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．图① 图②第9题图(1)证明：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°. ∴∠ACD ＝∠BCE ， 在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE∴△ACD ≌△BCE (SAS)， ∴AD ＝BE . (2)∵△ACD ≌△BCE∴∠ADC ＝∠BEC . ∵△DCE 为等边三角形， ∴∠CDE ＝∠CED ＝60°.∵点A ，D ，E 在同一条直线上， ∴∠ADC ＝120°， ∴∠BEC ＝120°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝60°. (3)①如解图，∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， 且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACD ＝∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ＝∠BCE ， 在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧CA ＝CB∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD ≌△BCE (SAS)， ∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC . ∵△DCE 为等腰直角三角形， ∴∠CDE ＝∠CED ＝45°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC ＝135°， ∴∠BEC ＝135°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝90°，第9题解图②∵CD ＝CE ，CM ⊥DE 于M ， ∴DM ＝ME ， ∵∠DCE ＝90°， ∴DM ＝ME ＝CM ， ∴AE ＝AD ＋DE ＝BE ＋2CM .10. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝2，∠ABC ＝120°，动点P 在线段BD 上从点B向点D 运动，PE ⊥AB 于点E ，四边形PEBF 关于BD 对称，四边形QGDH 与四边形PEBF 关于AC 对称．设菱形ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为S 1，BP ＝x ：(1)对角线AC 的长为________；S 菱形ABCD ＝________；(2)用含x 的代数式表示S 1；(3)若点P 在移动过程中满足S 1＝12S 菱形ABCD 时，求x 的值．第10题图解：(1)23；23；【解法提示】∵菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝2，∠ABC ＝120°，∴∠AOB ＝90°，∠ABO ＝60°，∴AO ＝AB ·sin60°＝3，BO ＝AB ·cos60°＝1，∴AC ＝2AO ＝23，BD ＝2BO ＝2，∴S 菱形ABCD ＝23·22＝23， (2)由题意可得∠ABO ＝60°，BP ＝x ，∠PEB ＝90°，∴BE ＝BP ·cos60°＝x 2，PE ＝BP ·sin60°＝3x 2， ∴当0＜x ≤1时，S 1＝12x ·3x 22×4＝3x 22， 当1＜x ≤2时，S 1＝12x ·3x 22×4－2（x －1）·2×33（x －1）2＝－36x 2＋43x 3－233， 综上所述，S 1＝⎩⎨⎧3x 22 0＜x ≤1－3x 26＋43x 3－233 1＜x ≤2；(3)∵菱形的面积是23， ∴令32x 2＝3，解得x 1＝2＞1(舍去)，x2＝－2(舍去)，令－32＋433x－233＝3，解得x1＝4＋6＞2(舍去)，x2＝4－6，6x时，x的值是4－ 6.即若点P在移动过程中满足S1＝12S菱形ABCD。

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题14 图形变换和类比探究类几何压轴综合问题【类型综述】本节内容每年中考都会选择一种变换作为压轴题的背景素材,可以对函数图象进行平移,可以对几何图形进行平移、旋转,考查学生的数学综合应用能力．在选择、填空中也会涉及变换的概念和简单应用．只要抓住全等变换的特点,找到变与不变的量就可以解决问题．预计在2019年中考中仍会在压轴部分渗透变换,但是会有新情境的渗透．【方法揭秘】1.平移的性质(1)平移前后,对应线段平行、对应角相等；(2)各对应点所连接的线段平行（或在同一直线上）或相等；(3)平移前后的图形全等,注意：平移不改变图形的形状和大小.2.旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等.3.中心对称的性质：在成中心对称的两个图形中,对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分_．成中心对称的两个图形全等.【典例分析】【例1】操作与证明：如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF．取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN．（1）连接AE,求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则（2）中的两个结论还成立吗？若成立,请加以证明；若不成立,请说明理由．思路点拨（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF,继而证明出△ABE≌△ADF,得到AE=AF,从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直,利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质,及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立,连接AE,交MD于点G,标记出各个角,首先证明出MN∥AE,MN=12AE,利用三角形全等证出AE=AF,而DM=12AF,从而得到DM,MN数量相等的结论,再利用三角形外角性质和三角形全等,等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.满分解答（1）∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠ADF=90°,∵△CEF是等腰直角三角形,∠C=90°,∴CE=CF,∴BC﹣CE=CD﹣CF,即BE=DF,∴△ABE≌△ADF,∴AE=AF,∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等,DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线,∴AF=2DM,∵MN是△AEF的中位线,∴AE=2MN,∵AE=AF,∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM,AM=MD,∵∠FMN=∠FAE,∠DAF=∠BAE,∴∠ADM=∠DAF=∠BAE,∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°,∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立,连接AE,交MD于点G,∵点M为AF的中点,点N为EF的中点,∴MN∥AE,MN=12AE,由已知得,AB=AD=BC=CD,∠B=∠ADF,CE=CF,又∵BC+CE=CD+CF,即BE=DF,∴△ABE≌△ADF,∴AE=AF,在Rt△ADF中,∵点M为AF的中点,∴DM=12AF,∴DM=MN,∵△ABE≌△ADF,∴∠1=∠2,∵AB∥DF,∴∠1=∠3,同理可证：∠2=∠4,∴∠3=∠4,∵DM=AM,∴∠MAD=∠5,∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°,∵MN∥AE,∴∠DMN=∠DGE=90°,∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．【例2】已知：如图1,OM是∠AOB的平分线,点C在OM上,OC＝5,且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D、E,易得到结论：OD+OE等于多少；（1）把图1中的∠DCE绕点C旋转,当CD与OA不垂直时（如图2）,上述结论是否成立？并说明理由；（2）把图1中的∠DCE绕点C旋转,当CD与OA的反向延长线相交于点D时：①请在图3中画出图形；②上述结论还成立吗？若成立,请给出证明；若不成立,请直接写出线段OD、OE之间的数量关系,不需证明．思路点拨先利用勾股定理求出OD,再利用角平分线定理得出DE=CD,即可得出结论；（1）先判断出∠DCQ=∠ECP,进而判断出△CQD≌△CPE,得出DQ=PE,即可得出结论；（2）①依题意即可补全图形；②同（1）的方法即可得出结论．满分解答∵CD⊥OA,∴∠ODC＝90°,在Rt△ODC中,CD＝3,OC＝5,∴OD＝22＝4,OC CD∵点C是∠AOB的平分线上的点,∴DE＝CD＝3,同理,OE＝4,∴OD+OE＝4+4＝8,故答案为8；（1）上述结论成立,理由：如图2,过点C作CQ⊥OA于Q,CP⊥OB于P,∴∠OQC＝∠EPC＝90°,∴∠AOB+∠POQ＝180°,由旋转知,∠AOB+∠DOE＝180°,∴∠POQ＝∠DOE,∴∠DCQ＝∠ECP,∵点C是∠AOB的平分线上,且CQ⊥OA,CP⊥OB,∴CQ＝CP,∵∠OQC＝∠EPC＝90°,∴△CQD≌△CPE（ASA）,∴DQ＝PE,∵OD＝OQ﹣DQ,OE＝OP+PE,∴OD+OE＝OQ﹣DQ+OP+PE＝OQ+OP＝8；（2）①补全图形如图3②上述结论不成立,OE﹣OD＝8,理由：过点C作CQ⊥OA于Q,CP⊥OB于P,∴∠OQC＝∠EPC＝90°,∴∠AOB+∠POQ＝180°,由旋转知,∠AOB+∠DOE＝180°,∴∠POQ＝∠DOE,∴∠DCQ＝∠ECP,∵点C是∠AOB的平分线上,且CQ⊥OA,CP⊥OB,∴CQ＝CP,∵∠OQC＝∠EPC＝90°,∴△CQD≌△CPE（ASA）,∴DQ＝PE,∵OD＝DQ﹣OQ,OE＝OP+PE,∴OE﹣OD＝OP+PE﹣（DQ﹣OQ）＝OP+PE﹣DQ+OQ＝OP+OQ＝8．【点睛】此题是几何变换综合题,主要考查了角平分线的定义和定理,全等三角形的判定和性质,特殊角的三角函数直角三角形的性质,正确作出辅助线是解本题的关键【例3】两个三角板ABC,DEF按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内),其中,∠C＝∠DEF＝90°,∠ABC＝∠F＝30°,AC＝DE＝4 cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C落在边EF上时,x＝________cm；(2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N,直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值．满分解答（1）由锐角三角函数,得到BG 的长,进而得出GE 的长,又矩形的性质可求解；（2）分类讨论：①当0≤t ＜4时,根据三角形的面积公式可得答案；②当4≤t ＜8时,③当810x ≤≤时,根据面积的和差求解；（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短,可得M 在线段NG 上,根据三角形的中位线,可得NG 的长,根据锐角三角函数,可得MG 的长,然后根据线段的和差求解.思路点拨（1）如图：作CG ⊥AB 于G 点．在Rt △ABC 中,由AC=4,∠ABC=30,得 BC=tan 30ACo=43． 在Rt △BCG 中,BG=BC•cos30°=6． 四边形CGEH 是矩形, CH=GE=BG+BE=6+4=10cm, 故答案为：10 .（2）①当04x ≤<时,如解图。

（精品资料）2020年中考数学压轴题突破专题十图形变换综合题探究专题类型一【图形的平移】【典例指引1】1．两个三角板ABC，DEF按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC ＝DE＝4 cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C落在边EF上时，x＝________cm；(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N，直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．【举一反三】如图①，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF=FP．（1）在图①中，通过观察、测量，猜想直接写出AB与AP满足的数量关系和位置关系，不要说明理由；（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想写出BQ 与AP满足的数量关系和位置关系，并说明理由．类型二【图形的轴对称--折叠】【典例指引2】将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(3,0)，点B(0,4)，点O(0,0).P是边AB上的一点(点P不与点A，B重合)，沿着折叠该纸片，得点B的对应点B′.(∠)如图∠，当∠BOP=30°时，求点B′的坐标；(∠)如图∠，当点B′落在x轴上时，求点P的坐标；(∠)当PB′与坐标轴平行时，求点B′的坐标(直接写出结果即可).【举一反三】如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F 处，过点F作FG∠CD，交AE于点G，连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求CEDE的值．类型三【图形的旋转】【典例指引3】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE∠AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．∠在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；∠若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．【举一反三】（1）（问题发现）如图1，在Rt∠ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．类型四【图形的位似】【典例指引4】如图，二次函数y=x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将∠OAB按相似比2：1放大，得到∠OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．（1）画出∠OA′B′，试求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）点P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．∠连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；∠当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′．∠Q′P′M∠∠QB′N，则线段NQ的长度等于．【举一反三】如图所示，网格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的∠ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，－1)．(1)把∠ABC向下平移5格后得到∠A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并画出∠A1B1C1；(2)把∠ABC绕点O按顺时针方向旋转180°后得到∠A2B2C2，写出点A2，B2，C2的坐标，并画出∠A2B2C2；(3)把∠ABC以点O为位似中心放大得到∠A3B3C3，使放大前后对应线段的比为1∠2，写出点A3，B3，C3的坐标，并画出∠A3B3C3.【新题训练】1．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（2）写出点B的坐标；（3）将∠ABC向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度，画出平移后的图形∠A′B′C′；（4）计算∠A′B′C′的面积﹒（5）在x轴上存在一点P，使P A+PC最小，直接写出点P的坐标.2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB 先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD ，连接AC ，BD ，构成平行四边形ABDC ． （1）请写出点C 的坐标为 ，点D 的坐标为 ，S 四边形ABDC ； （2）点Q 在y 轴上，且S ∠QAB ＝S 四边形ABDC ，求出点Q 的坐标；（3）如图（2），点P 是线段BD 上任意一个点（不与B 、D 重合），连接PC 、PO ，试探索∠DCP 、∠CPO 、∠BOP 之间的关系，并证明你的结论．3．（问题情境）在综合实践课上，同学们以“图形的平移”为主题开展数学活动，如图∠，先将一张长为4，宽为3的矩形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的四边形，，，则拼得的四边形的周长是_____.（操作发现）将图∠中的沿着射线方向平移，连结、、、，如图∠.当的平移距离是的长度时，求四边形的周长. （操作探究）将图∠中的继续沿着射线方向平移，其它条件不变，当四边形是菱形时，将四边形沿对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的ABCD 3AD =4BD =ABCD ABE △DB AD BC AF CE ABE △12BE AECF ABE △DB ABCD ABCD矩形周长.4．如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，是一个格点三角形．在图中，请判断与是否相似，并说明理由；在图中，以O 为位似中心，再画一个格点三角形，使它与的位似比为2：1在图中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与相似，且有一条公共边和一个公共角．5．已知：是的高，且. （1）如图1，求证：；（2）如图2，点E 在AD 上，连接，将沿折叠得到，与相交于点，若BE =BC ，求的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点作，交的延长线于点，若，，求线段的长.图1. 图2. 图3.6．如图，长方形在平面直角坐标系的第一象限内，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，点、分别是、的中点，，点的坐标为.66⨯ABC V ()1①ABC V DEF V ()2②ABC V ()3③ABCV AD ABC ∆BD CD =BAD CAD ∠=∠BE ABE ∆BE 'A BE ∆'A B AC F BFC ∠EF C CG EF ⊥EF G 10BF =6EG =CF OABC xOy A x C y D E OC BC 30∠=︒CDE E ()2,a（1）求的值及直线的表达式；（2）现将长方形沿折叠，使顶点落在平面内的点处，过点作轴的平行线分别交轴和于点，. ∠求的坐标；∠若点为直线上一动点，连接，当为等腰三角形，求点的坐标. （说明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 7．如图1，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB =OD ，OC =OA +AB ，AD =m ，BC =n ，∠ABD +∠ADB =∠ACB ．（1）填空：∠BAD 与∠ACB 的数量关系为________； （2）求的值； （3）将∠ACD 沿CD 翻折，得到∠A ′CD （如图2），连接BA ′，与CD 相交于点P ．若CD =，求PC 的长．8．如图，直线：y ＝﹣+4与x 轴、y 轴分别別交于点M 、点N ，等边∠ABC 的高为3，边BC 在x 轴上，将∠ABC 沿着x 轴的正方向平移，在平移过程中，得到∠A 1B 1C 1，当点B 1与原点O 重合时，解答下列问题：a DE OABC DE C 'C 'C y x BC F G 'C P DE 'PC 'PC D P 30°mn23x（1）点A1的坐标为．（2）求∠A1B1C1的边A1C1所在直线的解析式；（3）若以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．9．已知：∠ABC和∠ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当∠ADE绕点A旋转时，如图1，则∠FGH的形状为，说明理由；（2）在∠ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在∠ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则∠FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．10．综合与实践问题背景折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理．其中，芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下（如图1）：操作1：將正方形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN，B'E与AB交于点P．则P即为AB的三等分点，即AP：PB=2：1．解决问题（1）在图1中，若EF 与MN 交于点Q ，连接CQ ．求证：四边形EQCM 是菱形； （2）请在图1中证明AP ：PB =2：l ． 发现感悟若E 为正方形纸片ABCD 的边AD 上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：（3）如图2．若=2．则= ；（4）如图3，若=3，则= ； （5）根据问题（2），（3），（4）给你的启示，你能发现一个更加一般化的结论吗？请把你的结论写出来，不要求证明．11．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.（∠）如图∠，当点落在边上时，求点的坐标； （∠）如图∠，当点落在线段上时，与交于点. ∠求证； ∠求点的坐标.（∠）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）.DEAEAP BP DEAEAP BP AOBC (0,0)O (5,0)A (0,3)B A AOBC ADEF O B C D EF D BC D D BE AD BC H ADB AOB △△≌H K AOBC S KDE △S12．已知O 为直线MN 上一点，OP ∠MN ，在等腰Rt ∠ABO 中，，AC ∠OP 交OM 于C ，D 为OB 的中点，DE ∠DC 交MN 于E ．(1) 如图1，若点B 在OP 上，则∠AC OE (填“＜”，“＝”或“＞”)；∠线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式是 ；(2) 将图1中的等腰Rt ∠ABO 绕O 点顺时针旋转α()，如图2，那么(1)中的结论∠是否成立？请说明理由；(3) 将图1中的等腰Rt ∠ABO 绕O 点顺时针旋转α()，请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式 ；13．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.（1）观察猜想 图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明 把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.14．已知∠MAN =135°，正方形ABCD 绕点A 旋转．（1）当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，连接MN ．90BAO ∠=︒045α︒<<︒∠如图1，若BM =DN ，则线段MN 与BM +DN 之间的数量关系是 ；∠如图2，若BM ≠DN ，请判断∠中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图3，当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的内部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与直线BD 交于点M ，N ，探究：以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．15．已知：如图，是由一个等边∠ABE 和一个矩形BCDE 拼成的一个图形，其点B ，C ，D 的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．(1)直接写出E 点和A 点的坐标；(2)试以点B 为位似中心，作出位似图形A 1B 1C 1D 1E 1，使所作的图形与原图形的位似比为3∠1； (3)直接写出图形A 1B 1C 1D 1E 1的面积．16．如图1，将长为10的线段OA 绕点O 旋转90°得到OB ，点A 的运动轨迹为，P 是半径OB 上一动点，Q 是上的一动点，连接PQ .发现：∠POQ ＝________时，PQ 有最大值，最大值为________；思考：（1）如图2，若P 是OB 中点，且QP ∠OB 于点P ，求的长； （2）如图3，将扇形AOB 沿折痕AP 折叠，使点B 的对应点B ′恰好落在OA 的延长线上，求阴影部分面积； 探究：如图4，将扇形OAB 沿PQ 折叠，使折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切，切点为C ，若OP ＝6，求点O 到折痕PQ 的距离．»AB »AB »BQ17．（本小题10分） 将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标系中，点A （），点B （0，1），点O （0，0）．过边OA 上的动点M （点M 不与点O ，A 重合）作MN ∠AB 于点N ，沿着MN 折叠该纸片，得顶点A 的对应点A ′．设OM =m ，折叠后的∠A ′MN 与四边形OMNB 重叠部分的面积为S ．图∠（∠）如图∠，当点A ′与顶点B 重合时，求点M 的坐标；（∠）如图∠，当点A ′落在第二象限时，A ′M 与OB 相交于点C ，试用含m 的式子表示S ； （∠）当S =时，求点M 的坐标（直接写出结果即可）． 18．如图1，一副直角三角板满足AB =BC ，AC =DE ，∠ABC =∠DEF =90°，∠EDF =30°操作：将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q ． 探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明； （2）如图3，当时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP 与EQ 满足的数量关系式为 ，其241CEEA =2CEEA=CEm EA=中m 的取值范围是 ．（直接写出结论，不必证明） 探究二：若且AC =30cm ，连接PQ ，设∠EPQ 的面积为S （cm 2），在旋转过程中： （1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． （2）随着S 取不同的值，对应∠EPQ 的个数有哪些变化，求出相应S 的值或取值范围．类型一 【图形的平移】【典例指引1】1．两个三角板ABC ，DEF 按如图所示的位置摆放，点B 与点D 重合，边AB 与边DE 在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中，∠C ＝∠DEF ＝90°，∠ABC ＝∠F ＝30°，AC ＝DE ＝4 cm .现固定三角板DEF ，将三角板ABC 沿射线DE 方向平移，当点C 落在边EF 上时停止运动．设三角板平移的距离为x (cm )，两个三角板重叠部分的面积为y (cm 2)． (1)当点C 落在边EF 上时，x ＝________cm ；(2)求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；(3)设边BC 的中点为点M ，边DF 的中点为点N ，直接写出在三角板平移过程中，点M 与点N 之间距离的最小值．【答案】(1)10;(2)见解析；（3. 【解析】分析：（1）由锐角三角函数，得到BG 的长，进而得出GE 的长，又矩形的性质可求解；（2）分类讨论：①当0≤t ＜4时，根据三角形的面积公式可得答案；②当4≤t ＜8时，③当810x ≤≤时，根2CEEA=据面积的和差求解；（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得M 在线段NG 上，根据三角形的中位线，可得NG 的长，根据锐角三角函数，可得MG 的长，然后根据线段的和差求解. 详解:（1）如图： 作CG ⊥AB 于G 点．在Rt △ABC 中，由AC =4，∠ABC =30，得BC =tan 30ACo在Rt △BCG 中，BG =BC •cos 30°=6． 四边形CGEH 是矩形， CH =GE =BG +BE =6+4=10cm ， 故答案为：10 .（2）①当04x ≤<时，如解图∵∠GDB ＝60°，∠GBD ＝30°， ∴DB ＝x ，DG ＝x ，BG ＝x ，重叠部分的面积y ＝DG ·BG ＝×x ×x ＝x 2 ②48x ≤<时，如解图BD ＝x ，DG ＝x ，BG ＝x ，BE ＝x －4，EH ＝ (x －4)重叠部分的面积y ＝S △BDG －S △BEH ＝DG ·BG －BE ·EH ，即y ＝×x ×x － (x －4)× (x －4)，化简得：2y x =+ ③当810x ≤≤时，如解图AC ＝4，BC ＝4，BD ＝x ，BE ＝x －4， EG ＝ (x －4)重叠部分的面积y ＝S △ABC －S △BEG ＝AC ·BC －BE ·EG ， 即y ＝×4×4－ (x －4)× (x －4)，化简得：2y x x =+综上所述，()222(04)88)810633x x y x x x x x x ⎧≤<⎪⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪⎪-++≤≤⎪⎪⎩ （3）【名师点睛】此题主要考查了几何变换综合，①利用锐角三角函数和矩形的性质，②利用三角形的面积，面积的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏，③利用垂线段最短，三角形的中位线定理，锐角三角函数解答即可.【举一反三】如图①，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC 且AC =BC ；△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，EF ⊥FP 且EF =FP ．（1）在图①中，通过观察、测量，猜想直接写出AB 与AP 满足的数量关系和位置关系，不要说明理由；（2）将三角板△EFP 沿直线l 向左平移到图②的位置时，EP 交AC 于点Q ，连接AP 、BQ ．猜想写出BQ 与AP 满足的数量关系和位置关系，并说明理由．【答案】（1）AB =AP 且AB ⊥AP ，（2）BQ 与AP 所满足的数量关系是AP =BQ ，位置关系是AP ⊥BQ 【解析】分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出AB =AP ，∠BAC =∠P AC =45°，求出∠BAP =90°即可；（2）求出CQ =CP ，根据SAS 证△BCQ ≌△ACP ，推出AP =BQ ，∠CBQ =∠P AC ，根据三角形内角和定理求出∠CBQ +∠BQC =90°，推出∠P AC +∠AQG =90°，求出∠AGQ =90°即可． 详解：（1）AB =AP 且AB ⊥AP 。

2020中考数学压轴题十四几何变换（附答案解析）【考点1】平移变换问题【例1】（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点A （1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，﹣2）C ．（﹣1，2）D ．（1，2）【答案】A【解析】试题分析：已知将点A （1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为（﹣1，1）．故选A ．考点：坐标与图形变化-平移．【变式1-1】（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 向下平移，再向右平移得到四边形1111A B C D ，已知1(3,5),(4,3),(3,3)A B A --，则点1B 坐标为（ ）A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,4)D ．(4,1)【答案】B【解析】【分析】 根据A 和A 1的坐标得出四边形ABCD 先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形1111A B C D ，则B 的平移方法与A 点相同，即可得到答案．【详解】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A （－3，5）到A 1（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B （－4，3）平移后B 1（2，1）.故选B.【点睛】此题考查图形的平移.，掌握平移的性质是解题关键【变式1-2】（2019·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点坐标分别是2,1,1,()()2,3,3()A B C ---（1）将ABC ∆向上平移4个单位长度得到111A B C ∆，请画出111A B C ∆；（2）请画出与ABC ∆关于y 轴对称的222A B C ∆；（3）请写出12A A 、的坐标．【答案】（1）如图所示：111A B C ∆，即为所求；见解析；（2）如图所示：222A B C ∆，即为所求；见解析；（3）122,3,),1(()2A A --．【解析】【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用所画图象得出对应点坐标.【详解】（1）如图所示：111A B C ∆，即为所求；（2）如图所示：222A B C ∆，即为所求；（3）122,3,),1(()2A A --．【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键.【考点2】轴对称变换问题（含折叠变换）【例2】（2019·四川中考真题）如图，在菱形ABCD 中，4sin 5B =，点,E F 分别在边,AD BC 上，将四边形AEFB 沿EF 翻折，使AB 的对应线段MN 经过顶点C ，当MN BC ⊥时，AE AD 的值是_____．【答案】29. 【解析】【分析】延长CM 交AD 于点G ，进而利用翻折变换的性质得出AE ME =，A EMC ∠=∠，BF FN =，B N ∠=∠，AB MN =，再利用菱形的性质得出AB BC CD AD ===，B D ∠=∠，180A B ︒∠+∠=，设4CF x =，5FN x =，利用勾股定理得出9BC x AB CD AD ====，再根据三角函数进行计算即可解答【详解】延长CM 交AD 于点G ，∵将四边形AEFB 沿EF 翻折，∴AE ME =，A EMC ∠=∠，BF FN =，B N ∠=∠，AB MN =∵四边形ABCD 是菱形∴AB BC CD AD ===，B D ∠=∠，180A B ︒∠+∠=∵4sin sin 5CF B N FN===， ∴设4CF x =，5FN x =，∴223CN FN CF x =-=， ∴9BC x AB CD AD ====，∵4sin sin 5GC B D CD=== ∴365x GC = ∴()36x 6655GM GC MN CN x x =--=-= ∵180A B ︒∠+∠=，180EMC EMG ︒∠+∠=∴B EMG ∠=∠∴4sin sin 5EG B EMG EM=∠== ∴3cos 5GM EMG EM ∠== ∴=2EM x ，∴2AE x =，∴2299AE x AD x == 故答案为：29. 【点睛】此题考查翻折变换，菱形的性质，三角函数，解题关键在于利用折叠的性质进行解答【变式2-1】（2019·江苏中考真题）如图，将平行四边形纸片ABCD 沿一条直线折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，折痕为EF ．求证：（1）ECB FCG ∠=∠；（2）EBC FGC ∆≅∆．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)依据平行四边形的性质，即可得到A BCD ∠=∠，由折叠可得，A ECG ∠=∠，即可得到ECB FCG ∠=∠；(2)依据平行四边形的性质，即可得出D B ∠=∠，AD BC =，由折叠可得，D G ∠=∠，AD CG =，即可得到B G ∠=∠，BC CG =，进而得出EBC FGC ∆≅∆．【详解】(1)Q 四边形ABCD 是平行四边形，A BCD ∴=∠，由折叠可得， A ECG ∠=∠，BCD ECG ∴∠=∠，BCD ECF ECG ECF ∴∠-∠=∠-∠，ECB FCG ∴∠=∠；(2)Q 四边形ABCD 是平行四边形，D B ∴∠=∠，AD BC =，由折叠可得，D G ∠=∠，AD CG =，B G ∴∠=∠，BC CG =，又ECB FCG ∠=∠Q ，()EBC FGC ASA ∴∆≅∆．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键.【变式2-2】（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合），直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B’. （1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC 边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l //AC ，则BB’的长度为 ；（3）如图3，点P 在AB 边上运动过程中，若直线l 始终垂直于AC ，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l 变化过程中，求△ACB’面积的最大值.【答案】（1）4；（2）53；（3）面积不变，S△ACB’=163；（4）24+43【解析】【分析】(1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题；(2)如图2中，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；(3)如图3中，结论：面积不变，证明B B′//AC即可；(4)如图4中，当PB′⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于点E，求出B′E即可解决问题. 【详解】(1)如图1，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，∵PB=4，∴PB′=PB=PA=4，∵∠A=60°，∴△APB′是等边三角形，∴AB′=AP=4，故答案为4；(2)如图2，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，∴△PEB是等边三角形，∵PB=5，B、B′关于PE对称，∴BB′⊥PE，BB′=2OB，∴OB=PB·sin60°=53，∴BB′=53，故答案为53；(3)如图3，结论：面积不变.过点B作BE⊥AC于E，则有BE=AB·sin60°=3843=∴S△ABC=1184322AC BE=⨯⨯g3，∵B、B′关于直线l对称，∴BB′⊥直线l，∵直线l⊥AC，∴AC//BB′，∴S△ACB’=S△ABC=163；(4)如图4，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，在Rt△APE中，PA=2，∠PAE=60°，∴PE=PA·sin60°3，∴3∴S△ACB最大值=12×3)×3【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.【考点3】旋转变换问题【例3】（2019·山东中考真题）(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为.(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由. (3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE ，AD ⊥BE ．(2) AD=BE ，AD ⊥BE ．(3) 5-32≤PC≤5+32．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF ，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．∴AD=BE ，AD ⊥BE ．故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD⊥BE，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，即5-32≤PC≤5+32．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A(-4，4)，B(-1，1)，C(-1，4)．(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．(3)求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．(结果保留π)【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)9 2π.【解析】【分析】(1)根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、C2即可；(3)线段AB在旋转过程中扫过的图形为扇形，然后根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：(1)如图，△A l B1C1为所作.(2)如图，△A2BC2为所作；(3)AB=2233+=32，所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积=290π(32)360⋅⋅=92π．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形面积公式．【变式3-2】（2019·江苏中考真题）如图①，在ABC∆中，3AB AC==，100BAC︒∠=，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80︒，点B的对应点是点E，连接BE，得到BPE∆．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E 在直线AD 上时，如图②所示．①BEP ∠= ；②连接CE ，直线CE 与直线AB 的位置关系是 ．（2）请在图③中画出BPE ∆，使点E 在直线AD 的右侧，连接CE ．试判断直线CE 与直线AB 的位置关系，并说明理由．（3）当点P 在线段AD 上运动时，求AE 的最小值．【答案】（1）①50︒；②EC AB ∥；（2）AB EC ∥；（3）AE 的最小值3．【解析】【分析】（1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题．②证明40ABC ︒∠=，40ECB ︒∠=，推出ABC ECB ∠=∠即可．（2）如图③中，以P 为圆心，PB 为半径作⊙P ．利用圆周角定理证明1402BCE BPE ︒∠=∠=即可解决问题．（3）因为点E 在射线CE 上运动，点P 在线段AD 上运动，所以当点P 运动到与点A 重合时，AE 的值最小，此时AE 的最小值3AB ==．【详解】（1）①如图②中，∵80BPE ︒∠=，PB PE =，∴50PEB PBE ︒∠=∠=，②结论：AB EC ∥．理由：∵AB AC =，BD DC =，∴AD BC ⊥，∴90BDE ︒∠=，∴905040EBD ︒︒︒∠=-=，∵AE 垂直平分线段BC ，∴EB EC =，∴40ECB EBC ︒∠=∠=，∵AB AC =，100BAC ︒∠=，∴40ABC ACB ︒∠=∠=，∴ABC ECB ∠=∠，∴AB EC ∥．故答案为50，AB EC ∥．（2）如图③中，以P 为圆心，PB 为半径作⊙P ．∵AD 垂直平分线段BC ，∴PB PC =， ∴1402BCE BPE ︒∠=∠=， ∵40ABC ︒∠=，∴ AB EC ∥．（3）如图④中，作AH CE ⊥于H ，∵点E 在射线CE 上运动，点P 在线段AD 上运动，∴当点P 运动到与点A 重合时，AE 的值最小，此时AE 的最小值3AB ==．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．【考点4】位似变换问题【例4】（2019·广西中考真题）如图，ABC ∆与'''A B C ∆是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，若点()()2,2,3,4A B ，()6,1C ，()'6,8B 则'''A B C ∆的面积为__．【答案】18．【解析】【分析】根据()3,4B ，()'6,8B 的坐标得到位似比，继而得到A 、C 对应点的坐标，再用'''A B C ∆所在的矩形的面积减去顶点处的三角形面积即可求得答案.【详解】∵ABC ∆与'''A B C ∆是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，若点()3,4B ，()'6,8B ，∴位似比为：31=62， ∵()2,2A ，()6,1C ，∴()()'4,4,'12,2A C ，∴'''A B C ∆的面积为：1116824662818222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， 故答案为：18．【点睛】本题考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 【变式4-1】（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，ABO V 三个顶点的坐标分别为()()()2,4,4,0,0,0A B O --．以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到CDO V ，则点A 的对应点C 的坐标是__________．【答案】()1,2-或()1,2-【解析】【分析】根据位似图形的中心和位似比例即可得到点A 的对应点C.【详解】解：以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，点A 的坐标为()2,4-， ∴点C 的坐标为112,22(4)-⨯⨯或112,22(4)⨯-⨯，即()1,2-或()1,2-，故答案为：()1,2-或()1,2-．【点睛】本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向. 【变式4-2】（2018·四川中考真题）如图，ABC ∆在方格纸中.（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使(2,3)A ，(6,2)C ，并求出B 点坐标；（2）以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC ∆放大，画出放大后的图形'''A B C ∆； （3）计算'''A B C ∆的面积S .【答案】（1）作图见解析；(2,1)B .（2）作图见解析；（3）16.【解析】分析：（1）直接利用A ，C 点坐标得出原点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质即可得出△A'B'C'；（3）直接利用（2）中图形求出三角形面积即可．详解：（1）如图所示，即为所求的直角坐标系；B （2，1）；（2）如图：△A'B'C'即为所求；（3）S △A'B'C '=12×4×8=16． 点睛：此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和关键点；③根据位似比，确定位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．一、单选题1．（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点(),2A m 与点()3,b n 关于y 轴对称，则（ ） A ．3m =，2n = B ．3m =-，2n = C ．2m =，3n = D ．2m =-，3n =2．（2019·辽宁中考真题）如图，点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的12，得到△A ′B ′C ′，点P 在A ′C ′上的对应点P ′的的坐标为（ ）A ．（4，3）B ．（3，4）C ．（5，3）D ．（4，4）3．（2019·湖南中考真题）如图，将OAB ∆绕点O 逆时针旋转70°到OCD ∆的位置，若40AOB ∠=o ，则AOD ∠=（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°4．（2019·广东中考真题）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A ． B ． C ． D ．5．（2019·浙江中考真题）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC 的顶点A(1,2)，B(3,3)．作菱形OABC 关于y 轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O 的中心对称图形OA″B″C″，则点C 的对应点C″的坐标是（ ）A ．(2,-1)B ．(1,-2)C ． (-2,1)D ． (-2,-1)6．（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系中，将点()2,3-向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（ ）A ．()2,3B ．()6,3-C ．()2,7-D ．()2,1--7．（2019·湖南中考真题）点(1,2)-关于原点的对称点坐标是（ ）A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(2,1)-8．（2019·湖南中考真题）如图，以点O 为位似中心，把ABC V 放大为原图形的2倍得到A'B'C'V ，以下说法中错误的是（ ）A ．ABC A'B'C'V V ∽B ．点C 、点O 、点C′三点在同一直线上 C ．AO:AA'1:2=D ．AB A'B'P9．（2018·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A （2，4），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ．将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD ，则CD 的长度是（ ）A ．2B ．1C ．4D ．510．（2019·山东中考真题）如图，点A 的坐标是(-2,0)，点B 的坐标是(0,6)，C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到A B C '''∆．若反比例函数k y x=的图象恰好经过A B '的中点D ，则k 的值是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．1811．（2019·浙江中考真题）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积. 如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）A ．22B ．5C ．35D ．1012．（2019·湖北中考真题）如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，:3:1AD AB =，将ABD △沿BD 折叠，点A 的对应点为F ，连接AF 交BC 于点G ，且2BG =，在AD 边上有一点H ，使得BH EH +的值最小，此时BH CF=（ ）A 3B 23C 6D ．3213．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是( )A ．22,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．(1,0)C ．22,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．(0,1)-14．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆，''B C 与BC ，AC 分别交于点D ，E.设CD DE x +=，AEC ∆'的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．15．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C 100的坐标为( )A ．121200,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()600,0 C ．12600,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()1200,0二、填空题16．（2019·湖南中考真题）在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点O 按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是____________．．17．（2019·山东中考真题）如图，在正方形网格中，格点ABC ∆绕某点顺时针旋转角()0180αα<<︒得到格点111A B C ∆，点A 与点1A ，点B 与点1B ，点C 与点1C 是对应点，则α=_____度．18．（2019·海南中考真题）如图，将Rt ABC ∆的斜边AB 绕点A 顺时针旋转()090αα︒︒<<得到AE ，直角边AC 绕点A 逆时针旋转()090ββ︒︒<<得到AF ，连结EF ．若=3AB ，=2AC ，且B αβ+=∠，则=EF _____．19．（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，点()4,2P 关于直线1x =的对称点的坐标是_____． 20．（2019·山东中考真题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，ABO V 与A B O '''V 是以点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P 的坐标为_____21．（2019·四川中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90B =o ∠，5AB =，12BC =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转得到ADE ∆，使得点D 落在AC 上，则tan ECD ∠的值为_______．22．（2019·吉林中考真题）如图，在四边形ABCD 中，10,AB BD AD =⊥．若将BCD ∆沿BD 折叠,点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为________．23．（2019·湖南中考真题）如图，已知ABC ∆是等腰三角形，,45,AB AC BAC =∠=︒点D 在AC 边上，将ABD ∆绕点A 逆时针旋转45°得到'ACD ∆，且点D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则ABD ∠的度数是_____．24．（2019·辽宁中考真题）在平面直角坐标系中，点,A B 的坐标分别是()()4,25,0A B ,，以点O 为位似中心，相们比为12，把ABO V 缩小，得到11A B O V ，则点A 的对应点1A 的坐标为_____． 25．（2019·四川中考真题）如图，在菱形ABCD 中，4sin 5B =，点,E F 分别在边,AD BC 上，将四边形AEFB 沿EF 翻折，使AB 的对应线段MN 经过顶点C ，当MN BC ⊥时，AE AD 的值是_____．26．（2019·四川中考真题）如图，ABC ∆中，90ABC ︒∠=，2BA BC ==，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转60︒得到DEC ∆，连接BD ，则2BD 的值是___．27．（2019·黑龙江中考真题）如图将ABC △绕点C 逆时针旋转得到A B C ''△，其中点A '与A 是对应点，点B ′与B 是对应点，点B ′落在边AC 上，连接A B '，若45ACB ∠=︒，3AC =，2BC =，则A B '的长为__________．28．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的直角顶点C 的坐标为 (1,0)，点A 在x 轴正半轴上，且2AC =．将ABC ∆先绕点C 逆时针旋转90o ，再向左平移3个单位，则变换后点A 的对应点的坐标为______．29．（2019·四川中考真题）如图，ABC ∆、BDE ∆都是等腰直角三角形，BA BC =，BD BE =，4AC =，22DE =．将BDE ∆绕点B 逆时针方向旋转后得''BD E ∆，当点'E 恰好落在线段'AD 上时，则'CE =______．30．（2019·辽宁中考真题）如图，在△ABC 中，AC=BC ，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ．若AB=2，∠ACB=30°，则线段CD 的长度为______．31．（2019·辽宁中考真题）如图，ABC △是等边三角形，点D 为BC 边上一点，122BD DC ==，以点D 为顶点作正方形DEFG ，且DE BC =，连接AE ，AG ．若将正方形DEFG 绕点D 旋转一周，当AE 取最小值时，AG 的长为________．32．（2019·湖北中考真题）问题背景：如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，42MG =．点O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________33．（2019·江苏中考真题）如图，过点C(3,4)的直线2y x b =+交x 轴于点A ，∠ABC=90°，AB=CB ，曲线0ky x x=>（）过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为________．三、解答题34．（2019·宁夏中考真题）已知：在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(5,4)A ，(0,3)B ，(2,1)C ．（1）画出ABC ∆关于原点成中心对称的111A B C ∆，并写出点1C 的坐标；（2）画出将111A B C 绕点1C 按顺时针旋转90o 所得的221A B C ∆．35．（2019·湖北中考真题）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图①，四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D ，画出四边形ABCD 的对称轴m ；（2）如图②，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=∠D ，画出边BC 的垂直平分线n ．36．（2019·贵州中考真题）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A 旋转，连接BC ，DE ．探究S △ABC 与S △ADC 的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S △ABC ：S △ADE 是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S △ABC ：S △ADE 是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE +∠CAD ＝180°，AB ＝a ，AE ＝b ，AC ＝m ，AD ＝n （a ，b ，m ，n 为常数），S △ABC ：S △ADE 是否为定值？如果是，用含a ，b ，m ，n 的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）37．（2019·黑龙江中考真题）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，OAB ∆的三个顶点(0,0)O 、(4,1)A 、(4,4)B 均在格点上．（1）画出OAB ∆关于y 轴对称的11OA B ∆，并写出点1A 的坐标；（2）画出OAB ∆绕原点O 顺时针旋转90o 后得到的22OA B ∆，并写出点2A 的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA 在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．38．（2019·湖北中考真题）如图1，ABC ∆中，,,CA CB ACB D α=∠=为ABC ∆内一点，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆，点,A D 的对应点分别为点,B E ，且,,A D E 三点在同一直线上． （1）填空：CDE ∠= （用含α的代数式表示）；（2）如图2，若60α=o ，请补全图形，再过点C 作CF AE ⊥于点F ，然后探究线段,,CF AE BE 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若90,52AC α︒==，且点G 满足90,6AGB BG ︒∠==，直接写出点C 到AG 的距离．39．（2019·山东中考真题）如图，ABC ∆和ADE ∆是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒.（1）如图1，连接BE ，CD ，BE 的廷长线交AC 于点F ，交CD 于点P ，求证：BP CD ⊥； （2）如图2，把ADE ∆绕点A 顺时针旋转，当点D 落在AB 上时，连接BE ，CD ，CD 的延长线交BE 于点P ，若62BC =，3AD =，求PDE ∆的面积．40．（2019·辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD ＝200米，那么A ，B 间的距离是 米．思维探索：（2）在△ABC 和△ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将△ADE绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ；②如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC ＝3，DE ＝l ，请直接写出PC 2的值．41．（2019·辽宁中考真题）如图，四边形ABCD 是正方形，连接AC ，将ABC △绕点A 逆时针旋转α得AEF V ，连接CF ，O 为CF 的中点，连接OE ，OD ．（1）如图1，当45α︒=时，请直接写出OE 与OD 的关系（不用证明）．（2）如图2，当4590α︒︒<<时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）当360α︒=时，若42AB =O 经过的路径长．答案一、单选题1．（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点(),2A m 与点()3,b n 关于y 轴对称，则（ ） A ．3m =，2n =B ．3m =-，2n =C ．2m =，3n =D ．2m =-，3n = 【答案】B【解析】【分析】根据点关于y 轴对称，其横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案.【详解】A ，B 关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同,故选B【点睛】本题考查点坐标的轴对称，解题的关键熟练掌握点坐标的轴对称.2．（2019·辽宁中考真题）如图，点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的12，得到△A ′B ′C ′，点P 在A ′C ′上的对应点P ′的的坐标为（ ）A ．（4，3）B ．（3，4）C ．（5，3）D ．（4，4）【答案】A【解析】【分析】 直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ，进而结合已知得出答案．【详解】∵点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的12，得到△A′B′C′，∴点P 在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．故选：A ．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．3．（2019·湖南中考真题）如图，将OAB ∆绕点O 逆时针旋转70°到OCD ∆的位置，若40AOB ∠=o ，则AOD ∠=（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°【答案】D【解析】【分析】 首先根据旋转角定义可以知道70BOD ∠=o ，而40AOB ∠=o ，然后根据图形即可求出AOD ∠．【详解】解：∵OAB ∆绕点O 逆时针旋转70°到OCD ∆的位置，∴70BOD ︒∠=，而40AOB ︒∠=，∴704030AOD ∠=-=o o o故选：D ．【点睛】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识． 4．（2019·广东中考真题）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得.【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.5．（2019·浙江中考真题）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1,2)，B(3,3)．作菱形OABC 关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（）A．(2,-1) B．(1,-2) C．(-2,1) D．(-2,-1)【答案】A【解析】【分析】先找出对应点，再用线段顺次连接作出图形，根据图形解答即可.如图，()''21C -，.故选A.【点睛】本题考查了轴对称作图及中心对称作图，熟练掌握轴对称作图及中心对称的性质是解答本题的关键，中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.6．（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系中，将点()2,3-向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（ ）A ．()2,3B ．()6,3-C ．()2,7-D ．()2,1-- 【答案】A【解析】【分析】根据直角坐标系的坐标平移即可求解.【详解】一个点向右平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标加4，故选A【点睛】此题主要考查坐标的平移，解题的关键是熟知直角坐标系的特点.7．（2019·湖南中考真题）点(1,2)-关于原点的对称点坐标是（ ）A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(2,1)-【答案】B【分析】坐标系中任意一点(),P x y ，关于原点的对称点是(),x y --，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【详解】根据中心对称的性质，得点()1,2-关于原点的对称点的坐标为()1,2-．故选B ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．8．（2019·湖南中考真题）如图，以点O 为位似中心，把ABC V 放大为原图形的2倍得到A'B'C'V ，以下说法中错误的是（ ）A ．ABC A'B'C'V V ∽B ．点C 、点O 、点C′三点在同一直线上 C ．AO:AA'1:2=D ．AB A'B'P【答案】C【解析】【分析】 直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．【详解】∵以点O 为位似中心，把ABC V 放大为原图形的2倍得到A'B'C'V ，∴ABC A'B'C'V V ∽，点C 、点O 、点C′三点在同一直线上，AB A'B'P ，AO:AA'1:3=，∴C 选项错误，符合题意．故选C ．【点睛】。