中考数学专题训练：类比探究类问题解析版

中考数学----类比探究题练习（1）1.如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA，CD的延长线分别交于点M，N，则∠BME=∠CNE（简要证明）．（1）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交CD，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由．（2）如图3，在△ABC中，，点D在AC边上，且AB=CD．E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接DG，若∠EFC=60°，判断△AGD形状，并说明理由2、小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，求证：（S表示面积）．（2）问题迁移：如图2，在已知锐角∠AOB内有一个定点P，过点P任意作一条直线，分别交射线OA，OB于点M，N．小明在直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小？并说明理由．（3）实际应用：如图3，若在道路OA，OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA，OB 和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，）3、问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；(2)拓展探究：在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)问题解决：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，直接写出线段AF的长．4、(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. 填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为；(2)拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题：如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．5、我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′，把AC 绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：(1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝ BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为；猜想论证：(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明；拓展应用：(3)如图4，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝23，DA＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．图4中考数学----类比探究题练习（1）答案 1、解题思路2、解题思路3、解：（1）BE＝2AF；(2)无变化．理由如下：在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝ACBC＝22. 在正方形CDEF中，∠FEC＝12∠FED＝45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC＝CFCE＝22，∴CFCE＝ACBC. ∵∠FCE＝∠ACB＝45°，∴∠FCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE. ∴∠FCA＝∠ECB.∴△ACF∽△BCE.∴BEAF＝BCAC＝ 2.∴BE＝2AF. ∴线段BE与AF的数量关系无变化．(3)3－1或3＋1. 提示：分两种情况讨论：①当点E在线段BF上时，如图2由(1)知，CF＝EF＝CD＝ 2.在Rt△BCF中，CF＝2，BC＝22，根据勾股定理得BF＝6，∴BE＝BF－EF＝6－ 2. 由(2)知，BE＝2AF，∴AF＝3－1.②当点E在线段BF的延长线上时，如图3，∵△ABC，△CFE为等腰直角三角形．易证：△ACF∽△BCE.∴BEAF＝BCAC＝ 2.∴BE＝2AF.由(1)知，CF＝EF＝CD＝ 2.在Rt△BCF中，CF＝2，BC＝22，根据勾股定理得，BF＝6，∴BE＝BF＋EF＝6＋ 2.由(2)知，BE＝2AF，∴AF＝3＋1.即当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为3－1或3＋1. 4、解：（1） 60°；AD＝BE；(2)∠AEB＝90°，AE＝2CM＋BE.理由：∵△ACB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰直角三形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE；（3）3－12或3＋12.提示：∵PD ＝1，∠BPD ＝90°.∴BP 是以点D 为圆心，以1为半径的⊙D 的切线，点P 为切点． 第一种情况：如图4，过点A 作AP 的垂线，交BP 于点P ′，可证△APD ≌△AP ′B ，PD ＝P ′B ＝1.∵CD ＝2，∴BD ＝2，BP ＝3，∴AM ＝12PP ′＝12(PB －BP ′)＝3－12. 第二种情况，如图5，可得AM ＝12PP ′＝12(PB ＋BP ′)＝3＋12.5、解：（1）12；4； (2)①猜想：AD ＝12BC.证明：如上图3，延长AD 至点E ，使DE ＝AD. ∵AD 是△ABC 的“旋补中线”，∴B ′D ＝C ′D.∴四边形AB ′EC ′是平行四边形．∴EC ′∥B ′A ，EC ′＝B ′A.∴∠AC ′E ＋∠B ′AC ′＝180°.由定义可知∠B ′AC ′＋∠BAC ＝180°，B ′A ＝BA ，AC ＝AC ′，∴∠AC ′E ＝∠BAC ，EC ′＝BA.∴△AC ′E ≌△CAB(SAS )．∴AE ＝BC.∵AD ＝12AE ，∴AD ＝12BC. (3)存在．以AD 为边向四边形ABCD 的内部作等边△PAD ，连接PB ，PC ，延长BP 交AD 于点F ， 则有∠ADP ＝∠APD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝6.∵∠CDA ＝150°，∴∠CDP ＝90°.过点P 作PE ⊥BC 于点E ，易知四边形PDCE 为矩形．∴CE ＝PD ＝6.∴tan ∠DPC ＝CD PD ＝236＝33.∴∠DPC ＝30°，∠EPC ＝60°.∴BE ＝12－6＝6＝CE. 又PE ⊥BC ，∴PC ＝PB ，∠BPE ＝∠CPE ＝60°.∴∠APD ＋∠BPC ＝60°＋120°＝180°.又PA ＝PD ，PB ＝PC ，∴△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”．∵∠BPE ＝60°，∠DPE ＝90°，∴∠DPF ＝30°.∴BF ⊥AD ，AF ＝12AD ＝3，PF ＝3 3. 在Rt △PBE 中，PB ＝PE 2＋BE 2＝CD 2＋BE 2＝（23）2＋62＝43，∴BF ＝PB ＋PF ＝7 3.在Rt △ABF 中，AB ＝（73）2＋32＝239.∵△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”，∴△PAB 的“旋补中线”长为12AB ＝39.。

类比探究一．解答题（共10小题）1．（2011•南平）（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．2．（2015•河北模拟）问题引入：如图，在△ABC中，D是BC上一点，AE=AD ，求：尝试探究：过点A作BC的垂线，垂足为F，过点E作BC的垂线，垂足为G ，如图所示，有=，=，．类比延伸：若E为AD上的任一点，如图所示，试猜S四边形ABEC与S△ABC的比是图中哪条线段的比，并加以证明．拓展应用：如图，E为△ABC内一点，射线AE于BC于点D，射线BE交AC于点F，射线CE交AB于点G，求的值．3．（2014•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．4．（2014•汕头）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC 上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t ＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．5．（2014•宁夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．6．（2014•武汉）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t ＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．7．（2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．8．（2012•烟台）（1）问题探究如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．（2）拓展延伸①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）9．（2014•漳州）阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）（1）【理解与应用】如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为．（2）【类比与推理】如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA 交BD于点F，求PE+PF的值；（3）【拓展与延伸】如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．卷类比探究参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2011•南平）（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的性质．专题：压轴题．分析：（1）根据翻折的性质得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出答案；（2）利用平行四边形的性质，首先得出∠C=180°﹣∠D，∠EFG=180°﹣∠AFE=180°﹣∠B=180°﹣∠D，进而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．解答：解：（1）猜想线段GF=GC，证明：连接EG，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，∴△ECG≌△EFG（HL），∴FG=CG；（2）（1）中的结论仍然成立．证明：连接EG，FC，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∠B=∠AFE，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵矩形ABCD改为平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠ECD=180°﹣∠D，∠EFG=180°﹣∠AFE=180°﹣∠B=180°﹣∠D，∴∠ECD=∠EFG，∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF，∴∠GFC=∠GCF，∴FG=CG；即（1）中的结论仍然成立．点评：此题主要考查了矩形的性质与平行四边形的性质以及翻折变换、全等三角形的判定等知识，根据已知得出EF=EC，∠EFC=∠ECF是解决问题的关键．2．（2015•河北模拟）问题引入：如图，在△ABC中，D是BC上一点，AE=AD ，求：尝试探究：过点A作BC的垂线，垂足为F，过点E作BC的垂线，垂足为G，如图所示，有=，=，．类比延伸：若E为AD上的任一点，如图所示，试猜S 四边形ABEC与S△ABC的比是图中哪条线段的比，并加以证明．拓展应用：如图，E为△ABC内一点，射线AE于BC于点D，射线BE交AC于点F，射线CE交AB于点G，求的值．考点：面积及等积变换．分析：问题引入：由D是BC上一点，AE=AD，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得：，，继而求得答案；尝试探究：由AF⊥BC，EG⊥BC，易证得△EDG∽△ADB ，然后由相似三角形的性质，求得的值，再利用等底三角形的面积比等于对应高的比，即可求得的值，继而求得的值；类比延伸：由E为AD上的任一点，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得=，=，继而求得答案；拓展应用：由==，同理可得=，=，继而求得答案．解答：解：问题引入：∵在△ABC中，D是BC上一点，AE=AD，∴，，∴==；尝试探究：∵AE=AD，∴=，∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AF∥EG，∴△EDG∽△ADB，∴=；∵===，∴=1﹣=；故答案为：，，；类比延伸：=，∵E为AD上的一点，∴=，=，∴==；拓展应用：∵==，同理：=，=，∴==2．点评：此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2014•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）易得点P的坐标是（2，1），即可得到PA的长．（2）易证∠AOB=45°，由角平分线的性质可得PM=PN，然后通过证明△ANP≌△CMP即可求出PA：PC的值．（3）可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．易证PA：PC=PN：PM，设OA=x，只需用含x的代数式表示出PN、PM的长，即可求出PA：PC的值．解答：解：（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1），∴点P的坐标是（2，1）．∴PA的长为2；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示．∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，∴OA=AB．∵∠OAB=90°，∴∠AOB=∠ABO=45°．∵∠AOC=90°，∴∠POC=45°．∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．∴∠NPM=90°．∵∠APC=90°．∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM．在△ANP和△CMP中，，∴△ANP≌△CMP．∴PA=PC．∴PA：PC的值为1：1；（3）①若点P在线段OB的延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图2所示．∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，∴△ANP∽△CMP．∴．∵∠ACE=∠AEC，∴AC=AE．∵AP⊥PC，∴EP=CP．∵PM∥y轴，∴AF=CF，OM=CM．∴FM=OA．设OA=x，∵PF∥OA，∴△PDF∽△ODA．∴，∵PD=2OD，∴PF=2OA=2x，FM=x．∴PM=x．∵∠APC=90°，AF=CF，∴AC=2PF=4x．∵∠AOC=90°，∴OC=x．∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，∴四边形PMON是矩形．∴PN=OM=x．∴PA：PC=PN：PM=x ：x=．②若点P在线段OB的反向延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图3所示．同理可得：PM=x，CA=2PF=4x，OC=x．∴PN=OM=OC=x．∴PA：PC=PN：PM=x ：x=．综上所述：PA：PC 的值为或．点评：本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，综合性非常强．4．（2014•汕头）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC 上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t ＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．专题：几何综合题；压轴题；动点型．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF =EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10（0＜t ＜），∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t ﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t ﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．5．（2014•宁夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．考点：相似形综合题；二次函数的最值；三角形的面积；全等三角形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）利用“两角法”可以证得△PBQ与△ABC相似；（2）设BP=x（0＜x＜4）．由勾股定理、（1）中相似三角形的对应边成比例以及三角形的面积公式列出S与x 的函数关系式，利用配方法求得二次函数的最值；（3）利用全等三角形的对应边相等得到AQ=AC，AQ=QB，即AQ=QB=AC．在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2=AB2﹣AC2，易求得：BC=AC，则λ=．解答：解：（1）不论点P在BC边上何处时，都有∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B∴△PBQ∽△ABC；（2）设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得AB=5∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，∴，即∴，S△APQ ===∴当x=时，△APQ 的面积最大，最大值是；（3）存在．∵Rt△AQP≌Rt△ACP∴AQ=AC又∵Rt△AQP≌Rt△BQP∴AQ=QB∴AQ=QB=AC在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2=AB2﹣AC2∴BC=AC∴λ=时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，三角形的面积公式以及二次函数的最值的求法等知识点．难度较大．注意，在证明三角形相似时，充分利用公共角，在利用全等三角形的性质时，要找准对应边．6．（2014•武汉）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t ＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．考点：相似形综合题．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC 时，=，当△BPQ∽△BCA 时，=，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出=，代入计算即可；（3）作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，先得出DF=，再把QC=4t，PE=8﹣CM=8﹣4t代入求出DF，过BC的中点R作直线平行于AC，得出RC=DF，D在过R的中位线上，从而证出PQ的中点在△ABC的一条中位线上．解答：解：（1）∵AC=6cm，BC=8cm，∴AB==10cm，①当△BPQ∽△BAC时，∵=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴=，∴t=1；②当△BPQ∽△BCA时，∵=，∴=，∴t=，∴t=1或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=PBsinB=3t，BM=4t，MC=8﹣4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，∴△ACQ∽△CMP，∴=，∴=，解得：t=；（3）如图，仍有PM⊥BC于点M，PQ的中点设为D点，再作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，∵∠ACB=90°，∴DF为梯形PECQ的中位线，∴DF=，∵QC=4t，PE=8﹣BM=8﹣4t，∴DF==4，∵BC=8，过BC的中点R作直线平行于AC，∴RC=DF=4成立，∴D在过R的中位线上，∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论．7．（2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题；探究型．分析：（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出EF=GE了．（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF 时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．解答：证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG∴EF=BE﹣FD．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．8．（2012•烟台）（1）问题探究如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．（2）拓展延伸①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；正多边形和圆．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°，然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D1CK=∠HAC，再利用“角角边”证明△ACH和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得D1M=CH，同理可证D2N=CH，从而得证；（2）①过点C作CG⊥AB，垂足为点G，根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H1AC=∠D1CM，然后利用“角角边”证明△ACG和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=D1M，同理可证CG=D2N，从而得证；②结论仍然成立，与①的证明方法相同．解答：（1）D1M=D2N ．证明：∵∠ACD1=90°，∴∠ACH+∠D1CK=180°﹣90°=90°，∵∠AHK=∠ACD1=90°，∴∠ACH+∠HAC=90°，∴∠D1CK=∠HAC，在△ACH和△CD1M中，，∴△ACH≌△CD1M（AAS），∴D1M=CH，同理可证D2N=CH，∴D1M=D2N；（2）①证明：D1M=D2N成立．过点C作CG⊥AB，垂足为点G，∵∠H1AC+∠ACH1+∠AH1C=180°，∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°，∠AH1C=∠ACD1，∴∠H1AC=∠D1CM，在△ACG和△CD1M中，，∴△ACG≌△CD1M（AAS），∴CG=D1M，同理可证CG=D2N，∴D1M=D2N；②作图正确．D1M=D2N还成立．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质，读懂题意，证明得到∠D1CK=∠HAC（或∠H1AC=∠D1CM）是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点与突破口．9．（2014•漳州）阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）（1）【理解与应用】如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF 的值为．（2）【类比与推理】如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA 交BD于点F，求PE+PF的值；（3）【拓展与延伸】如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH ，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．考点：圆的综合题；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；弦切角定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；探究型．分析：（1）易证：OA=OB，∠AOB=90°，直接运用阅读材料中的结论即可解决问题．（2）易证：OA=OB=OC=0D=，然后由条件PE∥OB，PF∥AO可证△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA，从而可得==1，进而求出EP+FP=．（3）易证：AD=BC=4．仿照（2）中的解法即可求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值．解答：解：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．∵AB=BC=2，∴AC=2．∴OA=．∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE+PF=OA=．（2）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．∵AB=4，AD=3，∴BD=5．∴OA=OB=OC=OD=．∵PE∥OB，PF∥AO，∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．∴，．∴==1．∴+=1．∴EP+FP=．∴PE+PF 的值为．（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4∵DG与⊙O相切，∴∠GDA=∠ABD．∵∠ADG=30°，∴∠ABD=30°．∴∠AOD=2∠ABD=60°．∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD=OA=4．同理可得：BC=4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴，．∴==1．∴=1．∴PE+PF=4．∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．点评：本题考查了正方形的性质、矩形的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了类比联想的能力，由一定的综合性．要求PE+PF的值，想到将相似所得的比式相加是解决本题的关键．10．（2014•河南）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE ．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE 边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质；圆周角定理．专题：综合题；压轴题；探究型．第11页（共13页）分析：（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．解答：解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案为：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案为：AD=BE．（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）点A到BP 的距离为或．理由如下：∵PD=1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD=90°，∴点P在以BD为直径的圆上．∴点P是这两圆的交点．①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB=∠ADB=45°．∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．∴=2AH+1．∴AH=．②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．同理可得：BP=2AH﹣PD．∴=2AH﹣1．∴AH=．综上所述：点A到BP 的距离为或．第12页（共13页）点评：本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．第13页（共13页）。

中招考试几何类比探究题集锦（附参考答案）参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ABD≌△ACF；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，请直接写出DE2，BD2，CE2三者之间的等量关系．【解答】解：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAE+∠CAF=α∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠BAD+∠CAE=∠BAC﹣∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，第1页（共33页）第2页（共33页）∴△ABD ≌△ACF （SAS ），（2）由（1）知，△ABD ≌△ACF （SAS ），∴CF=BD ，∠ACF=∠B ，∵AB=AC ，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB +∠ACF=45°+45°=90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2=CF 2+CE 2，∴DE 2=BD 2+CE 2，（3）DE 2=BD 2+CE 2；理由：如图，∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠DAE=α，∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，∴EF=DE ，AF=AD ，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAF=∠EAF +∠CAE=α+∠CAE∴∠BAD=∠BAC ﹣∠DAC=2α﹣∠DAC=2α﹣（∠DAE ﹣∠CAE ）=2α﹣（α﹣∠CAE）=α+∠CAE∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，∴DE2=BD2+CE2，2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF 均为等第3页（共33页）边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）DE=BD+CE．理由如下：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，第4页（共33页）∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）DF=EF．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CAE，BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，第5页（共33页）∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF．3．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为AC=CD+CE．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC 上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．第6页（共33页）【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B=60°，故答案为：60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC=CD+CE；理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵AC=BC=BD+CD，∴AC=CD+CE；故答案为：AC=CD+CE；（2）∠ACE=45°，AC=CD+CE，理由是：如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，第7页（共33页）∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∵BC=CD+BD，∴BC=CD+CE，∵在等腰直角三角形ABC中，BC=AC，∴AC=CD+CE；（3）如图3，过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，∴BD=2，BC=，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB=∠ACB=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，由（2）得：AC=BC+CD，∴AC===．第8页（共33页）4．【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC ：S△AEF的值．【解答】证明：第一种情况：点E是线段BC上的任意一点，可作三种辅助线：方法一：如图1，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，第9页（共33页）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分线，∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；方法二：在CA上截取CG=CE，连结GE，证明类似方法一；方法三：延长FC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG是等边三角形，第10页（共33页）∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，即∠GEF=∠AEC，∴△GEF≌△CEA，∴AE=EF．第二种情况：点E是线段BC延长线上的任意一点如图2，可作三种辅助线：①在CF上截取CG=CE，连接GE②延长AC到G，使CG=CE，连结EG；③或延长BA到G，使BG=BE，连结EG．第②种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，第11页（共33页）∴∠AEG=∠CEF，∴△AEG≌△FEC，∴AE=EF．第三种情况：点E是线段BC反向延长线上的任意一点如图3，可作三种辅助线：①延长AB到G，使BG=BE，连结EG；②延长CF到G，使CG=CE，连结EG；③在CE上截取CG=CF，连结GF现就第①种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AB到G，使BG=BE，连结EG，易证△BEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，第12页（共33页）∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，∴∠BAE=∠CEF，∵AB=BC，BG=BE，∴AB+BG=BC+BE，即AG=CE，∴△AEG≌△EFC，∴AE=EF．拓展应用：如图4：作CH⊥AE于H点，∴∠AHC=90°．由数学思考得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴△ABC∽△AEF．第13页（共33页）∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，∴∠CAH=30°，AH=EH．∴CH=AC，AH=AC，AE=AC，∴．∴==．5．问题情境：在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）操作发现：当点O为AC中点时：①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系：AE2+CF2=EF2（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；第14页（共33页）（2）类比延伸：当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若=，请直接写出=．【解答】解：（1）①猜想：AE2+CF2=EF2，连接OB，如图1，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．∴∠EOB=∠FOC，在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；故答案为：AE2+CF2=EF2；第15页（共33页）②成立．证明：连结OB．如图2，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC．在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；（2）=，如图3，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．∵∠B=90°，第16页（共33页）∴∠MON=90°，∵∠EOF=90°，∴∠EOM=∠FON．∵∠EMO=∠FNO=90°，∴△OME∽△ONF，∴=，∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，∴△AOM∽△OCN，∴=，∵=，∴=，故答案为．第17页（共33页）第18页（共33页）6．阅读发现：（1）如图①，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD ，AE ．易证：△BCD ≌△BAE ．（不需要证明） 提出问题：（2）在（1）的条件下，当BD ∥AE 时，延长CD 交AE 于点F ，如图②，求AF 的长．解决问题：（3）如图③，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，连结CD ，AE ．当∠BAE=45°时，点E 到AB 的距离EF 的长为2，求线段CD的长为 ．【解答】（2）解：如图②中，AB与CF交于点O．由（1）可知：△BCD≌△BAE，∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，∴∠AFO=∠CBO=90°，∴CF⊥AE，∵BD∥AE，∴BD⊥CF，在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，∴CD=AE==2，∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，∴四边形EFDB是矩形，∴EF=BD=1，∴AF=AE﹣EF=2﹣1．（3）解：在RT△ABC，RT△EBD中，∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，∴AB=BC，BE=BD，∴==，∵∠ABC=∠EBD=90°，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE∽△CBD，∴==，第19页（共33页）第20页（共33页）在RT △AEF 中，∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，EF=2，∴AF=EF=2，AE=2，∴=，∴CD=．故答案为．7．如图1，两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请猜想（1）中S1与S2的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，BD平分∠ABC，BD=CD，BC=9，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请求相应的BF的长．【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，第21页（共33页）∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；故答案为：DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2=×2×2=2；故答案为：S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，第22页（共33页）∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，第23页（共33页）∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×6÷cos30°=3÷=2，∴BF1=2，BF2=BF1+F1F2=2+2=4，故BF的长为2或4．8．问题解决：如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．类比归纳：第24页（共33页）在图（1）中，若，则的值等于；若，则的值等于；若（n 为整数），则的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广：如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN，设，则的值等于．（用含m，n的式子表示）【解答】解：（1）方法一：如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM=EM，BN=EN．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．∵，∴CE=DE=1．第25页（共33页）设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，NE2=CN2+CE2．∴x2=（2﹣x）2+12，解得x=，即BN=．在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=y，则DM=2﹣y，∴y2+22=（2﹣y）2+12，解得y=，即AM=（6分）∴．方法二：同方法一，BN=．如图（1﹣2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形．∴NG=CD=BC．同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴AG=BN=∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠BNM=90度．∵NG⊥BC，∴∠MNG+∠BNM=90°，第26页（共33页）∴∠EBC=∠MNG．在△BCE与△NGM中，∴△BCE≌△NGM，EC=MG．∵AM=AG﹣MG，AM=﹣1=．∴．（2）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接BE，=，不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，EN2=NC2+CE2，x2=（n﹣x）2+12，x=；作MH⊥BC于H，则MH=BC，又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，∴NH=EC=1，AM=BH=BN﹣NH=﹣1=则：==．故当=，则的值等于；若=，则的值等于；第27页（共33页）（3）若四边形ABCD为矩形，连接BE，=，不妨令CD=n，则CE=1；又==，则BC=mn，同样的方法可求得：BN=，BE⊥MN，易证得：△MHN∽△BCE．故=，=，HN=，故AM=BH=BN﹣HN=，故==．故答案为：；；；．第28页（共33页）第29页（共33页）9．阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，点P 在BC 边上，当∠APD=90°时，易证△ABP ∽△PCD ，从而得到BP•PC=AB•CD ，解答下列问题．（1）模型探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，结论BP•PC=AB•CD 仍成立吗？试说明理由；（2）拓展应用：如图3，M 为AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=45°且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．AB=，AF=3，求FG 的长．【解答】解：（1）∵∠APC=∠APD +∠CPD ，∠APC=∠BAP +∠B （三角形外角定理），∠B=∠APD （已知），∴∠BAP=∠CPD，又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD∴=，∴BP•PC=AB•CD；（2）∵∠AFM=∠DME+∠E（三角形外角定理），∠DME=∠A（已知），∴∠AFM=∠A+∠E（等量代换），又∠BMG=∠A+∠E（三角形外角定理），∴∠AFM=∠BMG．∵∠A=∠B，∴△AMF∽△BGM．当∠A=∠B=45°时，∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°，即AC⊥BC且AC=BC．∵M为AB的中点，∴AM=BM=，AC=BC=4．又∵△AMF∽△BGM，∴，∴BG===，又∵，CF=4﹣3=1，∴．第30页（共33页）10．基本模型如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△ABP∽△PCD成立，（1）模型拓展如图1，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C，则△ABP∽△PCD成立吗？为什么？（2）模型应用①如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于点Q，求CQ的长；②如图3，正方形ABCD的边长为1，点P是线段BC上的动点，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，当P在何处时，线段CQ最长？最长是多少？【解答】解：（1）成立，∵∠A=180°﹣（∠B+∠APB），第31页（共33页）∠CPD=180°﹣（∠1+∠APB），∠B=∠1，∴∠A=∠CPD，∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵∠B=∠APQ，∴∠B=∠APQ=∠C，由（1）知，△ABP∽△PCD，∴=，∴=，∴CQ=；②设BP=x，CQ=y．∵∠B=∠APQ=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴=，即=，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，第32页（共33页）∴当x=时，y=，最大即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为．第33页（共33页）。

中考数学类比探究型几何综合题专题训练【类型1】通过位置变化（图形变换）进行类比探究〖例1〗已知：如图，等边△AOB的边长为4，点C为OA中点．（1）如图1，将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为α（0°＜α≤360°）．则此时α＝；此时△COD是三角形（填特殊三角形的名称）．（2）如图2，固定等边△AOB不动，将（1）中得到的△OCD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，设旋转角为β（0°＜β≤360°）．①求证：AC＝BD；②当旋转角β为何值时，OC∥AB，并说明理由；③当A、C、D三点共线时，直接写出线段BD的长．〖例2〗现有与菱形有关的三幅图，如图：（1）（感知）如图①，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连结AE、EF、AF．若AC＝2，则CE+CF的长为．（2）（探究）如图②，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连结EF．若BC＝2，求CE+CF的长．（3）（应用）在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC延长线上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD延长线于点F，连结EF．若BC＝2，EF⊥BC时，借助图③求△AEF的周长．〖尝试练习〗1．如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB＝2√2，BD＝2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，如图2，直线AD、CE相交于点P．（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．2．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）探究猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：；（2）深入思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2√2，CD ＝14BC，请求出OC的长．3．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，且正方形AEFG的边AE，AG分别在正方形ABCD的边AB，AD上，显然BE＝DG，BE⊥DG．（1）将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置．求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；（2）如图3，若点D，G，E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，求BE的长．【类型2】通过形状变化进行类比探究〖例3〗如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到AE，连接DE，CE．（1）求证：CE＝BD；（2）若α＝60°，其他条件不变，如图2．请猜测线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）若α＝90°，其他条件不变，如图3，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．〖例4〗如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC ＝PE，PF交CD于点F．（1）求证：∠PCD＝∠PED；（2）连接EC，求证：EC＝√2AP；（3）如图2，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB＝60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系．〖尝试练习〗4．已知菱形ABCD和菱形DEFG有公共的顶点D，C点在DE上，且∠ADC＝∠EDG，连接AE，CG，如图1．（1）试猜想AE与CG有怎样的数量关系（直接写出关系，不用证明）；（2）将菱形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果∠ADC＝∠EDG＝90°，如图3，你认为AE和CG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．5．已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝√3，BC＝√6，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2√3，当△AED是直角三角形时，求BC的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF 为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．【自主反馈】7．如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD＝AE，AD与CE交于点F．（1）求∠DFC的度数；（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．①补全图形（图2中完成）；②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．8．已知△ABC是等腰三角形．（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD ≌△ACE；（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．①求∠AED的度数；②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；（2）如图2，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：DF＝BE；（3）如图3，点B、C的坐标分别是（0，0），（0，2），点Q是线段AC上的一个动点，点M 是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得△CQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图②，B'E与AC交于点F，DB'∥BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；②连接B'C，则△B'FC的形状为；（3）如图③，则△CEF的周长为．11．已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．12．（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求CG的长．（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．13．我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．重温定理，识别图形（1）如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE＝12DF，又可证图中的四边形为平行四边形，可得BC与DF的关系是，于是推导出了“DE∥BC，DE＝12BC”．寻找图形，完成证明（2）如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH．求证CF＝√2BE．构造图形，解决问题（3）如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF．直接写出CF与BE的数量关系．类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）答案与解析〖例1〗解：（1）如图1，∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∠AOB＝60°，∵将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°＝α，∴△COD是等边三角形，答案为：60°，等边；（2）①∵△COD是等边三角形，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②如图2，当点C在点O的上方时，若OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝60°＝β，如图2﹣1，当点C在点O的下方时，若OC∥AB，∴∠ABO＝∠BOC＝60°，∴β＝360°﹣60°﹣60＝240°，综上所述：β＝60°或240°；③如图3，当点D在线段AC上时，过点O作OE⊥AC于E，∵等边△AOB的边长为4，点C为OA 中点，∴AO＝AB＝OB＝4，OC＝OD＝CD＝2，∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∵OE⊥CD，OC＝OD，∴CE＝DE＝1，∴OE＝√OC2−CE2＝√3，∴AE＝√OA2−OE2＝√13，∴AC＝AE+CE＝1+√13＝BD；如图4，当点C在线段AD上时，过点O作OF⊥AD于F，同理可求DF＝CF＝1，AF＝√13，∴AC＝BD＝√13﹣1，综上所述：BD＝√13+1或√13﹣1．〖例2〗解：（1）感知：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB＝2，∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴CE＝12BC，CF＝12CD＝1，∴CE+CF＝2．故答案为：2．（2）探究：如图，连结AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴CE+CF＝BC＝2．（3）应用：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠CAD＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠CAD﹣∠DAE＝∠EAF ﹣∠DAE．∴∠CAE＝∠DAF．∵∠ACE＝∠ADF，AC＝AD∴△ACE≌△ADF（ASA）．∴CE＝DF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF为等边三角形，∵EF⊥BC，∠ECF＝60°，∴CF＝2CE，∵CD＝BC＝2，∴CE＝2，∴EF=√CF2−CE2=2√3，∴△AEF的周长为6√3．〖尝试练习〗1．解：（1）AD＝CE，理由：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ， ∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD ＝CE ；（2）如图2，过点B 作BH ⊥AD 于H ，在Rt △BHD 中，BD ＞BH ，∴当点D ，H 重合时，BD ＝BH ，∴BH ≤BD ，∴当BD ⊥AD 时，点B 到直线AD 的距离最大，∴∠EDP ＝90°﹣∠BDE ＝30°，同（1）的方法得，△ABD ≌△CBE （SAS ），∴∠BEC ＝∠BDA ＝90°，EC ＝AD ，在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝2√2， 根据勾股定理得，AD ＝√AB 2−BD 2＝2， ∴CE ＝2，∵∠BEC ＝90°，∠BED ＝60°， ∴∠DEP ＝90°﹣60°＝30°＝∠EDP ， ∴DP ＝EP ，如图2﹣1，过点P 作PQ ⊥DE 于Q ， ∴EQ ＝12DE ＝1，在Rt △EQP 中，∠PEQ ＝30°， ∴EP ＝EQ cos∠DEP ＝2√33，∴PC ＝2−2√33； （3）①当点D 在AE 上时，如图3，∴∠ADB ＝180°﹣∠BDE ＝120°，∴∠BDE ＝60°， 过点B 作BF ⊥AE 于F ，在Rt △BDF 中，∠DBF ＝30°，BD ＝2， ∴DF ＝1，BF ＝√3，在Rt △ABF 中，根据勾股定理得，AF ＝√AB 2−BF 2＝√5，AD ＝AF ﹣DF ＝√5﹣1，∴CE ＝AD ＝√5﹣1； ②当点D 在AE 的延长线上时，如图4，同①的方法得，AF ＝√5，DF ＝1，∴AD ＝AF +DF ＝√5+1，∴CE ＝AD ＝√5+1， 即满足条件的CE 的长为√5+1和√5﹣1． 2．解：（1）①正方形ADEF 中，AD ＝AF ， ∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ACB +∠ACF ═45°+45°＝90°， 即BC ⊥CF ；②△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD +CD ， ∴BC ＝CF +CD ；故答案为：BC ＝CF +CD ；（2）CF ⊥BC 成立；BC ＝CD +CF 不成立，CD ＝CF +BC ．理由如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ， ∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACF ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°．∴∠ABD ＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF ﹣∠ACB ＝135°﹣45°＝90°，∴CF ⊥BC ． ∵CD ＝DB +BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF +BC ．（3）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2√2， ∴BC ＝4，∴CD ＝14BC ＝1，∴BD ＝5， 由（2）同理可证得△DAB ≌△FAC ，∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴OD ＝OF ，∵∠DCF ＝90°， ∴DF ＝√CD 2+CF 2＝√26，∴OC ＝√262．3．证明：（1）如图2，延长DG交BE于H，∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠C+∠CBA+∠ABE+∠BHD+∠CDH＝360°，∴90°+90°+∠ADG+∠CDH+∠BHD＝360°，∴∠BHD＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图3，连接BD，∵正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，∴BD＝√2AD＝8，GE＝√2AE＝6，∵BD2＝DE2+BE2，∴64＝（6+BE）2+BE2，∴BE＝√23﹣3．〖例3〗证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转α，∴AD＝AE，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE；（2）AC＝CD+CE，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，由（1）可知：BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴AC＝CD+CE；（3）∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△BAD≌△CAE∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴CE2+CD2＝DE2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE2＝2AD2，∴CE2+CD2＝2AD2，∴BD2+CD2＝2AD2．〖例4〗（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，又∵PD=PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，AP＝CP，∵PC＝PE，∴AP＝PE，∴∠PAD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，由（1）知，∠PCD＝∠PED，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠CFP﹣∠PCD＝180°﹣∠EFD﹣∠PED，即∠CPF＝∠EDF＝90°，∵PC＝PE，∴△CPE是等腰直角三角形，∴EC＝√2CP，由（1）知，AP＝CP，∴EC＝√2AP；（3）解：AP＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP ＝60°，∠BAD＝∠BCD，∠EDC＝∠DAB＝60°，又∵PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PC＝PE，∴PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠CFP﹣∠PCF＝180°﹣∠EFD﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝EC，∴EC＝AP，〖尝试练习〗4．解：（1）AE＝CG，理由如下：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是菱形，∴DA＝DC，DE＝DG，又∵∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（2）成立，理由如下：∵∠ADC＝∠EDG，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，即∠ADE＝∠CDG，又∵DA＝DC，DE＝DG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（3）AE ⊥CG ，理由如下：延长线段AE 、GC 交于点H ，∵AD ∥BC ，∴∠CEH ＝∠DAE ， 由（2）可知，△DAE ≌△DCG ，∴∠DAE ＝∠DCG ，∴∠CEH ＝∠DCG ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠ECH +∠DCG ＝90°，∴∠ECH +∠CEH ＝90°，∴∠CHE ＝90°，∴AE ⊥CG ． 5．（1）证明：由折叠的性质得：△ABC ≌△△ AEC ，∴∠ACB ＝∠ACE ，BC ＝EC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ．∴EC ＝AD ，∠ACB ＝∠CAD ，∴∠ACE ＝∠CAD ，∴OA ＝OC ，∴OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ，∵∠AOC ＝∠DOE ，∴∠CAD ＝∠ACE ＝∠OED ＝∠ODE ，∴AC ∥DE ；（2）解：∵平行四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠CDO ＝90°，CD ＝AB ＝√3，AD ＝BC ＝√6，由（1）得：OA ＝OC ，设OA ＝OC ＝x ，则OD ＝√6﹣x ，在Rt △OCD 中，由勾股定理得：（√3）2+（√6﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝3√64，∴OA ＝3√64，∴△OAC 的面积＝12OA ×CD ＝12×3√64×√3＝9√28；（3）解：分两种情况：①如图3，当∠EAD ＝90°时，延长EA 交BC 于G ，∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ， ∵AD ∥BC ，∠EAD ＝90°，∴∠EGC ＝90°， ∵∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴∠AEC ＝30°， ∴GC ＝12EC ＝12BC ，∴G 是BC 的中点， 在Rt △ABG中，BG ＝√32AB ＝3，∴BC ＝2BG ＝6；②如图4，当∠AED ＝90°时∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ，由折叠的性质得：AE ＝AB ，∴AE ＝CD ，又∵AC=AC ，∴△ACE ≌△CAD （SSS ）， ∴∠ECA ＝∠DAC ，∴OA ＝OC ，∴OE ＝OD ， ∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AED ＝∠CDE ， ∵∠AED ＝90°，∴∠CDE ＝90°，∴AE ∥CD ， 又∵AB ∥CD ，∴B ，A ，E 在同一直线上， ∴∠BAC ＝∠EAC ＝90°， ∵Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝2√3， ∴AC ＝√33AB ＝2，BC ＝2AC ＝4；综上所述，当△AED 是直角三角形时，BC 的长为4或6．6．证明：（1）∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠CFE ，∴∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝CF ， 又∵四边形ECFG 是平行四边形， ∴四边形ECFG 为菱形；（2）△BDG 是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AD ∥BC ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∠BCF ＝120°，由（1）知，四边形CEGF 是菱形，∴CE ＝GE ，∠BCG ＝12∠BCF ＝60°， ∴CG ＝GE ＝CE ，∠DCG ＝120°，∵EG ∥DF ， ∴∠BEG ＝120°＝∠DCG ，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，∵AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD ，∴△BEG ≌△DCG （SAS ），∴BG ＝DG ，∠BGE ＝∠DGC ，∴∠BGD ＝∠CGE ，∵CG ＝GE ＝CE ，∴△CEG 是等边三角形， ∴∠CGE ＝60°，∴∠BGD ＝60°，∵BG ＝DG ， ∴△BDG 是等边三角形；（3）如图2中，连接BM ，MC ，∵∠ABC ＝90°，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝√AB2+AD2＝26，∴DM＝√22BD＝13√2．【自主反馈】7．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，又∵BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，∵∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠ACE+∠DAC＝60°；（2）①根据题意补全图形如图2所示：②线段BE与CQ的数量关系为：CQ＝12BE；理由如下：∵CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，∴CE＝CP，∠ECP＝120°，∵∠DFC＝60°，∴AD∥CP，∴∠ADC＝∠DCP，∵△ABD≌△CAE，∴CE＝AD，∴AD＝CP，∴△ADQ≌△PCQ（AAS），∴CQ＝DQ＝12CD，∵AB＝BC，BD＝AE，∴BE＝CD，∴CQ＝12BE．8．解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，∴∠D＝12（180°﹣∠BAD）＝15°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝30°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；②BD＝2CE+√2AE；证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CE，过点A作AF⊥AE交DE于F，∴∠EAF＝90°，由旋转知，∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAF，由①知，∠AED＝45°，∴∠AFE＝45°＝∠AEF，∴AE＝AF，∴EF＝√2AE，∵AC＝AD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴DF＝CE，∴BD＝BE+EF+DF＝CE+√2AE+CE ＝2CE+√2AE．9．解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°﹣30°）＝75°，∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；（2）连接BF，∵点F是边AC中点，∴BF＝AF＝12AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12AC，∴∠FBA＝∠BAC＝30°，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB ＝DE ，∠DEA ＝∠ABC ＝90°， ∴DE ＝BF ，延长BF 交AE 于点G ，则∠BGE ＝∠GBA +∠BAG ＝90°， ∴∠BGE ＝∠DEA ，∴BF ∥ED ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DF ＝BE ； （3）∵点B 、C 的坐标分别是（0，0），（0，2）， ∴BC ＝2，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝4，AB ＝2√3，若∠QMA ＝90°，CQ ＝MQ 时，如图3，设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°，∴AQ ＝2x ，AM ＝√3x ， ∴AC ＝x +2x ＝3x ＝4，∴x ＝43，∴AM ＝43√3，∴BM ＝AB ﹣AM ＝2√3﹣4√33＝2√33，∴点M （2√33，0）；若∠AQM ＝90°，CQ ＝QM 时，如图4， 设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°， ∴AQ ＝√3x ，AM ＝2x ， ∴AC ＝x +√3x ＝4，∴x ＝2√3﹣2，∴AM ＝4√3﹣4， ∴BM ＝2√3﹣（4√3﹣4）＝4﹣2√3， ∴点M （4﹣2√3，0）；综上所述：M （2√33，0）或（4﹣2√3，0）．10．（1）解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴CD ＝12AB ＝5（2）①证明：由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，B 'E ＝BE ，∠B 'DE ＝∠BDE ，∵DB '∥BC ，∴∠B 'DE ＝∠BED ，∴∠BDE ＝∠BED ，∴BD ＝BE ，∴B 'D ＝BE ，∴四边形BDB 'E 是平行四边形，又∵B 'D ＝BD ，∴四边形BDB 'E 为菱形；②解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝BD ， 由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵DB '∥BC ，∴DB '⊥AC ，∴∠ACB '＝90°﹣∠DB 'C ，由①得：四边形BDB 'E 为菱形， ∴AB ∥B 'E ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥B 'E ， ∴∠EB 'C ＝90°﹣∠DCB '，∴∠ACB '＝∠EB 'C ， ∴FB '＝FC ，即△B 'FC 为等腰三角形；（3）解：连接B 'C ，如图③所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴BC ＝√22AB ＝5√2，∠B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，∠ACD ＝12∠ACB ＝45°，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∠B '＝∠B ＝45°， ∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∴∠FCB '＝∠FB 'C ，∴CF ＝B 'F ，∴△CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝5√2； 11．解：（1）BH ⊥HE ，BH ＝HE ；理由如下： 延长EH 交AB 于M ，如图1所示： ∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AB ∥CD ∥EF ，AB ＝BC ，CE ＝FE ，∠ABC ＝90°，∴∠AMH ＝∠FEH ，∵H 是AF 的中点，∴AH ＝FH ，∴△AMH ≌△FEH （AAS ）， ∴AM ＝FE ＝CE ，MH ＝EH ，∴BM ＝BE ，∵∠ABC＝90°，∴BH⊥HE，BH＝12ME＝HE；（2）结论仍然成立．BH⊥HE，BH＝HE．理由如下：延长EH交BA的延长线于点M，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ABE＝∠BEF＝90°，AB＝BC，AB∥CD∥EF，CE＝FE，∴∠HAM＝∠HFE，∴△AHM≌△FHE（ASA），∴HM＝HE，AM＝EF＝CE，∴BM＝BE，∵∠ABE＝90°，∴BH⊥EH，BH＝12EM＝EH；（3）延长EH到M，使得MH＝EH，连接AH、BH，如图3所示：同（2）得：△AMH≌△FEH（SAS），∴AM＝FE＝CE，∠MAH＝∠EFH，∴AM∥BF，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM+∠CBE＝90°，∵∠BCE+∠CBE＝90°∴∠BAM＝∠BCE，∴△ABM≌△CBE（SAS），∴BM＝BE，∠ABM＝∠CBE，∴∠MBE＝∠ABC＝90°，∵MH＝EH，∴BH⊥EH，BH＝12EM＝MH ＝EH，在Rt△CBE中，BE＝√CB2−CE2＝12，∵BH＝EH，BH⊥EH，∴BH＝√22BE＝6√2．12．解：（1）GF＝GC．理由如下：如图1，连接GE，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∴EF＝EC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠B＝90°，∴∠EFG＝90°，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF＝GC；（2）设GC＝x，则AG＝4+x，DG＝4﹣x，在Rt△ADG中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得x＝94．∴GC＝94；（3）（1）中的结论仍然成立．证明：如图2，连接FC，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，∴EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，∵矩形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D，∴∠ECD＝∠EFG，∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF，∴∠GFC＝∠GCF，∴FG＝CG；即（1）中的结论仍然成立．13．解：（1）∵AE＝CE，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF＝BC，DF∥BC，（2）证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠ABE+∠CBE＝90°∵△BEH是等腰直角三角形，∴EH＝2BE＝2BH，∠BEH＝∠BHE＝45°，∠EBH＝90°，即∠CBH+∠CBE＝90°∴∠ABE＝∠CBH，∴△ABE≌△CBH（SAS），∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB，∴∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠CHB﹣45°＝∠AEB﹣45°，∵四边形AEFG是正方形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴EF＝HC，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝225°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝∠AEB﹣45°+225°﹣∠AEB＝180°，∴EF∥HC且EF＝HC，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH＝√2BE；（3）CF＝√3BE，如图，过点B作BH，使∠EBH＝120°，且BH＝BE，连接EH、CH，则∠BHE＝∠BEH＝30°，∵∠ABC＝∠EBH＝120°，∴∠ABE＝∠CBH，∵AB＝BC，BE＝BH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，∵∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠AEB﹣30°，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝210°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝180°，∴CH∥EF且CH＝EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH，过B作BN⊥EH于N，在△EBH中，∠EBH＝120°，BH＝BE，∴∠BEN＝30°，EH＝2EN，BE，∴EN＝√32∴EH＝√3BE，∴CF＝EH＝√3BE．。

三、解答题22. （10分）问题背景：如图1，在四边形ADBC 中，∠ACB =∠ADB =90°，AD =BD ，探究线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD 绕点D 逆时针旋转90°到△AED 处，点B ，C 分别落在点A ，E 处（如图2），易证点C ，A ，E 在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三角形，所以CECD ，从而得出结论：AC +BCCD ．图1图2 简单应用：（1）在图1中，若AC ，BC =CD =__________．（2）如图3，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，AD ︵=BD ︵，若AB =13，BC =12，求CD 的长．拓展延伸：（3）如图4，∠ACB =∠ADB =90°，AD =BD ，若AC =m ，BC =n （m ＜n ），求CD 的长（用含m ，n 的代数式表示）．图4图5（4）如图5，∠ACB =90°，AC =BC ，点P 为AB 的中点，若点E 满足AE = 13AC ，CE =CA ，点Q 为AE 的中点，则线段PQ 与AC 的数量关系是_____． DC BADCBBAE DCBA三、解答题22. （10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，DC =EC ，连接DE ，AE ，BD ，点M ，N ，P 分别是AE ，BD ，AB 的中点，连接PM ，PN ，MN ． （1）BE 与MN 的数量关系是___________；（2）将△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若CB =6，CE =2，在将图1中的△DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当B ，E ，D 三点在一条直线上时，请直接写出MN 的长．中考数学类比探究实战演练（三）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，M 是AF 的中点，连接DM ，EM ．（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM ，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D ，E ，F 三点在一条直线上，若AB =13，CE =5，请画出图形，并直接写出MF 的长．图1PNM EDCBA图2PNME D CBA备用图E DCBA中考数学类比探究实战演练（四）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=nAC，CD⊥AB于D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，连接EF．（1）探究发现：如图1，若n=1，点E在线段AC上，则tan∠EFD=____．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则tan∠EFD=_______（用含n的代数式表示）．②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E是线段AC延长线上的任意一点”或“点E是线段AC反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．图1ABCDE FGM图2MGF EDCBA图1E DCBA图2E DA图3DCBAABCD备用图【参考答案】中考数学类比探究实战演练（一）22.（1）3；（2）CD的长为2；（3）CD的长为)2n m-；（4AC=AC=．中考数学类比探究实战演练（二）22.（1）BE MN；（2）成立，理由略；（3）MN11．中考数学类比探究实战演练（三）23.（1）DM=EM，DM⊥EM；（2）（1）中的结论仍成立，证明略；（3）MF，图形略．中考数学类比探究实战演练（四）22.（1）1；（2）①1n；②成立，证明略；（3）CE或中考数学类比探究实战演练（五）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．（1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA 三条线段之间的数量关系；（2）如图2，点O在CA的延长线上，且OA=13AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点O在线段AC上，若AB=6，BO=CF=1时，请直接写出BE的长．图1F ENM (O )D C B A图2FENMO DC BA备用图DCBA【参考答案】22.（1）CA=CE+CF；（2）CF-CE=43AC，理由略；（3）BE的长为3，5或1．中考数学类比探究实战演练（六）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上（点M，点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM．射线AG∥BC，延长BM 交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时．①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数．（2）当∠ACB=α，其他条件不变时，∠BDE的度数是__________（用含α的代数式表示）；（3）若△ABC是等边三角形，AB=N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接．．写出线段CF的长．B C DAEM N GBA GC备用图1备用图2AB CG中考数学类比探究实战演练（七）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿CD 所在的直线对折，使点B 落在点B′处，连接AB′，BB′，延长CD 交BB′于点E ，设∠ABC =2α（0°＜α＜45°）． （1）如图1，若AB =AC ，求证：CD =2BE ；（2）如图2，若AB ≠AC ，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC ，连接EF 交BC 于点O ，设△COE 的面积为S 1，△COF 的面积为S 2，求12SS （用含α的式子表示）．中考数学类比探究实战演练（八）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题图1ABCDEB′图22αABCD E B′B′E D CB A2α图3OF22. （10分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB，AC =2，过点B 作直线m ∥AC ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C （点A ，B 的对应点分别为A′，B′），射线CA′，CB′分别交直线m 于点P ，Q ．（1）如图1，当P 与A′重合时，求∠ACA′的度数．（2）如图2，设A′B′与BC 的交点为M ，当M 为A′B′的中点时，求线段PQ 的长．（3）在旋转过程中，当点P ，Q 分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A′B′Q 的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q 的最小面积；若不存在，请说明理由．图1QmB′A′ (P )BC AM图2A′AC B P B′mQ备用图AC Bm中考数学类比探究实战演练（九）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D为BC 的中点，∠BAD =21∠BAC =60°，于是2BC BDAB AB==迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ． ①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式．拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ． ①求证：△CEF 是等边三角形； ②若AE =5，CE =2，求BF 的长．图1图2图3D B AEDBA FEMDCBA中考数学类比探究实战演练（十）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =∠CEF =45°．（1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG （如图1）． 求证：△AEG ≌△AEF ．（2）若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N （如图2）． 求证：EF 2=ME 2+NF 2．（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系．中考数学类比探究实战演练（十一）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日图1G FE D CB A N图2M FE D CB A 图3FED CBA三、解答题22. （10分）【操作发现】（1）如图1，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板斜边上取一点F ，使CF =CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE =30°，连接AF ，EF ． ①求∠EAF 的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由． 【类比探究】（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF =CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE =45°，连接AF ，EF ．请直接写出探究结果：①∠EAF 的度数；②线段AE ，ED ，DB 之间的数量关系．图1图2中考数学类比探究实战演练（十二）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD （∠BAD =120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包FDE CBAABCEF D括线段的端点）． （1）初步尝试如图1，若AD =AB ，求证：①△BCE ≌△ACF ；②AE +AF =AC ． （2）类比发现如图2，若AD =2AB ，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，求证：AE =2FH ． （3）深入探究如图3，若AD =3AB ，探究得：3AE AFAC的值为常数t ，则t =_______．图1 图2 图3F EDC B A HF EDBAF EDCB A三、解答题22. （10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1中，PA +PB +PC 的最小值为________． （2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC ，请直接写出PA +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）．图1PADBECB CPA图2P图3DCBA三、解答题22.（10分）在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）如图1，若点D与点C重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系．（2）如图2，若点D与点C不重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．（3）如图3，若点D与点C不重合，AB=kAC，求BEFD的值（用含k的式子表示）．图1图2图3CB(D)AFECB DAFECB DAFE三、解答题22. （10分）问题背景：已知∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与A ，B 重合），DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ，记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2．（1）初步尝试：如图1，当△ABC 是等边三角形，AB =6，∠EDF =∠A ，且DE ∥BC ，AD =2时，则S 1·S 2=_____________．（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D 沿AB 平移，使AD =4，再将∠EDF 绕点D 旋转至如图2所示位置，求S 1·S 2的值．（3）拓展延伸：当△ABC 是等腰三角形时，设∠B =∠A =∠EDF =α．①如图3，当点D 在线段AB 上运动时，设AD =a ，BD =b ，求S 1·S 2的表达式（结果用a ，b 和α的三角函数表示）；②如图4，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD =a ，BD =b ，直接写出S 1·S 2的表达式，不必写出解答过程．图1 图2 图3图4中考数学类比探究实战演练（十六）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日F三、解答题22. （10分）点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意一点，在直线n 上找一点C ，使BC =kAB ，连接AC ，在直线AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠ABC ，EF 交直线m 于点F ．（1）如图1，当∠ABC =90°，k =1时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC =90°，k ≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°＜∠ABC ＜90°，k =1时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．图1 图2 图3中考数学阅读理解问题实战演练（一）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． （1）概念理解：如图1，在△ABC 中，AC =6，BC =3，∠ACB =30°，试判断△ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由．mnAF CB EmnA F E CBB CEF A nm（2）问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A′BC ，连接AA′交直线BC 于点D ．若点B 是 △AA′C 的重心，求BCAC的值． （3）应用拓展：如图3，已知l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2．“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直线l 1上，点A 在直线l 2上，有一边的长是BC 的2倍．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C ，A′C 所在直线交l 2于点D ，求CD 的值．中考数学阅读理解问题实战演练（二）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题 22. （10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解：（1）如图1，已知Rt △ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC =80°，∠ADC =140°，对角线BD 平分∠ABC ．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”； 运用：（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH =∠HFG = 30°，连接EG ，若△EFG的面积为FH 的长．图1ABC图2DA′AB C图3l 2l 1A′D B′ABC【参考答案】中考数学类比探究实战演练（六）22.（1）①证明略；②∠BDE的度数为90°；（2）α或(180°-α)；（3）CF中考数学类比探究实战演练（七）22.（1）证明略；（2）CD=2BE·tan2α；（3）12sin(45)S Sα=︒-．中考数学类比探究实战演练（八）22.（1）∠ACA′的度数为60°；（2）线段PQ的长为72；（3）四边形P A′B′Q的最小面积为3．中考数学类比探究实战演练（九）22.（1+BD=CD；（2）①证明略；②BF的长为图1ABC图2AB CD图3EF GH中考数学类比探究实战演练（十）22. （1）证明略；（2）证明略；（3）EF 2=2(BE 2+DF 2)．中考数学类比探究实战演练（十一）22. （1）①∠EAF =120°；②DE 与EF 相等，理由略；（2）①∠EAF =90°；②DB 2+AE 2=ED 2．中考数学类比探究实战演练（十二）22. （1）证明略；（2）证明略；（3．中考数学类比探究实战演练（十三）22. （1）（2）①PA +PB +PC ；②PA +PB +PC （． 中考数学类比探究实战演练（十四）22. （1）12BE FD =； （2）12BE FD =，证明略；（3）2BE k FD =．中考数学类比探究实战演练（十五）22. （1）12；（2）S 1·S 2的值为12；（3）①22121()sin 4S S ab α⋅=；②22121()sin 4S S ab α⋅=．中考数学类比探究实战演练（十六）22. （1）EF =EB ，证明略； （2）不成立，1EF EB k=；（3）EF =EB ，证明略．中考数学阅读理解问题实战演练（一）22. （1）△ABC 是“等高底”三角形，理由略；（2）2AC BC =；（3）CD的值为3，2．中考数学阅读理解问题实战演练（二）22.（1）图略；（2）证明略；（3）FH的值为．21。

类比探究专练训练1、(2020年辉县，一摸）问题发现：如图，在正方形ABCD中，点E 是BC上的动点,点F是CD上的动点，∠EAF=45°，则线段BE,EF,DF 之间的数量关系是（）（截长补短）延长CB到G，使得BG=DF，再证全等（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E是1∠BAD，则线段BE,EF,DF BC上的动点，点F是CD上的动点，∠EAF=2之间有什么数量关系？并说明理由（3）①如第二个图，点E在CB的延长线上，F是直线CD上的动点，（2）中的其他条件不变，请直接写出线段BE,EF,DF之间的数量关系是（）②如下图，若∠B+∠D≠180°（2）中的其他条件不变，请直接写出线段BE,EF,DF之间的数量关系是（）旋转结构1、在△ABC和△ADE中，BA=BC,DA=DE,且∠ABC=∠ADE=α，点E在△ABC的内部，连接EC,EB,EA,BD，并且∠ACE+∠ABE=90°观察猜想：（1）如图，当α=60°时，线段BD和CE的数量关系为（），线段EA,EB,EC的数量关系为（）（2）如图，当α=90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，请说明理由（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=52,请直接写出△BDE 的面积222102522121=∴=∴=→===∴===∴BD m AB BC AD EC DE DE BD AE AD EC BD AEC ADB ΘΘΘ又∽△△/2（2019年郑州一中三模）等腰直角三角形ABC 中，AC=BC=24,E 为AC 中点，以CE 为斜边作如图所示等腰直角三角形CED ， （1）观察猜想：如图，过点D 作DF ⊥AE 于点F ，交AB 于点G ，线段CD 与BG 的关系为（ ）延长CD交AB于点H，CD⊥BG，且CD=BG（2）如图，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过点D作DF⊥AE于点F，过点B作DE的平行线与直线FD交于点G，（1）中结论是否成立？请说明理由过点C作GH⊥CE，交ED的延长线于点H，△BCH和△ACE属于旋转全等，易证BH⊥AE，∵DF⊥AE，∴BH∥DF,∵BG∥HE，∴BHDG是平行四边形,∴CD⊥BG，且CD=BG（3）拓展延伸：如图所示，点E，D,G共线时，直接写出DG的长度3、（2019年周口二模）在△ABC中，∠ABC是锐角，点M在射线AB上运动，连接CM，将线段CM绕点C逆时针旋转90°，得到CN，连接MN．（1）问题初现：若BC=A C，∠ABC=90°，当M在线段AB上时（不与点A重合），如图1所示，请你直接写出线段BN和AM的位置关系是________，数量关系是__________；（2）深入探究：当M在线段AB的延长线上时，如图2所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断；（3）类比拓展：如图，∠ACB≠90°，点M在线段AB上运动且不与点A重合，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC=24，当BM=（）时，BP的最大值为（）/4、在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=90°，D为直线BC上一动点（不与点B,C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAE，使∠DAE=90°，连接CE（1）观察猜想：如图1所示，当D在线段B C上时，BC和CE 的位置关系是（），CE,DC,BC之间的数量关系为（）EDCBA（2）数学思考：当D 在线段CB 的延长线上时，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断；（3）拓展延伸：当点D 在线段BC 的延长线上时，将△DAF 沿线段DE 翻折，使得点A 与点E 重合，连接CE,CF,若4CD=BC ，AC=22,请直接写出线段CF 的长CF235、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P在射线BD上，以AP为边向右侧作等边△APF，点F的位置随着点P的位置变化而变化（1）当点F在菱形ABCD内部或边上时，连接CF,BP与CF的数量关系是（）CF与AD的位置关系是（）当点F在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由（3）当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BF ，若AB=32,BF=192,求四边形ADPF 的面积6、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为射线BC 上任意一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE（1）如图，当点D在BC边上（不与点B,C重合）时，请直接写出∠BCE的度数（2） 如图，当点D 在BC 的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）如图，在（2）的条件下，连接ED 并延长，交AC 的延长线于点F,若AC=4,AD=6，请直接写出线段CF 的长594661353135324541=∴=∴==∴︒=∠+∠︒=∠+∠︒=∠=∠FC FA DC FDAC DA DA FA DACFAD F ∽△△，7、（2015年河南中考卷22题）如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现①当︒=0α时，_____________=BD AE； ②当︒=180α时，__________AEBD=． BCA图1D E2545252,4548,4==∴====∴=∴==BD AE EC AE DC BD AC BC AB251256125652,54==∴==∴==BD AE BD AE CE AC（2）拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，DBAE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．EDAC图225854212154,8,4524,2===∴∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∠=∠=====∴==BC AC BD AE BCD ACE CA CE BCD ACE BC CD AC BC AB CE DC DE ∽△△Θ（3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．备用图AC541181,41815421,41==∴∴∴====∴=====AC BD ABCD BC AD CD AB AD AC E D CD AB 是矩形由勾股定理算出/8、（2019年南阳模拟）（1）在等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形CFE 中，∠BAC=∠EFC=90°,当点E,A 重合时，BE,AF 的数量关系是（ ）（2）将△CEF 绕点C 旋转，连接BE,AF ，线段BE 和AF 的数量关系有无变化？仅就下图给出证明22121==∴∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∠=∠=ACBCAF BE ACF BCE CFCE ACF BCE BC AC ∽△△ （3）当AB=AC=2,△CEF 旋转到B,E,F 三点共线时，直角写出线段AF 的长⎪⎩⎪⎨⎧+=-=∴=⎪⎩⎪⎨⎧+=-==∴===∴131322626622222121AF AF AF BE BE BE BF BC EF CF ACF BCE 相似比是∽△△Θ最小时，底当且仅当PQ mm m m S S s ABCPQC A PQB 33213311=-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=-= ()m m m m b a abb a 32302222•≥+∴≥-≥+Θ9、（2019年焦作一模）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．PEDA BC 图1()BE AP BE CD AP ⊥==,21211()BE AP BE AP ⊥=,212倍长中线法：延长AP 到F ，使得PF=AP 易证AD=CF=AEACF BAE AC AB ACF BAE CF AE ςς≌∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠= ()410410213+≤≤-=BE BEAP/10、(2019年镇平三模）如图，已知直角三角形ABC ，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D 是AC 边上一点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接EF,CF（1）发现问题：线段EF,CF 之间的数量关系为（ ）；∠EFC 的度数为（ ） （2）拓展与探究：若将△AED 绕点A 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°）如图所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由取AB,AD 的中点M,N ，易证ANFM 是平行四边形 ∴MF=AN=NE=ND NF=AM=MB=MC∠BMF=∠MAN=∠FND∴∠ENF=60°-∠FND=∠FMC=60°-∠BMFFCEF ENF FMC NFMC ENF FMC NE MF =∴∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ςς≌ ()()︒=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠120FBC ABD FCB MCF FCB FBC ABD MCF DFCABD MCF DFC NFD EFN EFC （3）拓展与运用：如图所示，将△AED 绕点A 旋转的过程中，当点D 落在AB 边上时，AB 边上另有一个点G ，AD=DG=GB,BC=3，连接EG ，请直接写出EG 的长度()735.05.222=+=EG11、（2019年新乡模拟）在等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=4,AE=2,其中△ABC 固定，△ADE 绕点A 做旋转，点F,M,N 分别为线段BE,BC,CD 的中点，连接MN,NF（1）问题提出：如图，当AD 在线段AC 上，∠MNF 的度数为（ ）线段MN 和NF 的数量关系为（ ）辅助线作法：连接CE,BD,并延长BD交CE于点G易证△BAD≌△CAE,得到BD=CE,BD⊥CE由中位线定理知：MN和MF相等且垂直，∴∠MNF=45°（2）深入讨论：如图，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数，线段MN和NF的数量关系辅助线作法：连接CE,BD,易证△BAD≌△CAE,得到BD=CE,BD⊥CE由中位线定理知：MN和MF相等且垂直，∴∠MNF=45°（3）拓展延伸：如图，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为（）以点A为圆心AD长为半径作圆，当PB与圆相切时，点P到BC的距离最小，△BCP的面积最小△ABD≌△ACE可证出ADPE为正方形12、(2019年宛城一模）已知在△ABC中，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°。