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专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识模型一、A字形（手拉手）及其旋转A BCDEA BC DEA BCDE模型二、K字型及其旋转AD CEBD CEB AA DCEB【例1】（2019·济源一模）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）探索发现如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE．填空：BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是．（2）归纳证明当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）拓展应用如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=23，BE=219，请直接写出四边形ADPE 的面积．图1 图2图3 图4 【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）连接AC，延长CE至AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∵∠ABC=60°，∴∠ABP=30°，∵△BAP≌△CAE，∴∠ABP=∠ACE=30°，∵∠CAD=60°，∴∠ACE+∠CAD=90°，即CD⊥AD.（2）结论仍然成立，理由如下：（以图2为例）连接AC，设CE与AD交于点H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，∵∠CAH=60°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD；（3）连接AC交BD于O，连接CE，由（2）知，CE⊥BC，∵AB=23BE=19在Rt△BCF中，由勾股定理得：CE=8，由△BAP≌△CAE，得：BP=CE，BD=6，∴DP=BP－BD=2，AO，在Rt△AOP中，由勾股定理得：AP=∴S=S△ADP+S△APE=(2122⨯【变式1-1】（2019·周口二模）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是_____________，数量关系是______________；深入探究:②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展:（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC=，当BM=_________时，BP的最大值为__________．图1CBMNBC图2图3CBA MNP图1 图2 图3【答案】（1）BN⊥AM，BN=AM；（2）见解析，（3）2， 1.【解析】解：（1）由AC=BC，∠ACM=∠BCN，CM=CN，可证△ACM≌△BCN，∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°，∴∠ABN=90°，即BN⊥AM.（2）BN ⊥AM ，BN =AM ；理由如下：A∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC =BC ，∠A =∠ABC =45°，∠ACB =90°， 同理，∠NCM =90°，NC =MC , ∴∠ACM =∠BCN ， ∴△ACM ≌△BCN ，∴BN =AM ，∠A =∠CBN =45°， ∴∠ABN =90°，即BN ⊥AM .(3)过C 作CG ⊥BC 交BA 的延长线于G ，过C 作CH ⊥AB 于H ，如图所示，G易证△GCM ≌△BCN ， 由（2）知，BN ⊥AB ， ∴△CHM ∽△MBP ，∴CH HMBM BP =, 即44BM BM BP-=, 设BM =x ， 则BP =()21214x -+， ∴当BM =2时，BP 取最小值，最小值为1.【例2】（2018·洛阳三模）在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.（1）如图1，当点E在边CD上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）AE=DF，AE⊥DF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，由题意知：DE=CF，∴△ADE≌△DCF，∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，∴∠ADP+∠DAE=90°，∴∠APD=180°﹣90°=90°，∴AE⊥DF；（2）（1）中的结论还成立，CE：CD2或2，理由如下：①如图，当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE=2a，则CE：CD=2a：a=2；②如图，当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE=2a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，∴DE=CD=a，∴CE：CD=2a：a=2；故，CE：CD=2或2；（3）∵点P在运动中∠APD=90°，∴点P的路径是以AD为直径的圆，如图，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆Q于点P，此时CP的长度最大，在Rt△QDC中，由勾股定理得：QC=5，∴CP=QC+QP=5+1，即线段CP的最大值是5+1．【变式2-1】（2019·西华县一模）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．图1 图2 图3【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）FG=CE，FG∥CE；∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，∴△BCF≌△CDE，∴∠DEC=∠CFB，∵∠CFB+∠FCB=90°，∴∠DEC+∠FCB=90°，即CF⊥DE，∵DE⊥EG，∴EG∥CF，∴EG=DE=CF，∴四边形FCEG是平行四边形，∴FG=CE，FG∥CE；（2）∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，∴△BCF≌△CDE，∴∠DEC=∠CFB，CF=DE，∵∠CFB+∠FCB=90°，∴∠DEC+∠FCB=90°，即CF⊥DE，∵DE⊥EG，∴EG∥CF，∴EG=DE=CF，∴四边形FCEG是平行四边形，∴FG=CE，FG∥CE；（3）成立．由上可证：△CBF≌△DCE，得：∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵EG=DE，∴CF=EG，∵DE⊥EG∴∠DEC+∠CEG=90°∵∠CDE+∠DEC=90°∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．1.（2019·河南南阳一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到AB’，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC’，连接B’C’，当α+β=180°时，我们称△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线，点A叫旋补中心.特例感知：（1）在图2，图3中，△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC 的旋补中线，①如图2，当△ABC是等边三角形时，AD与BC的数量关系是②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为猜想论证：（2）如图1，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.【分析】（1）①由△ABC是等边三角形，得AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，∠BAC+∠B’AC’=180°，得∠B’=∠C’=30°，即BC=2AD；②可利用“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”，证得：BC=2AD，AD=4；（2）BC=2AD，利用倍长中线构造全等三角形，延长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，证得△ABC≌△B’AM，得BC=AM，BC=2AD.【解析】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，∵DB’=DC’，∴AD⊥B’C’，∵BAC+∠B’AC’=180°，∴∠B’AC’=120°，∴∠B’=∠C’=30°，∴BC=2AD，即：答案为BC=2AD.②∵∠BAC=90°，BAC+∠B’AC’=180°，∴∠B’AC’=∠BAC=90°∵AB=AB’，AC=AC’，∴△BAC≌△B’AC’，∴BC=B’C’，∵B’D=DC’，∴BC=2AD，∵BC=8，∴AD=4；（2）结论：BC=2AD，理由如下：如图，延长长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，∵AD=DM，B’D=DC’，∴四边形AC’MB’是平行四边形，∴AC’=B’M=AC，∵∠BAC+∠B’AC’=180°，∠AB’M+∠B’AC’=180°，∴∠BAC=∠AB’M，∵AB=AB’，∴△BAC≌△AB’M，∴BC=AM，即BC=2AD.2.（2019·郑州外国语测试）已知如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，DE⊥AB 交BC于E，点F是AE的中点，（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2所示，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α<90°），其它条件不变，线段FD与线段FC 的关系是否变化，写出结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE=22，直接写出线段BF的范围.【答案】见解析.【解析】解：（1）FD=FC，FD⊥FC，理由如下：由题意知：∠ADE=∠ACE=90°，AF=EF，∴DF=AF=EF=CF，∴∠FAD=∠FDA，∠FAC=∠FCA，∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD，∠EFC=2∠FAC，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2（∠FAD+∠FAC）=90°，∴FD=FC，FD⊥FC.（2）结论不变，理由如下：延长AC至M使得CM=AC，延长ED至N，使DN=DE，连接BN、BM、EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O，如图所示，∵BC⊥AM，AC=CM，∴AB=BM，同理得：BE=BN，∵∠ABM=∠EBN，∠NBA=∠EBM，∴△ABN≌△MBE，∴AN=EM，∠BAN=∠BME，∵AF=FE，AC=CM，∴CF=12EM，CF∥EM，同理，FD=12AN，FD∥AN，∴FD=FC，∵∠BME+∠BOM=90°，∠BOM=∠AOH，∴∠BAN+∠AOH=90°，∴∠AHO=90°，即AN⊥MH，∴FD⊥FC.（3）由题意知，当点E落在线段AB上时，BF的长最大，如图所示，此时BF=32，当点E落在AB的延长线上时，BF的长最小，如图所示，此时，BF2，2≤BF2.3.（2019·偃师一模）特殊：（1）如图 1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB 交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为；②线段BC，DE的位置关系为．一般：（2）如图 2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC 外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图 3，在等边三角形 ABC 中，作 BM 平分∠ABC 交 AC 于点 M ，点 D 为射线 BM 上一点，以点 B 为旋转中心将线段 BD 逆时针旋转 60°得到线段 BE ，连接 DE 交射线 BA 于点 F ，连接 AD ，AE ．若 AB =4，当△ADM 与△AFD 全等时，请直接写出 DE 的值．图1 图2图3【答案】（1）BD =BE ，BC ⊥DE ；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）由题意知：∠ACM =∠BCM =45°，由旋转知，∠DCE =90°，CD =CE ，∴∠ECB =∠DCB =45°，∵BC =BC ，∴△BCD ≌△BCE ，∴BD =BE ，∵CD =CE ，∴BC 是线段DE 的垂直平分线，∴BC ⊥DE ，（2）成立，理由如下，∵CM 平分∠ACB ，∠ACB =α，∴∠ACM =∠BCM =2α，由旋转知，∠DCE =α，CD =CE ，∴∠BCD =∠BCE =2α又∵BC =BC ，∴△BCD ≌△BCE ，∴BD =BE ，∴BC 是线段DE 的垂直平分线，∴BC ⊥DE .（3）①如图3，可证得：∠ABE =∠ABD =30°，AB ⊥DE ，由△ADM ≌△ADF ，得：∠FAD =∠MAD =30°，∴AF =BF =2，∴DE =2DF ，在Rt △ADF 中，DF =AF ·tan ∠DAF即DE=3. ②如下图所示，BD同理，得∠FBD=30°，AB =AD =4，∠ADF =∠ADM=30°，∴DE =2DF综上所述，DE 的长为：3，4.（2019·省实验一模）观察猜想（1）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是 ，BE +BF ＝ ；探究证明（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使AD ＝1，其余条件不变，如图②，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE +BF 的值，请写出你的理由或计算过程；（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE 绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝a，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论．图1 图2 图3【答案】（1）BF⊥BE；BC；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠EAF－∠BAE＝∠BAC－∠BAE,∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为: BF⊥BE，BC．（2）过D作DH∥AC交BC于H，∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可证得：BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD ＝DH ＝2，∴BH ＝22，∴BF +BE ＝BH ＝22；（3）过D 作DH ∥AC 交BC 的延长线于H ，作DM ⊥BC 于M ．∵AC ∥DH ，∴∠ACH ＝∠H ，∠BDH ＝∠BAC ＝α，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB∴∠DBH ＝∠H ，∴DB ＝DH ，∵∠EDF ＝∠BDH ＝α，∴∠BDF ＝∠HDE ，∵DF ＝DE ，DB ＝DH ，∴△BDF ≌△HDE ，∴BF ＝EH ，∴BF +BE ＝EH +BE ＝BH ，∵DB ＝DH ，DM ⊥BH ，∴BM ＝MH ，∠BDM ＝∠HDM ，∴BM ＝MH ＝BD •sin 2α．∴BF +BE ＝BH ＝2n •sin 2α．5.（2019·濮阳二模）在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 为直线BC 上一动点，过点D 作DF ∥AC 交AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，连接BE ．（1）特例猜想如图1，当α＝90°时，试猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝；（2）拓展探究如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．图1 图2 图3【答案】（1）AF＝BF，90°；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）设AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，∴△ADF≌△EDB，∴AF＝BE，∴∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°，所以答案为AF＝BF，90°．（2）结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，即∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，∴△ADF≌△EDB，∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）分两种情况讨论：①当点D在线段BC上时，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴14 AF CDBA BC==，∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，②当点D在BC的延长线上时，∵AC∥DF，∴12 AF CDBA BC==，∵AB＝8，∴AF＝4，即BE=4，综上所述，BE的长度为2或4．6.（2019·开封二模）问题发现如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决如果△ABC的边长等于23，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．图1 图2 备用图【答案】见解析．【解析】解：（1）如图1，BD＝CE，理由是：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵DE∥BC，∴△ADE是等边三角形，即AD=AE，∴BD＝CE；（2）结论仍然成立，由图1得：AD＝AE，由旋转性质得：∠BAD＝∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；（3）分两种情况讨论，①如图所示，过D作DG⊥AB，垂足为G，∵AF⊥DE，AD=AE，∴∠DAF＝∠EAF＝30°，∴∠BAD＝30°，由AD＝2，得：DG＝1，AG3由AB＝3BG3由勾股定理得：BD＝2．②如图，由（2）中证明可知：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∵AD＝AE，DE⊥AC，∠ADE＝60°∴∠EAF＝∠FAD＝30°，∴EF＝FD＝12AD＝1，∴AF＝3，∴CF＝AC+CF＝33，在Rt△EFC中，由勾股定理得：EC＝27，∴BD＝EC＝27，综上所述，BD的长为2或27．7.（2019·安阳二模）（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为．（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图3，AB∥CD，点E在线段BC上，且BE：EC＝3：4．点F在线段AE上，且∠EFD ＝∠EAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系．图1 图2 图3【答案】（1）AD＝AB+CD；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）结论：AD＝AB+CD．理由：∵AB∥CF，∴∠CFE＝∠EAB，∵CE＝EB，∠CEF＝∠AEB，∴△CEF≌△BEA，∴AB＝CF．∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠EAB，∵∠EAB＝∠CFE，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF，∵DF＝DC+CF＝CD+AB，∴AD＝AB+CD．（2）结论：AB＝AF+CF．理由：延长AE、DC交于G，∵AB∥DG，∴∠G＝∠EAB，∵CE＝EB，∠CEG＝∠BEA，∴△CEG≌△BEA，∴AB＝CG，∠G＝∠EAB，∵AE平分∠FAB，∴∠FAG＝∠EAB，∵∠G＝∠EAB，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∵CG＝CF+FG＝CF+AF，∴AB＝AF+CF．（3）结论：AB＝34（CD+DF）．延长AE、CD交于G．∵CG∥AB，∴34BE ABCE CG==，∠G＝∠A，∴AB＝34 CG，∵∠DFE＝∠A，∴∠DFG＝∠G，∴DF＝DG，∴CD+DF＝CD+DG＝CG，∴AB＝34（CD+DF）．8.（2019·中原名校大联考）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．图1 图2【答案】（1）AP＝12BE，PA⊥BE；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）设PA交BE于点O．∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB，∴△DAC≌△EAB，∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE，∵∠DAC＝90°，DP＝PC，∴PA＝12CD＝PC＝PD，∴PA＝12BE，∠C＝∠PAE，∵∠CAP+∠BAO＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∴PA⊥BE，（2）结论成立．理由：延长AP至M，使PM＝PA，连接MC，延长PA交BE于O．∵PA＝PM，PD＝PC，∠APD＝∠CPM，∴△APD≌△MPC，∴AD＝CM，∠ADP＝∠MCP，∴AD∥CM，∴∠DAC+∠ACM＝180°，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠ACM，∵AB＝AC，AE＝CM，∴△EAB≌△MCA，∴BE＝BM，∠CAM＝∠ABE，∵PA＝12AM，PA＝12BE，∵∠CAM+∠BAO＝90°，∴∠ABE+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∴PA⊥BE．（3）∵AC＝10，CM＝4，∴10﹣4≤AM≤10+4，∴6≤AM≤14，∵AM＝2AP，∴3≤PA≤7．∴PA的最大值为7，最小值为3．9.（2018·新乡一模）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠A是公共角.（1）BD与CE的数量关系是：；（2）把图1的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形.①求证：BD＝CE；②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的数量关系是什么？说明理由.（3）若AD=10，AB=6，把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α度(0°<α≤360)直接写出BD长度的取值范围.图1 图2【答案】（1）=；（2）（3）见解析. 【解析】解：∵AD=AE，AB=BC，∴AD－AB=AE－AC，即BD=CE；（2）①∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE.即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE.②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的度数相等. 延长DB交CE于点F.OF BEC∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC∵∠AOD=∠EOF，∴180°-∠ADB-∠AOD =180°-∠AEC-∠EOF，即∠DAE=∠DFE③当B在线段AD上时，BD最小，最小值为10－6=4；当B在线段DA延长线上时，BD最大，最大值为10+6=16，即4≤BD≤16.10.（2019·河南模拟）【问题探索】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AC、BC边上，DC=CE，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN. 探索BE与MN的数量关系. 聪明的小华推理发现PM、PN的关系为，最后推理得到BE与MN的数量关系为.【深入探究】（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；【答案】见解析.【解析】解：（1）PM=PN，PM⊥PM；BE2MN；∵AM=ME，AP=PB，∴PM∥BE，PM=12 BE，同理：PN∥AD，PN=12 AD，∵AC=BC，CD=CE，∴AD=BE，∴PM=PN，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴∵PM∥BC，PN∥AC，∴PM⊥PN，∴△PMN的等腰直角三角形，∴MN2PM，∴MN2×12 BE，∴BE2MN.（2）结论仍然成立．连接AD、延长BE交AD于点H．∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，CA=CB，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠ECB，∴△ECB≌△DCA，∴BE=AD，∠DAC=∠EBC，∠AHB=180°-（∠HAB+∠ABH）=180°-（45°+∠HAC+∠ABH）=∠180°-（45°+∠HBC+∠ABH）=90°，∴BH⊥AD，∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，∴PM∥BE，PM=12BE，PN∥AD，PN=12AD，∴PM=PN，∠MPN=90°，∴BE=2PM 2MN2．。
河南中考数学类比探究学生精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-中考数学类比探究 实战演练（一）22.（10分）如图1，在矩形ABCD 中，AB =mBC ，E 为BC 上一点，且BC =nBE ，连接AE ，过点B 作BM⊥AE ，交AE 于点M ，交AC 于点N ．（1）如图2，当m =1，n =3时，求证：AN =3CN ； （2）如图3，当m =1时，求AN 与CN 之间的数量关系；图1NM E DCBACBADE M N 图2图3N M E DCBA．中考数学类比探究 实战演练（二）22. （10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1中，PA +PB +PC 的最小值为________． （2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC ，请直接写出PA +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）．图1PADBEC BCPA图2P图3DCBA图1F E DCBA 中考数学类比探究 实战演练（三）22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =nAC ，CD ⊥AB 于D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ， 过点D 作FD ⊥ED ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）探究发现：如图1，若n =1，点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____．（2）数学思考：①如图2，若点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____（用含n 的代数式表示）． ②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E 是线段AC 延长线上的任意一点”或“点E 是线段AC 反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若AC，BC=DF=，请直接写出CE 的长．图2F E DCBA图3DCBA中考数学类比探究 实战演练（四）22. （10分）已知：在△AOB 与△COD 中，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =90°．（1）如图1，点C ，D 分别在边OA ，OB 上，连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是__________，位置关系是_________．（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（0°<α<90°）．连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转到使△COD 的一边OD 恰好与△AOB 的一边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点，请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．O图1M D C BAO图2MDCBA图3中考数学类比探究实战演练（五）22.（10分）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG．（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，求EFEG的值．E(A)B CDFGGFDCBAE图1图1GFDCBAEEACDFG(B)图1图2图3图2EACDFG(B)图2图3图3中考数学类比探究 实战演练（六）22. （10分）如图1，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE （CD >BC ）中，点C ，B ，D 在同一直线上，点M 是AE 的中点，连接MD ，MB ．（1）探究线段MD ，MB 的位置关系及数量关系，并证明．（2）将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，如图2，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．EMDCBA图1M DCBA图2ABCDM图3中考数学类比探究 实战演练（七）22. （10分）已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD ⊥CF ；②CF =BC -CD ．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系．（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；②若连接正方形的对角线AE ，DF ，交点为O ，连接OC ，探究△AOC 的形状，并说明理由．EDBACF图1EDA C F图2OEDB ACF图3中考数学类比探究 实战演练（八）22. （10分）在△ABC 中，∠A =90°，点D 在线段BC 上，∠EDB =12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ．（1）如图1，若点D 与点C 重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系.（2）如图2，若点D 与点C 不重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（3）如图3，若点D 与点C 不重合，AB =kAC ，求BEFD的值（用含k 的式子表示）． C B (D )AFE图1CB DAFE图2CBD AFE图3中考数学类比探究 实战演练（九）22. （10分）点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意一点，在直线n 上找一点C ，使BC =kAB ，连接AC ，在直线AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠ABC ，EF 交直线m 于点F ． （1）如图1，当∠ABC =90°，k =1时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC =90°，k ≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°<∠ABC <90°，k =1时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．A FCB EA F ECBBCEFAnm图1 图2 图3中考数学类比探究实战演练（十）22.（10分）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）如图2，若∠ABC=90°，G是EF的中点，连接DB，DG，直接写出∠BDG的度数；（3）如图3，若∠ABC =120°，FG ∥CE ，且FG =CE ，连接DB ，DG ，求∠BDG 的度数．A BC EF D图1A BC EF DG图2A BC E FDG图3中考数学类比探究 实战演练（十一）图2BC QP E FAAF E (P )Q CB图122. （10分）已知点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 是斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是___________，QE 与QF 的数量关系是______________．（2）如图2，当点P 不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．中考数学类比探究 实战演练（十二）22. （10分）问题解决：如图1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上的点E 处（不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值． 类比归纳：在图1中，若13CE CD =，则AM BN 的值为__________；若14CE CD =，则AMBN 的值为__________；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值为__________．（用含n 的式子表示）联系拓广：如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上的点E 处（不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设1AB BC m =（1m >），1CE CD n =，则AMBN的值为_______．（用含m n ，的式子表示）图2图1CBD A FEM N CBDA FEM N。
类比探究专题1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．（1）操作：如图1，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形．（不写画法）根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（2）探究一：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论． （3）探究二：如图3，DE ，BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE :EC =1:2，∠BAE =∠EDF ，CF ∥AB ．若AB =5，CF =1，求DF 的长度．PEDA BC 图1PEDABC图2图1M NQ PO图2F EDC B AAB C D E F图32.特殊：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为_________________；②线段BC，DE的位置关系为_________________．一般：（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD，AE．若AB=4，当△ADM 与△AFD全等时，请直接写出DE的值．M F ED CB A图1EMDCBA图2MFEDC BA图33. 已知△ABC 中，CA =CB ，0°＜∠ACB ≤90°．点M ，N 分别在边CA ，CB 上（不与端点重合），BN =AM ，射线AG ∥BC 交BM 延长线于点D ，点E 在直线AN 上，EA =ED ．（1）【观察猜想】如图1，点E 在射线NA 上，当∠ACB =45°时， ①线段BM 与AN 的数量关系是_________； ②∠BDE 的度数是____________．（2）【探究证明】如图2，点E 在射线AN 上，当∠ACB =30°时，判断并证明线段BM 与AN 的数量关系，求∠BDE 的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E 在直线AN 上，当∠ACB =60°时，AB =3，点N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长．图1A B CD ENMG图2AB CD MN EG 图3A BCG4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m=n，点E在线段AC上，则DEDF=__________．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF=__________（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．FEDC BA图1图2ABCDEFDB FECA图3DC BA备用图5. （1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠EFC =90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为__________； （2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明； （3）【问题发现】当AB =AC =2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时，直接写出线段AF 的长．（1）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 的中点，以点D 为顶点作正方形DFGE ，使点A ，C 分别在DE 和DF 上，连接BE ，AF ，则线段BE 和AF 数量关系是________．（2）类比探究：如图2，保持△ABC 固定不动，将正方形DFGE 绕点D 旋转α（0＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC =DF =2，在（2）的旋转过程中，连接AE ，请直接写出AE 的最大值．F图1CBA (E )EABC图2F备用图CBA图1A BC DEF G图2GFED CB A 备用图A BC DEFG6.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是__________，CE与AD的位置关系是__________．（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明）．（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=BE= ADPE的面积．（直接写出结果）P EDCBA图1图2ABCDEPPEDCBA图3图4ABCDEP7. （1）操作发现如图1，AD 是等边三角形ABC 的角平分线，请你按下列要求画图：过点A 作AM ⊥AB ，过点C 作CN ∥AB ，AM 与CN 相交于点E ．则AD 与AE 的数量关系是________，∠EAC =________°． （2）问题探究将图1中的△AEC 绕点A 逆时针旋转，点C 落在点F 的位置，连接EC ，DF ，如图2所示，请你探究DF 与EC 的数量关系并说明理由． （3）拓展延伸若（2）中等边△ABC 的边长为2，当F A ⊥AC 时，请直接写出DF 2的值．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =AB =4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）问题发现如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于__________，线段CE 1的长等于__________． （2）探究证明如图2，当α=135°时，求证：BD 1=CE 1，且BD 1⊥CE 1． （3）问题解决求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）图1AB CD图2EFDCBA备用图CBAE1(D1)ABCDE PEDCBAD1E1图2图18. 如图1，在正方形ABCD 和正方形AB′C′D′中，AB =2，AB′=，连接CC′．（1）问题发现：CC BB'='__________；（2）拓展探究：将正方形AB′C′D′绕点A 逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB′，试判断：当0°≤θ＜360°时，CC BB ''的值有无变化？请仅就图2中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C ，C′，D′三点共线时BB′的长．问题发现：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边AB 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E ，则线段BD 与CE 的数量关系为___________；拓展探究：如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明；问题解决：如果△ABC的边长等于AD =2，直接写出当△ADE 旋转到DE 与AC 所在的直线垂直时BD 的长．D′C′B′ABCD 图1图2DCBA B′C′D′A BCD备用图图1EDCBA 图2ABCDE备用图E D A9. 如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断AGBE的值为_______．（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG =6，GH=BC =________．GFDC BAE图1ABCD EFG图2H GF EDCBA 图310. （1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A =1，PB，PC =2．求∠BPC 的度数． 为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP′C ，连接PP′，则PP′的长为__________；在△P AP′中，易证∠P AP′=90°，且∠PP′A 的度数为__________，综上可得∠BPC 的度数为__________． （2）类比迁移 如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB =90°，P A =2，PB，PC =1．求∠APC 的度数． （3）拓展应用如图3，在四边形ABCD 中，BC =3，CD =5，AB =AC =12AD ，∠BAC =2∠ADC ，请直接写出BD 的长．P′ABCP图1图2P CBAD图3C BA11. 如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，以点O 为顶点的∠EOF 的两边分别与边AB ，AD 交于点E ，F ，且∠EOF 与∠BAD 互补． （1）观察猜想若四边形ABCD 是正方形，则线段OE 与OF 有何数量关系？请直接写出结论．（2）延伸探究若四边形ABCD 是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展证明若AB :AD =m :n ，探索线段OE 与OF 的数量关系，并证明你的结论．（1）阅读理解：如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAD 的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证△AEB ≌△FEC ，得到AB =FC ，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系为_____________；（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图3，AB ∥CF ，AE 与BC 交于点E ，BE :EC =2:3，点D 在线段AE 上，且∠EDF =∠BAE ，试判断AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．A BCDOEFABCD EF图1ABCDE F图2A BCDE F图312. 如图1，菱形ABCD 与菱形GECF 的顶点C 重合，点G 在对角线AC 上，且∠BCD =∠ECF =60°． （1）问题发现： AGBE的值为__________． （2）探究与证明：将菱形GECF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：菱形GECF 在旋转过程中，当点A ，G ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，连接CG 并延长，交AD 于点H ，若CE =2，GHAH 的长为__________．已知∠AOB =90°，点C 是∠AOB 的角平分线OP 上的任意一点，现有一个直角∠MCN 绕点C 旋转，两直角边CM ，CN 分别与直线OA ，OB 相交于点D ，点E ．（1）如图1，若CD ⊥OA ，猜想线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，若点D 在射线OA 上，且CD 与OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并加以证明．图1AB CDEFGG FE DCB A图2H图3AB CD E FG（3）如图3，若点D 在射线OA 的反向延长线上，且OD =2，OE =8，请直接写出线段CE 的长度．图1OABC D EMPN N PMED CBAO图2图3O ABCD E MPN13.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．（1）问题发现在图1中，CEBG__________．（2）拓展探究将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，CEBG的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决当矩形DFGE 旋转至B ，G ，E 三点共线时，请直接写出线段CE 的长．GFED CBA 图1图2ABCDEFG备用图ABCD14. 四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD 等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，则AC 与BD 的位置关系是__________，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD 的两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC =4，AB =5，求GE 的长．观察猜想（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是_________，BE +BF =_________； 探究证明（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使AD =1，其余条件不变，如图2，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE +BF 的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸ABCD图1图2DCB AABCDEFG图3（3）如图3，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点D 在边BA 的延长线上，BD =n ，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转，旋转角∠EDF =α，连接BF ，则BE +BF 的值是多少？请用含有n ，α的式子直接写出结论．图1A (D )B CE FD FE C B A 图2图3A C D E F。
欢迎共阅第六讲几何类比探究（一）几何类比探究是河南中考数学的重点、难点，虽是考试难点，但依然有法可破！【知识点睛?】1.?类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．?PA=①线段PB= ，PC= ；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）例3.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（1）在图2中，DE与CA的延长线交于点P，则BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．（2）在图3中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB的中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC，OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系：________________；（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．图1 图2 图33如图，△ABC中，点E，P在边AB上，且AE=BP，过点E，P作BC的平行线，4、在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE=nEA，连接CE并延长交AB于点F．（1）如图1，当∠BAC=90°，∠B=30°，DE=EA时，求FBFA的值；（2）如图2，当△ABC为锐角三角形，DE=EA时，求FBFA的值；（3）如图3，当△ABC为锐角三角形，DE=nEA时，求FBFA的值．第六讲几何类比探究（二）例1.如图1，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD 交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图1，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是____________；（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）记ACkBC，当k为何值时，△CPE总是等边三角形（请直接写出k的值，不必说明理由）？例4．（2017洛阳一模）（10分）如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC 和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN（1）线段MN和GD的数量关系是，位置关系是；（1）发现：在图1中，=；（2）应用：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出的值；（3）拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DE的中点，若BD⊥CE，请直接写出的值．例7．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．。
