2019届中考数学专题复习专题七类比探究题训练

类比探究（作业）例：如图 1，在□ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G ．（1） 尝试探究：如图 1，若 AF = 3 ，则CD的值是 ． EF CG（2） 类比延伸：如图 2，在原题的条件下，若 AF= m （m >0），EF则 CD的值是 （用含 m 的代数式表示），试写出解答 CG 过程．（3） 拓展迁移：如图 3，在梯形 ABCD 中，DC ∥AB ，点 E是 BC 延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F ．若 AB= a ，CDBC = b （a >0，b >0），则 AF的值是 （用含 a ，b 的 BE EF代数式表示）．【思路分析】根据特征确定问题结构，设计方案解决第一问．问题背景是平行四边形，且已知线段比例关系，根据这些特征我们思考通过相似来传递比例关系，进而求 CD的值．CG构造相似我们采用作平行线的方法，即过中点 E 作 EH ∥AB交 BG 于点 H ，可得“A ”字型相似△BEH ∽△BCG ，“X ”型相似△EFH ∽△AFB ，结合 AF= 3 ，可得 CG =2EH ，AB =3EH ，EF故 CD = 3 ． CG 2类比第一问思路，解决第二问．分析不变特征，此时平行四边形、中点特征均不变，变化的是 AF ，EF 的比例，照搬第一问思路，过点 E 作 EH ∥AB 交BG 于点 H ，同样可得△BEH ∽△BCG ，△EFH ∽△AFB ，此时 CG =2EH ，AB =mEH ，故 CD = m．CG 2照搬思路解决第三问．此问中图形、中点 E 、比例关系均发生变化，但 DC ∥AB 不变，可照搬前面思路处理，依然构造平行．过点 E 作 EH ∥ AB 交 BD 的延长线于点 H ，可得△BCD ∽△BEH ，△AFB ∽△EFH ，可得 BC = CD ， AF = AB ，结合 AB = a ， BC= b ，BE EH EF EH CD BE可知 AF = AB = a ⋅CD = ab ．EF EH EH12 31.如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°．【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P，边EF 与边BC 交于点Q．【探究】在旋转过程中，（1）如图2，当CE=1时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA并给出证明．（2）如图3，当CE= 2 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA并给出证明．（3）根据你对（1），（2）的探究结果，试写出当CE=m时，EAEP 与EQ 满足的数量关系式为．图1图2图3，=2.如图1，在等边三角形ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，过点D 的直线B1C1⊥AC 于C1，交AB 的延长线于B1．（1）请你探究：AC =CD AC1 C1D 是否都成立？AB BD AB1DB1（2）请你继续探究：如图2，若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角角平分线，请问AC=CD一定成立吗？并证明AB BD你的判断．图1 图2 （3）如图3，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，AB=40，3E 为AB 上一点且AE=5，CE 交其内角角平分线AD 于F．试求DF的值．FA3. 如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°．（1） 操作发现如图 2，固定△ABC ，使△DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： ①线段 DE 与 AC 的位置关系是 ；②设△BDC 的面积为 S 1 ，△AEC 的面积为 S 2 ，则 S 1 与S 2 的数量关系是．图 1图 2（2） 猜想论证当△DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时，小明猜想（1） 中 S 1 与 S 2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中 BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3） 拓展探究如图 4 ， 已知∠ ABC =60°， 点 D 是其角平分线上一点， BD =CD =4，DE ∥AB 交 BC 于点 E ．若在射线 BA 上存在点 F ，使 S △DCF =S △BDE ，请直．接．写．出．相应的 BF 的长．【参考答案】1.（1）EP=EQ，证明略（2）EP=1 EQ 2（3）EP=1 EQ m2.（1）都成立，证明略（2）结论仍然成立（3）DF=5 FA 83. （1）①DE∥AC，②S1=S2（2）证明略（3）BF 的长为或8 3 34 3 3。

2019-2020年九年级中考数学动态几何、类比探究专项训练三、解答题22. （10分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A ，点D 重合），将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP ，BH ．（1）求证：∠APB =∠BPH ．（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论．（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（备用图）A EBPDH GF CCFGH DPBEA备用图中考数学动态几何、类比探究专项训练(二)三、解答题22. （10分）数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得的值为______； ②在平移过程中，的值为__________（用含x 的代数式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算的值．（3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转度，，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算的值（用含x 的代数式表示）．图3 图4中考数学动态几何、类比探究专项训练(三)三、解答题22. （10分）已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当OA =OB ，且D 为OA 中点时，求的值； （2）如图2，当OA =OB ，且时，求tan ∠BPC 的值；（3）如图3，当AD :OA :OB =1:n :时，直接写出tan ∠BPC 的值．lM AB FCEDlMABF (C )ED图3图2图1PD BC OA O DC PBA O D C P BA中考数学动态几何、类比探究专项训练四)三、解答题22.（10分）如图，在矩形ABCD中，点M是AD的中点，AD=，CD=，直角∠PME绕点M进行旋转，其两边分别和BC，CD交于点P和点E，连接PE交MC于点Q．（1）判断线段MP，ME的数量关系，并进行证明；（2）当动点P，E分别在线段BC和CD上运动时，设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中，当y取最小值时，判断PE与BM的位置关系，并说明理由．PQE M DCBA中考数学动态几何、类比探究专项训练(五)三、解答题22.（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α<90°）．（1）当α=60°时，求CE的长．（2）当60°<α<90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．F DCB EA中考数学动态几何、类比探究专项训练(六)三、解答题22. （10分）点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意一点，在直线n 上找一点C ，使BC =kAB ，连接AC ，在线段AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠ABC ，EF 交直线m 于点F ．（1）如图1，当∠ABC =90°，k =1时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC =90°，k ≠1时，（1）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量 关系．（3）如图3，当0°<∠ABC <90°，k =1时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．mnAF CB Emn A F E CBB CEF Anm图1 图2 图3中考数学动态几何、类比探究专项训练(七)三、解答题22. （10分）如图1，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE （CD >BC ）中，点C ，B ，D 在同一直线上，点M是AE 的中点．（1）探究线段MD ，MB 的位置及数量关系，并证明．（2）将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，如图2，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 图1 图2 图3EMD C BAE MDCBAABCDME中考数学动态几何、类比探究专项训练(八)三、解答题22. （10分）如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF =90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的平分线CF 于点F ． （1）求证：AE =EF ．（2）如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上除B ，C 外的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明 理由．（3）如图3，点E 是BC 延长线上除C 点外的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．图 1 图 2 图 3中考数学动态几何、类比探究专项训练(九)三、解答题22. （10分）问题背景（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S =_________，△EFC 的面积S 1=_________，△ADE 的面积S 2=__________． 探究发现（2）在（1）中，若BF =a ，FC =b ，DE 与BC 间的距离为h ．请证明S 2=4S 1S 2． 拓展迁移GAB C DFE E FDC BAG E FDC B A G（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG ，△DBE ，△GFC 的面积分别为2，5，3，试利用（2）中的结论求△ABC 的面积．中考数学动态几何、类比探究专项训练(十)三、解答题22. （10分）如图，在△ABC 中，AB =AC =10厘米，BC =12厘米，D 是BC 的中点，点P 从B 出发，以a厘米/秒（a >0）的速度沿BA 匀速向点A 运动，点Q 同时以1厘米/秒的速度从D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t 秒． （1）若a =2，△BPQ ∽△BDA ，求t 的值；（2）设点M 在AC 上，四边形PQCM 为平行四边形． ①若a =，求PQ 的长；②是否存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．图2图1CE DGBAFS 1S 2SF E DCBA 362P Q D CB A中考数学动态几何、类比探究专项训练(十一)三、解答题22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =25cm ，AC =20cm ．点P 从点A 出发，沿AB 的方向匀速运动，速度为5cm/s ；同时点M 从点C 出发，沿CA 的方向匀速运动，速度为4cm/s ．过点M 作MN ∥AB ，交BC 于点N ．设运动的时间为t 秒（0<t <5）． （1）用含t 的代数式表示线段MN 的长．（2）连接PN ，是否存在某一时刻t ，使得四边形AMNP 为菱形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．（3）连接PM ，PN ，是否存在某一时刻t ，使得点P 在线段MN 的垂直平分线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．（备用图）BCACBA（备用图）AC BPNM中考数学动态几何、类比探究专项训练(十二)三、解答题22.（10分）如图，在梯形A B C D中，A D∥B C，A D=3，D C=5，A B=，∠B=45°．动点M从B点出发，沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．中考数学动态几何、类比探究专项训练（一）参考答案22．（1）证明略；NM DCBA（2）△PDH的周长不发生变化，证明略；（3），当x=2时，S存在最小值，最小值为6．中考数学动态几何、类比探究专项训练（二）参考答案22．（1）①1；②；（2）；（3）．中考数学动态几何、类比探究专项训练（三）参考答案22．（1）=2；（2）tan∠BPC；（3）tan∠BPC．中考数学动态几何、类比探究专项训练（四）参考答案22．（1）MP=ME，证明略；（2）；（3）当y取最小值时，PE∥BM，理由略．中考数学动态几何、类比探究专项训练（五）参考答案22．（1）CE=．（2）①存在，k=3；②tan∠DCF．中考数学动态几何、类比探究专项训练（六）参考答案22．（1）EF=EB，证明略；（2）不成立，此时EB=kEF；（3）EF=EB，证明略．中考数学动态几何、类比探究专项训练（七）参考答案22．（1）MD⊥MB，MD=MB，证明略；（2）不发生变化，证明略；（3）不发生变化，证明略．中考数学动态几何、类比探究专项训练（八）参考答案22．（1）证明略；（2）结论仍成立，证明略；（3）结论仍成立，证明略．中考数学动态几何、类比探究专项训练（九）参考答案22．（1）6，9，1；（2）证明略；（3）18．中考数学动态几何、类比探究专项训练（十）参考答案22．（1）；（2）①PQ厘米；②不存在，理由略．中考数学动态几何、类比探究专项训练（十一）参考答案22．（1）MN=；（2）存在，；（3）存在，．可编辑修改中考数学动态几何、类比探究专项训练（十二）参考答案22．（1）BC=；（2）；（3）．.希望能帮到您，欢迎下载。

F E D CG (B )AG FE D C B A D A B M N M A A B E M AB=AC D BC D'A 中考数学类比探究专题复习一：知识点睛1. 类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．2. 类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题． 3. 常见结构：①平行结构 ②直角结构 ③旋转结构④中点结构平行夹中点 (类)倍长中线 中位线二：真题演练1.（2015•潜江24．（10分））已知∠MAN=135°，正方形ABCD 绕点A 旋转．（1）当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，连接MN ．①如图1，若BM=DN ，则线段MN 与BM+DN 之间的数量关系是 MN=BM+DN ；②如图2，若BM≠DN ，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的内部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与直线BD 交于点M ，N ，探究：以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．2.（2015•贵港26．（10分））已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB=，PC=2；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）3、（2015•齐齐哈尔26．（8分））如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．4、（2015•黑龙江龙东地区26．8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．5、（2015•牡丹江26．（8分））已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM；（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM=．6、（2015•哈尔滨26．（10分））AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan ∠D=，求线段AH的长．7、（2015荆州，22．（9分））如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E 在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．8、（2015•宿迁25．（10分））已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．9、（2015•锦州25．（12分））如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD 和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF=AD；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．10、（2015•本溪25．（12分））如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD =∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是BD=CD+AD；（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=AD；（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．11、（2015抚顺，25．）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）12、（2015阜新，17．）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图b，求证：BE⊥DQ；②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．13、（2015•葫芦岛25．（12分））在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．14、（2015铁岭，25．）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．15、（2015•营口25．（14分））【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．。

中考数学类比探究实战演练（六）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上（点M，点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM．射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN 上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时．①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数．（2）当∠ACB=α，其他条件不变时，∠BDE的度数是__________（用含α的代数式表示）；（3）若△ABC是等边三角形，AB=33，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接．．写出线段CF的长．中考数学类比探究实战演练（七）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB沿CD 所在的直线对折，使点B 落在点B′处，连接AB′，BB′，延长CD 交BB′于点E ，设∠ABC =2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB =AC ，求证：CD =2BE ；（2）如图2，若AB ≠AC ，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC ，连接EF 交BC 于点O ，设△COE 的面积为S 1，△COF 的面积为S 2，求12S S （用含α的式子表示）．中考数学类比探究实战演练（八）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A′，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数．（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ 的长．（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA′B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．中考数学类比探究实战演练（九）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，作AD⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD =21∠BAC =60°，于是23BC BD AB AB==．迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ．①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式．拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ．①求证：△CEF 是等边三角形；②若AE =5，CE =2，求BF 的长．图1图2图3中考数学类比探究实战演练（十）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1）．求证：△AEG≌△AEF．（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2）．求证：EF2=ME2+NF2．（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．中考数学类比探究实战演练（十一）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）【操作发现】（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由．【类比探究】（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：①∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．图1图2中考数学类比探究实战演练（十二）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF；②AE+AF=AC．（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH．（3）深入探究如图3，若AD=3AB，探究得：3AE AFAC的值为常数t，则t=_______．图1图2图3中考数学类比探究实战演练（十三）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，边长为4，在菱形ABCD内部有一点P，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC，连接PE，BD，则BD的长即为所求．（1）请你写出在图1中，PA+PB+PC的最小值为________．（2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．②如图3，在正方形ABCD中，AB=5，P为对角线BD上任意一点，连接PA，PC，请直接写出PA+PB+PC的最小值（保留作图痕迹）．中考数学类比探究实战演练（十四）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）如图1，若点D与点C重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系．（2）如图2，若点D与点C不重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．（3）如图3，若点D与点C不重合，AB=kAC，求BEFD的值（用含k的式子表示）．图1图2图3中考数学类比探究实战演练（十五）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．（1）初步尝试：如图1，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1·S2=_____________．（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图2所示位置，求S1·S2的值．（3）拓展延伸：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．①如图3，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1·S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）；②如图4，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1·S2的表达式，不必写出解答过程．图1图2图3图4中考数学类比探究实战演练（十六）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）点A，B分别是两条平行线m，n上任意一点，在直线n上找一点C，使BC=kAB，连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF 交直线m于点F．（1）如图1，当∠ABC=90°，k=1时，判断线段EF和EB之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC=90°，k≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF和EB之间的数量关系．（3）如图3，当0°＜∠ABC＜90°，k=1时，探究EF和EB之间的数量关系，并证明．图1图2图3中考数学阅读理解问题实战演练（一）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图1，在△ABC 中，AC =6，BC =3，∠ACB =30°，试判断△ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由．（2）问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A′BC ，连接AA′交直线BC 于点D ．若点B 是△AA′C 的重心，求BC AC 的值．（3）应用拓展：如图3，已知l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2．“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直线l 1上，点A 在直线l 2上，有一边的长是BC 的2倍．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C ，A′C 所在直线交l 2于点D ，求CD 的值．中考数学阅读理解问题实战演练（二）做题时间：_______至_______自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD 平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG= 30°，连接EG，若△EFG的面积为23，求FH的长．【参考答案】中考数学类比探究实战演练（六）22.（1）①证明略；②∠BDE的度数为90°；（2）α或(180°-α)；（3）CF的长为32或43．中考数学类比探究实战演练（七）22.（1）证明略；（2）CD=2BE·tan2α；（3）12sin(45)SSα=︒-．中考数学类比探究实战演练（八）22.（1）∠ACA′的度数为60°；（2）线段PQ的长为7 2；（3）四边形P A′B′Q的最小面积为33-．中考数学类比探究实战演练（九）22.（1）①证明略；②3AD+BD=CD；（2）①证明略；②BF的长为33．中考数学类比探究实战演练（十）22.（1）证明略；（2）证明略；（3）EF2=2(BE2+DF2)．中考数学类比探究实战演练（十一）22.（1）①∠EAF=120°；②DE与EF相等，理由略；（2）①∠EAF=90°；②DB2+AE2=ED2．中考数学类比探究实战演练（十二）22.（1）证明略；（2）证明略；（3）7．中考数学类比探究实战演练（十三）22.（1）43；（2）①PA+PB+PC的最小值为61；②PA +PB +PC 的最小值为56522+（523+也正确）．中考数学类比探究实战演练（十四）22.（1）12BE FD =；（2）12BE FD =，证明略；（3）2BE k FD =．中考数学类比探究实战演练（十五）22.（1）12；（2）S 1·S 2的值为12；（3）①22121()sin 4S S ab α⋅=；②22121()sin 4S S ab α⋅=．中考数学类比探究实战演练（十六）22.（1）EF =EB ，证明略；（2）不成立，1EF EB k=；（3）EF =EB ，证明略．中考数学阅读理解问题实战演练（一）22.（1）△ABC 是“等高底”三角形，理由略；（2）132AC BC =；（3）CD 的值为2103，22或2．中考数学阅读理解问题实战演练（二）22.（1）图略；（2）证明略；（3）FH 的值为22．。

几何探究题《类比、拓展、探究》第二课时训练相似类1、（10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。

原题：如图1,在平行四边形ABCD 中,点E 是BC 的中点,点F 是线段AE 上一点,BF的延长线交射线CD 于点G.若EF AF =3,求CGCD 的值。

(1)尝试探究在图1中,过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H,则AB 和EH 的数量关系是___,CG 和EH的数量关系是___,CGCD 的值是___. (2)类比延伸如图2,在原题的条件下,若EF AF =m(m>0),则CGCD 的值是___(用含有m 的代数式表示)，试写出解答过程。

(3)拓展迁移如图3,梯形ABCD 中,DC ∥AB,点E 是BC 的延长线上的一点,AE 和BD 相交于点F. 若b BE BC a CD AB ==,(a>0,b>0),则EFAF 的值是___(用含a 、b 的代数式表示).全等类2、（10分）（1）问题如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b.填空：当点A位于时线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含 a ， b 的式子表示）（2）应用点A为线段B除外一动点，且BC=3,AB=1．如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD,BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由.②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标。

参考答案1、（10分）【解答】(1)依题意,过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，如右图1所示。

则有△ABF ∽△EHF ， ∴，3==EF AFEH AB，∴AB=3EH.∵▱ABCD,EH ∥AB ，∴EH ∥CD ，又∵E 为BC 中点，∴EH 为△BCG 的中位线，∴CG=2EH.2323===EH EHCG AB CG CD故答案为：AB=3EH;CG=2EH;23.(2)如右图2所示,作EH ∥AB 交BG 于点H,则△EFH ∽△AFB. ∴，m EF AFEH AB==∴AB=mEH.∵AB=CD ，∴CD=mEH.∵EH ∥AB ∥CD ，∴△BEH ∽△BCG. ∴2==BEBC EH CG ， ∴CG=2EH. ∴22m EH mEH CG CD ==. 故答案为：2m . (3)ab.2、（10分）【解析】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由如下：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB,∴△CAD ≌△EAB （SAS ）,∴DC=BE②BE 长的最大值是4．（3）AM 的最大值为3+，点P 的坐标为（2-，）【提示】如图3，构造△BNP ≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N 在BA 的延长线上时，NB 有最大值（如备用图）。

类比探究专题例1 如图1，在等腰直角△ABC 和等腰直角△CDE 中，CD>BC ，点C ，B ，D 在同一直线上，M 是AE 的中点，易证MD ⊥MB ，MD=MB ．（1）如图2，将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？（2）将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论．MDBA图2ABC DE M图1图3ABDM例2 如图1，在ABC △中，AC BC =，120C ∠=︒，D 在BC 边上。

BDE △为等边三角形，连接AE ，F 为AE 中点，连CF DF ，。

⑴请直接写出CF DF 、的关系，不必说明理由；⑵若将图1中的DBE △绕点B 顺时针旋转90︒，其它条件不变，请作出相应图形，并直接给出结论，不必说明理由。

⑶将图中的DBE △绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜60°），其它条件不变，如图2，试回答⑴中的结论是否成立？并说明理由。

图1AB C DEFFDCBA图2例3 （1）操作发现：如图1，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ．猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论． （2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD 改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．GCFAFBA图1 图2例4 已知：如图所示，直线MA NB MAB ∠∥，与NBA ∠的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条直线MA NB 、分别相交于点D E 、．（1）如图1所示，当直线l 与直线MA 垂直时，猜想线段AD BE AB 、、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、都在AB 的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、在AB 的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD BE AB 、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．ABMCC NMBAABCDEMNl lMEDCB A图1 图2 备用图 备用图例5 在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ．（1）当AB ＝AC 时（如图1）， ①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（2）当AB ＝kAC 时（如图2），求BEFD 的值（用含k 的式子表示）．。

中考数学压轴题之几何类比探究问题综合训练1．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，∠MON＝90°，点A为边OM上一定点，点B为边ON上一动点，以AB为一边在∠MON的内部作正方形ABCD，过点C作CF⊥OM，垂足为点F（在点O、A之间），交BD于点E，试探究△AEF的周长与OA的长度之间的等量关系．该兴趣小组进行了如下探索．【动手操作，归纳发现】（1）通过测量图1、2、3中线段AE、AF、EF和OA的长，他们猜想△AEF的周长是OA长的倍．请你完善这个猜想．【推理探索，尝试证明】为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C作CG⊥ON，垂足为点G，则∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90°．又∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，则∠CBG+∠ABO＝90°，∴∠GCB＝∠ABO．在△CBE与△ABE中，……【类比探究，拓展延伸】（3）如图5，当点F在线段OA的延长线上时，直接写出线段AE、EF、AF与OA长度之间的等量关系为．2．小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边△ABC外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到AD与DE的数量关系．（1）AD与DE相等吗？请你说明理由；【类比探究】（2）当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其它条件不变，如图2，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）当点D在BC的延长线上，且满足CD＝BC，连接AE，其它条件不变，如图3，若AD＝6，求DE的长．3．已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，（1）如图①，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是；（2）如图②，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是；（3）如图③，在（2）的条件下若BE的延长线交直线AD于点M，找出图中与CP相等的线段，并加以证明．（4）如图④，已知BC＝4，AD＝2，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B 作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．4．如图1，△ABC为等边三角形，点M是射线AE上任意一点（M不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转60°得到线段CN，连接BN，直线BN交射线AE 于点D．（1）直接写出直线BD与射线AE相交所成锐角的度数；（2）如图2，当射线AE与AC的夹角∠EAC为钝角时，其他条件不变，（1）中结论是否发生变化？如果不变，加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图3，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线AE交BC于点H，∠EAC＝15°，点M是射线AE上任意一点（M不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，连接BN，直线BN交射线AE于点D．G，F分别是AH，AB 的中点．求证：CD＝GF．5．【问题探索】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC 边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．探索BE与MN的数量关系．聪明的小华推理发现PM与PN的关系为，最后推理得到BE与MN的数量关系为．【深入探究】将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的BE与MN的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；【解决问题】若CB＝8，CE＝2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，求MN的长度．6．已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，动点P在斜边AB所在的直线上，把线段CP绕着点C逆时针旋转90°得到CQ，连接PQ，探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P在线段AB上，请直接写出P A2，PB2，PQ2三者之间的数量关系：；（2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，（1）中的结论是否仍然成立，若成立请给予证明；若不成立请说明理由；（3）若动点P满足＝，求的值．7．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α（0°＜α＜180°）．点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，CP．点M是AB的中点，点N是AD的中点．（1）问题发现如图1，当α＝60°时，的值是，直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当α＝120°时，请写出的值及直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题如图3，当α＝90°时，若点E是CB的中点，点P在直线ME上，请直接写出点B，P，D在同一条直线上时的值．8．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF 的数量关系是．（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB的中点，点P为直线BC 上的动点（不与点B点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）观察猜想：如图①，线段BQ与CP的数量关系是；∠CBQ＝；（2）探究证明：如图②，当点P在CB的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．10．已知△ABC和△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE．（1）如图1，当点E在AB边上时，试判断线段BD，CE之间的关系是．（2）将图1中的△ADE绕点A旋转至如图2所示位置时，探究线段BD，CE之间的关系，并说明理由；（3）将图1中的△ADE绕点A旋转至DE与直线AC垂直，直线BD交直线CE于点F，若AB＝15，AD＝5，请直接写出线段BF的长度．11．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）当点D在AC上时，如图1，试猜想线段BD和CE的数量关系是；位置关系是．（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角，（0°＜α＜90°），如图2，（1）中的结论是否成立，若成立，请给出证明；若不成立说明理由．12．如图1，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，且CD＝CE，此时显然AD＝BE，AD⊥BE成立．若保持△ABC不动，将△DCE绕点C 逆时针旋转，旋转角为α．（Ⅰ）如图2，当0°＜α＜90°时，问：AD＝BE，AD⊥BE是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（Ⅱ）如图3，当α＝45°时，延长BE交AD于点F，若CE＝，BC＝3，则线段EF ＝（直接写出结果即可）．13．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE．∠DAE＝∠BAC．【初步感知】（1）特殊情形：如图①．若点D，E分别在边AB，AC上，则DB EC．（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）发现证明：如图②，将图①中的△ADE绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E 在△ABC内部时，求证：DB＝EC．【深入探究】（1）如图③，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB 的度数为线段CE，BD之间的数量关系为；（2）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高．则∠CDB的度数为；线段AM．BD，CD之间的数量关系为；【拓展提升】如图⑤，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BE、CD．当AB＝5．AD＝2时，在旋转过程中，△ADE与△ADC的面积和的最大值为．14．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、发现问题：如图1，当点D在边BC上时，（1）请写出BD和CE之间的位置关系为，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：．尝试探究：（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系，BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；拓展延伸：（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝7，CE＝5，直接写出线段ED的长．15．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、发现问题：如图1，当点D在边BC上时，（1）请写出BD和CE之间的位置关系为，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：．尝试探究：（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；拓展延伸：（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段ED的长．16．已知Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD＝AE，连接CE．（1）发现问题：如图①，当点D在边BC上时，①请写出BD和CE之间的数量关系，位置关系；②线段CE、CD、BC之间的关系是；（2）尝试探究：如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中CE、CD、BC之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝4，CE＝2，求线段CD的长．17．在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，将Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连接BD，AE，点F，G分别是BD，AE的中点，连接CF，CG．（1）观察猜想如图1，当点D与点A重合时，CF与CG的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究当点D与点A不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．（3）问题解决在Rt△DCE旋转过程中，请直接写出△CFG的面积的最大值与最小值．18．综合与实践动手操作如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．延长ED分别交CB于点F，交AB于点G，连接AF．思考探究（1）∠CAF＝°，∠EAG＝°；（2）若BC＝（+1）AC，则①∠DAG＝°；②＝，请证明你的结论；开放拓展（3）如图2，若改变旋转角，已知AC＝3，BC＝4，当∠EAF＝90°时，△AFB的面积为．19．如图，已知在△ABC和△DCE中，∠ACB＝∠DCE，且满足＝＝k，将△DEC绕点C旋转．连接BD，F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，连接FG，GH．（1）当k＝1时，①如图（1），点D在AC边上时，判断FG，GH的数量关系是；②如图（2），点D不在AC边上时，①中的结论是否成立，并说明理由；（2）如图（3），当k＝时，探索FG，GH的数量关系．直接写出探究结论，不需证明．20．如图1，已知△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D在线段AC上，点F为AB的中点，点M为BE的中点，点N为AD的中点．（1）如图1，请直接写出∠FMN的大小以及FM和MN之间的数量关系．（2）如图2，将△DCE绕点C顺时针旋转，此时（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请写出相应正确的结论．（3）如图3，若AB＝4，CE＝2，在将△DCE绕点C顺时针旋转360°过程中，直线BD，AE交于点G，△ABG的面积的最小值为．21．在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，△DEC绕点C逆时针旋转，连接BD，F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，连接FG，FH，HG．（1）如图1，当∠A＝∠EDC＝45°，点D在AC边上时，直接猜想FG，HG的数量关系和位置关系是；（2）如图2，当∠A＝∠EDC＝45°，点D不在AC边上时，（1）猜想的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当∠A＝∠EDC＝30°时，猜想FG，HG的数量关系和位置关系，请直接写出猜想结论．。

中考数学类比探究型几何综合题专题训练【类型1】通过位置变化（图形变换）进行类比探究〖例1〗已知：如图，等边△AOB的边长为4，点C为OA中点．（1）如图1，将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为α（0°＜α≤360°）．则此时α＝；此时△COD是三角形（填特殊三角形的名称）．（2）如图2，固定等边△AOB不动，将（1）中得到的△OCD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，设旋转角为β（0°＜β≤360°）．①求证：AC＝BD；②当旋转角β为何值时，OC∥AB，并说明理由；③当A、C、D三点共线时，直接写出线段BD的长．〖例2〗现有与菱形有关的三幅图，如图：（1）（感知）如图①，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连结AE、EF、AF．若AC＝2，则CE+CF的长为．（2）（探究）如图②，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连结EF．若BC＝2，求CE+CF的长．（3）（应用）在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC延长线上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD延长线于点F，连结EF．若BC＝2，EF⊥BC时，借助图③求△AEF的周长．〖尝试练习〗1．如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB＝2√2，BD＝2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，如图2，直线AD、CE相交于点P．（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．2．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）探究猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：；（2）深入思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2√2，CD ＝14BC，请求出OC的长．3．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，且正方形AEFG的边AE，AG分别在正方形ABCD的边AB，AD上，显然BE＝DG，BE⊥DG．（1）将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置．求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；（2）如图3，若点D，G，E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，求BE的长．【类型2】通过形状变化进行类比探究〖例3〗如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到AE，连接DE，CE．（1）求证：CE＝BD；（2）若α＝60°，其他条件不变，如图2．请猜测线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）若α＝90°，其他条件不变，如图3，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．〖例4〗如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC ＝PE，PF交CD于点F．（1）求证：∠PCD＝∠PED；（2）连接EC，求证：EC＝√2AP；（3）如图2，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB＝60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系．〖尝试练习〗4．已知菱形ABCD和菱形DEFG有公共的顶点D，C点在DE上，且∠ADC＝∠EDG，连接AE，CG，如图1．（1）试猜想AE与CG有怎样的数量关系（直接写出关系，不用证明）；（2）将菱形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果∠ADC＝∠EDG＝90°，如图3，你认为AE和CG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．5．已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝√3，BC＝√6，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2√3，当△AED是直角三角形时，求BC的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF 为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．【自主反馈】7．如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD＝AE，AD与CE交于点F．（1）求∠DFC的度数；（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．①补全图形（图2中完成）；②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．8．已知△ABC是等腰三角形．（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD ≌△ACE；（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．①求∠AED的度数；②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；（2）如图2，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：DF＝BE；（3）如图3，点B、C的坐标分别是（0，0），（0，2），点Q是线段AC上的一个动点，点M 是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得△CQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图②，B'E与AC交于点F，DB'∥BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；②连接B'C，则△B'FC的形状为；（3）如图③，则△CEF的周长为．11．已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．12．（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求CG的长．（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．13．我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．重温定理，识别图形（1）如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE＝12DF，又可证图中的四边形为平行四边形，可得BC与DF的关系是，于是推导出了“DE∥BC，DE＝12BC”．寻找图形，完成证明（2）如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH．求证CF＝√2BE．构造图形，解决问题（3）如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF．直接写出CF与BE的数量关系．类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）答案与解析〖例1〗解：（1）如图1，∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∠AOB＝60°，∵将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°＝α，∴△COD是等边三角形，答案为：60°，等边；（2）①∵△COD是等边三角形，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②如图2，当点C在点O的上方时，若OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝60°＝β，如图2﹣1，当点C在点O的下方时，若OC∥AB，∴∠ABO＝∠BOC＝60°，∴β＝360°﹣60°﹣60＝240°，综上所述：β＝60°或240°；③如图3，当点D在线段AC上时，过点O作OE⊥AC于E，∵等边△AOB的边长为4，点C为OA 中点，∴AO＝AB＝OB＝4，OC＝OD＝CD＝2，∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∵OE⊥CD，OC＝OD，∴CE＝DE＝1，∴OE＝√OC2−CE2＝√3，∴AE＝√OA2−OE2＝√13，∴AC＝AE+CE＝1+√13＝BD；如图4，当点C在线段AD上时，过点O作OF⊥AD于F，同理可求DF＝CF＝1，AF＝√13，∴AC＝BD＝√13﹣1，综上所述：BD＝√13+1或√13﹣1．〖例2〗解：（1）感知：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB＝2，∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴CE＝12BC，CF＝12CD＝1，∴CE+CF＝2．故答案为：2．（2）探究：如图，连结AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴CE+CF＝BC＝2．（3）应用：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠CAD＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠CAD﹣∠DAE＝∠EAF ﹣∠DAE．∴∠CAE＝∠DAF．∵∠ACE＝∠ADF，AC＝AD∴△ACE≌△ADF（ASA）．∴CE＝DF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF为等边三角形，∵EF⊥BC，∠ECF＝60°，∴CF＝2CE，∵CD＝BC＝2，∴CE＝2，∴EF=√CF2−CE2=2√3，∴△AEF的周长为6√3．〖尝试练习〗1．解：（1）AD＝CE，理由：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ， ∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD ＝CE ；（2）如图2，过点B 作BH ⊥AD 于H ，在Rt △BHD 中，BD ＞BH ，∴当点D ，H 重合时，BD ＝BH ，∴BH ≤BD ，∴当BD ⊥AD 时，点B 到直线AD 的距离最大，∴∠EDP ＝90°﹣∠BDE ＝30°，同（1）的方法得，△ABD ≌△CBE （SAS ），∴∠BEC ＝∠BDA ＝90°，EC ＝AD ，在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝2√2， 根据勾股定理得，AD ＝√AB 2−BD 2＝2， ∴CE ＝2，∵∠BEC ＝90°，∠BED ＝60°， ∴∠DEP ＝90°﹣60°＝30°＝∠EDP ， ∴DP ＝EP ，如图2﹣1，过点P 作PQ ⊥DE 于Q ， ∴EQ ＝12DE ＝1，在Rt △EQP 中，∠PEQ ＝30°， ∴EP ＝EQ cos∠DEP ＝2√33，∴PC ＝2−2√33； （3）①当点D 在AE 上时，如图3，∴∠ADB ＝180°﹣∠BDE ＝120°，∴∠BDE ＝60°， 过点B 作BF ⊥AE 于F ，在Rt △BDF 中，∠DBF ＝30°，BD ＝2， ∴DF ＝1，BF ＝√3，在Rt △ABF 中，根据勾股定理得，AF ＝√AB 2−BF 2＝√5，AD ＝AF ﹣DF ＝√5﹣1，∴CE ＝AD ＝√5﹣1； ②当点D 在AE 的延长线上时，如图4，同①的方法得，AF ＝√5，DF ＝1，∴AD ＝AF +DF ＝√5+1，∴CE ＝AD ＝√5+1， 即满足条件的CE 的长为√5+1和√5﹣1． 2．解：（1）①正方形ADEF 中，AD ＝AF ， ∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ACB +∠ACF ═45°+45°＝90°， 即BC ⊥CF ；②△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD +CD ， ∴BC ＝CF +CD ；故答案为：BC ＝CF +CD ；（2）CF ⊥BC 成立；BC ＝CD +CF 不成立，CD ＝CF +BC ．理由如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ， ∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACF ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°．∴∠ABD ＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF ﹣∠ACB ＝135°﹣45°＝90°，∴CF ⊥BC ． ∵CD ＝DB +BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF +BC ．（3）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2√2， ∴BC ＝4，∴CD ＝14BC ＝1，∴BD ＝5， 由（2）同理可证得△DAB ≌△FAC ，∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴OD ＝OF ，∵∠DCF ＝90°， ∴DF ＝√CD 2+CF 2＝√26，∴OC ＝√262．3．证明：（1）如图2，延长DG交BE于H，∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠C+∠CBA+∠ABE+∠BHD+∠CDH＝360°，∴90°+90°+∠ADG+∠CDH+∠BHD＝360°，∴∠BHD＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图3，连接BD，∵正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，∴BD＝√2AD＝8，GE＝√2AE＝6，∵BD2＝DE2+BE2，∴64＝（6+BE）2+BE2，∴BE＝√23﹣3．〖例3〗证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转α，∴AD＝AE，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE；（2）AC＝CD+CE，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，由（1）可知：BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴AC＝CD+CE；（3）∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△BAD≌△CAE∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴CE2+CD2＝DE2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE2＝2AD2，∴CE2+CD2＝2AD2，∴BD2+CD2＝2AD2．〖例4〗（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，又∵PD=PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，AP＝CP，∵PC＝PE，∴AP＝PE，∴∠PAD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，由（1）知，∠PCD＝∠PED，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠CFP﹣∠PCD＝180°﹣∠EFD﹣∠PED，即∠CPF＝∠EDF＝90°，∵PC＝PE，∴△CPE是等腰直角三角形，∴EC＝√2CP，由（1）知，AP＝CP，∴EC＝√2AP；（3）解：AP＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP ＝60°，∠BAD＝∠BCD，∠EDC＝∠DAB＝60°，又∵PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PC＝PE，∴PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠CFP﹣∠PCF＝180°﹣∠EFD﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝EC，∴EC＝AP，〖尝试练习〗4．解：（1）AE＝CG，理由如下：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是菱形，∴DA＝DC，DE＝DG，又∵∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（2）成立，理由如下：∵∠ADC＝∠EDG，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，即∠ADE＝∠CDG，又∵DA＝DC，DE＝DG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（3）AE ⊥CG ，理由如下：延长线段AE 、GC 交于点H ，∵AD ∥BC ，∴∠CEH ＝∠DAE ， 由（2）可知，△DAE ≌△DCG ，∴∠DAE ＝∠DCG ，∴∠CEH ＝∠DCG ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠ECH +∠DCG ＝90°，∴∠ECH +∠CEH ＝90°，∴∠CHE ＝90°，∴AE ⊥CG ． 5．（1）证明：由折叠的性质得：△ABC ≌△△ AEC ，∴∠ACB ＝∠ACE ，BC ＝EC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ．∴EC ＝AD ，∠ACB ＝∠CAD ，∴∠ACE ＝∠CAD ，∴OA ＝OC ，∴OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ，∵∠AOC ＝∠DOE ，∴∠CAD ＝∠ACE ＝∠OED ＝∠ODE ，∴AC ∥DE ；（2）解：∵平行四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠CDO ＝90°，CD ＝AB ＝√3，AD ＝BC ＝√6，由（1）得：OA ＝OC ，设OA ＝OC ＝x ，则OD ＝√6﹣x ，在Rt △OCD 中，由勾股定理得：（√3）2+（√6﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝3√64，∴OA ＝3√64，∴△OAC 的面积＝12OA ×CD ＝12×3√64×√3＝9√28；（3）解：分两种情况：①如图3，当∠EAD ＝90°时，延长EA 交BC 于G ，∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ， ∵AD ∥BC ，∠EAD ＝90°，∴∠EGC ＝90°， ∵∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴∠AEC ＝30°， ∴GC ＝12EC ＝12BC ，∴G 是BC 的中点， 在Rt △ABG中，BG ＝√32AB ＝3，∴BC ＝2BG ＝6；②如图4，当∠AED ＝90°时∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ，由折叠的性质得：AE ＝AB ，∴AE ＝CD ，又∵AC=AC ，∴△ACE ≌△CAD （SSS ）， ∴∠ECA ＝∠DAC ，∴OA ＝OC ，∴OE ＝OD ， ∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AED ＝∠CDE ， ∵∠AED ＝90°，∴∠CDE ＝90°，∴AE ∥CD ， 又∵AB ∥CD ，∴B ，A ，E 在同一直线上， ∴∠BAC ＝∠EAC ＝90°， ∵Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝2√3， ∴AC ＝√33AB ＝2，BC ＝2AC ＝4；综上所述，当△AED 是直角三角形时，BC 的长为4或6．6．证明：（1）∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠CFE ，∴∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝CF ， 又∵四边形ECFG 是平行四边形， ∴四边形ECFG 为菱形；（2）△BDG 是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AD ∥BC ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∠BCF ＝120°，由（1）知，四边形CEGF 是菱形，∴CE ＝GE ，∠BCG ＝12∠BCF ＝60°， ∴CG ＝GE ＝CE ，∠DCG ＝120°，∵EG ∥DF ， ∴∠BEG ＝120°＝∠DCG ，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，∵AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD ，∴△BEG ≌△DCG （SAS ），∴BG ＝DG ，∠BGE ＝∠DGC ，∴∠BGD ＝∠CGE ，∵CG ＝GE ＝CE ，∴△CEG 是等边三角形， ∴∠CGE ＝60°，∴∠BGD ＝60°，∵BG ＝DG ， ∴△BDG 是等边三角形；（3）如图2中，连接BM ，MC ，∵∠ABC ＝90°，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝√AB2+AD2＝26，∴DM＝√22BD＝13√2．【自主反馈】7．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，又∵BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，∵∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠ACE+∠DAC＝60°；（2）①根据题意补全图形如图2所示：②线段BE与CQ的数量关系为：CQ＝12BE；理由如下：∵CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，∴CE＝CP，∠ECP＝120°，∵∠DFC＝60°，∴AD∥CP，∴∠ADC＝∠DCP，∵△ABD≌△CAE，∴CE＝AD，∴AD＝CP，∴△ADQ≌△PCQ（AAS），∴CQ＝DQ＝12CD，∵AB＝BC，BD＝AE，∴BE＝CD，∴CQ＝12BE．8．解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，∴∠D＝12（180°﹣∠BAD）＝15°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝30°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；②BD＝2CE+√2AE；证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CE，过点A作AF⊥AE交DE于F，∴∠EAF＝90°，由旋转知，∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAF，由①知，∠AED＝45°，∴∠AFE＝45°＝∠AEF，∴AE＝AF，∴EF＝√2AE，∵AC＝AD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴DF＝CE，∴BD＝BE+EF+DF＝CE+√2AE+CE ＝2CE+√2AE．9．解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°﹣30°）＝75°，∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；（2）连接BF，∵点F是边AC中点，∴BF＝AF＝12AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12AC，∴∠FBA＝∠BAC＝30°，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB ＝DE ，∠DEA ＝∠ABC ＝90°， ∴DE ＝BF ，延长BF 交AE 于点G ，则∠BGE ＝∠GBA +∠BAG ＝90°， ∴∠BGE ＝∠DEA ，∴BF ∥ED ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DF ＝BE ； （3）∵点B 、C 的坐标分别是（0，0），（0，2）， ∴BC ＝2，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝4，AB ＝2√3，若∠QMA ＝90°，CQ ＝MQ 时，如图3，设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°，∴AQ ＝2x ，AM ＝√3x ， ∴AC ＝x +2x ＝3x ＝4，∴x ＝43，∴AM ＝43√3，∴BM ＝AB ﹣AM ＝2√3﹣4√33＝2√33，∴点M （2√33，0）；若∠AQM ＝90°，CQ ＝QM 时，如图4， 设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°， ∴AQ ＝√3x ，AM ＝2x ， ∴AC ＝x +√3x ＝4，∴x ＝2√3﹣2，∴AM ＝4√3﹣4， ∴BM ＝2√3﹣（4√3﹣4）＝4﹣2√3， ∴点M （4﹣2√3，0）；综上所述：M （2√33，0）或（4﹣2√3，0）．10．（1）解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴CD ＝12AB ＝5（2）①证明：由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，B 'E ＝BE ，∠B 'DE ＝∠BDE ，∵DB '∥BC ，∴∠B 'DE ＝∠BED ，∴∠BDE ＝∠BED ，∴BD ＝BE ，∴B 'D ＝BE ，∴四边形BDB 'E 是平行四边形，又∵B 'D ＝BD ，∴四边形BDB 'E 为菱形；②解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝BD ， 由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵DB '∥BC ，∴DB '⊥AC ，∴∠ACB '＝90°﹣∠DB 'C ，由①得：四边形BDB 'E 为菱形， ∴AB ∥B 'E ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥B 'E ， ∴∠EB 'C ＝90°﹣∠DCB '，∴∠ACB '＝∠EB 'C ， ∴FB '＝FC ，即△B 'FC 为等腰三角形；（3）解：连接B 'C ，如图③所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴BC ＝√22AB ＝5√2，∠B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，∠ACD ＝12∠ACB ＝45°，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∠B '＝∠B ＝45°， ∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∴∠FCB '＝∠FB 'C ，∴CF ＝B 'F ，∴△CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝5√2； 11．解：（1）BH ⊥HE ，BH ＝HE ；理由如下： 延长EH 交AB 于M ，如图1所示： ∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AB ∥CD ∥EF ，AB ＝BC ，CE ＝FE ，∠ABC ＝90°，∴∠AMH ＝∠FEH ，∵H 是AF 的中点，∴AH ＝FH ，∴△AMH ≌△FEH （AAS ）， ∴AM ＝FE ＝CE ，MH ＝EH ，∴BM ＝BE ，∵∠ABC＝90°，∴BH⊥HE，BH＝12ME＝HE；（2）结论仍然成立．BH⊥HE，BH＝HE．理由如下：延长EH交BA的延长线于点M，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ABE＝∠BEF＝90°，AB＝BC，AB∥CD∥EF，CE＝FE，∴∠HAM＝∠HFE，∴△AHM≌△FHE（ASA），∴HM＝HE，AM＝EF＝CE，∴BM＝BE，∵∠ABE＝90°，∴BH⊥EH，BH＝12EM＝EH；（3）延长EH到M，使得MH＝EH，连接AH、BH，如图3所示：同（2）得：△AMH≌△FEH（SAS），∴AM＝FE＝CE，∠MAH＝∠EFH，∴AM∥BF，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM+∠CBE＝90°，∵∠BCE+∠CBE＝90°∴∠BAM＝∠BCE，∴△ABM≌△CBE（SAS），∴BM＝BE，∠ABM＝∠CBE，∴∠MBE＝∠ABC＝90°，∵MH＝EH，∴BH⊥EH，BH＝12EM＝MH ＝EH，在Rt△CBE中，BE＝√CB2−CE2＝12，∵BH＝EH，BH⊥EH，∴BH＝√22BE＝6√2．12．解：（1）GF＝GC．理由如下：如图1，连接GE，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∴EF＝EC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠B＝90°，∴∠EFG＝90°，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF＝GC；（2）设GC＝x，则AG＝4+x，DG＝4﹣x，在Rt△ADG中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得x＝94．∴GC＝94；（3）（1）中的结论仍然成立．证明：如图2，连接FC，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，∴EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，∵矩形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D，∴∠ECD＝∠EFG，∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF，∴∠GFC＝∠GCF，∴FG＝CG；即（1）中的结论仍然成立．13．解：（1）∵AE＝CE，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF＝BC，DF∥BC，（2）证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠ABE+∠CBE＝90°∵△BEH是等腰直角三角形，∴EH＝2BE＝2BH，∠BEH＝∠BHE＝45°，∠EBH＝90°，即∠CBH+∠CBE＝90°∴∠ABE＝∠CBH，∴△ABE≌△CBH（SAS），∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB，∴∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠CHB﹣45°＝∠AEB﹣45°，∵四边形AEFG是正方形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴EF＝HC，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝225°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝∠AEB﹣45°+225°﹣∠AEB＝180°，∴EF∥HC且EF＝HC，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH＝√2BE；（3）CF＝√3BE，如图，过点B作BH，使∠EBH＝120°，且BH＝BE，连接EH、CH，则∠BHE＝∠BEH＝30°，∵∠ABC＝∠EBH＝120°，∴∠ABE＝∠CBH，∵AB＝BC，BE＝BH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，∵∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠AEB﹣30°，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝210°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝180°，∴CH∥EF且CH＝EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH，过B作BN⊥EH于N，在△EBH中，∠EBH＝120°，BH＝BE，∴∠BEN＝30°，EH＝2EN，BE，∴EN＝√32∴EH＝√3BE，∴CF＝EH＝√3BE．。

1类比探究（习题）例题示范例 1：如图 1，在□ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G ．（1）尝试探究：如图 1，若 AF = 3 ，则 CD的值是 ．EF CG解答过程．（3）拓展迁移：如图 3，在梯形 ABCD 中，DC ∥AB ，点 E是 BC 延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F ．若 AB= a ，CDBC = b （a ＞0，b ＞0），则 AF的值是 （用含 a ，b 的代 BE EF 数式表示）．2ADGF C AD GFC【思路分析】① 根据特征确定问题结构，设计方案解决第一问．问题背景是平行四边形，且已知线段比例关系，考虑通过相似传递比例关系，进而求 CD的值．CG构造相似利用作平行线的方法，即过中点 E 作 EH ∥AB 交 BG 于点 H ，可得“A ”字型相似△BEH ∽△BC G ，“X ”型相似△EFH ∽△AFB ，结合 AF= 3 ，可得 CG =2EH ，AB =3EH ，故BEF CD = 3． 图1CG 2② 类比第一问思路，解决第二问．分析不变特征，此时平行四边形、中点特征均不变，变化的是 AF ，EF 的比例，照搬第一问思路，过点 E 作 EH ∥AB 交BG 于点 H ，同样可得△BEH ∽△BCG ，△EFH ∽△AFB ，此时 CG =2EH ，AB =mEH ，故 CD = m ． B ③ 照搬思路解决第三问．CG 2 图2虽然此问中图形、中点 E 、比例关系均发生变化，但 DC ∥AB 不变，依然可利用相似来整合条件，可照搬前面思路处理， 依然构造平行．过点 E 作 EH ∥AB 交 BD 的延长线于点 H ，3E PB Q 巩固练习1.如图 1，一副直角三角板满足 AB =BC ，AC =DE ，∠ABC =∠DEF =90°，∠EDF =30°．【操作】将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点 E 旋转，并使边 DE 与边 AB 交于点 P ，边 EF 与边 BC 交于点 Q ． 【探究】在旋转过程中（3）根据你对（1），（2）的探究结果，试写出当 CEm 时，EAEP 与 EQ 满足的数量关系式为 ．A (D )FBC (E )图1 AEP BQC DF图2 ADF C图34DF（3）如图 3，在 Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，AB = 40，3E 为 AB 上一点且 AE =5，CE 交其内角角平分线 AD 于F ．试 求 DF 的值． FACE B图352.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和D EC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°． （1）操作发现如图 2，固定△ABC ，使△DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： ①线段 DE 与 AC 的位置关系是 ； ②设△BDC 的面积为 S 1，△AEC 的面积为 S 2，则 S 1 与 S 2 的数量关系是 ．B (E )EA (D ) C图 1 图 2B（2）猜想论证当△DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时，小明猜想（1） 中 S 1 与 S 2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中 BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究如图 4 ，已知∠ABC =60°，点 D 是其角平分线上一点，BD =CD =4，DE ∥AB 交 BC 于点 E ．若在射线 BA 上存在点 F ，使 S △DCF =S △BDE ，请直．接．写．出．相应的 BF 的长． 图4A BME思考小结总结类比探究问题中的常见结构①旋转结构AD'D C始终含有等腰结构（正方形、等腰直角三角形等），并且经过旋转后，能将各条件重新组合应用．②中点结构AEB M CC D F平行夹中点（类）倍长中线中位线始终含有中点，常考虑利用中点结构补全图形，然后将所证目标放在一个较大的背景下（等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等）研究．③直角结构A DFB始终含有直角，常构造直角与斜直角配合，得到同角的余角相等；再配合构造的其他直角证明相似，所求目标往往和比例关系相关．6④平行结构AFEB所求目标为线段间的比例关系，题目中没有相似三角形，往往考虑利用平行线构造相似求解．7【参考答案】巩固练习1.（1）EP=EQ，证明略；（2）EP =1EQ ，证明略；2（3）EP =1EQ ．m2.（1）都成立，证明略；（2）一定成立，证明略；（3）DF=5．FA 83. （1）①DE∥AC；②S1=S2．（2）证明略；（3）BF 的长为433或833．8。

三、解答题22. （10分）问题背景：如图1，在四边形ADBC 中，∠ACB =∠ADB =90°，AD =BD ，探究线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD 绕点D 逆时针旋转90°到△AED 处，点B ，C 分别落在点A ，E 处（如图2），易证点C ，A ，E 在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三角形，所以CECD ，从而得出结论：AC +BCCD ．图1图2 简单应用：（1）在图1中，若AC ，BC =CD =__________．（2）如图3，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，AD ︵=BD ︵，若AB =13，BC =12，求CD 的长．拓展延伸：（3）如图4，∠ACB =∠ADB =90°，AD =BD ，若AC =m ，BC =n （m ＜n ），求CD 的长（用含m ，n 的代数式表示）．图4图5（4）如图5，∠ACB =90°，AC =BC ，点P 为AB 的中点，若点E 满足AE = 13AC ，CE =CA ，点Q 为AE 的中点，则线段PQ 与AC 的数量关系是_____． DC BADCBBAE DCBA三、解答题22. （10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，DC =EC ，连接DE ，AE ，BD ，点M ，N ，P 分别是AE ，BD ，AB 的中点，连接PM ，PN ，MN ． （1）BE 与MN 的数量关系是___________；（2）将△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若CB =6，CE =2，在将图1中的△DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当B ，E ，D 三点在一条直线上时，请直接写出MN 的长．中考数学类比探究实战演练（三）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，M 是AF 的中点，连接DM ，EM ．（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM ，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D ，E ，F 三点在一条直线上，若AB =13，CE =5，请画出图形，并直接写出MF 的长．图1PNM EDCBA图2PNME D CBA备用图E DCBA中考数学类比探究实战演练（四）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=nAC，CD⊥AB于D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，连接EF．（1）探究发现：如图1，若n=1，点E在线段AC上，则tan∠EFD=____．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则tan∠EFD=_______（用含n的代数式表示）．②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E是线段AC延长线上的任意一点”或“点E是线段AC反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．图1ABCDE FGM图2MGF EDCBA图1E DCBA图2E DA图3DCBAABCD备用图【参考答案】中考数学类比探究实战演练（一）22.（1）3；（2）CD的长为2；（3）CD的长为)2n m-；（4AC=AC=．中考数学类比探究实战演练（二）22.（1）BE MN；（2）成立，理由略；（3）MN11．中考数学类比探究实战演练（三）23.（1）DM=EM，DM⊥EM；（2）（1）中的结论仍成立，证明略；（3）MF，图形略．中考数学类比探究实战演练（四）22.（1）1；（2）①1n；②成立，证明略；（3）CE或中考数学类比探究实战演练（五）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．（1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA 三条线段之间的数量关系；（2）如图2，点O在CA的延长线上，且OA=13AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点O在线段AC上，若AB=6，BO=CF=1时，请直接写出BE的长．图1F ENM (O )D C B A图2FENMO DC BA备用图DCBA【参考答案】22.（1）CA=CE+CF；（2）CF-CE=43AC，理由略；（3）BE的长为3，5或1．中考数学类比探究实战演练（六）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上（点M，点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM．射线AG∥BC，延长BM 交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时．①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数．（2）当∠ACB=α，其他条件不变时，∠BDE的度数是__________（用含α的代数式表示）；（3）若△ABC是等边三角形，AB=N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接．．写出线段CF的长．B C DAEM N GBA GC备用图1备用图2AB CG中考数学类比探究实战演练（七）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿CD 所在的直线对折，使点B 落在点B′处，连接AB′，BB′，延长CD 交BB′于点E ，设∠ABC =2α（0°＜α＜45°）． （1）如图1，若AB =AC ，求证：CD =2BE ；（2）如图2，若AB ≠AC ，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC ，连接EF 交BC 于点O ，设△COE 的面积为S 1，△COF 的面积为S 2，求12SS （用含α的式子表示）．中考数学类比探究实战演练（八）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题图1ABCDEB′图22αABCD E B′B′E D CB A2α图3OF22. （10分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB，AC =2，过点B 作直线m ∥AC ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C （点A ，B 的对应点分别为A′，B′），射线CA′，CB′分别交直线m 于点P ，Q ．（1）如图1，当P 与A′重合时，求∠ACA′的度数．（2）如图2，设A′B′与BC 的交点为M ，当M 为A′B′的中点时，求线段PQ 的长．（3）在旋转过程中，当点P ，Q 分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A′B′Q 的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q 的最小面积；若不存在，请说明理由．图1QmB′A′ (P )BC AM图2A′AC B P B′mQ备用图AC Bm中考数学类比探究实战演练（九）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D为BC 的中点，∠BAD =21∠BAC =60°，于是2BC BDAB AB==迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ． ①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式．拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ． ①求证：△CEF 是等边三角形； ②若AE =5，CE =2，求BF 的长．图1图2图3D B AEDBA FEMDCBA中考数学类比探究实战演练（十）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =∠CEF =45°．（1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG （如图1）． 求证：△AEG ≌△AEF ．（2）若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N （如图2）． 求证：EF 2=ME 2+NF 2．（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系．中考数学类比探究实战演练（十一）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日图1G FE D CB A N图2M FE D CB A 图3FED CBA三、解答题22. （10分）【操作发现】（1）如图1，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板斜边上取一点F ，使CF =CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE =30°，连接AF ，EF ． ①求∠EAF 的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由． 【类比探究】（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF =CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE =45°，连接AF ，EF ．请直接写出探究结果：①∠EAF 的度数；②线段AE ，ED ，DB 之间的数量关系．图1图2中考数学类比探究实战演练（十二）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD （∠BAD =120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包FDE CBAABCEF D括线段的端点）． （1）初步尝试如图1，若AD =AB ，求证：①△BCE ≌△ACF ；②AE +AF =AC ． （2）类比发现如图2，若AD =2AB ，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，求证：AE =2FH ． （3）深入探究如图3，若AD =3AB ，探究得：3AE AFAC的值为常数t ，则t =_______．图1 图2 图3F EDC B A HF EDBAF EDCB A三、解答题22. （10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1中，PA +PB +PC 的最小值为________． （2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC ，请直接写出PA +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）．图1PADBECB CPA图2P图3DCBA三、解答题22.（10分）在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）如图1，若点D与点C重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系．（2）如图2，若点D与点C不重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．（3）如图3，若点D与点C不重合，AB=kAC，求BEFD的值（用含k的式子表示）．图1图2图3CB(D)AFECB DAFECB DAFE三、解答题22. （10分）问题背景：已知∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与A ，B 重合），DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ，记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2．（1）初步尝试：如图1，当△ABC 是等边三角形，AB =6，∠EDF =∠A ，且DE ∥BC ，AD =2时，则S 1·S 2=_____________．（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D 沿AB 平移，使AD =4，再将∠EDF 绕点D 旋转至如图2所示位置，求S 1·S 2的值．（3）拓展延伸：当△ABC 是等腰三角形时，设∠B =∠A =∠EDF =α．①如图3，当点D 在线段AB 上运动时，设AD =a ，BD =b ，求S 1·S 2的表达式（结果用a ，b 和α的三角函数表示）；②如图4，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD =a ，BD =b ，直接写出S 1·S 2的表达式，不必写出解答过程．图1 图2 图3图4中考数学类比探究实战演练（十六）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日F三、解答题22. （10分）点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意一点，在直线n 上找一点C ，使BC =kAB ，连接AC ，在直线AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠ABC ，EF 交直线m 于点F ．（1）如图1，当∠ABC =90°，k =1时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC =90°，k ≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°＜∠ABC ＜90°，k =1时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．图1 图2 图3中考数学阅读理解问题实战演练（一）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题22. （10分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． （1）概念理解：如图1，在△ABC 中，AC =6，BC =3，∠ACB =30°，试判断△ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由．mnAF CB EmnA F E CBB CEF A nm（2）问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A′BC ，连接AA′交直线BC 于点D ．若点B 是 △AA′C 的重心，求BCAC的值． （3）应用拓展：如图3，已知l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2．“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直线l 1上，点A 在直线l 2上，有一边的长是BC 的2倍．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C ，A′C 所在直线交l 2于点D ，求CD 的值．中考数学阅读理解问题实战演练（二）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题 22. （10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解：（1）如图1，已知Rt △ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC =80°，∠ADC =140°，对角线BD 平分∠ABC ．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”； 运用：（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH =∠HFG = 30°，连接EG ，若△EFG的面积为FH 的长．图1ABC图2DA′AB C图3l 2l 1A′D B′ABC【参考答案】中考数学类比探究实战演练（六）22.（1）①证明略；②∠BDE的度数为90°；（2）α或(180°-α)；（3）CF中考数学类比探究实战演练（七）22.（1）证明略；（2）CD=2BE·tan2α；（3）12sin(45)S Sα=︒-．中考数学类比探究实战演练（八）22.（1）∠ACA′的度数为60°；（2）线段PQ的长为72；（3）四边形P A′B′Q的最小面积为3．中考数学类比探究实战演练（九）22.（1+BD=CD；（2）①证明略；②BF的长为图1ABC图2AB CD图3EF GH中考数学类比探究实战演练（十）22. （1）证明略；（2）证明略；（3）EF 2=2(BE 2+DF 2)．中考数学类比探究实战演练（十一）22. （1）①∠EAF =120°；②DE 与EF 相等，理由略；（2）①∠EAF =90°；②DB 2+AE 2=ED 2．中考数学类比探究实战演练（十二）22. （1）证明略；（2）证明略；（3．中考数学类比探究实战演练（十三）22. （1）（2）①PA +PB +PC ；②PA +PB +PC （． 中考数学类比探究实战演练（十四）22. （1）12BE FD =； （2）12BE FD =，证明略；（3）2BE k FD =．中考数学类比探究实战演练（十五）22. （1）12；（2）S 1·S 2的值为12；（3）①22121()sin 4S S ab α⋅=；②22121()sin 4S S ab α⋅=．中考数学类比探究实战演练（十六）22. （1）EF =EB ，证明略； （2）不成立，1EF EB k=；（3）EF =EB ，证明略．中考数学阅读理解问题实战演练（一）22. （1）△ABC 是“等高底”三角形，理由略；（2）2AC BC =；（3）CD的值为3，2．中考数学阅读理解问题实战演练（二）22.（1）图略；（2）证明略；（3）FH的值为．21。

专题七 类比探究题类型一 线段数量关系问题(2018·河南)(1)问题发现如图①，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC ，BD 交于点M.填空： ①ACBD的值为________； ②∠AMB 的度数为________； (2)类比探究如图②，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断ACBD 的值及∠AMB 的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD ＝1，OB ＝7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．【分析】 (1)①证明△COA≌△DOB(SAS)，得AC ＝BD ，比值为1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理，得∠AMB＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°；(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则AC BD ＝OCOD ＝3，由全等三角形的性质得∠AMB 的度数；(3)正确画出图形，当点C 与点M 重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得△AOC∽△BOD，则∠AMB ＝90°，ACBD ＝3，可得AC 的长．【自主解答】解：(1)问题发现①1【解法提示】∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠COA＝∠DOB. ∵OC＝OD ，OA ＝OB ， ∴△COA≌△DOB(SAS)， ∴AC＝BD ， ∴ACBD＝1. ②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO＝∠DBO. ∵∠AOB＝40°， ∴∠OAB＋∠ABO＝140°，在△AMB 中，∠AMB＝180°－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°. (2)类比探究ACBD＝3，∠AMB＝90°，理由如下： 在Rt△OCD 中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°， ∴OD OC ＝tan 30°＝33， 同理，得OB OA ＝tan 30°＝33，∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝BOD ， ∴△AOC∽△BOD， ∴AC BD ＝OCOD＝3，∠CAO＝∠DBO. ∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB－MBA ＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°. (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时，如解图①， 同理得△AOC∽△BOD， ∴∠AMB＝90°，ACBD ＝3，设BD ＝x ，则AC ＝3x ， 在Rt△COD 中，∵∠OCD＝30°，OD ＝1， ∴CD＝2， ∴BC＝x －2.在Rt△AOB 中，∠OAB＝30°，OB ＝7. ∴AB＝2OB ＝27，在Rt△AMB 中，由勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2， 即( 3 x)2＋(x －2)2＝(27)2， 解得x 1＝3，x 2＝－2(舍去)， ∴AC＝33；②点C 与点M 重合时，如解图②，同理得：∠AMB＝90°，ACBD ＝3，设BD ＝x ，则AC ＝3x ，在Rt△AMB 中，由勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2， 即(3x)2＋(x ＋2)2＝(27)2解得x 1＝－3，解得x 2＝2(舍去)． ∴AC＝2 3.综上所述，AC 的长为33或2 3.图①图② 例1题解图1．(2016·河南) (1)发现如图①，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b.填空：当点A 位于________________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为__________(用含a ，b 的式子表示)． (2)应用点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1，如图②所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE.①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值． (3)拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且PA ＝2，PM ＝PB ，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．2．(2015·河南)如图①，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. (1)问题发现①当α＝0°时，AE BD ＝2；②当α＝180°时，AE BD ＝2；(2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AEBD 的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．(3)解决问题当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．3．(2014·河南) (1)问题发现如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE. 填空：①∠AEB 的度数为__________；②线段AD ，BE 之间的数量关系为______________． (2)拓展探究如图②，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由． (3)解决问题如图③，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．4．(2018·南阳二模)在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC.(1)操作发现若AB＝AC，∠BAC＝90°，当D在线段BC上时(不与点B重合)，如图①所示，请你直接写出线段CE和BD 的位置关系和数量关系是______________，______________；(2)猜想论证在(1)的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断(1)中结论是否成立，并证明你的判断．(3)拓展延伸如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于________度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C，E重合除外)？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC＝32时，请直接写出线段CF的长的最大值是____．5．已知，如图①，△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，∠BAC＝∠AED＝90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.(1)问题发现①如图①，OFEC＝_______；②将△AED 绕点A 逆时针旋转45°，如图②，OFEC ＝_______；(2)类比延伸将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转到如图③所示的位置，请计算出OFEC 的值，并说明理由．(3)拓展探究将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，0°≤α≤90°，AD ＝2，△AED 在旋转过程中，存在△ACD 为直角三角形，请直接写出线段CD 的长．类型二 图形面积关系问题(2017·河南)如图①，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． (1)观察猜想图①中，线段PM 与PN 的数量关系是________，位置关系是________； (2)探究证明把△AD E 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图①图② 例2题图【分析】 (1)利用三角形的中位线定理得出PM ＝12CE ，PN ＝12BD ，进而判断出BD ＝CE ，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE，继而得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；(2)先判断出△ABD≌△ACE，得出BD ＝CE ，同(1)的方法得出PM ＝12BD ，PN ＝12BD ，即可得出PM ＝PN ，同(1)的方法即可得出结论；(3)先判断出MN 最大时，△PMN 的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大＝AM ＋AN ，最后用面积公式即可得出结论． 【自主解答】解：(1)∵点P ，N 是BC ，CD 的中点， ∴PN∥BD，PN ＝12BD.∵点P ，M 是CD ，DE 的中点， ∴PM∥CE，PM ＝12CE.∵AB＝AC ，AD ＝AE ， ∴BD ＝CE ， ∴PM＝PN. ∵PN∥BD， ∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCA. ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，(2)由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC ，AD ＝AE ， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠ABD＝∠ACE，BD ＝CE.同(1)的方法，利用三角形的中位线定理，得PN ＝12BD ，PM ＝12CE ，∴PM＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形， 同(1)的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE， 同(1)的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC.∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD ＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC. ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB＋∠ABC＝90°， ∴∠MPN＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形，例2题解图(3)如解图，同(2)的方法得，△PMN 是等腰直角三角形， ∴当MN 最大时，△PMN 的面积最大， ∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面， ∴MN 最大＝AM ＋AN ， 连接AM ，AN ，在△ADE 中，AD ＝AE ＝4，∠DAE＝90°，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝10，AN ＝52， ∴MN 最大＝22＋52＝72，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×(72)2＝492.1．(2013·河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E ＝30°. (1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是______________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是______________． (2)猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想． (3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D 是角平分线上一点，BD ＝CD ＝4，DE∥AB 交BC 于点E(如图④)．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF ＝S △BDE ，请直接写出相应的BF 的长．2．已知Rt△ABC 中，BC ＝AC ，∠C＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF＝90°，将∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC ，CB(或它们的延长线)于E ，F.当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时，如图①所示，试证明S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC .(1)当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明理由．(2)直接写出图③中，S△DEF，S△CEF与S△ABC之间的数量关系．3．(2018·郑州模拟)如图①所示，将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置，连接DE，BG. (1)图中∠DCE＋∠BCG＝__________°；设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，则S1与S2的数量关系为______________；猜想论证：(2)如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连接DE，BG，设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，猜想S1和S2的数量关系，并加以证明；(3)如图③所示，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，∠B＝30°，把△ABC沿AC翻折得到△AEC，过点A作AD 平行CE交BC于点D，在线段CE上存在点P，使△ABP的面积等于△ACD的面积，请写出CP的长．4．(2018·驻马店一模)如图①，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN.(1)观察猜想图①中，PM与PN的数量关系是______________，位置关系是______________；(2)探究证明将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD分别交于点G，H，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△CDE绕点C任意旋转，若AC＝4，CD＝2，请直接写出△PMN面积的最大值．参考答案类型一 针对训练1．解：(1)∵点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b ，∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC ＋AB ＝a ＋b. (2)①CD＝BE ，理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形， ∴AD＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB. 在△CAD 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ∠CAD＝∠EAB AC ＝AE ，∴△CAD≌△EAB，∴CD＝BE.②∵线段BE 长的最大值等于线段CD 的最大值，由(1)知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上， ∴线段BE 长的最大值为BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝4；(3)∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN ，如解图①， 则△APN 是等腰直角三角形， ∴PN＝PA ＝2，BN ＝AM.∵点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)， ∴OA＝2，OB ＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值，∴当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值为AB＋AN.∵AN＝2AP＝22，∴线段AM的长最大值为22＋3.如解图②，过点P作PE⊥x轴于点E.∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2，∴OE＝BO－AB－AE＝5－3－2＝2－2，∴P(2－2，2)．图①图②第1题解图2．解：(1)①当α＝0°时，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝（8÷2）2＋82＝4 5.∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝45÷2＝25，BD＝8÷2＝4，∴AEBD＝254＝52.②如解图①，当α＝180°时，得可得AB∥DE，∵ACAE＝BCBD，∴AEBD＝ACBC＝458＝52.(2)当0°≤α≤360°时，AEBD的大小没有变化．∵∠ECD＝∠ACB， ∴∠ECA＝∠DCB. 又∵EC DC ＝AC BC ＝52，∴△ECA∽△DCB， ∴AE BD ＝EC DC ＝52.图①图②图③ 第2题解图(3)①如解图②，∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD，∴AD＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8. ∵AD＝BC ，AB ＝DC ，∠B＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形， ∴BD＝AC ＝4 5.③如解图③，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ， ∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD，∴A D ＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8， ∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点， ∴DE＝12AB ＝12×(8÷2)＝12×4＝2，∴AE＝AD －DE ＝8－2＝6， 由(2)，可得AE BD ＝52，∴BD＝652＝1255.综上所述，BD 的长为45或1255. 3．解：(1)∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形， ∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACD＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC. ∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC＝120°， ∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°. ②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE. (2)∠AEB＝90°，AE ＝BE ＋2CM. 理由如下：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝90°. ∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CB ∠ACD＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD＝BE ，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CD E ＝∠CED＝45°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°. ∵CD＝CE ，CM⊥DE，∴DM＝ME. ∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME ＝CM ， ∴AE＝AD ＋DE ＝BE ＋2CM.(3)∵PD＝1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴点P是这两圆的交点．①当点P在如解图①所示位置时，连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝2.∵DP＝1，∴BP＝ 3.∵∠BPD＝∠BAD＝90°，∴点A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB＝∠ADB＝45°.∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B，E，P共线，AH⊥BP，∴由(2)中的结论可得：BP＝2AH＋PD，∴3＝2AH＋1，∴AH＝3－1 2；②当点P在如解图②所示位置时，连接PD、PB、PA、作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，同理可得：BP＝2AH－PD，∴3＝2AH－1，∴AH＝3＋1 2.综上所述，点A到BP的距离为3－12或3＋12.图①图② 第3题解图4．解：(1)①∵AB＝AC ，∠BAC＝90°， 线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ， ∴AD＝AE ，∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴CE＝BD ，∠ACE ＝∠B， ∴∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝90°，∴线段CE ，BD 之间的位置关系和数量关系为CE ＝BD ，CE⊥BD； (2)(1)中的结论仍然成立．证明如下： 如解图①，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ， ∴AE＝AD ，∠DAE＝90°. ∵AB＝AC ，∠BAC＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△ACE≌△ABD， ∴CE＝BD ，∠ACE＝∠B， ∴∠BCE＝90°，∴线段CE ，BD 之间的位置关系和数量关系为CE ＝BD ，CE⊥BD； (3)45°；34.过A 作AM⊥BC 于M ，过点E 作EN⊥MA 交MA 的延长线于N ，如解图②. ∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ， ∴∠DAE＝90°，AD ＝AE ，∴∠NAE＝∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA， ∴NE＝AM.∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠MCE＝90°， ∴四边形MCEN 为矩形， ∴NE＝MC ，∴AM＝MC ， ∴∠ACB＝45°. ∵四边形MCEN 为矩形，∴Rt△AMD∽Rt△DCF， ∴MD CF ＝AMDC，设DC ＝x ， ∵在Rt△AMC 中，∠ACB＝45°，AC ＝32， ∴AM＝CM ＝3，MD ＝3－x ，∴3－x CF ＝3x ，∴CF＝－13x 2＋x ＝－13(x －32)2＋34，∴当x ＝32时，CF 有最大值，最大值为34.故答案为45°，34；图①图② 第4题解图5．解：(1)①∵△A BC ，△AED 是两个全等的等腰直角三角形， ∴AD＝BC.∵O 为BC 的中点，F 为AD 的中点， ∴AF＝OC.∵∠BAC＝∠AED＝90°，AB ＝AC ，AE ＝DE ， ∴∠DAE＝∠CBA＝45°， ∴AD∥BC，∴四边形AFOC 是平行四边形， ∴OF＝AC ＝22EC ，∴OF EC ＝22； 故答案：22； ②∵AO＝22AC ，∠BAO＝∠CAO＝45°，∠DAE＝45°， ∴∠DAE＝∠CAO.∵AE＝AC ， ∴AF＝AO ， ∴AF AE ＝AO AC， ∴△AFO∽△AEC， ∴OF EC ＝AO AC ＝22； 故答案：22. (2)OF ＝22EC. 理由：在等腰直角△ADE 中，F 为AD 的中点， ∴AF＝12AD ＝22AE.在等腰直角△ABC 中，O 为BC 的中点， 如解图①，连接AO ， ∴AO＝22AC ，∠BAO＝∠CAO＝45°. ∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠CAO，即∠DAO＝∠CAE. ∵AE＝AC ， ∴AF＝AO ， ∴AF AE ＝AO AC， ∴△AFO∽△AEC， ∴OF EC ＝AO AC ＝22； (3)∵△ABC 和△AED 是两个全等的等腰直角三角形， ∴AD＝BC ＝2， ∴ED＝AE ＝AB ＝AC ＝1，当△ACD 为直角三角形时，分两种情况：图①图②图③ 第5题解图①当AD 与AB 重合时，如解图②，连接CD. 当△ACD 为直角三角形时，AD⊥AC， 即将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°. ∵AD＝2，AC ＝1，∴由勾股定理可得CD ＝（2）2＋12＝3； ②当AE 与AC 重合时，如解图③， 当△ACD 为直角三角形时，AC⊥CD，即将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°，此时CD ＝AC ＝1. 综上所述，CD 的长为3或1. 类型二 针对训练1．解：(1)①△DEC 绕点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上， ∴AC＝CD.∵∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°. ∴△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠CDE， ∴DE∥AC；②∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴CD＝AC ＝12AB ，∴BD＝AD ＝AC ，根据等边三角形的性质，△ACD 的边AC ，AD 上的高相等，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2； (2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到，∴BC＝CE ，AC ＝CD ，∠DCE＝∠ACB＝90°， ∵∠ACN＋∠ACE＝180°， ∴∠ACN＝∠DCM.在△ACN 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACN＝∠DCM，∠N＝∠CMD＝90°，AC ＝CD∴△ACN≌△DCM(AAS)， ∴AN＝DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2；第1题解图(3)如解图，过点D 作DF 1∥BE 交BA 于点F 1，易求得四边形BEDF 1是菱形，∴BE＝DF 1，且BE ，DF 1边上的高相等，此时S△DCF 1＝S △BDE ； 过点D 作DF 2⊥BD.∵∠ABC＝60°，F 1D∥BE 交BA 于点F 2， ∴∠F 2F 1D ＝∠ABC＝60°.∵BF 1＝DF 1，∠F 1BD ＝12∠ABC＝30°，∠F 2DB ＝90°，∴∠F 1DF 2＝∠ABC＝60° ∴△DF 1F 2是等边三角形， ∴DF 1＝DF 2.∵BD＝CD ，∠ABC＝60°，点D 是角平分线上一点， ∴DBC＝∠DCB＝12×60°＝30°，∴∠CDF 1＝180°－∠BCD＝180°－30°＝150°， ∠CDF 2＝360°－150°－60°＝150°， ∴∠CDF 1＝∠CDF 2. 在△CDF 1和△CDF 2中， ⎩⎪⎨⎪⎧DF 1＝DF 2∠CDF 1＝∠CDF 2CD ＝CD， ∴△CDF 1≌△CDF 2(SAS)，∴点F 2也是所求的点． ∵∠ABC＝60°，点D 是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝12×60°＝30°.又∵BD＝4，∴BE＝12×4÷cos 30°＝2÷32＝433，∴BF 1＝433，BF 2＝BF 1＋F 1F 2＝433＋433＝833.故BF 的长为433或833.2．解：当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 时，四边形CEDF 是正方形；设△ABC 的边长AC ＝BC ＝a ，则正方形CEDF 的边长为12a ，∴S △ABC ＝12a 2，S 正方形CEDF ＝(12a)2＝14a 2，即S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC ；(1)上述结论成立；理由如下： 连接CD ，如解图①所示．∵AC＝BC ，∠ACB＝90°，D 为AB 中点，∴∠B＝45°，∠DCE＝12∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD ＝12AB ＝BD ，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90° ∵∠EDF＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△CDE 和△BDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2CD ＝BD∠DCE＝∠B， ∴△CDE≌△BDF(ASA)，∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝12S △ABC ；图①图② 第2题解图(2)S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC ；理由如下：连接CD ，如解图②所示，同(1)得：△DEC≌△DFB，∠DCE＝∠DBF ＝135°， ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ， S △CFE ＋S △DBC ， ＝S △CFE ＋12S △ABC ，∴S △DEF －S △CFE ＝12S △ABC .∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC .3．解：(1)如解图①中，∵四边形ABCD 、EFGC 都是正方形， ∴∠BCD＝∠ECG＝90°.∵∠BCG＋∠BCD＋∠DCE＋∠ECG＝360°， ∴∠BCG＋∠ECD＝180°.图①图②图③ 第3题解图如解图①，过点E 作EM⊥DC 于点M ，过点G 作GN⊥BN 交BN 的延长线于点N ， ∴∠EMC＝∠N＝90°.∵四边形ABCD 和四边形ECGF 均为正方形， ∴∠BCD＝∠DCN＝∠ECG＝90°，CB ＝CD ，CE ＝CG ， ∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2， ∴∠1＝∠3. 在△CME 和△CNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC＝∠GNC ∠1＝∠3EC ＝CG， ∴△CME≌△CNG(ASA)， ∴EM＝GN.又∵S 1＝12CD·EM，S 2＝12CB·GN，∴S 1＝S 2；故答案为180°，S 1＝S 2； (2)猜想：S 1＝S 2，证明：如解图②，过点E 作EM⊥DC 于点M ，过点B 作BN⊥GC 交GC 的延长线于点N ， ∴∠EMC＝∠N＝90°.∵矩形CGFE 由矩形ABCD 旋转得到的， ∴CE＝CB ，CG ＝CD ，∵∠ECG＝∠ECN＝∠BCD＝90°，∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2，∴∠1＝∠3. 在△CME 和△CNB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC＝∠BNC ∠1＝∠3EC ＝CB， ∴△CME≌△CNB(AAS)． ∴EM＝BN.又∵S 1＝12CD·EM，S 2＝12CG ·BN ，∴S 1＝S 2;(3)如解图③，作DM⊥AC 于M ，延长BA ，交EC 于N ， ∵AB＝AC ＝10 cm ，∠B＝30°， ∴∠ACB＝∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝120°，根据翻折的性质，得∠ACE＝∠ACB＝30°， ∵AD∥CE，∴∠DAC＝∠ACE＝30°， ∴∠BAD＝90°，DM ＝12AD ，∴BN⊥EC.∵AD＝tan∠ABD·AB，AB ＝10 cm ， ∴AD＝tan 30°×10＝103 3 (cm)，∴DM＝12×1033＝533(cm)．∵S △ABP ＝12AB·PN，S △ADC ＝12AC·DM，S △ABP ＝S △ADC ，AB ＝AC ，∴PN＝DM ＝533.在Rt△ANC 中，∠ACN＝30°，AC ＝10 (cm)， ∴NC＝cos∠ACN·AC＝cos 30°×10＝53(cm)． ∵在EC 上到N 的距离等于533的点有两个，∴P′C＝103 3 cm ，P ″C ＝203 3 cm.∴CP 的长为103 3 cm 或203 3 cm.4．解：(1)PM ＝PN ，PM⊥PN，理由如下： 如解图①，延长AE 交BD 于O ， ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形， ∴AC＝BC ，EC ＝CD ，∠ACB＝∠ECD＝90°. 在△ACE 和△BCD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD＝90°，CE ＝CD ，∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴AE＝BD ，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC＋∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEO， ∴∠CBD＋∠BEO＝90°， ∴∠BOE ＝90°，即AE⊥BD，∵点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点， ∴PM＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM＝PN.∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC，∠EAC＋∠BDC＝90°， ∴∠MPA＋∠NPC＝90°， ∴∠MPN＝90°， 即PM⊥PN.图①图② 第4题解图(2)△PMN 为等腰直角三角形，理由如下： 如解图②，设AE 交BC 于点O. ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形， ∴AC＝BC ，EC ＝CD ，∠AC B ＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD ，∠CAE ＝∠CBD. 又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD， ∴∠BHO＝∠ACO＝90°.∵点P ，M ，N 分别为AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM＝12BD ，PM∥BD，PN ＝12AE ，PN∥AE，∴PM＝PN ，∴∠MGE＋∠BHA＝180°， ∴∠MGE＝90°， ∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN，即△PMN 为等腰直角三角形．(3)由(2)可知△PMN 是等腰直角三角形，PM ＝12BD ，∴当BD 的值最大时，PM 的值最大，△PMN 的面积最大， ∴当B ，C ，D 共线时，BD 的最大值为BC ＋CD ＝6， ∴PM＝PN ＝3，∴△PMN 面积的最大值为12×3×3＝92.。

专题七类比探究题类型一线段数量关系问题(20 (2018河南)(1)问题发现如图①，在4 OAB 和^OCD 中，OA = OB, OC=OD, Z AOB = Z COD = 40°,连接AC, BD 交于点M.填空：①黑的值为_________ ;BD②/ AMB的度数为;(2)类比探究如图②，在^ OAB 和^OCD 中，Z AOB = Z COD =90°, / OAB = / OCD = 30°,连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断需的值及/ AMB的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将^ OCD绕点O在平面内旋转，AC, BD所在直线交于点M,若OD = 1 , OB=<7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.图①图②备用图例1题图【分析】(1)①证明△ COA^A DOB(SAS),得AC = BD,比值为1;②由△COA^^DOB,得/CAO = /DBO,根据三角形的内角和定理，得/ AMB = 180° — (/DBO + / OAB + Z ABD)=180° —140 =40°;.................................................. AC OC(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC S^BOD,则BD=OD=M3，由全等二角形的性质得/ AMB的度数；⑶正确画出图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得^ AOCs^ BOD,则/ AMB = 90°, AC=43,可得AC 的长.BD【自主解答】 解：(1)问题发现①1【解法提示】AOB = Z COD =40°, ・ ./ COA=Z DOB. OC= OD, OA = OB,・ .△ COA^A DOB(SA§, AC= BD , . AC =1"BD -②40°【解法提示】△ COA^A DOB , ・ ./ CAO = Z DBO. ・ ••/ AOB = 40 , ・ ./ OAB + Z ABO = 140 ,在△ AMB 中，ZAMB=180 -(ZCAO+Z OAB + Z ABD) = 180 - ( Z DBO + Z OAB + Z ABD) = 180° - 140=40 . (2)类比探究^-= >/3, Z AMB= 90 ,理由如下:在 RtA OCD 中，Z DCO =30 , Z DOC = 90 ,OD—=tan 30 OC同理，得器=tan30 =*,AOB = Z COD = 90 ,A AOC^A BOD,••.Z AMB = 180 -Z CAO-Z OAB —MBA= 180,—(/DAB + / MBA+Z OBD)= 180 - 90 = 90°. (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时，如解图①, 同理得△ AOC^A BOD,.-.Z AMB = 90 , —在 RtA COD 中,・ . / OCD= 30°, OD = 1 , CD= 2,. AC = QC = BD OD 7L CAO = Z DBO.BC=x—2.在Rt^AOB 中，/OAB=30°, OB = yj7.・. AB = 2OB= 2卡,在RtAAMB中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2,即(3 x)2+ (x- 2)2= (2 7)2,解得Xi=3, X2= —2(舍去)，・•. AC=373;②点C与点M重合时，如解图②，同理得：/ AMB =90°, AC=W，设BD = x,则AC=43x,在RtAAMB中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2,即(淄x)2+(x+2)2= (277)2解得xi=- 3,解得x2=2(舍去).AC=2V3.综上所述，AC的长为3^3或273.1.（2016 河南）（1）发现如图①，点A为线段BC外一动点，且BC=a, AB=b.填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a, b的式子表示）.2 (2015河南)如图①，在RtAABC中，/ B=90°, BC=2AB=8,点D, E分别是边BC, AC的中点，连接口£.将4 EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为 a (1)问题发现(2)应用点A 为线段BC 外一动点，且 等边三角形 ACE,连接CD, BE.①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段 BE 长的最大值.(3)拓展如图③，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2,PA=2, PM = PB, / BPM =90°,请直接写出线段BC=3, AB=1,如图②所示，分别以 AB, AC 为边，作等边三角形 ABD 和0),点B 的坐标为(5, 0),点P 为线段AB 外一动点，且 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标.(3)解决问题当4EDC旋转至A, D, E三点共线时，直接写出线段BD的长.图①3.(2014 河南)(1)问题发现如图①，△ ACB和4DCE均为等边三角形，点A, D, E在同一直线上，连接BE.填空：①/ AEB的度数为;②线段AD, BE之间的数量关系为 .(2)拓展探究如图②，△ ACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ ACB = / DCE=90°,点A, D, E在同一直线上，CM 为4DCE中DE边上的高，连接BE,请判断/ AEB的度数及线段CM, AE, BE之间的数量关系，并说明理由.(3)解决问题如图③，在正方形ABCD中，CD = <2,若点P满足PD=1,且/ BPD=90°,请直接写出点A到BP的距4.(2018南阳二模)在△ ABC中，/ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD ,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接EC.(1)操作发现若AB = AC, /BAC = 90°,当D在线段BC上时(不与点B重合)，如图①所示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是 , ;(2)猜想论证在(1)的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断(1)中结论是否成立，并证明你的判断.(3)拓展延伸如图③，若AB+C, /BACW90；点D在线段BC上运动，试探究：当锐角/ ACB等于度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C, E重合除外)？此时若作DFLAD交线段CE于点F,且当AC =3位时，请直接写出线段CF的长的最大值是.图①图②图③5.已知，如图①，△ ABC, AAED是两个全等的等腰直角三角形（其顶点B, E 重合），/BAC = /AED = 90°,。

专项训练1．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在ABC △中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是 ，NB 与MC 的数量关系是 ；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△111A B C 中，118A B =，11160A B C ∠=︒，11175B AC ∠=︒，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75︒，得到线段1AQ ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．2．在图1，2，3中，已知ABCD ，120ABC ∠=︒，点E 为线段BC 上的动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形AEFG ，且120EAG ∠=︒．（1）如图1，当点E 与点B 重合时，CEF ∠= ︒；（2）如图2，连接AF ．①填空：FAD ∠ EAB ∠（填“>”，“ <”，“=” )；②求证：点F 在ABC ∠的平分线上；（3）如图3，连接EG ，DG ，并延长DG 交BA 的延长线于点H ，当四边形AEGH 是平行四边形时，求BC AB的值．3．【问题探究】（1）如图1，ABC △和DEC △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点B ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BD ．①请探究AD 与BD 之间的位置关系： ；②若10AC BC ==，2DC CE ==，则线段AD 的长为 ；【拓展延伸】（2）如图2，ABC ∆和DEC ∆均为直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，21AC =，7BC =，3CD =，1CE =．将DCE △绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角BCD ∠为(0360)αα︒<︒，作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．4．如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且2AB BC=，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DM MG⊥，并求MBMG的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设2(090)EABαα∠=<<︒，其它条件不变，问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．5．如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线上，60BAD ∠=︒，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转(030)αα︒<<︒，得到菱形AB C D '''，B C ''交对角线AC 于点M ，C D ''交直线l 于点N ，连接MN ．（1）当//MN B D ''时，求α的大小．（2）如图2，对角线B D ''交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长C B ''交AB 于点E ，连接EH ．当HEB '△的周长为2时，求菱形ABCD 的周长．6．思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD AB ∥交AP 的延长线于点D ，此时测得200CD =米，那么A ，B 间的距离是米．思维探索：（2）在ABC △和ADE △中，AC BC =，AE DE =，且AE AC <，90ACB AED ∠=∠=︒，将ADE △绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时ADE △的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当ADE △在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ；②如图3，当90α=︒时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当150α=︒时，若3BC =，1DE =，请直接写出2PC 的值．7．综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD 沿对角线AC 所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C 的直线折叠，使点B ，点D 都落在对角线AC 上．此时，点B 与点D 重合，记为点N ，且点E ，点N ，点F 三点在同一条直线上，折痕分别为CE ，CF ．如图2．第二步：再沿AC 所在的直线折叠，ACE △与ACF △重合，得到图3． 第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C 与点F 重合，如图4，展开铺平，连接EF ，FG ，GM ，ME ．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，BEC 的度数是，AE BE的值是 ． （2）在图5中，请判断四边形EMGF 的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形： ．8．如图，在直角坐标系中，直线132y x=−+与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为1x=的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC△相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．题9．已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当3MN =时，求点M 的坐标．10．如图，抛物线2542y mx mx =−−与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，与y 轴交于点C ，且21112x x −=． （1）求抛物线的解析式；（2）若1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 是抛物线上的两点，当12a x a +，292x 时，均有12y y ，求a 的取值范围；（3）抛物线上一点(1,5)D −，直线BD 与y 轴交于点E ，动点M 在线段BD 上，当BDC MCE ∠=∠时，求点M 的坐标．11．如图，抛物线2y ax bx c =++经过(3,0)A −，(1,0)B ，(0,3)C 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC △面积为3，求点P 的坐标；（3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与ABC △相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴、y 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B −，且过点(2,2)C −．（1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PBA S =△，求点P 的坐标；（3）在抛物线上(AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．13．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A −，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）BCD △的面积等于AOC △的面积的34时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点(2,3)D −−和点(3,2)E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点(0,1)F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且22MN =，动点Q 从点P 出发，沿P M N A →→→的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线233373848y x x =+−与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，CAD ∆绕点C 顺时针旋转得到CFE ∆，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作1DD x ⊥轴于点1D ，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM x ⊥轴，点M 为垂足，使得PAM △与1DD A △相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标；②直接回答这样的点P 共有几个？。

G F E D C B A D A B M C N M C B A A B C E FM AB=AC D B C D'A 中考数学类比探究专题复习一：知识点睛1.类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．2.类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题．3.常见结构：①平行结构 ②直角结构 ③旋转结构④中点结构 平行夹中点 (类)倍长中线 中位线二：真题演练 （2015?潜江1.24．（10分））已知∠MAN=135°，正方形ABCD 绕点A 旋转． （1）当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，连接MN ．①如图1，若BM=DN ，则线段MN 与BM+DN 之间的数量关系是 MN=BM+DN ；②如图2，若BM≠DN ，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的内部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与直线BD 交于点M ，N ，探究：以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．2.（2015?贵港26．（10分））已知：△ABC 是等腰三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰三角形PCQ ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P 在线段AB 上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB= ，PC= 2 ；②猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为 ；（2）如图②，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P 满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）3、（2015?齐齐哈尔26．（8分））如图1所示，在正方形ABCD 和正方形CGEF 中，点B 、C 、G 在同一条直线上，M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交EF 于点N ，连接FM ，易证：DM=FM ，DM ⊥FM （无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．4、（2015?黑龙江龙东地区26．8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．5、（2015?牡丹江26．（8分））已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM；（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M 在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM=．6、（2015?哈尔滨26．（10分））AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan∠D=，求线段AH的长．7、（2015荆州，22．（9分））如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．8、（2015?宿迁25．（10分））已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA?EC=EB?ED；（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD?AC=2BD?BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．9、（2015?锦州25．（12分））如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF=AD；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．10、（2015?本溪25．（12分））如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD=∠ABD （填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是BD=CD+AD；（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=AD；（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．11、（2015抚顺，25．）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）12、（2015阜新，17．）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图b，求证：BE⊥DQ；②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．13、（2015?葫芦岛25．（12分））在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．14、（2015铁岭，25．）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．15、（2015?营口25．（14分））【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．。

类比、拓展综合训练1.如图①，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，在AD边上取一点E，使AE＝3，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N 落在CD上，点M落在矩形ABCD内或其边上，连接BM.(1)当四边形EFMN是正方形时，求AF的长；(2)设△BFM的面积为S，AF＝x.①写出S与x之间的函数关系式；②在图②、图③中分别画出S取得最大值和最小值时相应的图形，当S由最大值变到最小值时，求点M运动的路线长．第1题图解：(1)在正方形EFMN中，∠FEN＝90°，EF＝EN；∴∠DEN＋∠AEF＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEN＝∠AFE，在△DEN与△AFE中，∠D=∠A，∠DEN=∠AFE，EN=FE，∴△DEN≌△AFE(AAS)．∴AF＝DE＝8－3＝5，∴AF的长为5；(2)①如解图①，过点M 作MH ⊥AB 于点H ，连接NF .第1题解图①在矩形ABCD 中， ∵AB ∥CD ， ∴∠DNF ＝∠NFB . ∵四边形EFMN 是菱形， ∴NE ∥MF ，NE ＝MF ， ∴∠ENF ＝∠MFN ，∴∠DNF －∠ENF ＝∠NFB －∠MFN ， 即∠DNE ＝∠MFB ， 在△DEN 与△HMF 中，∠D =∠MHF =90°，∠DNE =∠MFB ，EN =MF ， ∴△DEN ≌△HMF (AAS )， ∴MH ＝DE ＝5， 又∵BF ＝16－x ，∴S ＝12BF ·MH ＝12(16－x )×5＝－52x ＋40；②当点D 与N 重合时，S 最大(如解图②)，第1题解图②第1题解图③此时DE ＝EF ＝5，由勾股定理得AF ＝4， 当点M 落在BC 上时，S 最小(如解图③)，由①得MB ＝DE ＝5，∵点M 到AB 的距离是定值5，∴点M 运动的路径是一条线段21M M (如解图④)，第1题解图④∴21M M ＝B F 1＝16－4＝12. ∴点M 运动的路线长为12.2.在Rt △ACB 和Rt △AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE . 特殊发现：如图①，若点E ，F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立(不要求证明)． 问题探究：把图①中的△AEF 绕着点A 顺时针旋转．(1)如图②，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图③，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记BCAC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？(请直接写出k 的值，不必说明理由)第2题图解：(1)PC ＝PE 成立．证明：如解图①，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，第2题解图①∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ， ∴EF ∥MP ∥CB ， ∴PB FP MC EM ， ∵点P 是BF 的中点， ∴EM ＝MC ， 又∵PM ⊥CE ， ∴PC ＝PE ; (2)PC ＝PE 成立．证明：如解图②，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，由旋转性质可得∠DAF ＝∠EAF ，第2题解图②∵∠FDA ＝∠FEA ＝90°， 在△DAF 和△EAF 中，∠DAF =∠EAF ，∠FDA =∠FEA ，AF =AF ， ∴△DAF ≌△EAF (AAS )， ∴AD ＝AE ，在△DAP 和△EAP 中，AD =AE ,∠DAP =∠EAP ，AP =AP ， ∴△DAP ≌△EAP (SAS )， ∴PD ＝PE ，∵FD ⊥AC ，PM ⊥AC ，BC ⊥AC ， ∴FD ∥PM ∥BC ， ∴PB FP MC DM ， ∵点P 是BF 的中点， ∴DM ＝MC ， 又∵PM ⊥AC ， ∴PC ＝PD ， ∴PC ＝PE ； (3)33. 【解法提示】如解图③，第2题解图③∵△CPE 总是等边三角形，∴将△AEF 绕着点A 顺时针旋转180°，△CPE 仍是等边三角形，∵∠BCF ＝∠BEF ＝90°，点P 是BF 的中点，∴点C ，E 在以点P 为圆心，BF 为直径的圆上，∵△CPE 是等边三角形，∴∠CPE ＝60°，根据圆周角定理，可得∠CBE ＝12∠CPE ＝30°，即∠ABC ＝30°，在Rt △ABC 中，BCAC ＝k ＝tan 30°，∴k ＝33，即当k 为33时，△CPE 总是等边三角形．3.(1)阅读理解：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAD 的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证△AEB ≌△FEC ，得到AB ＝FC ，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系为________；(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；(3)问题解决：如图③，AB ∥CF ，AE 与BC 交于点E ，BE ∶EC ＝2∶3，点D 在线段AE 上，且∠EDF ＝∠BAE ，试判断AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．第3题图解：(1)AB ＋CD ＝AD . 【解法提示】∵AB ∥CD ， ∴∠BAE ＝∠CFE ，∵E 是CB 的中点，∴BE ＝CE ，∵∠AEB ＝∠FEC ，∴△ABE ≌△FCE (AAS )，∴CF ＝AB ， ∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE ＝∠BAE ， ∴∠DAE ＝∠DF A ， ∴AD ＝DF ，∴AD ＝CD ＋CF ，即AD ＝AB ＋DC ； (2)AF ＝AB －CF .证明如下：如解图①，延长DF 交AE 延长线于点M ，第3题解图①∵AB ∥DC ，∴∠ABE ＝∠MCE ，∠BAE ＝∠CME ， ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ， ∴△ABE ≌△MCE (AAS )，∴CM ＝AB ， ∴FM ＝CM －CF ＝AB －CF ， ∵AE 平分∠BAF ， ∴∠BAE ＝∠F AE ，∴∠F AE ＝∠M ，∴F A ＝FM ， ∴AF ＝AB －CF ； (3)AB ＝23(CF ＋DF )．证明如下：如解图②，延长CF ，AE 相交于M ，第3题解图②∵AB ∥CF ，∴∠BAE ＝∠CME ，∠ABE ＝∠MCE ， ∴△ABE ∽△MCE ，∴CE BE MC AB ＝23，∴CM ＝32AB ，∵∠EDF ＝∠BAE ， ∴∠FDM ＝∠FMD ，∴FD ＝FM ，∴CF ＋DF ＝CM ＝32AB ，∴AB ＝23(CF ＋DF )．4.在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D ＝180°，对角线AC 平分∠BAD . (1)如图①，若∠BAD ＝120°，且∠B ＝90°，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由；(2)如图②，若将(1)中的条件“∠B ＝90°”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由；(3)如图③，若∠BAD ＝90°，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由．第4题图解：(1)AC ＝AD ＋AB .理由如下： 由题意知∠B ＝90°， ∴∠D ＝90°，∵∠DAB ＝120°，AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠BAC ＝60°， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝30°， ∴AB ＝12AC ，AD ＝12AC ，∴AC ＝AD ＋AB ；(2)(1)中的结论成立，理由如下：如解图①，以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE ＝60°，∠ACE 的另一边交AB 的延长线于点E ，第4题解图①∵∠BAC ＝12∠BAD ＝12×120°＝60°，∴△AEC 为等边三角形， ∴AC ＝AE ＝CE ，∵∠D ＋∠ABC ＝180°，∠DAB ＝120°， ∴∠DCB ＝60°， ∴∠DCA ＋∠ACB ＝60°， 又∵∠BCE ＋∠ACB ＝60°，∴∠DCA＝∠BCE，∴△DAC≌△BEC(ASA)，∴AD＝BE，∴AE＝AB＋BE＝AB＋AD，∴AC＝AD＋AB；(3)AD＋AB＝2AC.理由如下：如解图②，过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，第4题解图②∵∠D＋∠ABC＝180°，∠DAB＝90°，∴∠BCD＝90°，∵∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠BCE.又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝45°，∠E＝45°，∴AC＝CE.又∵∠D＋∠ABC＝180°， ∠D＝∠CBE，∴△CDA≌△CBE(AAS)．∴AD＝BE，∴AE=AB+BE=AB+AD.在Rt△ACE中，∠CAB＝45°，∴AE＝2AC，∴AD＋AB＝2AC.5.我们定义：如图①，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(<︒0α︒<180)得到'AB，把AC绕点A逆时针旋转β得到'AC，连接''CB.当α＋β＝180°时，我们称''CAB△是△ABC的“旋补三角形”．''CAB△边''CB上的中线AD 叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知(1)在图②、图③中，''CAB△是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图②，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝____BC；②如图③，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为________；猜想论证（2）在图①中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.第5题图解：(1)①12；② 4；【解法提示】①由旋转可得到AB＝AB′＝AC＝AC′=BC，∵∠BAC＝60°,∠B′AB+∠C′AC=︒180，∴∠B′AC′＝120°，即∠AB′C′＝30°，又∵AD 为B ′C ′上的中线，∴AD ＝12AB ′＝12AB ＝12BC ； ②由“旋补三角形”定义可得：∠''AC B ＝90°，又由旋转得AB =AB ′，AC =AC ′，∴△''C AB ≌△ABC ，∴''C B ＝BC ，∴AD ＝12BC ＝4.第5题解图(2)猜想：AD ＝12BC . 证明：如解图①，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接B ′E ，EC ′.∵AD 是△ABC 的“旋补中线”，∴D B '＝D C '，∴四边形AB ′EC ′是平行四边形，∴'EC ∥A B '，EC ′＝A B '，∴∠E AC '＋∠''AC B ＝180°.由定义可知∠''AC B ＋∠BAC ＝180°，A B '＝BA ，AC ＝AC ′，∴∠E AC '＝∠BAC ，'EC ＝BA ，∴△E AC '≌△CAB ，∴AE ＝BC ，∵AD ＝12AE ，∴AD ＝12BC ； 6.问题背景如图①，在正方形ABCD 的内部，作∠DAE ＝∠ABF ＝∠BCG ＝∠CDH ，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF ≌△BCG ≌△CDH ，从而得到四边形EFGH 是正方形．类比探究如图②，在正△ABC 的内部，作∠BAD ＝∠CBE ＝∠ACF ，AD ，BE ，CF 两两相交于D ，E ，F 三点(D ，E ，F 三点不重合)．(1)△ABD ，△BCE ，△CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)△DEF 是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，△ABD 的三边存在一定的等量关系，设BD ＝a ，AD ＝b ，AB ＝c ，请探索a ，b ，c 满足的等量关系．第6题图解：(1)△ABD ≌△BCE ≌△CAF .证明：∵△ABC 是正三角形，∴∠CAB ＝∠ABC ＝∠BCA ＝60°，AB ＝BC ，∵∠ABD ＝∠ABC －∠2，∠BCE ＝∠ACB －∠3，又∵∠2＝∠3，∴∠ABD ＝∠BCE ，∵∠1＝∠2，∴△ABD ≌△BCE (ASA )；(2)△DEF 是正三角形．理由：∵△ABD ≌△BCE ≌△CAF ，∴∠ADB ＝∠BEC ＝∠CF A ，∴∠FDE ＝∠DEF ＝∠EFD ，∴△DEF 是正三角形；(3)如解图，作AG ⊥BD 交BD 延长线于点G ，第6题解图由△DEF 是正三角形得到∠ADG ＝60°，∴在Rt △ADG 中，DG ＝12b ，AG ＝32b ， ∵在Rt △ABG 中，AB 2＝BG 2＋AG 2，且BG ＝BD ＋DG ，即c 2＝(a ＋12b )2＋(32b )2， ∴c 2＝a 2＋ab ＋b 2. 7.有公共顶点B 的正方形ABCD 与等腰直角三角形BEF 叠放在一起，∠EBF =90°，AB ＞BE ，探究线段AE 与CF 之间的数量关系及位置关系. 独立思考 （1）请解答老师提出的问题.如图①，当等腰直角三角形的边BE ，BF 分别在正方形ABCD 的边BA ，BC 上时，你发现线段AE 与CF 之间的数量关系是，位置关系是 .拓展探究（2）将图①中的△BEF绕点B顺时针旋转一个锐角得到图②，则（1）中的两个结论是否仍然成立？作出判断并说明理由.拓展延伸（3）在图①中，连接DF，分别取DF，EF的中点M，N，连接MN，MC，得到图③，则线段MC与MN有何数量关系及位置关系？并说明理由.问题提出（4）“创新”小组在“拓展探究”的启发下，提出了如下问题：将图③中的△BEF绕点B顺时针旋转一个锐角得到图④，这时“拓展延伸”中的两个结论是否仍然成立？作出判断并说明理由.第7题图解：（1）AE=CF，AE⊥CF；（2）（1）中的两个结论仍然成立，理由：如解图①，延长AE，交CF于点G，交BC于点H，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，在等腰直角三角形BEF中，BE=BF，∠EBF=90°，∴∠ABC =∠EBF ，∴∠ABC −∠EBC =∠EBF −∠EBC ，即∠ABE =∠CBF ，∴△ABE ≌△CBF ，∴AE =CF ，∠BAE =∠BCF ，∵∠BAE +∠AHB =90°，∠AHB =∠CHG ，∴∠BCF +∠CHG =90°，∴AE ⊥CF ；（3）MC =MN ，MC ⊥MN .理由：如解图②，连接DE ，在正方形ABCD 中，∠A =∠ADC =∠BCD =90°，AB =BC =AD =DC ， 在等腰直角三角形BEF 中，BE =BF ，∴AB −BE =BC −BF ，即AE =CF ，∴△ADE ≌△CDF ，∴DE =DF ，∠CDF =∠ADE ，∵点M ，N 分别是DF ，EF 的中点，∴MN =21DE ，MN ∥DE ， ∴∠NMF =∠EDF ，在Rt △DCF 中，点M 是DF 的中点，∴CM =21DF =DM ， ∴MC =MN ，∠MDC =∠MCD ，∵∠CMF 是△DMC 的一个外角，∴∠CMF =∠MDC +∠MCD =2∠MDC =2∠CDF =∠CDF +∠ADE ，∴∠CMN =∠NMF +∠CMF =∠EDF +∠CDF +∠ADE =∠ADC =90°，∴MC ⊥MN ；第7题解图①第7题解图②（4）“拓展延伸”中的两个结论仍然成立.理由：如解图③，连接AE ，DE ，连接FC 并延长到点G ，使CG =FC ，连接DG ，在正方形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =∠BCD =∠ABC =90°，AB =BC =AD =DC ，在等腰直角三角形BEF 中，BE =BF ，∠EBF =90°，∴∠ABC −∠EBC =∠EBF −∠EBC ，即∠ABE =∠CBF ，∴△ABE ≌△CBF ，∴AE =CF ，∠BAE =∠BCF ，∵CG =FC ,∴AE =CG ,∵∠DAE =90°−∠BAE ， 且∠DCG =180°−∠BCD −∠BCF =90°−∠BCF ，∴∠DAE =∠DCG ，∴△DAE ≌△DCG ，∴DE =DG ，∠ADE =∠CDG ，∴∠EDG =∠CDG +∠EDC =∠ADE +∠EDC =90°，∴DE ⊥DG ，在△FED 中，点M ，N 分别是DF ，EF 的中点，∴MN =21DE ，MN ∥DE ，同理，MC =21DG ，MC ∥DG ，∴MC =MN ，MC ⊥MN .8.提出问题如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，AC =BC ，点E 、F 分别在AC 、BC 上，∠EDF =90°，则DE 与DF 的数量关系为；第7题解图③解决问题（2）如图②，AC =BC ，延长BC 到点F ，沿CA 方向平移线段CF 到EG ，且点G 在边BA 的延长线上，求证：DE =DF ，DE ⊥DF ；延伸问题（3）如图③，∠B =30°，延长BC 到点F ，沿CA 方向平移线段CF 到EG ,且点G 在边BA 的延长线上，直接写出线段DE 与DF 的位置关系和数量关系.第8题图（1）解：DE =DF ；【解法提示】∵∠EDC +∠CDF =∠EDF =90°，∠CDF +∠FDB =90°，∠EDC =∠FDB ，∵AC =BC ，CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠ECD =∠B =45°，CD =BD .在△EDC 和△FDB 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FDB EDC BD CD B ECD ∴△EDC ≌△FDB ，∴DE =DF . （2）证明：∵∠ACB =90°，AC =BC ，CD ⊥AB .∴DA =DB =DC ，∠ABC =∠BAC =∠ACD =∠BCD =45°，∴∠DAE =∠DCF =135°，由平移可知CF =EG ，EG ∥CF ,∵EG ∥CF ，∠ACB =90°，∴∠GEC =∠BCE =90°，且∠GAE =∠CAD =45°，∴EG =AE =CF ，在△DAE 和△DCF 中，AE CF DAE DCFDA DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAE ≌△DCF ，∴DE =DF ，∠ADE =∠CDF ，∴∠ADE +∠ADF =∠CDF +∠ADF =90°.∴∠FDE =∠CDA =90°.∴DE ⊥DF ；（3）解：DE ⊥DF ，DF =DE 3.【解法提示】由CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∠B =30°，可得∠ACD =30°，则有ADCD =3，由平移可知∠FGE =90°，FC =GE .CE ∥GF ，则有∠CAB =∠GAE =60°，∠AGE =90°−60°=30°，AE CF AE GE ==3.∴ADCD AE CF ==3，又∵∠FCD = ∠EAD =120°，∴△CFD ∽△AED ，∴EDFD =3，即DF =3DE ，∠ADE =∠CDF ，∴∠EDF =90°，∴DE ⊥DF .。