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凸包面积和周长的计算凸包是在平面上给定的一组点中构成的最小凸多边形。
凸包的面积和周长是计算凸包重要的指标，可以用来分析数据分布的紧密程度和形状特征。
本文将介绍凸包的定义和生成算法，并详细说明如何计算凸包的面积和周长。
一、凸包的定义凸包是指在平面上给定的一组点中，由这些点构成的最小凸多边形。
凸多边形的特点是：任意两点之间的线段都在多边形内部。
凸包是凸多边形中的最小面积的凸多边形，即是在所有凸多边形中，面积最小的凸多边形。
二、凸包的生成算法1. Jarvis算法（也叫作包裹算法或者旋转卡壳算法）：该算法基于以下思想：从一组点中找到一个起始点，将其作为凸包的一个顶点。
然后，从这个点开始，寻找下一个能保证凸包深度最大的点，并将其加入凸包。
不断重复这个过程，直到回到起始点为止。
该算法的时间复杂度为O(nh)，其中n是点的个数，h是凸包的顶点数。
2.快速凸包算法：该算法基于Graham扫描算法改进而来。
首先选择一个y坐标最小的点，将其他点按照与这个点的连线的极角进行排序。
然后依次处理排序后的点，对每个点进行判断，如果点在逆时针方向上，则加入凸包，否则舍弃。
最后得到凸包。
该算法的时间复杂度为O(nlogn)，是一种高效的凸包生成算法。
三、凸包面积的计算凸包的面积可以用以下公式进行计算：S = (x1y2 + x2y3 + ... + xn-1yn + xny1 - x2y1 - x3y2 - ... - xnyn-1 - x1yn) / 2其中，(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)是凸包的顶点的坐标。
计算凸包的面积可以通过以上公式进行求解，公式中的坐标是有顺序的，要按照逆时针或者顺时针的方向依次输入。
四、凸包周长的计算凸包的周长可以通过计算凸包顶点之间的距离之和来得到。
对于凸包的n个顶点，可以依次计算相邻顶点之间的距离，并将其累加得到凸包的周长。
保证计算的正确性需要注意以下几点：1.凸包的顶点要按照逆时针或者顺时针的方向依次输入，以保证计算出的面积和周长的结果正确。
拓扑空间中凸集的性质与刻画拓扑学是数学中的一个重要分支，它研究的是空间和连续性的性质。
在拓扑学中，凸集是一个非常重要的概念。
凸集具有一些特殊的性质和刻画，本文将深入探讨拓扑空间中凸集的性质和刻画方法。
一、凸集的定义在开始讨论凸集的性质之前，我们需要先明确凸集的定义。
为此，我们给出凸集的一般定义如下：定义1：对于拓扑空间X中的一个子集A，如果对于任意的a, b ∈A和0 ≤ t ≤ 1，都有 ta + (1-t)b ∈ A，那么集合A被称为凸集。
简单来说，集合A是凸集，当且仅当A中的任意两点之间的连线上的所有点也都在A中。
这个定义可以很好地描述凸集的性质。
二、凸集的性质凸集具有一些重要的性质，下面我们将逐一介绍。
1. 凸集的稳定性：凸集的任意有限交集仍然是凸集。
即如果A和B是凸集，则A∩B也是凸集。
2. 凸包：对于拓扑空间X中的任意子集A，凸包是包含A的最小凸集。
凸包可以用凸集的有限交集来表示，即凸包等于所有包含A的凸集的交集。
3. 凸集的闭包：凸集的闭包也是凸集。
也就是说，如果A是拓扑空间X中的凸集，则A的闭包cl(A)也是凸集。
4. 凸集上的运算：凸集的非空有限交集和有限并集仍然是凸集。
也就是说，对于拓扑空间X中的任意凸集A和B，A∩B和A∪B仍然是凸集。
5. 球面上的凸集：在欧几里得空间中，球面上的凸集是指包含球面上任意两点间弧的凸集。
球面上的凸集具有一些特殊的性质，如球面上的最大凸集是整个球面。
三、凸集的刻画为了更好地理解凸集的性质，我们还需要了解凸集的一些刻画方法。
下面我们介绍两种常见的凸集刻画方法。
1. 支撑超平面：对于拓扑空间X中的凸集A和点p∉A，如果存在超平面H使得H包含A且p在H的同一侧，那么A是以p为外点的凸集。
该超平面H被称为A在p点处的支撑超平面。
2. 分离定理：分离定理是凸集刻画的另一种常见方法。
根据分离定理，如果有两个不相交非空的凸集A和B，并且存在一条超平面H使得A在H的同一侧而B在H的另一侧，那么A和B可以被一个超平面严格分离。
凸包⼀般形式是y=k∗x+z，找到合适的z，于是维护⼀个凸包的点集。
⼀般不判斜率，⽽算叉积。
套路，斜率单调性或点集单峰性，数据结构瞎套⼀套就好了。
叉积如果暴long long，开long double刷题表：A. 陶陶的难题II：要学⼀个东西叫01分数规划。
⼆分答案ans≤y i+q jx i+p j，然后变成判定问题。
化成(y i−ans∗x i)+(q j−ans∗p j)≥0，使(x,y)和(p,j)⽆关，分别凸包求最⼤值。
如果在序列上，可以线段树维护凸包，树上套个树链剖分。
⼆分⼀个，树链剖分两个，找到区间三分⼀个，⼀共四个log。
B. 旅⾏规划：问题是维护区间查询前缀最⼤值，区间加。
⽤分块维护，对于每个块维护等差数列，在每个块内三分。
设⾸项为fi，公差为se。
fi+se∗(pos−l)+y=zy=−fi−se∗pos+se∗l+z所以可以块维护凸包三分。
修改时对于边界暴扫的块再暴⼒重新建栈。
时间复杂度O(n∗sqrt(n)∗log(n))C. 妖怪:柿⼦：max(x+a∗yb+y+b∗xa)⾮正解（会被卡常）：设t=a bx+y∗t+y+x t⼆分答案.(x+y−z)∗t+y∗t∗t+x≤0变成⾼考数学，检验所有解集是否有交集即可。
正解：对于每对(x,y)都是单峰函数，合起来也是单峰函数，就可以三分。
D. 向量集：线段树维护凸包板⼦。
E. 防线修建：动态维护凸包，可以写setF. 货币兑换Cash:⾸先提⽰的结论是可以证的，不太难想，如果当前决策是买券，那么⼀定要在之前的所有时刻尽可能多得把钱换成券。
然后n2dp就有了。
然后可以cdq维护凸包，也可以splay⼆分斜率。
G. 购票：n2dp是⽐较好写的。
然后化完柿⼦发现可以维护凸包，但并不能只搞⼀个单调栈⼀遍dfs。
因为有个距离限制，某些已经被弹栈的点在距离限制下的点集中可能会在凸包上。
开始写树剖，注意线段树区间查询时要在区间全都合法的情况下再三分。
点云凸包算法点云凸包算法是一种在三维空间中对点云进行操作的几何运算算法，它可以有效地从点云数据中检测出三维包围盒和凸包。
点云凸包算法可以巧妙地处理大规模的三维点云，可以构建有效的三维模型，以满足建模和可视化的需求。
点云凸包算法利用一组点样本确定一系列多边形，然后将它们拼合成三维模型。
该算法的优点在于计算凹凸包时无需计算具体坐标，并且可以有效地处理点云样本。
###法思想点云凸包算法基于凸角搜索算法，它是一种基于极角搜索的角点梯度搜索方法。
这种算法以点集中一组点为输入，进行角点搜索，通过把点聚类为凸包的轮廓的形式来构建凸包。
它可以将一组点投影到所有维度上，然后将每维度上的结果取并集，最终构建出三维凸包。
该算法可以以输入点集中任意三个点为外接圆圆心，求得一个三角形，然后求出凸外壳中各个点的最小夹角，如果该夹角大于180度，则为凹孔，反之为凸缺口。
同样，有点集外的点时，比较这个点到凸外壳上任意三点构成的平面距离，如果距离大于0，则为凹孔，反之为凸缺口。
点云凸包算法的优点在于可以快速准确地确定点云凸包，具有计算效率高、鲁棒性好等优点。
###法步骤点云凸包算法的算法步骤如下：1、首先，对每个点云进行随机采样，随机采样可以减少点云数量，从而提高计算性能。
2、接下来，以每个点为圆心，以三个点为外接圆圆心，计算每个点之间的夹角，如果夹角大于180度，则为凹孔，反之为凸缺口。
3、然后，以圆心为凸包形心，根据凸包形心从各方向逐步进行延伸，当达到凸包面积最大时，即确定了凸包的形状，同时完成凸包的构建。
4、最后，将构建的凸包的形状作为输出，从而完成点云凸包算法的全部流程。
###用点云凸包算法应用广泛，主要用于三维建模、可视化和可视分析，例如生态学分析、机器视觉定位和导航、机器人自主导航等。
同时，它还可以用于检测数字地貌模型中的局部特征，如洼地、突起、平台，和沿岸，等地貌特征，以及数字地形模型中的地形特征，如山脉、河流等。
凸包的质心计算方法Finding the centroid of a convex hull is a fundamental problem in computational geometry and has important applications in various fields.计算凸包的质心是计算几何学中的基本问题，在各个领域都有重要的应用。
The centroid of a convex hull can be defined as the center of mass of the points that form the convex hull.凸包的质心可以定义为形成凸包的点的质量中心。
There are several methods to calculate the centroid of a convex hull, each with its own advantages and disadvantages. One common method is to use the property of convexity to compute the centroid as a convex combination of the vertices of the convex hull.计算凸包的质心有几种方法，每种方法都有其优点和缺点。
一种常见的方法是利用凸性的性质，将凸包的质心计算为凸包顶点的凸组合。
Another method is the gift wrapping algorithm, which computes the convex hull and then finds the centroid as the average of the vertices.另一种方法是礼物包装算法，该算法计算凸包，然后将凸包顶点的平均值作为质心。
The Quickhull algorithm is also commonly used to calculate the centroid of a convex hull by recursively dividing the set of points and finding the convex hull of each subset.快速计算法也常用于通过递归分割点集并找到每个子集的凸包来计算凸包的质心。
贝塞尔曲线凸包证明本文旨在介绍贝塞尔曲线凸包的证明方法。
贝塞尔曲线是一种重要的曲线拟合方法，广泛应用于数据分析、图像处理、计算机图形学等领域。
其中，凸包是贝塞尔曲线的一种重要性质，可以用于表示曲线的局部形态。
下面给出贝塞尔曲线凸包的证明。
设贝塞尔曲线上的点集合为 P={p1, p2,..., pn},其中 p1、p2、...、pn 是曲线上的 n 个控制点。
记 p1、p2、...、pn 的中点为 M，则 M 也是贝塞尔曲线上的一个点。
对于 P 中的任意一个点 p，记其到 M 的距离为 d(p),则 p 到P 中其他点的距离均不小于 d(p)。
这是因为，如果 p 到某个点 q 的距离小于 d(p),则 q 也应该在以 p 为圆心、d(p) 为半径的圆内，但由于 q 在 P 中，因此 d(p) 必定是 p 到 P 中某个点的最小距离。
因此，我们可以将 P 中所有点按照其到 M 的距离从小到大排序，记为 P"={p1", p2",..., pn"}。
则 P"中的任意一个点 p"i，其到 M 的距离为 d(p"i),且 p"i 到 P"中其他点的距离均不小于 d(p"i)。
现在我们来证明贝塞尔曲线的凸包性质。
对于 P 中的任意一个点 p，记其到 P"中某个点 p"i 的距离为 d(p, p"i),则有:d(p, p"i) <= d(p, M) + d(M, p"i)根据三角形不等式，上式右侧的两个距离之和必定大于等于 d(p,p"i)。
因此，我们可以将 P 中所有点按照其到 P"中某个点的距离从小到大排序，记为 P""={p1"", p2"",..., pn""}.则 P""中的任意一个点 p""j，其到 P"中某个点 p"i 的距离为 d(p"", p"i),且 p""j 到 P""中其他点的距离均不小于 d(p"", p"i)。
python 凹多边形的凸包法（实用版）目录1.引言2.凸包算法的定义和原理3.Python 中实现凸包算法的方法4.凸多边形和凹多边形的性质5.利用凸包算法寻找凹多边形的凸包6.结束语正文1.引言在计算机图形学中，凸包算法是一种常用的算法，用于寻找一个凸多边形内部所有点到该多边形某一顶点的最短路径。
凸包算法广泛应用于计算几何、图形学、优化等领域。
本文将介绍如何在 Python 中实现凸包算法，并用于寻找凹多边形的凸包。
2.凸包算法的定义和原理凸包算法，又称为凸壳算法，是一种用于计算一个凸多边形内部所有点到该多边形某一顶点的最短路径的算法。
凸包算法的基本思想是：从一个顶点出发，依次将其余各顶点加入到已得到的凸包中，直到所有顶点都加入到凸包中为止。
凸包算法可以用于求解很多问题，如计算多边形的面积、周长，寻找多边形内的最大空隙等。
3.Python 中实现凸包算法的方法在 Python 中，可以使用内置的数学库 numpy 和 matplotlib 来实现凸包算法。
具体步骤如下：1) 导入所需库：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt```2) 创建一个凸多边形，可以通过给定顶点坐标来实现：```pythonvertices = np.array([[0, 0], [1, 0], [1, 1], [0, 1]])```3) 计算凸多边形的凸包：```pythonhull = cv2.convexHull(vertices)```4) 输出凸包的顶点坐标：```pythonhull_vertices = np.array(hull)print(hull_vertices)```4.凸多边形和凹多边形的性质凸多边形是指一个多边形，其中任意两个点的连线都不包括该多边形以外的点。
凸多边形的内角均小于或等于 180 度，边数为 n（n 属于 Z 且 n 大于 2）的凸多边形对角线条数为 2-1(n-3)，即 n-2 条对角线。
钣金凸包结构设计方案
钣金凸包结构设计方案
钣金凸包结构是一种常见的结构形式，用于制作各种金属产品，具有重量轻、强度高、造型复杂等特点。
在设计钣金凸包结构时，需要考虑以下几个方面：
1. 结构形式的选择：根据产品的需求和要求，选择合适的凸包结构形式。
常见的凸包结构有凸圆形、凸方形、凸梯形等，可以根据产品的功能和外观来选择。
2. 材料的选择：根据产品的用途和环境要求，选择合适的材料。
常见的钣金材料有不锈钢、铝合金、碳钢等。
不同的材料有不同的特点，需要根据产品的要求来选择。
3. 结构的稳定性：在设计凸包结构时，要考虑结构的稳定性。
可以通过增加加强筋、设置连接件等方式来提高结构的稳定性，使其能够承受外部力的作用。
4. 制作工艺的选择：在设计凸包结构时，要考虑可行的制作工艺。
根据凸包结构的复杂程度，选择合适的加工方式，如剪切、冲压、折弯等。
5. 结构的优化：根据产品的需求和制作工艺的要求，对凸包结构进行优化。
可以通过减少材料的使用量、优化结构的形状等方式来降低成本和提高生产效率。
在实际设计过程中，需要综合考虑以上几个方面，并进行详细的分析和评估。
通过合理的设计和优化，可以制作出质量好、性能稳定的钣金凸包结构产品。
同时，在制作过程中需要严格控制每一道工序的质量，确保产品符合设计要求。
总之，钣金凸包结构设计方案需要考虑结构形式、材料选择、结构稳定性、制作工艺和结构优化等方面。
通过细致的分析和评估，可以设计出符合产品要求的优质钣金凸包结构产品。
算法分析与设计 课程设计
题目： 凸包问题 所属专业： 信息与计算科学 年级： 1121102 学生姓名： * * 2011213361 学生姓名： * * 2011213363 学生姓名： *** 2011213374 指导教师： * * 评定成绩：
关于凸包问题的分析与求解
摘 要
本文针对凸包问题进行分析和讨论，首先对凸包进行定义性描述并对其做具体分析，它要求将平面内的点集用最少的凸点来封闭，然后给出其具体模型，并对模型进行分析和求解，最后我们讨论几种求解算法（包括穷举法，蛮力法和分治法）的优劣性并给出问题的算法代码。
关键词： 凸包问题 穷举法 分治法
一．引言 凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的多边形，它能包含点集中的所有点。 凸包问题的完整描述如下： 令S 是平面上的一个点集，封闭S 中所有顶点的最小凸多边形，称为S 的凸包，表示为CH（S）。如下图一所示，由红色线段表示的多边形就是点集Q={p0,p1,...p12}的凸包。 图一 凸包问题是计算机几何的一个经典问题，它可以解决很多优化模型，目前目前求取凸包的常用算法有：穷举法，格雷厄姆扫描法（Graham），分治法，蛮力法和Jarris 步进法。本文主要讨论穷举法，蛮力法，以及格雷厄姆扫描法。 二．问题分析 根据前面的描述我们先分析以下几种算法的特点： 1.穷举法 穷举法的思想很简单直接，它利用凸包性质—如果点集中的两个点的连线属于凸多边形的边，当且仅当点集中其余的点都在这两个点连线的同一侧。
假设点集合S中有n个顶点，则这n个顶点共可以构成(1)2nn条边，对于任何一条边来讲，检查其余的n-2 个点的相对于该直线段的正负性。如果它们有相同的正负性，说明该边是凸多边形的边，反之就不属于凸多边形，继续检查。穷举法需要执行n(n-1)/2 次，再次检查n-2
个点的正负性，故算法时间复杂性为2(1)2nn=3()on。显然这并非一个高效的算法凸包问题有许多更加有效的算法可以达到lognn的渐近时间复杂度。 算法流程图如下： 不相同 相同 N Y
2.蛮力法 蛮力法求解凸包问题的基本思想：对于一个由n 个点构成的集合S 中的两个点Pi 和Pj，当且当该集合中的其他点都位于穿过这两点的直线的同一边时（假定不存在三点同线的情况），他们的连线是该集合凸包边界的一部分。对每一对顶点都检验一遍后，满足条件的线段构成了该凸包的边界。 检验其余顶点是否同一边时，在平面上，穿过两个点(x1,y1)和(x2,y2)的直线是由下面的方程定义的： ax + by = c (其中a=y2-y1,b=x2-x1,c=x1y2-x2y1) 这样一条直线把平面分成两个半平面：其中一个半平面中的点都满足ax + by＞c，另一个半平面中的点都满足ax + by＜c，因此，为了检验这些点是否位于这条直线的同一边， 可以简单地把每个点代入方程ax + by = c，检验这些表达式的符号是否相同。此算法的时间复杂度同于穷举法，此算法的巧妙之处在于它对于判断剩余顶点是否在同一边的处理。由所有不同的点共组成了n(n-1)/2边，要对每条边都要对其他n-2个顶点求出在直线方程ax + by = c中的符号，所以，其时间复杂性是O(n3)。
开始 从点集S中取出两个顶 点u，v
判断其余的n-2 个点的相对于该直线段的正负性
判断执行次数是否大于(1)2nn
把u，v加入凸包
结束 3.分治法 所谓分治法就是把问题划分成多个子问题来进行处理。这些子问题，在结构上与原来的问题一样，但在规模上比原来的小。如果得到的子问题相对来说还大，可以反复地使用分治策略，把这些子问题再划分成更小的、结构相同的子问题。这样就可以使用递归的方法，分别求解这些子问题，把这些子问题的解结合起来，从而获得原来问题的解。 一般来说，分治法的求解过程由以下三个阶段组成： （1）划分：把规模为n的原问题划分为k个规模较小且规模大致相同的子问题。 （2）求解子问题：使用递归方法分别求解子问题。 （3）合并：把各子问题的解合并起来，合并的代价因情况而异，分治算法的有效性很大程度上依赖于合并的实现。 2．凸包问题的分治思想： 第一步：把给定点集中的点在横坐标方向上按照大小排序。如下图所示，p1和pn必定是凸多边形的两个顶点。 第二步：在上凸包点集合s1中找到一个距离直线最远点pmax，如下图所示。显然直线段p1pmax与直线段pmaxpn把点集s1分成了三个集合。由凸包的性质可知p1pmaxpn三点围成的三角形中的点不可能作为凸包的顶点，所以只需考虑直线p1pmax左边的点s11以及直线pmaxpn右边的点s12。 第三步：递归求解得到凸多边形的边。 第四步：合并这些边即得所求凸包。
最后我们比较三种算法的优劣： 蛮力法和穷举法都是基于穷举思想的算法，它们的时间复杂度是解决凸包问题算法中最
复杂的3()on，它们易于理解，适用于解决规模较小的问题。而格雷厄姆扫描算法的时间复
杂度为(log)onn，它是解决此类问题的一个比较高效的一个算法。 三．算法代码 #include #include #include using namespace std; vectorresult; typedef struct Point//定义点结体 { int x; int y; }; int findmax(Point a[],int left,int right)//求左边最远点的函数 { double smax=0;//定义三角形的最小面积为0 int max=left; for(int i=left+1;i个点在一个直线上，区分两个点就要让它们的区间为开的，这样就 //就不会出现两个端点的情况了，如果三个点在一个直线上，它们的结果会是0，那么在判断的时候就要包括0 {
int s=a[left].x*a[right].y+a[i].x*a[left].y+a[right].x*a[i].y-a[i].x*a[right].y-a[right].x*a[left].y-a[left].x*a[i].y; if(s>=0&&s>=smax) //表明是右边的点 如果在一个直线上求得的结果会是0，怎么判断是两个点还是在一个直线上的三个点，这里的s>=０就表示也包括了三个点在一条直线的情况，不然会少计算三点一线的情况 { smax=s; max=i; //max 保存是最大的点在序号， smax 是用于最大面积的比较，并保存最大面积，求得的结果一定会是最大的面积 } }
if(max==left) return -1; else return max; } int findmin(Point a[],int left,int right)//求右边距离最远的那个点 { double smin=0; int min=left; for(int i=left+1;i {
int s=a[left].x*a[right].y+a[i].x*a[left].y+a[right].x*a[i].y-a[i].x*a[right].y-a[right].x*a[left].y-a[left].x*a[i].y; if(s<=0&&s<=smin) { smin=s; min=i; } } if(min==left) return -1; else return min; } void findleft(Point a[],int left,int right)//找直线左边的点并递归 { int max,min; max=findmax(a,left,right); if(max!=-1) { result.push_back(max); findleft(a,left,max); findleft(a,max,right); } } void findright(Point a[],int left,int right)//找直线右边的点并递归 { int min; min=findmin(a,left,right); if(min!=-1) { result.push_back(min); findright(a,left,min); findright(a,min,right); } } bool compare(Point a,Point b) { return a.x} int main() { Point p[100]; int i; int n;//输入测试数据的组数 cin>>n;
for(i=0;i { cin>>p[i].x>>p[i].y; } sort(p,p+n,compare); result.push_back(0);//这是两上端点，不用比较，直接保存 result.push_back(n-1); findleft(p,0,n-1);//调用函数 findright(p,0,n-1); cout<<"组成凸包的点为："< for(i=0;i { cout<<"("< }
