课题申请书 非论文 复变函数与实变函数微积分理论的比较分析

实分析与复分析的联系与区别专业:数学与应用数学学生:谭宇指导教师:顾晓慧摘要:实变函数与复变函数是微积分向两个方向的延伸,一方面是在所研究的数域上的拓展,另一方面是将研究函数的性质由好到不行,可是其都是要涉及无穷的研究,因此需要在集合论的基础上成立,而采纳不同的测度方式.复变函数所研究的对象延续了微积分中研究对象的大部份好的性质,从而沿用了微积分中的研究方式,而实变函数中那么由于性质的不行需要,需要利用Lebesgue测度,通过一系列的逼近方式使得性质比较好的函数逼近不行的.最后实变函数的lebesgue积分是一种Riemann积分的推行,有着更广的研究范围.关键词:极限持续性测度集合论积分THE CONNECTIONS AND DIFFRENCES BETWEENREAL ANALYSISAND COMPLEX ANALYSISMajor:Mathematics and Applied MathematicsStudent:Tan Yu Supervisor:Gu Xiao HuiAbstract：Functions of real variable and complex function are both the extensions of the calculus。

Complex function is the extension on the number filed and Functions of real variable extend the range of the function we studied from the good ones to these not good ones，but both of them are about the infinite，so it is necessary to establish the basis of set theory, and using different measurement methods. Complex function as the object of study continues the study of calculus in the majority of good nature, which follows the calculus of the research methods, and functions of real variable in need due to the nature of the poor, need to use the Lebesgue measure, by a series of relatively good approximation of a way that the nature of good function approximation. Finally a Real Variable Function of lebesgue integral is the promotion of Riemann integral，with a broader scope of the study.Key Words：Limit Continuity Measure Set theory Integral目录一引言................................................................................................................................. 错误!未定义书签。

浅析复函数与实函数的类同与差异夏青 数学112班 11101231号摘要复函数与实函数贯穿在我们高中和大学的数学之中，我们通过学习了解了部分实函数和复函数的知识点。

我认为复函数是实函数的后继与延伸，二者在某些概念、结论上既有区别，又有着深刻的联系，因此为了更加清楚、明确二者的概念、结论的相同与相异之处，本文做了一点简单说明。

正文在中学我们主要学习了实函数，大学期间，我们又更加深入地学习研究了实函数，与此同时也进行了复变函数的学习。

在实函数与复函数的学习中中，我发现二者有许多相似之处，并且在许多命题、性质中是可以相互推证，彼此呼应的。

所以在研究复函数中的命题时，会想到从实函数中寻找可以借鉴的东西，但是毕竟二者之间有区别，有时并不能完全照搬照抄，有的甚至有本质的差别。

复变函数论中的柯西—黎曼方程、柯西积分定理、解析函数的幂级数表达式和敛散性、解析函数的泰勒展式与洛朗展式、留数定理等，它们与我们经常使用的实函数有一定的关系，其相关知识点也能运用在实函数的解题上，下面我们将从几个方面来探究其在实函数上的应用。

1.在解决形如cos axe bxdx⎰ sin axe bxdx ⎰ 22(0)a b +≠的实函数的不定积分时，我们往往采用的是分部积分法，其过程往往复杂且容易出错，但是通过我们学习过的复积分能方便的解决这些问题。

我们已知cos sin i ei θθθ=+，我们能不能通过构造一个复积分的问题来解决这个问题。

例1： 计算积分cos axe bxdx ⎰ ,,a b x R Î 此时我们可以添加一个辅助函数 sin ax e bxdx⎰()f x =cos axe bxdx ⎰()g x =sin axe bxdx ⎰()F x =()()()F x f x ig x =+()F x =cos ax e bxdx ⎰+i sin ax e bxdx ⎰ =ax ibx e dx+⎰=ax ibxe a ib ++12c ic ++=22()(cos sin )ax e a ib bx i bx a b -++=22[cos sin (sin sin )]axa bxb bx i a bx b bx e a b ++-+此时()f x =22(cos sin )Re ()axa bxb bx F x e a b +=+1c +222(sin sin )()Im ()ax e a bx b bx g x F x c a b -==++由此可以看出复函数积分可以快速解决形如cos axe bxdx⎰s i n axe bxdx ⎰ 22(0)a b +≠的问题，但是其解决的问题只是我们常见问题中的很小一部分，我们常见的积分不只是这种情况，更多的是型如：()cos axc dx e bxdx +⎰，()s i n axc dx e bxdx +⎰22(0)a b +≠ 我们也可以借助复变的相关知识解决问题。

期中考试复变函数的微积分理论与实变函数微积分理论的比较与应用学院：数学与计量经济学院班级：10级数学与应用数学01班姓名：***学号：***********一·复变函数微积分理论1复变函数微分 (3)2复变函数积分 (4)二·复变函数微积分与实变函数微积分的比较······永远的对手或者同伴？1复变函数微积分与实变函数微积分的联系 (5)2复变函数微积分与实变函数微积分的区别 (6)三·复变函数微积分理论在实际中的应用1复变解析函数的应用：平面向量场 (7)2应用复变积分求积分的几个例子 (8)四.附注之写在论文后头的话 (8)1·复变函数微分仿照实变函数的定义，我们对复变函数的导数给出定义，我们说的是，在某点在Z 0的某领域有定义，且Δz 以任意方式趋于0的时候，如果比值Δf/Δz 的极限z f ∆-∆+→∆)(z f lim Z Z 000z ）（存在，就说此极限为函数f （z ）在Z 0处的导数。

同样，仿照实变函数，复变函数出现了微分，就在我们以为复变函数会依照实变函数的老路子一直走下去的时候，解析函数的概念横空出世，一个函数在某点解析比起它在这点可微要严格多了，因为解析就是配合区域出现的，好的，如果你在某点可导，没有其他选择，必须有这样一个区域包含该点，然后你在这个区域类可导。

如果函数在某点z （0）处不解析，但是在它的任意一个邻域内都有f （z ）的解析点，则z （0）为函数f （z ）的奇点，对这一点来说，它应该感到很无奈，明明可以构建一个解析点的点列以它为极限，但它就是就是不解析，这也就是说解析点不能“求极限”。

这个点又是骄傲的，沿环绕它的周线积分，积分值不再是0，比如i 2a -z dz cπ=⎰，其中C 为绕点a 的周线，此时尽管周线线上每点都是解析的，但函数沿周线积分不等于01，即奇点所在区域积分与路径有关。

复变函数与实变函数的区别与联系
复变函数与实变函数的区别主要在于定义域和值域的不同。

1. 定义域：实变函数的定义域是实数集，而复变函数的定义域是复数集。

2. 值域：实变函数的值域也是实数集，而复变函数的值域是复数集。

3. 解析性：复变函数具有解析性，即满足柯西-黎曼方程，因
此可以进行复数的微积分运算，如导数和积分。

而实变函数不一定具有解析性，例如绝对值函数的导数在某些点处是不存在的。

联系：
1. 实变函数是复变函数的一种特殊情况，即定义域和值域都是实数集的复变函数就是实变函数。

2. 复数集可以看作是实数集的扩充，因此复变函数可以看作是实变函数在复数集上的推广。

3. 实变函数与复变函数在函数的取值和性质上有很多相似之处，例如连续性、可微性和可积性等。

总之，复变函数是对实变函数的推广，通过引入复数，可以更加广泛地描述和研究数学问题。

实函数和复函数异同论文【摘要】在定义复函数导数的时候，考虑的范围应该多与实函数的导数情形。

如果要求复函数存在导数，那么由实部增量获得的复函数导数应该与由虚部增量获得的复函数导数相一致。

这也就是柯西黎曼条件。

注意这不是判断复函数导数存在的充分条件，只是必要条件。

1.函数的定义和分类函数的本质是一种对应关系，描述着应变量随自变量的变化的形式。

现代函数的定义是由集合描述的，即从一个集合到另一个集合的对应。

函数的分类方式是多种多样的，不同的分类方式描述了函数的不同性质。

根据函数映射方式的不同，可以分为单射函数，满射函数和双射函数；根据函数的周期性，可以分为周期函数和非周期函数；根据函数的增减性，可以分为单调递增函数，单调递减函数，凹函数，凸函数和复杂函数；根据函数解析式的形式，可以分为二次函数，三次函数，指数函数，对数函数等；函数的性质非常之多，导致其分类形式也有很多。

但是，其中最重要的一种分类方式是将函数分为实函数和复函数。

2.实函数的定义实函数是指定义域和值域都是实数的函数。

可以看出，实函数的研究对象是实数，其本质是实数与实数之间的对应关系，是实数随着实数的变化关系。

从集合的定义角度来看，实函数的本质是实数集到实数集的对应。

实函数的一个重要特征就是，函数关系可以反映在坐标系中。

研究实函数的分支叫作实变函数论，是研究以实数作为函数自变量的理论，是数学领域的一个重要分支。

实变函数论以集合论为根基，是微积分理论的进一步扩展和延伸。

实变函数论的主要研究内容是实函数的连续性质，极限性质，微分积分性质，测度论等。

3.复函数的定义复函数是指自变量为复数的函数。

与实数不同，复数有实部和虚部，相比之下复函数的情形就更为复杂。

复函数研究的不仅是复数和复数之间的函数关系，而且包括复数和实数之间的函数关系。

从集合理论的角度来看，复数集合是实数集合和虚数集合的并集，而复函数则是从复数集合到复数集合的对应关系。

研究复函数的理论就做复变函数论，是研究以复数作为函数自变量的函数理论。

复变函数论文复变函数在数学和物理学中具有广泛的应用，是一门研究复数域上的函数性质的学科。

复变函数是指定义在复数域上的函数，即自变量和函数值都是复数。

复变函数研究的对象包括函数的连续性、可导性、解析性、奇点、级数展开等方面。

本文就复变函数的定义、主要性质及其在物理学中的应用进行了较为详细的讨论。

首先，复变函数的定义与实变函数类似。

设$z=x+iy$是复平面上的一个点，其中$x$和$y$是实数，$i$是虚数单位。

如果存在一个规则使得对于任意给定的$z$，有唯一确定的$w$与之对应，则称$w$是关于$z$的函数值。

这样的函数就是复变函数。

复变函数的一些重要性质包括连续性、可导性和解析性。

连续性是指函数在定义域内的收敛性，即当自变量趋向于某一点时，函数值也趋向于某个常数。

可导性是指函数在某一点处存在导数。

解析性是指函数在定义域内处处可导。

复变函数的导数和积分也有着独特的性质。

复变函数的导数可以通过极限定义来计算，与实变函数的导数在形式上类似。

但是，在复变函数的可导性上有一些额外的要求，即柯西—黎曼方程。

如果函数在某一点处可导，则其必须满足柯西—黎曼方程的实部和虚部。

复变函数在物理学中的应用十分广泛。

一些传统的物理学问题，如电场、磁场和流体力学中的速度场，都可以通过复变函数来描述。

例如，电场可以用复函数的实部，磁场可以用虚部来表示。

此外，复变函数还可以用来解决热传导、量子力学和场论的问题。

在电工学中，复变函数被广泛应用于交流电路的分析中。

通过使用复变函数，可以将交流电路中的电流和电压描述为复数，从而简化计算。

此外，复变函数还可用于计算电路的传输函数和频率响应。

在量子力学中，复变函数被用来描述波函数的演化。

波函数是用来描述粒子在量子力学中的运动状态的函数。

它的复变性质使得我们可以用复变函数来描述粒子的位置和动量，从而解决薛定谔方程。

总结起来，复变函数在数学和物理学中都有广泛而重要的应用。

它的研究涉及函数的连续性、可导性、解析性、积分等方面。

复变函数和实变函数的比较数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，复变函数着重讨论解析函数，而解析函数的实部和虚部是相互联系的，这与实变函数有根本的区别。

从某种意义上来说，实函数可以看作复函数的特例。

有关实函数的一些概念，很多都可以推广到复函数上来。

例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展开式、基本初等函数等。

但是，由于复数域的特殊性，又给这些概念赋予了新的特性。

下面我将选取几个方面粗略地比较实变函数和复变函数的异同。

一、复变函数和实变函数的定义复变函数的定义从文字叙述上看与实变函数的定义几乎是一样的。

复变函数的定义为：设A 是一个复数集,如果对A 中的任一复数z ，通过一个确定的规则f 有唯一的或若干个复数w 与之对应，就说在复数集A 上定义了一个复变函数，记为w =f(z)。

而实变函数的定义为：设A 是一个实数集,如果对A 中的任一实数x ，通过一个确定的规则f 有唯一的实数y 与之对应，就说在实数集A 上定义了一个实变函数，记为y =f(x)。

二者定义虽然从文字上看类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数可以看成是把一维实数区间映射成一维实数区间的函数，而复变函数则是把二维平面区域映射成二维平面区域的函数，如下图所示。

二、复变函数和实变函数极限过程对比复变函数在某一点的极限定义为：设函数w =f(z)在点z 0的某一去心邻域U(z 0)内有定义，A 为一复常数，若任给ε>0，总存在δ>0，使得当0<|z −z 0|<δ （即z ∈U(z 0)）时，都有|f (z )−A |<ε（即f (z )∈U(A,ε)）成立，则称A 为函数f (z )当z →z 0时的极限，记作lim z→z 0f (z )=A ，或f (z )→A （z →z 0）。

而实变函数在某一点的极限定义为：w1w2z2z1设函数y =f(x)在点x 0的某一去心邻域U(x 0)内有定义，A 为一实常数，若任给ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x −x 0|<δ （即x ∈U(x 0)）时，都有|f (x )−A |<ε（即f (x )∈U(A,ε)）成立，则称A 为函数f (x )当x →x 时的极限，记作lim x→x 0f (x )=A ，或f (x )→A （x →x 0）。

实变函数复变函数实变函数和复变函数是数学中的两个重要概念，它们在数学分析、微积分、复分析等领域都有广泛的应用。

一、实变函数实变函数是指自变量和函数值都是实数的函数。

实变函数是数学分析中的基础，它是研究实数集上的函数性质的重要工具。

实变函数的定义域和值域都是实数集，它们可以表示为y=f(x)，其中x和y都是实数。

实变函数可以分为一元实变函数和多元实变函数两种。

一元实变函数是指只有一个自变量的函数，例如y=f(x)，x是自变量，y是函数值。

多元实变函数是指有多个自变量的函数，例如z=f(x,y)，x和y是自变量，z是函数值。

实变函数的研究内容包括函数的连续性、可导性、积分性、级数、微分方程等。

实变函数的重要应用包括物理学、工程学、经济学、统计学等领域。

二、复变函数复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。

复变函数是复分析中的基础，它是研究复平面上的函数性质的重要工具。

复变函数的定义域和值域都是复数集，它们可以表示为w=f(z)，其中z和w都是复数。

复变函数可以分为一元复变函数和多元复变函数两种。

一元复变函数是指只有一个自变量的函数，例如w=f(z)，z是自变量，w是函数值。

多元复变函数是指有多个自变量的函数，例如w=f(z1,z2,...,zn)，z1,z2,...,zn是自变量，w是函数值。

复变函数的研究内容包括函数的解析性、全纯性、调和性、共形映射、级数、微分方程等。

复变函数的重要应用包括电磁学、流体力学、量子力学、信号处理等领域。

总之，实变函数和复变函数都是数学中的重要概念，它们在不同领域的应用非常广泛，对于深入理解数学和解决实际问题都有重要意义。