1第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR 邱启荣华北电力大学数理系QQIR@第六章矩阵函数及其应用2第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR§6.1 矩阵幂级数3第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR 2)(rA A +≤ρ因此||||||||||k k k k c A c A ≤⋅2()||()kk A r c ρ+≤4第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR5第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR 6第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR10()kk A E A +∞−==−∑10.90.70.30.4−−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠0.40.71000.30.957⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠7第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=901571525118443210A 是行对角占优,不是列对角占优。
8第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0..................0 01...00............0...100...01 00............0...00 (0221)222222111111122211nnn nnn n nn a a a a a a aa a a a a a a a A ()E B Λ=+9第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR §6.2 矩阵函数∑∞=⋅⋅⋅++++==032!31!21!1k k A A A A E A k e ∑∞==0)(k kk A c A f ⋅⋅⋅+−+−=642!61!41!21cos A A A E A 10第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR∑∞=⋅⋅⋅++++==032!31!21!1k k AA A A E A k e ⋅⋅⋅+−+−=642!61!41!21cos A A A E A 11第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR 例6.2.1求微分方程组112212113214221dx x x dt dx x x dt dx x x dt ⎧=−++⎪⎪⎪=−++⎨⎪⎪=+−⎪⎩))(()(00∫−+=tAt At dt t f e C e t x 12第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR2342111234()!!!E At t t t A =+++++⋅⋅⋅21()t E At e t A =++−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−++−−=t t t e t e e t t t t t 121012402113第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR dt e e t e e t t ttt e t e e t t tt t t x t t t t tt t t ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+−−+−−++⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−++−−=∫−−−012112101240211111210124021)(120142101212110t t t ttt t t t t e e t e ⎛⎞−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+−−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠121()t t e ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠14第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR例6.2 已知sin53sin 2sin52sin sin5sin 1sin sin5sin 2sin52sin sin5sin 4sin53sin 2sin52sin sin53sin t tt tt t At t tt t t t t tt t t t +−−⎛⎞⎜⎟=−+−⎜⎟⎜⎟+−+⎝⎠15第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR1)()(−=P J Pf A f ),,,()(02010∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=⋅⋅⋅==k m s k k mk k m k k k k J c J c J c diag J c J f ))(),...,(),((21s J f J f J f diag =ii k k i i ii J ×⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅=λλλ1..1..ii k k i H ×⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅=01..010..ii i H E J −=λ16第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅=00.1.....100......2i H ""0,,p i i H p k =≥ki k i k z k f z f )(!)()(0)(λλ−=∑+∞=ki i k i k i E J k f J f )(!)()(0)(λλ−=∑+∞=ki i k k i k E J k f i)(!)(0)(λλ−=∑=kik k i k i H k f E f i∑=+=1)(!)()(λλii i k k i i i i i k i i i f f f k f f f J f ×−⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′⋅⋅−⋅⋅⋅′=)(!1)(.....)()!1()(!1)()()(..)1(λλλλλλ17第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR (3) 求1)()(−=P J Pf A f 18第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR19第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=2cos 002sin 2cos 022cos 2sin 2cos cos J 1)(cos cos −=PJ P A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−+−−−+−−−+=2sin 52sin 2sin 32cos 5.02sin 72cos 2sin 2cos 2sin 42cos 5.02sin 102cos 22sin 22sin 62cos 220第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200120002J ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100010001)4sin(J π⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=22220000e e ee e J 21第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100010001⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛22201000e e e ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=22220000e e e e e J 22第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR1−=P Pe e J A )(21)det()det(A tr J A e e e e n ===+⋅⋅⋅++λλλ（2）由于Ee e e e A A A A ===−−0AA e e −−=1)(23第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR §6.3 矩阵函数的一般定义及其计算24第六章矩阵函数及其应用Made By QQIRsms m )...()()(11λλλλλϕ−−=25第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR 26第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR)()()()(z r z h z z g +=ϕ27第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR 求矩阵函数的待定系数法28第六章矩阵函数及其应用Made By QQIR3)2()(−=λλϕ。
《计算机应用数学》教案教学过程：一、知识回顾等差数列和等比数列的通项公式以及前n 项求和公式.二、新课导入有甲乙丙三人按以下方法平分一个苹果：先将苹果分成四份，每人各取一份；然后将剩下的一份又分成四份，每人又取一份，依此类推，以至无穷，验证：最终每人分得苹果的三分之一.分析：第1次分苹果，将一个苹果平分成四份，甲乙丙三人各分得14；第2次分苹果，将剩下的一份苹果平分成四份，甲乙丙三人各分得214；…；第n 次分苹果，甲乙丙三人各分得14n；依此类推，以至无穷.通过以上分析，可知甲乙丙三人各分得苹果2111444n++++，显然这是一个首项为14，公比为14的等比数列的所有项之和.由等比数列的前n 项求和公式，可得甲乙丙三人前n 次各分得2111444n nS =+++11[1()]44114n-=-.当n→∞时，13nS →，即甲乙丙三人最终每人分得苹果的三分之一.三、新课内容1、数项级数的基本概念 定义6.1 设数列{}n u ：12,,,,n u u u ，称12n u u u ++++为无穷级数，简称为级数，记为1nn u ∞=∑，即121n n n u u u u ∞==++++∑，其中12,,,,n u u u 称为级数的项，1u 称为级数的首项，n u 称为级数的通项或一般项. 各项都是常数的级数，称为常数项级数，简称为数项级数.定义6.2 令11S u =，212S u u =+，，12nnS u u u =+++，，则得到一个数列{}n S ：12,,,,n S S S ，称为级数1nn u ∞=∑的部分和数列，级数1nn u ∞=∑的前n 项的和n S 称为该级数的部分和.2、数项级数的敛散性定义 6.3 若级数1nn u ∞=∑的部分和数列{}n S 有极限值S ，即limn n S S→∞=，则称级数1nn u ∞=∑收敛，并称极限值S 为级数1nn u ∞=∑的和，记为1n n u S∞==∑；若级数1nn u ∞=∑的部分和数列{}n S 的极限不存在，则称级数1nn u ∞=∑发散.定义6.4 级数11(0)pn p n∞=>∑通常称为p 级数，当1p>时，该级数收敛；当1p ≤时，该级数发散.特别地，当1p=时，级数11n n∞=∑称为调和级数.3、数项级数的性质性质1 若级数1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑均收敛，则级数1()n n n u v ∞=±∑也收敛，且12111()n n n n n n n u v u v S S ∞∞∞===±=±=±∑∑∑.性质2 级数1nn u ∞=∑和1nn k u ∞=∑（k 为非零常数）有相同的敛散性.性质3 在一个级数中，增加、减少或改变有限多个项，不会改变该级数的敛散性.性质4 若级数1nn u ∞=∑收敛，则对其项任意加括号后所成级数仍收敛，且其和不变．反之，不成立，即若加括号后的级数收敛，则不能得出原来未加括号的级数也收敛.性质5 （级数收敛的必要条件）若级数1nn u ∞=∑收敛，则lim 0nn u →∞=.【例题精讲】例1 判断级数11(1)(2)n n n ∞=++∑的敛散性，若该级数收敛，则求出其和.解：因为111(1)(2)12nu n n n n ==-++++，1112334(1)(2)nS n n =+++⨯⨯++111111233412n n =-+-++-++1122n =-+，111limlim 222n n n S n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭，所以级数11(1)(2)n n n ∞=++∑收敛且其和为12.例2 讨论等比级数11(0)n n a qa ∞-=≠∑（又称为几何级数）的敛散性.解：当1q≠时，21(1)111nnn n a q a a qS a a q a q a qqqq--=++++==----，limn n S →∞=11lim ()111nn aq a a q q q q q →∞⎧<⎪--=⎨--⎪∞<⎩；当1q =-时，0na n S n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，当n→∞时，limnn S →∞交替地取a 和0两个数值，即limnn S →∞不存在；当1q =时，lim lim n n n S n a →∞→∞==∞，即limnn S →∞不存在.综上所述，当1q <时，该级数收敛，且其和为1a q-；当1q ≥时，该级数发散.例3 判断级数11235n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性，若该级数收敛，则求出其和. 解：因为级数113nn ∞=∑和级数125nn ∞=∑分别是公比为13和15的等比级数，所以它们都是收敛的，且1111313213nn ∞===-∑，1221515215nn ∞===-∑，由性质1可知，级数11235n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其和为11122+=. 【课堂练习】例1 判断级数121n n n ∞=-∑的敛散性.解：因为2limlim201n n n n u n →∞→∞==≠-，所以该级数发散.例2 判断级数12nn ∞=∑的敛散性.解：因为limlim 2nn n n u →∞→∞==+∞，所以该级数发散.【问题思考】数项级数的敛散性是否只能利用级数收敛和发散的定义和性质进行判断？ 【知识小结】1、数项级数的概念；2、数项级数的敛散性和性质.【课后作业】习题6-1 1.（1）（2）（3）（4） 2.（1）（2）（3）（4）四、板书设计《计算机应用数学》教案教学过程：一、知识回顾1、数项级数的概念、敛散性和性质等；2、求极限的方法.二、新课导入一般情况下，要判断一个级数的敛散性，只利用级数收敛和发散的定义和性质，常常是很困难的，因此，需要建立判定级数敛散性的判别法。
