矩阵分析及矩阵函数

《矩阵分析》课程教学大纲课程编号：20821105总学时数：32(理论32）总学分数：2课程性质：专业选修课适用专业：信息与计算科学一、课程的任务和基本要求：本课程的任务是介绍六个内容，分别是线性空间与线性变换，λ---矩阵与Jordan标准形，矩阵函数及矩阵方法，矩阵微分方程，矩阵分解和广义逆矩阵。

要求学生系统掌握这六个内容所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，并能熟练地运用这些方法和工具解决理论和实际中遇到的各种问题。

二、基本内容和要求：（一）线性空间与线性变换1、线性空间的定义、性质、基变换与坐标变换公式。

2、子空间的概念、运算及相关定理3、内积空间、正交化方法，空间的正交分解4、线性变换的概念、运算、矩阵表示、线性变换的值域与核的性质5、特征值与特征向量的概念、求法、矩阵的化简要求：理解线性空间、子空间、线性变换、特征值、特征向量的概念，掌握基变换公式，坐标变换公式，正交化方法，特征值和特征向量的求法，矩阵的化简的应用。

（二）λ---矩阵与Jordan标准形a)λ---矩阵的概念，λ---矩阵的标准形b)不变因子与初等因子的概念、求法、性质c)若当标准形理论推导，若当标准形的求法d)Cayley定理、最小多项式的性质及求法要求：理解λ---矩阵、不变因子、初等因子等相关概念，掌握不变因子、初等因子、标准形、Jordan标准形的求法，掌握Cayley定理，最小多项式的应用。

（三）矩阵分析和矩阵函数e)矩阵序列、矩阵函数收敛性f)函数矩阵的极限、连续性、微分与积分g)数量函数关于矩阵的微分及其性质h)向量的范数、范数的等价、按范数的收敛、矩阵的相容范数、算子范数的概念及其性质i)矩阵函数的定义、性质、计算方法要求：理解矩阵序列的极限，矩阵级数的收敛性，函数矩阵的极限，连续性概念，掌握与这些概念相关的命题和定理，会求函数矩阵的微分和积分，会求数量函数关于矩阵的微分，函数向量关于向量的微分，能正确计算矩阵函数（四）矩阵微分方程j)线性常系数齐次微分方程组的定解问题k)线性常系数非齐次微分方程组的定解问题l)n阶常系数微分方程的定解问题m)线性变系数微分方程组的定解问题，转移矩阵的概念、性质、求法。

matlab矩阵基本知识第一部分：矩阵基本知识（只作基本介绍，详细说明请参考Matlab帮助文档）矩阵是进行数据处理和运算的基本元素。

在MATLAB中a、通常意义上的数量（标量）可看成是”1*1″的矩阵；b、n维矢量可看成是”n*1″的矩阵；c、多项式可由它的系数矩阵完全确定。

一、矩阵的创建在MATLAB中创建矩阵有以下规则：a、矩阵元素必须在”[ ]”内；b、矩阵的同行元素之间用空格（或”,”）隔开；c、矩阵的行与行之间用”;”（或回车符）隔开；d、矩阵的元素可以是数值、变量、表达式或函数；e、矩阵的尺寸不必预先定义。

下面介绍四种矩阵的创建方法：1、直接输入法最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素，输入的方法按照上面的规则。

建立向量的时候可以利用冒号表达式，冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：e1:e2:e3，其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。

还可以用linspace函数产生行向量，其调用格式为：linspace(a,b,n) ，其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。

可以看出来linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。

2、利用MATLAB函数创建矩阵基本矩阵函数如下：(1) ones()函数：产生全为1的矩阵，ones(n)：产生n*n维的全1矩阵，ones(m,n)：产生m*n维的全1矩阵；(2) zeros()函数：产生全为0的矩阵；(3) rand()函数：产生在（0，1）区间均匀分布的随机阵；(4) eye()函数：产生单位阵；(5) randn()函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。

3、利用文件建立矩阵当矩阵尺寸较大或为经常使用的数据矩阵，则可以将此矩阵保存为文件，在需要时直接将文件利用load命令调入工作环境中使用即可。

同时可以利用命令reshape对调入的矩阵进行重排。

reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m*n的二维矩阵。

矩阵的代数性质1.矩阵是线性映射的表示：线性映射的相加表示为矩阵的相加线性映射的复合表示为矩阵的相乘2.矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。

学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。

定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。

如：对称矩阵可以定义为：a ij =a ji也可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),还可以定义为： Ax=∇f(x), 其中f(x)=x T Ax/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x 处的梯度。

3. 矩阵可以表示为图像矩阵的大小可以表示为图像。

反之，一幅灰度图像本身就是矩阵。

图像压缩就是矩阵的表示问题.这时矩阵相邻元素间有局部连续性，既相邻的元素的值大都差别不大。

4. 矩阵是二维的(几何性质)矩阵能够在二维的纸张和屏幕等平面媒体上表示，使得用矩阵表示的问题显得简单清楚，直观，易于理解和交流。

很多二元关系很直观的就表示为矩阵，如关系数据库中的属性和属性值，随机马尔科夫链的状态转移概率矩阵，图论中的有向图或无向图的矩阵表示等。

第一章：线性空间和线性变换1. 线性空间集合与映射集合是现代数学最重要的概念，但没有严格的定义。

集合与其说是一个数学概念，还不如说是一种思维方式，即用集合(整体)的观点思考问题。

整个数学发展的历史就是从特殊到一般，从个体到整体的发展历程。

集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；集合中元素没有重合，子集，元素设S ，S'为集合映射：为一个规则σ：S → S', 使得S 中元素a 和S'中元素对应，记为 a'=σ(a),或σ：a →a'. 映射最本质的特征在于对于S 中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。

映射的原象，象；映射的复合。

第三章矩阵分析及其应用矩阵是线性代数中的重要概念，不仅在理论上有广泛应用，也在实际问题中具有重要的应用价值。

本章将介绍矩阵的基本概念和常用运算，以及矩阵在各个领域中的应用。

1.矩阵的基本概念矩阵是由m行n列的数排成的矩形阵列，通常用A、B、C等大写字母表示，其中A的第i行第j列的元素记作a_ij。

矩阵的大小用m×n表示，m表示行数，n表示列数。

特殊的矩阵有零矩阵、单位矩阵等。

矩阵的转置、相等、相加、相乘等运算是矩阵分析中的基础。

2.线性方程组与矩阵运算线性方程组是线性代数中的基本问题，可以使用矩阵运算来求解。

矩阵运算包括矩阵的相加、相乘等，可以用来简化计算过程，提高求解效率。

矩阵的转置能够将列向量转换为行向量，从而方便计算。

3.矩阵的逆与行列式行列式是矩阵的一个重要特征，可以判断矩阵是否可逆。

如果一个矩阵的行列式不等于0，则称该矩阵可逆，且可以使用其逆矩阵来求解线性方程组。

逆矩阵的计算方法有求伴随矩阵、幻方阵等多种方法。

4.矩阵的应用矩阵在各个领域中都有广泛应用。

在物理学中，矩阵可以描述电磁场、力学系统等；在经济学中，矩阵可以描述供求关系、价格变动等；在计算机科学中，矩阵可以用于图像处理、模式识别等。

总的来说，矩阵分析及其应用是线性代数中一个重要的分支，它不仅有着广泛的理论基础，还具有重要的实际应用价值。

掌握矩阵的基本概念和常用运算，能够帮助我们解决实际问题，提高计算效率。

同时，矩阵也是其他高级数学领域的重要工具，如微积分、概率论等。

因此，矩阵分析的学习和应用具有非常重要的意义。

矩阵分析方法及应用论文矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具，用于研究和解决与矩阵相关的问题。

矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。

矩阵分析方法可以应用于多个领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。

在以下回答中，我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用，并提供一些相关论文的例子。

首先，让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。

矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。

矩阵的元素可以是实数或复数。

通过矩阵分析，我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。

矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。

当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。

矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。

另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。

矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。

特征向量是与特征值对应的非零向量。

特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，例如图像处理、机器学习和数据压缩等。

矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。

下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子：1. 图像处理：矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用，例如图像压缩和恢复。

论文例子：《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。

2. 数据处理：矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用，例如矩阵分解和矩阵推荐系统。

论文例子：《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。

3. 信号处理：矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用，例如语音信号处理和音频编码。

论文例子：《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。

4. 控制系统：矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用，例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。

解题技巧第一章 矩阵的相似变换1.判断矩阵A 是否是正规矩阵，若果是，则求酉矩阵U ，使AU U 1-为对角矩阵。

理论依据：（1）A 酉相似于对角矩阵的充要条件是A 为正规矩阵（即：HH AA A A =）。

（2）Hermite 矩阵（A A H=)，实对称矩阵，对角矩阵等常用矩阵都是正规矩阵。

注：酉矩阵A （H A A=-1，1det =A ），HA ：先转置，再共轭（虚部取反）。

结论：所以判断矩阵A 是否是正规矩阵，只需判断A AH=是否成立，若A A H =成立，则存在酉矩阵U ，使AU U 1-为对角矩阵。

（当矩阵A 中都为实数时，THA A =)解题步骤：（1）由A 为Hermite 矩阵（A AH=)或实对称矩阵，推出A 为正规矩阵。

（2）由()A I -λdet 求得矩阵的特征值i λ，并求出相应的特征向量i p 。

（3）对特征向量先正交化（不同特征值之间的特征向量两两正交，无需正交化。

只有在重根所对应的特征向量之间需要正交化）；然后再单位化（当特征值都不同时只需正交化即可）。

正交化公式：()()量）为重根的另一个特征向为重根的一个特征向量21111222111(,,)(x y x x x x x y x x y -== (4)得酉矩阵U(为单位化之后的向量321,,q q q 组成的矩阵），对角矩阵AU U 1-（为特征值所组成的对角矩阵)。

（注：内积计算公式：()x y y x H=,，尤其注意虚数的计算）2.求解矩阵的最小多项式()λA m 。

理论依据：（1）最小多项式()λA m 包含A 的所有互不相同的特征多项式的因式。

（2）特征多项式必须是零化多项式。

（3）设nn CA ⨯∈，i λλλ ，，2是A 所有互不相同的特征值，则：()()()()t mi mmA m λλλλλλλ---= 2121，其中i m 是A 的标准型J 中含i λ的Jordan 块的最高阶数。