矩阵幂级数

矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法矩阵幂和矩阵指数函数是矩阵运算中比较重要的两个概念。

在矩阵幂和矩阵指数函数的计算过程中，我们需要用到一些特殊的算法和方法。

本文将介绍矩阵幂和矩阵指数函数的概念、计算方法和应用等方面的内容，帮助读者更好地了解和掌握这两个概念。

一、矩阵幂的概念对于一个$n$阶矩阵$A$，设$k$为一个自然数，则$A^k$表示$k$次幂。

即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k\text{个} A}$其中，当$k=0$时，$A^k$等于$n$阶单位矩阵$I_n$。

矩阵幂的计算过程中，我们需要用到矩阵乘法的定义。

对于两个$n$阶矩阵$A$和$B$，它们的乘积$AB$定义为：$AB=[c_{ij}]=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$其中，$c_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素，$a_{ik}$和$b_{kj}$分别表示第$i$行第$k$列的元素和第$k$行第$j$列的元素。

二、矩阵幂的计算方法矩阵幂的计算方法有两种：直接幂法和快速幂法。

1. 直接幂法直接幂法是一种比较简单的计算矩阵幂的方法。

对于一个$n$阶矩阵$A$和一个自然数$k$，我们可以通过$k-1$次连乘的方式计算出$A^k$的值。

即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k-1\text{个} A} \times A$由此可见，计算矩阵幂的直接幂法需要进行$k-1$次矩阵乘法运算，时间复杂度为$O(kn^3)$。

2. 快速幂法快速幂法是计算矩阵幂的高效方法，它能够有效地减少运算次数，提高计算效率。

该方法基于指数的二进制表示，通过不断地平方和乘以相应的权值，最终计算出矩阵幂的值。

具体步骤如下：（1）将指数$k$转换成二进制数，例如，$k=13$转换成二进制数为$1101$。

附录I 矩阵分析介绍一、内容提要本章以矩阵序列的极限理论为基础的，介绍矩阵分析的一些基本内容, 包括矩阵序列的极限运算，矩阵序列和矩阵级数的收敛定理, 矩阵幂级数的极限运算和矩阵函数，矩阵的微积分等. 由于采用相似的极限理论为基础, 因此本章内容与通常的(函)数列, (函)数项级数, 幂级数具有许多类似的结果, 建议读者在学习本章时, 与高等数学中相应的内容进行对照, 比较异同, 加深理解.(一) 矩阵序列于矩阵级数1．矩阵序列定义 设{}1k k ∞=A 为m n⨯C中的矩阵序列， 其中()()k k ija =A ．如果ij k ijk a a =∞→)(lim对i=1,2,…,m, j=1,2,…,n 均成立，则称矩阵序列{}1k k ∞=A 收敛，而()ij a =A 称为矩阵序列{}1k k ∞=A 的极限，记为lim k k →∞=A A .不收敛的矩阵序列称为发散的.从定义可知, 判断矩阵序列收敛需要判断所有矩阵元素组成的n m ⨯个数列同时收敛. 下面的定理告诉我们可以通过矩阵范数的收敛(一个数列)来判断矩阵序列的收敛.定理 设{}1k k ∞=A 为m n⨯C中的矩阵序列，⋅为m n⨯C 中的一种矩阵范数，则矩阵序列{}1k k ∞=A 收敛于矩阵A 的充要条件是k -A A 收敛于零．从线性空间的观点来看, 一个矩阵可以看作是它所在的矩阵空间中的一个“点”，因此一个矩阵序列的收敛问题就可以看成是该矩阵空间中的“点列”的收敛问题，就可以用各点到极限点的距离（范数）来描述收敛。

矩阵序列收敛有如下性质: （1） 设{}1k k ∞=A 和{}1k k ∞=B 为m n⨯C中的矩阵序列，并且lim k k →∞=A A ，lim k k →∞=B B ，则()lim ,,k k k αβαβαβ→∞+=+∀∈A B A B C ．（2） 设{}1k k ∞=A 和{}1k k ∞=B 分别为m n⨯C和n l⨯C中的矩阵序列，并且lim k k →∞=A A ，lim k k →∞=B B ，则 lim k k k →∞=A B A B ．（3） 设{}1k k ∞=A ，A ∈n n⨯C中的矩阵序列，lim k k →∞=A A 并且(1,2,)k k =A 和A 均为可逆的，则 11lim k k --→∞=A A．（4） 设n n⨯∈A C，lim 0kk →∞=A 的充分必要条件是<1ρ(A )．若对m n⨯C 上的某种范数⋅，有1<A ，则lim 0kk →∞=A .（5） 设{}1k k ∞=A ，∈A m n⨯C ，并且lim k k →∞=A A，则A A k k =∞→lim .2. 矩阵级数定义2设{}1k k ∞=A 为m n⨯C中的矩阵序列, 称12++++k A A A 为由矩阵序列{}1k k ∞=A 构成的矩阵级数，记为1k k ∞=∑A ．定义3 记1kk i i ==∑S A ，称之为矩阵级数1k k ∞=∑A 的前k 项部分和.若矩阵序列{}1k k ∞=S 收敛且lim k k →∞=S S ，则称矩阵级数1kk ∞=∑A收敛，而矩阵S 称为矩阵级数的和矩阵，记为1kk ∞=∑S =A．不收敛的矩阵级数称为发散的.定义4 设1k k ∞=∑A 为m n⨯C中的矩阵级数，其中()()k k ija=A ．如果∑∞=1)(k k ija对任意的1≤i≤m,1≤j≤n 均为绝对收敛的，则称矩阵级数1k k ∞=∑A 绝对收敛.对比矩阵级数绝对收敛的定义以及高等数学中的数项级数的绝对收敛的定义可以得出矩阵级数收敛的一些性质.（1） 若矩阵级数1k k ∞=∑A 是绝对收敛，则它一定是收敛的，并且任意调换各项的顺序所得到的级数还是收敛的，且级数和不变.（2） 矩阵级数1k k ∞=∑A为绝对收敛的充分必要条件是正项级数1k k ∞=∑A 收敛.（3） 设1k k ∞=∑A 为m n⨯C中的绝对收敛的级数，1k k ∞=∑B 为n l⨯C中的绝对收敛的级数，并且1kk ∞==∑A A, 1kk ∞==∑B B, 则1k k ∞=∑A ·1k k ∞=∑B 按任何方式排列得到的级数也是绝对收敛的，且和均为A B ．（4） 设p m⨯∈P C和n q⨯∈Q C为给定矩阵，如果n m ⨯型矩阵级数0k k ∞=∑A 收敛（或绝对收敛），则q p ⨯矩阵级数k k ∞=∑PA Q 也收敛（或绝对收敛），且有等式 00k k k k ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑P A Q P A Q ．(二) 矩阵幂级数定理 设∑∞=0k kk t a 为收敛半径为r 的幂级数，A 为n 阶方阵，则（１） ()r ρ<A 时，矩阵幂级数0kk k a ∞=∑A 绝对收敛；（２） ()r ρ>A 时，矩阵幂级数0kk k a ∞=∑A 发散.推论 设∑∞=-00)(k kk z z a 为收敛半径为r 的幂级数，A 为n 阶方阵，如果A 的特征值均落在收敛圆内，即r z <-0λ，其中λ为A 的任意特征值，则矩阵幂级数∑∞=-00)(k kk z a I A 绝对收敛；若有某个0i λ使得r z i >-00λ，则幂级数∑∞=-00)(k kk z a I A 发散．根据幂级数性质，幂级数的和函数是收敛圆内的解析函数（任意次可微，在任一点处均可展成Taylor 级数），而一个圆内解析的函数可以展开成收敛的幂级数．于是，如果)(z f 是 r z z <-0内的解析函数，其展成绝对收敛的幂级数为∑∞=-=0)()(k kkz z az f ，则当矩阵n n⨯∈A C的特征值落在收敛圆r z z <-0内时，定义∑∞=∆-=00)()(k kk z a f I A A并称之为A 关于解析函数)(z f 的矩阵函数.常用的一些矩阵函数有:232!3!e=++++AAAI A ；24cos 2!4!=-+-AAA I ；35sin 3!5!=-+-AAA A ;123()--=++++I A I A A A ;23ln()23+=-+-A A I A A .对于一般的矩阵函数()f A ,可以利用矩阵的Jordan 分解写出其具体表达式.定理 设∑∞=-=0)()(k k kz z az f 为收敛半径为r 的幂级数，A 为n 阶方阵，1-=A T JT 为其Jordan 分解，()s J J J J ,,,2 1diag =．当A 的特征值均落在收敛圆内时，即r z <-0λ，其中λ为A 的任意特征值，则矩阵幂级数∑∞=-00)(k kk z a I A 绝对收敛， 并且和矩阵为()()()()()-12,,,T J J J T A f s f f f 1diag=其中()i f J 的定义为(1)''()()()(1)!()()()()n ff f n f f f f λλλλλλ-⎛⎫⎪-⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭J. 另外，还可以通过待定系数的方法来求矩阵函数，避免求矩阵的Jordan 分解。

矩阵论知识点第一章：矩阵的相似变换1. 特征值，特征向量特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量2. 相似对角化充要条件：（1）（2）（3）（4）3. Jordan标准形计算：求相似矩阵P及Jordan标准形求Jordan标准形的方法：特征向量法，初等变换法，初等因子法4. Hamilton-Cayley定理应用：待定系数法求解矩阵函数值计算：最小多项式5. 向量的内积6. 酉相似下的标准形特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章：范数理论1. 向量的范数计算：1，2，范数2. 矩阵的范数计算：1，2，，m , F 范数，谱半径3. 谱半径、条件数第三章：矩阵分析1. 矩阵序列2. 矩阵级数特别的：矩阵幂级数计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3. 矩阵函数计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值4. 矩阵的微分和积分计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数如，dt dA(t),dt dA(t),)()(X R AXX X X X f T T T 等5. 应用计算：求解一阶常系数线性微分方程组第四章：矩阵分解1. 矩阵的三角分解计算：Crout分解，Doolittle分解，Choleskey分解2. 矩阵的QR分解计算：Householder矩阵，Givens矩阵，矩阵的QR分解或者把向量化为与1e同方向3. 矩阵的满秩分解计算：满秩分解，奇异值分解4. 矩阵的奇异值分解第五章：特征值的估计与表示1. 特征值界的估计计算：模的上界，实部、虚部的上界2. 特征值的包含区域计算：Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值3. Hermite矩阵特征值的表示计算：矩阵的Rayleigh商的极值4. 广义特征值问题AX转化为一般特征值问题计算：BX第六章：广义逆矩阵1. 广义逆矩阵的概念2. {1}逆及其应用计算：）（1A ，判别矩阵方程D AXB ，b Ax 解的情况3. Moore-Penrose 逆A计算：利用A 判别方程组b Ax 解的情况，并求极小范数解或极小范数最小二乘解第七章：矩阵的直积1. 矩阵的直积计算：B A 的特征值，行列式，迹2. 矩阵的行拉直计算：AXB 的行拉直，求解矩阵方程FXBAX 第八章：线性空间与线性变换1. 线性空间的基、维数、坐标计算：基、维数、坐标，值域和核空间2. 线性变换计算：线性变换的矩阵，线性变换的值域与核的基与维数3. 欧氏空间1. 求相似矩阵P 及Jordan 标准形2. 求解一阶常系数线性微分方程组3. Crout 分解，Doolittle 分解4. 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向5. 奇异值分解6. Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值7. 利用A 判别方程组b Ax 解的情况，并求极小范数解或极小范数最小二乘解8. 求解矩阵方程FXB AX 1.向量1，2，范数，矩阵的1，2，，m , F 范数，谱半径2.判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3.矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值4.函数矩阵，数量函数对向量的导数如，dt dA(t),dt dsinAt ，)()(X R AX X X X X f TTT 等5.模的上界，实部、虚部的上界6.矩阵的Rayleigh 商的极值7.广义特征值BX AX 转化为一般特征值问题8.）（1A ，B A 的特征值，行列式，迹9.基、维数、坐标，值域和核空间10.线性变换的矩阵，线性变换的值域与核的基与维数。

矩阵幂级数的收敛性质和应用孙延彬【摘要】根据矩阵幂级数的定义和数学分析中幂级数的收敛性质,运用类比的推理方法,在已知知识的基础上,验证并总结了矩阵幂级数的部分相应的收敛性质.【期刊名称】《和田师范专科学校学报》【年(卷),期】2010(029)003【总页数】4页(P198-201)【关键词】矩阵幂级数;范数;收敛性质【作者】孙延彬【作者单位】平顶山学院团委,河南平顶山,467000【正文语种】中文作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容；作为一种基本的工具，矩阵理论在数学以及其他科学技术领域，如数值分析、最优化理论、概率论、运筹学、控制理论、力学、电学、信息科学与技术、管理科学与工程等学科都有着重要的应用。

其中矩阵级数以及矩阵幂级数在建立矩阵函数和解决微分方程的许多问题时，也有着重要的应用。

目前有很多关于矩阵、幂级数以及矩阵幂级数的研究：曹玉平发表过《矩阵幂级数绝对收敛性的判定》，林金火发表过《矩阵幂级数的收敛性质》等，这篇文章从矩阵序列的收敛性质来讨论矩阵级数以及矩阵幂级数的收敛性质，主要分四个部分：范数的定义和有关性质、矩阵序列的定义和收敛性质、矩阵幂级数的收敛性质和应用。

定义 1.1 设V是数域F（一般为实数域R或复数域C）上的线性空间，用表示按某个法则确定的与向量x对应的实数，且满足：（1）非负性：当当且仅当（2）齐次性：为任意数；（3）三角不等式：对于V中任何向量x, y都有则称实数是向量x的范数。

定义1.2 设向量对任意数称xp−量为向量的范数。

常用的范数有下述三种：（1）1-范数（2）2-范数也称为欧氏范数；（3）∞-范数定义1.3 设V是n维线性空间，和为任意两种向量范数（不限于p−范数），则总存在正数对V中所有向量x∈V，总有则称这两种向量范数是等价的。

定义1.4 对于任何一个矩阵A ∈ Cm×n，用表示按照某个法则确定的与矩阵A对应的实数，且满足：（1）非负性：当时，；当且仅当时，（2）齐次性：k为任意复数；（3）三角不等式：对于任意两个同类型矩阵A, B都有（4）矩阵乘法相容性：若A与B可乘，有则称对于A的这个实数是矩阵A的矩阵范数。