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4-1,2矩阵级数

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6-2 矩阵级数

6-2 矩阵级数
A
(k ) 1
( aijk) ∑k=0 ∑i=1∑j=1 m n ∞
都收敛 ,由于 由于
m n
= max ∑ a
m j
(k ) i=1 ij
( ≤ ∑i=1 ∑j=1 aijk )
由正项级数的比较判别法， 由正项级数的比较判别法，
Department of Mathematics
可知级数 ∑k=0
∞
S = ∑k=0 A
∞
(k )
( n aijk) = sij i =1,L, m; ∑k=0
∞
j =1,L, n;
π
1 例1. 2k (k ) 已知矩阵序列{A } 的通项为A(k) = 0 ∞ A(k ) 判断矩阵级数 的敛散性 k =0
∑
4k 1 (k +1)(k + 2)
A(0) B(0) + ( A(0) B(1) + A(1) B(0) ) +L+ ( A(0) B(k ) +L+ A(k ) B(0) ) +L
绝对收敛, 绝对收敛 记: S
S
(n) 3 n
(n) 1
= ∑k=0 A
n
(k )
S
(n) 2
= ∑k=0 B(k)
n
( ( 则 S1(n)S2n) − S3n) = A(1) B(n) + A(2) B(n−1) +L+ A(n) B(1) +L+ A(n) B(n)
Department of Mathematics
当 ρ ( <
∞
R 时，幂级数
k k i
∑c λ

矩阵级数

矩阵级数

Department of Mathematics
c di 1 kdi 1 ki

c1 k1 ki ik
di di
所以


ck Ak ck (PJ k P1)
k 0
k 0

= P( ck J k )P1
k 0


= Pdiag(
，则它们按项
与B(k) k 0
相乘所得的矩阵级数
A(0) B(0) ( A(0) B(1) A(1) B(0) ) ( A(0) B(k)
也绝对收敛，且其和为AB
证明：只证4.及5.
均绝对收敛
A(k) B(0) )
4.因
A(k) A，记 S (n)
Department of Mathematics
其中
i

J
i
(i
)


1
i

(i 1, 2, , r) 1

i di di
于是
Ak

Pdiag( J1k
(1),
J
k 2
(2 ),
,
J
k r
(r
))
P
1
ik
J
k i
(i
)



c1 k1 ki ik
sA( k )(
n)
1
2k
a1
(1


q4kn
)



0
1 q11
(k 11)(2k
1 22) 3

1 34

矩阵范数与矩阵函数

矩阵范数与矩阵函数

2、方阵谱半径的估计
一般方阵的谱半径：
对角占优矩阵的谱半径：
6.5 矩阵幂级数
1、矩阵级数及其收敛性
矩阵序列： ������ ������×������ 中，形如������0 , ������1 , ⋯ , ������������ , ⋯的有序矩阵列，称 为矩阵序列。 矩阵级数：由矩阵序列������0 , ������1 , ⋯ , ������������ , ⋯构成的如下和式
������
, (������ = 1, ⋯ , ������; ������ = 1, ⋯ , ������) 均收敛，则称矩阵级数 ������������ ≜ ������������������
������
∞ ������=0 ������������ 绝对收敛。其中，
。
矩阵级数绝对收敛的判别：
������������ −1
������������ , (������ = 1, ⋯ , ������) 存在，则称函数
������������ −1
������(������)在������ 的谱������ ������ ≜ *������1 , ������2 , ⋯ , ������������ +上有定义，或������(������)在������ 的谱
1、方阵特征值的估计（特征值在复平面上的分布）
圆盘定理1：
盖尔圆系：定理 6.4.1中，并集 ������1 ∪ ������2 ∪ ⋯ ∪ ������������ ≜ ������ 称为矩 阵������的盖尔圆系。 ������ 区： ������ 的盖尔圆系 ������ 中，记由 ������ 个圆组成的连通域为 ������������ ，又 若������������ 与其它圆无公共点，则称������������ 为������区。 圆盘定理2： 设������������ 是������ 的盖尔圆系之 ������ 区，则������������ 中有且只有������ 的 ������ 个特征值 （������重根算������个）。 特征值估计的改善：

矩阵指数的定义

矩阵指数的定义

矩阵指数的定义矩阵指数是一个重要的数学工具，是矩阵理论中的一个基础概念。

下面来介绍它的定义和相关性质。

定义：矩阵指数是指对于一个 n 阶方阵 A，定义指数函数 f(x) = e^x，然后将其应用于 A，就得到了矩阵指数 exp(A) = f(A)。

其中 e 为自然对数的底数。

求解：矩阵指数的求解可以通过泰勒级数展开式来实现。

对于一个 n 阶方阵A，我们可以把它的指数函数表示成以下形式：exp(A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + ... + A^n/n! + ...其中 I 为 n 阶单位矩阵。

这个级数的求和式可以通过矩阵幂运算来实现。

性质：1. 对于任意的 n 阶矩阵 A 和 B，都有 exp(A+B) = exp(A)exp(B), 即矩阵指数具有可加性。

2. 对于任意的可逆矩阵 X 和它的逆矩阵 X^-1，都有 exp(X)exp(-X) = I，即矩阵指数具有可逆性。

3. 对于任意的实数 c 和 n 阶矩阵 A，都有 exp(cA) = exp(A)^c 和exp(A^n) = exp(nA)，即矩阵指数具有指数函数的所有基本性质。

4. 对于任意两个相似矩阵，它们的矩阵指数是相等的。

应用：矩阵指数在许多领域都有广泛的应用，比如微分方程、分析力学、量子力学等。

其中最常见的应用是通过指数函数来求解某些矩阵方程，比如矩阵微分方程和矩阵差分方程，以及求解线性系统的稳定性问题。

总结：矩阵指数是一种重要的数学工具，具有可加性、可逆性、基本性质和应用广泛等特点。

通过泰勒级数展开和矩阵幂运算，可以对矩阵指数进行求解。

它在许多领域都有广泛的应用，是矩阵理论中的一个基础概念。

矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法

矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法

矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法矩阵幂和矩阵指数函数是矩阵运算中比较重要的两个概念。

在矩阵幂和矩阵指数函数的计算过程中，我们需要用到一些特殊的算法和方法。

本文将介绍矩阵幂和矩阵指数函数的概念、计算方法和应用等方面的内容，帮助读者更好地了解和掌握这两个概念。

一、矩阵幂的概念对于一个$n$阶矩阵$A$，设$k$为一个自然数，则$A^k$表示$k$次幂。

即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k\text{个} A}$其中，当$k=0$时，$A^k$等于$n$阶单位矩阵$I_n$。

矩阵幂的计算过程中，我们需要用到矩阵乘法的定义。

对于两个$n$阶矩阵$A$和$B$，它们的乘积$AB$定义为：$AB=[c_{ij}]=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$其中，$c_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素，$a_{ik}$和$b_{kj}$分别表示第$i$行第$k$列的元素和第$k$行第$j$列的元素。

二、矩阵幂的计算方法矩阵幂的计算方法有两种：直接幂法和快速幂法。

1. 直接幂法直接幂法是一种比较简单的计算矩阵幂的方法。

对于一个$n$阶矩阵$A$和一个自然数$k$，我们可以通过$k-1$次连乘的方式计算出$A^k$的值。

即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k-1\text{个} A} \times A$由此可见，计算矩阵幂的直接幂法需要进行$k-1$次矩阵乘法运算，时间复杂度为$O(kn^3)$。

2. 快速幂法快速幂法是计算矩阵幂的高效方法，它能够有效地减少运算次数，提高计算效率。

该方法基于指数的二进制表示，通过不断地平方和乘以相应的权值，最终计算出矩阵幂的值。

具体步骤如下：（1）将指数$k$转换成二进制数，例如，$k=13$转换成二进制数为$1101$。

矩阵的运算及其运算规则

矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。

1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。

西南交大矩阵分析考试题型总结(复习备考必备,轻松拿下90分)

k 1 N
矩阵级数的部分和为：
矩阵级数的收敛性：如果矩阵级数的部分和序列收敛于 A，即 N
lim S N A
，
则称矩阵级数收敛于 A，记做
A
k 1

k
A.
矩阵级数收敛的等价定义： 矩阵级数收敛当且仅当相应的 mn 个数项级数是收
敛的。即设
Ak (a ), A (aij )
2013-2014 考试题型：
1、线性空间的定义及判别 2、矩阵函数 e A ,sin A,cos A 的计算 3、函数矩阵的微分、积分的计算 4、矩阵四种范数的定义、计算 5、Hamite-Caylay 定理 f x
E A f A 0
可用于解逆矩阵 6、V 上两组基之间的过渡矩阵计算 7、线性空间，线性变换在基下的矩阵的计算 8、向量在基下的坐标（就是求解线性方程组） 9、约当标准型的计算（P 的计算） 10、Smith 标准型的计算 11、schmit 正交化方法（化成标准正交基） 12、最小二乘解 Ax=b（ A Ax A b ）
1 2 1 2
2 1
1 2 ， 1 1 1
，
2 1
3、方阵幂级数 定义：
矩阵复幂级数收敛定理：若复幂级数
a A
k 1 k

k
的收敛半径为 R，而方阵 A C

nn
的谱半
径为 A ，则： （1）当 A R 时，方阵幂级数

a A
k 1 k
k
绝对收敛； （2）当 A R
时，方阵幂级数

研究生矩阵理论课后答案4,5章习题


2 1 − 2 3 1 0 4 1 1 0 −1 2 1 −1 0
0 5 0 1 1 0 4 1 1 0 −1 −2 0 −2 0
→
1 1 1 −2 −1 −1
0 5 0 1 1 0 4 1 1 0 1 2 0 2 0
同一向量的三种范数之间的大小关系 习题#5-4:对n维线性空间的任意向量x成 习题#5维线性空间的任意向量x #5
‖x‖∞ ≤‖x‖2 ≤‖x‖1 ≤ n‖x‖∞ ≤ n‖x‖2 ≤ n‖x‖1 ≤ n2‖x‖∞ ≤ …
立
证: |,…,|x ‖x‖∞= max{|x1|, ,|xn|} ≤(Σi=1n|xi|2)1/2 = ‖x‖2 |+…+|x ≤((|x1|+ +|xn|)2)1/2 = ‖x‖1 |,…,|x ≤ n max{|x1|, ,|xn|} = n‖x‖∞
习题#5是正定矩阵,x ,x∈ 习题#5-6A∈Cn×n是正定矩阵,x∈Cn #5
是向量范数. •证明:‖x‖=(x*Ax)1/2 是向量范数. 证明:‖x‖=(x
解1:因A是正定Hermite矩阵A,故存在可逆矩阵B 是正定Hermite矩阵A,故存在可逆矩阵B Hermite矩阵A,故存在可逆矩阵 使得A=B B.则 的上述表示式可写为: 使得A=B*B.则x的上述表示式可写为: (Bx)) ‖x‖=(x*Ax)1/2 =((Bx)*(Bx))1/2 =‖Bx‖2 其中‖‖ 是向量2 范数.再注意可逆矩阵B 其中‖‖2 是向量2-范数.再注意可逆矩阵B的性 Bx=0,即可直接推出非负性 即可直接推出非负性. 质:x=0 ⇔ Bx=0,即可直接推出非负性. ‖kx‖=‖B(kx)‖2=|k|‖Bx‖2=|k|‖x‖ 推出齐次性;三角不等式则由下式推出: 推出齐次性;三角不等式则由下式推出: ‖x+y‖=‖B(x+y)‖2≤‖Bx‖2+‖By‖2

矩阵论知识点

矩阵论知识点第一章：矩阵的相似变换1. 特征值，特征向量特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量2. 相似对角化充要条件：（1）（2）（3）（4）3. Jordan标准形计算：求相似矩阵P及Jordan标准形求Jordan标准形的方法：特征向量法，初等变换法，初等因子法4. Hamilton-Cayley定理应用：待定系数法求解矩阵函数值计算：最小多项式5. 向量的内积6. 酉相似下的标准形特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章：范数理论1. 向量的范数计算：1，2，范数2. 矩阵的范数计算：1，2，，m , F 范数，谱半径3. 谱半径、条件数第三章：矩阵分析1. 矩阵序列2. 矩阵级数特别的：矩阵幂级数计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3. 矩阵函数计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值4. 矩阵的微分和积分计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数如，dt dA(t),dt dA(t),)()(X R AXX X X X f T T T 等5. 应用计算：求解一阶常系数线性微分方程组第四章：矩阵分解1. 矩阵的三角分解计算：Crout分解，Doolittle分解，Choleskey分解2. 矩阵的QR分解计算：Householder矩阵，Givens矩阵，矩阵的QR分解或者把向量化为与1e同方向3. 矩阵的满秩分解计算：满秩分解，奇异值分解4. 矩阵的奇异值分解第五章：特征值的估计与表示1. 特征值界的估计计算：模的上界，实部、虚部的上界2. 特征值的包含区域计算：Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值3. Hermite矩阵特征值的表示计算：矩阵的Rayleigh商的极值4. 广义特征值问题AX转化为一般特征值问题计算：BX第六章：广义逆矩阵1. 广义逆矩阵的概念2. {1}逆及其应用计算：）（1A ，判别矩阵方程D AXB ，b Ax 解的情况3. Moore-Penrose 逆A计算：利用A 判别方程组b Ax 解的情况，并求极小范数解或极小范数最小二乘解第七章：矩阵的直积1. 矩阵的直积计算：B A 的特征值，行列式，迹2. 矩阵的行拉直计算：AXB 的行拉直，求解矩阵方程FXBAX 第八章：线性空间与线性变换1. 线性空间的基、维数、坐标计算：基、维数、坐标，值域和核空间2. 线性变换计算：线性变换的矩阵，线性变换的值域与核的基与维数3. 欧氏空间1. 求相似矩阵P 及Jordan 标准形2. 求解一阶常系数线性微分方程组3. Crout 分解，Doolittle 分解4. 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向5. 奇异值分解6. Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值7. 利用A 判别方程组b Ax 解的情况，并求极小范数解或极小范数最小二乘解8. 求解矩阵方程FXB AX 1.向量1，2，范数，矩阵的1，2，，m , F 范数，谱半径2.判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3.矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值4.函数矩阵，数量函数对向量的导数如，dt dA(t),dt dsinAt ，)()(X R AX X X X X f TTT 等5.模的上界，实部、虚部的上界6.矩阵的Rayleigh 商的极值7.广义特征值BX AX 转化为一般特征值问题8.）（1A ，B A 的特征值，行列式，迹9.基、维数、坐标，值域和核空间10.线性变换的矩阵，线性变换的值域与核的基与维数。

矩阵幂级数的收敛性质和应用

矩阵幂级数的收敛性质和应用孙延彬【摘要】根据矩阵幂级数的定义和数学分析中幂级数的收敛性质,运用类比的推理方法,在已知知识的基础上,验证并总结了矩阵幂级数的部分相应的收敛性质.【期刊名称】《和田师范专科学校学报》【年(卷),期】2010(029)003【总页数】4页(P198-201)【关键词】矩阵幂级数;范数;收敛性质【作者】孙延彬【作者单位】平顶山学院团委,河南平顶山,467000【正文语种】中文作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容；作为一种基本的工具，矩阵理论在数学以及其他科学技术领域，如数值分析、最优化理论、概率论、运筹学、控制理论、力学、电学、信息科学与技术、管理科学与工程等学科都有着重要的应用。

其中矩阵级数以及矩阵幂级数在建立矩阵函数和解决微分方程的许多问题时，也有着重要的应用。

目前有很多关于矩阵、幂级数以及矩阵幂级数的研究：曹玉平发表过《矩阵幂级数绝对收敛性的判定》，林金火发表过《矩阵幂级数的收敛性质》等，这篇文章从矩阵序列的收敛性质来讨论矩阵级数以及矩阵幂级数的收敛性质，主要分四个部分：范数的定义和有关性质、矩阵序列的定义和收敛性质、矩阵幂级数的收敛性质和应用。

定义 1.1 设V是数域F（一般为实数域R或复数域C）上的线性空间，用表示按某个法则确定的与向量x对应的实数，且满足：（1）非负性：当当且仅当（2）齐次性：为任意数；（3）三角不等式：对于V中任何向量x, y都有则称实数是向量x的范数。

定义1.2 设向量对任意数称xp−量为向量的范数。

常用的范数有下述三种：（1）1-范数（2）2-范数也称为欧氏范数；（3）∞-范数定义1.3 设V是n维线性空间，和为任意两种向量范数（不限于p−范数），则总存在正数对V中所有向量x∈V，总有则称这两种向量范数是等价的。

定义1.4 对于任何一个矩阵A ∈ Cm×n，用表示按照某个法则确定的与矩阵A对应的实数，且满足：（1）非负性：当时，；当且仅当时，（2）齐次性：k为任意复数；（3）三角不等式：对于任意两个同类型矩阵A, B都有（4）矩阵乘法相容性：若A与B可乘，有则称对于A的这个实数是矩阵A的矩阵范数。

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π
研究矩阵级数 ∑ A k 的收敛性 提示：由 S = ∑ A = 提示： N k
k =1 N
π
1 1− 9 4 1 1− N +1
N

故有
π 1 S = 9 0 1
收敛矩阵级数的性质： 收敛矩阵级数的性质： （1）若矩阵级数 ∑ A k 收敛，则 lim A k = 0 ; 若矩阵级数 收敛，
n×n
如果有 lim Ak = 0 则称A为收敛矩阵。 则称A为收敛矩阵。 , k →∞
lim k 定理： 定理：设 A ∈ C n×n , 则 k →∞ A = 0 的充分必要条件为 ρ ( A) < 1
证明
由Rordan分解定理，存在可逆矩阵P，使得 Rordan分解定理，存在可逆矩阵P 分解定理
正项级数 ∑ Ak 收敛
k =1
∞
方阵幂级数
∑a A
k =1 k
∞
k
= a0 I + a1 A + a2 A + ⋯ + ak A + ⋯
2 k
A ∈ C n×n , ak ∈ C
矩阵幂级数也有类似于数项幂级数的收敛定理： 矩阵幂级数也有类似于数项幂级数的收敛定理： 定理： 定理：设 A ∈ C
n×n
m×n 定理：设矩阵序列{A 定理：设矩阵序列{Ak}, Ak ∈ C , k = 1,2,⋯ 若 lim
lim 则对于任一范数矩阵有 k →∞ Ak = A
提示：利用矩阵范数的性质 提示：
k→ ∞
Ak = A
Ak − A ≤ Ak − A
及矩阵序列的收敛性即可。 及矩阵序列的收敛性即可。 说明：此定理的逆命题不正确，反例见P97例 说明：此定理的逆命题不正确，反例见P97例2 P97
λi k −n + 2 λi
i
k − ni +1
⋮
1 C k λi k −1
λik
λik
∈ C ni ×ni
则 lim J ik = 0 ⇔ λi < 1 ⇔ ρ ( A) < 1
推论·设 上的相容矩阵范数 相容矩阵范数使 推论 设 A ∈ C n×n , 如果存在 C n×n 上的相容矩阵范数使 A < 1, 则有 lim Ak = 0
, 并且幂级数 k∑ a k z =1
∞ k k =1
∞
k
的收敛半径为R， 的收敛半径为 ，如果
ρ ( A) < R, 则矩阵幂级数 ∑ a k A 绝对收敛；如果 ρ ( A) > R, 绝对收敛；
a k A k 发散。 发散。 则矩阵幂级数 ∑
推论： 推论：设 A ∈ C
k =1 n×n
∞
, 如果 C n×n 上的某种相容矩阵范数 ⋅ 使得
因此， 因此，可构成部分和序列 S1, S 2 , ⋯ , S N , ⋯
矩阵级数的收敛性
lim 如果矩阵级数的部分和序列收敛于A 如果矩阵级数的部分和序列收敛于A，即 N →∞ S N = A
则称矩阵级数收敛于A，记做 则称矩阵级数收敛于A 矩阵级数收敛的等价定义
∑
∞
k =1
Ak = A.
矩阵级数收敛当且仅当相应的mn个数项级数是收敛的。 矩阵级数收敛当且仅当相应的mn个数项级数是收敛的。 mn个数项级数是收敛的 即设 Ak = (a ), A = (aij ) 则
矩阵序列的极限 矩阵序列{A 收敛于A 矩阵序列{Ak}收敛于A当且仅当相应的元素序列是收敛的。
( 即设 Ak = (aijk ) ), A = (aij )
( lim Ak = A ⇔ lim aijk ) = aij k →∞ k →∞
1 1+ 例1、 lim m m →∞ −1
∞ k
定理： A ∈ C n×n ,则矩阵幂级数 ∑ A 收敛的充分必要条件是 定理： 设 即矩阵A为收敛矩阵 即矩阵 ρ ( A) < 1 （即矩阵A为收敛矩阵） 若矩阵幂级数收敛，其和为 (I − A)−1 即 若矩阵幂级数收敛 ，即
k =1 k =1
∑ A = ( I − A ) −1
k
∞
0 .1 0 .7 例2、求 A 的和 ，其中A = 、 ∑ 0 .3 0 .6 k =0 提示：由 A ∞ = 0.9 < 1 知A为收敛矩阵，从而 提示： 为收敛矩阵， 为收敛矩阵
P −1 AP = J = diag ( J 1 , J 2 , ⋯, J s )
λ i Ji = 1
其中
λi
1 ⋯ ⋱ ⋱ ⋮ λi 1 λi n ×n i i ⋯
则
k →∞
k P −1 A k P = J k = diag J 1k , J 2 , ⋯, J sk
1 (k + 1) 2 = 1 , 可知收敛半径R = 1 , 由 lim k →∞ 1 k2 对应的数项级数收敛， 而当 z = ± 1 时， 对应的数项级数收敛，
1 k 因此 幂级数 ∑ 2 z 的收敛域为 [−1 , 1]. k =0 k
再求矩阵A的谱半径，ρ 再求矩阵 的谱半径， ( A) = 1, 的谱半径
m× n 使得对于矩阵A 如果存在矩阵 A ∈ C , 使得对于矩阵A的任一范数有
lim Ak − A = 0
k →∞
则称矩阵序列{Ak}收敛于A，或称矩阵A是矩阵序列{Ak}的 则称矩阵序列{A 收敛于A 或称矩阵A是矩阵序列{A 极限, 极限,记作
lim
k→ ∞
Ak = A
如果矩阵序列{A 不收敛，则称它是发散的。 如果矩阵序列{Ak}不收敛，则称它是发散的。
(
)
而
lim k 因此 Ak = 0 ⇔ lim J k = 0 ⇔ k →∞ J i = 0 (i = 1,2,⋯, s ) lim
k →∞
λik J ik =
k →∞
C λi
1 k
k −1
C λi
2 k 1 k
k −2 k −1
⋯
C
λik
C λi ⋱
⋯ C ⋱
ni −1 k ni − 2 k
k =1 k→∞ ∞ ∞
（2）若矩阵级数 ∑ A k = S 1 , ∑ B k = S 2 , 则 若矩阵级数
k =1 k =1
∞
k =1
∑ ( aA k + bB k ) = aS 1 + bS
m×m∞Leabharlann 2,∀a,b ∈ C
∞
（3）设 P ∈ C 设
∞
,Q ∈ C
∞ k =1
n× n
收敛， , 若矩阵级数 k∑ A k 收敛，则 =1
n→∞
例2、判断矩阵是否为收敛矩阵 判断矩阵是否为收敛矩阵
0.2 0.1 0.2 A = 0.5 0.4 0.4 0.1 0.3 0.2
提示：由 A 1 = 0.8 < 1 知A为收敛矩阵。 为收敛矩阵。 提示： 为收敛矩阵 注意： 是矩阵A为收敛矩阵的充分条件 不是必要条件。 为收敛矩阵的充分条件， 注意： A < 1 是矩阵 为收敛矩阵的充分条件，不是必要条件。 即：矩阵A的范数都大于1，该矩阵也有可能是收敛矩阵。 矩阵A的范数都大于1 该矩阵也有可能是收敛矩阵。 矩阵
k →∞
说明：在性质（3）中Ak与A必须都可逆。反例见P96例 说明：在性质（ 必须都可逆。反例见P96例 P96
在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列。 在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列。关 于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理。 于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理。 定义： 定义：设 A ∈ C
k
k =1
∞
∑ A = (I − A)
k
∞
−1
1 0 .4 0 .7 = 0 .3 0 .9 0.15
1 k 例3、讨论矩阵幂级数 ∑ 2 A 、 k =1 k
∞
∞
4 1 的收敛性， 的收敛性，其中 A = − 1 − 3
1 k 提示： 的收敛域。 提示：首先求幂级数 ∑ 2 z 的收敛域。 k =0 k
第四章
矩阵分析
1·矩阵序列与矩阵级数 矩阵序列与矩阵级数 2·矩阵函数 矩阵函数 3·函数矩阵与矩阵值函数的微分及应用 函数矩阵与矩阵值函数的微分及应用
第一节 矩阵序列 第二节 矩阵级数
主要内容 矩阵序列及其收敛性 2·矩阵级数的收敛性 矩阵级数的收敛性 3·矩阵幂级数的收敛性 矩阵幂级数的收敛性
∞
∞ k =1
A
k 2 k ∑ a k z = a 0 + a1 z + a 2 z + ⋯ + a k z + ⋯ 在幂级数
的收敛域内，则矩阵幂级数 绝对收敛。 的收敛域内 则矩阵幂级数 ∑ a k A 绝对收敛。
k k =1
∞
特别地，对于幂级数 特别地，
k =1
∑A ,
k
∞
有下面的收敛定理： 有下面的收敛定理：
(k ) ij
∑
k =1
∞
( Ak = A ⇔ ∑ aijk ) = aij k =1
∞
例1、已知 、
1 k Ak = 2 0
∞ k =1
k 3 × 4 (k = 1,2, ⋯) 1 k (k + 1)
1 N 1 − 2 0
收敛的矩阵序列的性质 设矩阵序列{A 分别收敛于A 设矩阵序列{Ak}, {Bk}分别收敛于A，B；则
(1) lim (λAk + µBk ) = λ lim Ak + µ lim Bk