(9)2.2导数的运算法则

3cos2 x2 (sin x2)(x2)
3cos2 x2 (sin x2) 2x 6xsin x2 cos2 x2
（2） y ln( x 1 x2 )
解： y [ln(x 1 x2 )]
1
(x 1 x2 )
x 1 x2
1 (1 1 (1 x2 )) x 1 x2 2 1 x2
例 1．求下列函数的导数
（1） y x5 x 13x cos x ；
x3
解：
y
x2
x
5 2
x
3
3x
cosx
，
y
(
x2
)
(x
5 2
)(
x3
)(3x
)co
sx
3x
(cosx)
2x
5
7
x2
3x
4
3x
ln3cosx
3x
sin
x
。
2
（2） y x3 sin x(ln x 1 )
x
解： y[x3 sin x(ln x 1 )] x
解： f (e) 2 ，
∵ f (x) 在x e 的某邻域内是严格单调增加的连续函数，
且
f
(e)
(1 x
3x2 e3
)
xe
4 e
0
，
∴ ( f 1)(2) 1 e 。 f (e) 4
例 7．（1）求 y arcsin x ，x (1, 1) 的导数。
解：∵ y arcsin x 在(1, 1) 内严格单调增加且连续，
§2.2 求导法则与导数公式
2.2.1 若干基本初等函数的导数
1.(C)0 ；
2.(x ) x1 (R) ；

2.2 导数的基本公式与运算法则
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2.2.2 导数的四则运算法则
x3 2 x 5 ,求 y 。 例10 已知 y x
解： y ( x 2 2 x 5 x 1 ) 2 x x
1 2

3 2
5 x 2
sin2 x cos2 x y 2x e x ,求 y 。 例11 已知 sin x cos x
y ((2e) x tan x cot x) 解：
(2e) x ln2e sec2 x csc2 x
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2.2.1 导数的基本公式
2. 基本导数公式
C 0（C 为任意常数)
x 1( 为实数） (x )

(a x ) a x lna (a 0, a 1)
特别： (e x ) e x
1 (loga x ) (a 0, a 1) x ln a
1 特别： (ln x ) x
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2.2.1 导数的基本公式
2. 基本导数公式

1 ln x x2
2 cos x (1 sin x )2
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2.2.2 导数的四则运算法则
例8 已知 y tan x ,求 y。 解：
sin x (sinx ) cos x sin x(cos x ) y cos x cos2 x
[u( x ) v( x )] u( x ) v( x )

f ′( 0 ) = ( − 1)( − 2 )( − 3 )⋯( − 100 ) = 100!.
解法2 利用导数的定义） 解法2 （利用导数的定义）
f ( x )− f (0) = lim x ( x −1)( x − 2)⋯( x −100)− 0 f ′(0)= lim x x→0 x −0 x→0
∴ y = arctan x 在对应区间 ( −∞ , + ∞ ) 内可导，且 内可导，
1 1 1 1 (arctanx )′ = ,即 = = = 2 2 2 (tan y )′ sec y 1 + tan y 1 + x
(arctan x )′ =
1 1+ x 2
， x∈( −∞ , + ∞ ) .
= − e 2 x ln e 2 = −2e 2 x ,
当 x > 0 时， f ′( x )= ( x 2 )′ = 2 x ，
当 x = 0 时，由 f ( 0 − 0) = f ( 0 + 0) = f ( 0) = 0 ，
连续. 知 f ( x ) 在点 x = 0 连续.
f ( x ) − f ( 0) 1− e 2 x − 0 ∵ f −′ (0)= lim = lim = −2 ， x −0 x −0 x→0 − x→0 −
−
7 2
− 3 x − 4 + 3 x ln 3 cos x − 3 x sin x .
1 （2） y = x sin x (ln x − ) x
3
1 解： y′ = [ x sin x (ln x − )]′ x
3
1 1 1 3 ′ 3 3 = ( x ) sinx(lnx − ) + x (sinx)′(lnx − ) + x sinx ⋅ (lnx − )′ x x x

=
1 x
+ 3e x − 2cos 2 x .
7
导数的四则运算法则计算
x5 + x + 1 + 3 x cos x ； （2） y = x3
解： y = x + x
2
−
−
5 2
+ x + 3 cos x ，
x
−3
y′ = ( x 2 )′ + ( x )′ + ( x −3 )′ + (3 x )′ cos x + 3 x (cos x )′
f ′( 0) = ( −1)( −2)( −3) ⋯ ( −100 ) = 100!.
解法 2： 利用导数的定义） （利用导数的定义）
f ′(0) = lim
x →0
x →0
f ( x ) − f ( 0) x( x − 1)( x − 2)⋯ ( x − 100) − 0 = lim x →0 x−0 x
= f ′( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′( x )
4
∴函数 g ( x ) 在 x 点连续，
导数的四则运算法则计算
公式(1)、 可以推广到有限多个函数的情形 可以推广到有限多个函数的情形， 公式 、(2)可以推广到有限多个函数的情形，即
① [ f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) ± ⋯ ± f n ( x )]′ ′( x ) ± f 2′( x ) ± ⋯ ± f n′ ( x ) ； = f1
g( x ), α = 1 . = α >1 0,
可导。 ∴ f ( x ) 在点 x 处 可导。
15
导数的四则运算法则计算