2018年秋高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法学案新人教A版选修2_22018
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1 2.2.1 综合法和分析法 学习目标：1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2.会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．综合法 定义 推证过程 特点 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论) 顺推证法或由因导果法
2．分析法 定义 框图表示 特点 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法
逆推证法或执果索因法
思考1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ [提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”． 思考2: 综合法与分析法有什么区别？ [提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因． [基础自测] 1．思考辨析 (1)综合法是执果索因的逆推证法．( ) (2)分析法就是从结论推向已知．( ) (3)所有证明的题目均可使用分析法证明．( ) [答案] (1)× (2)× (3) × 2．命题“对于任意角θ，cos4 θ－sin4 θ＝cos 2 θ”的证明：“cos4 θ－sin4 θ＝(cos2 θ－sin2 θ)(cos2 θ＋sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos 2 θ”，其过程应用了 ( ) A．分析法 2
B．综合法 C．综合法、分析法综合使用 D．间接证法 B [从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．] 3．要证明A＞B，若用作差比较法，只要证明________． [解析] 要证A＞B，只要证A－B＞0. [答案] A－B＞0
4．将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，
即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立. 【导学号：31062143】
[解析] 用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤为：要证a2＋b22≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立． [答案] a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
[合 作 探 究·攻 重 难] 综合法的应用
(1)已知a，b是正数，且a＋b＝1，证明：1a＋1b≥4. (2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B－(2c－b)sin C.
①求证：A的大小为π3； ②若sin B＋sin C＝3，证明△ABC为等边三角形． [解] (1)法一：∵a，b是正数且a＋b＝1，
∴a＋b≥2ab，∴ab≤12，
∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4. 法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2ab>0， 1a＋1b≥21ab>0， 3
∴(a＋b)1a＋1b≥4. 又a＋b＝1， ∴1a＋1b≥4.
法三：1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1 ≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号． (2)①由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c， 即bc＝b2＋c2－a2，
所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，
所以A＝π3. ②因为A＋B＋C＝180°， 所以B＋C＝180°－60°＝120°， 由sin B＋sin C＝3， 得sin B＋sin(120°－B)＝3， sin B＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3， 32sin B＋32cos B＝3，
即sin(B＋30°)＝1. 因为0°＜B＜120°，所以30°＜B＋30°＜150°， 所以B＋30°＝90°，B＝60°， 所以A＝B＝C＝60°， 即△ABC为等边三角形． [规律方法] 综合法的解题步骤 4
[跟踪训练] 1.如图221，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE； (2)证明：PD⊥平面ABE.
图221 [证明] (1)在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD， ∴PD在底面ABCD内的射影是AD. 又AB⊥AD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 分析法的应用
设a，b为实数，求证： a2＋b2≥22(a＋b). 5
【导学号：31062144】 [证明] 当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，
∴a2＋b2≥22(a＋b)成立． 当a＋b＞0时， 用分析法证明如下：要证a2＋b2≥22(a＋b)，
只需证(a2＋b2)2≥22a＋b2. 即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立， ∴a2＋b2≥22(a＋b)成立． 综上所述，不等式得证． [规律方法] 用分析法证明不等式的三个关注点 分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式等 分析法是综合法的逆过程，即从“未知”“看”“需知” ，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件 分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性，其格式一般为“要证……，只要证…….只需证……，……显然成立，所以……成立”. [跟踪训练]
3．已知a，b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.
[证明] 要证ab＋ba≥a＋b， 只要证aa＋bb≥ab·(a＋b)． 即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)， 因为a，b是正实数， 即证a＋b－ab≥ab， 也就是要证a＋b≥2ab， 即(a－b)2≥0.
而该式显然成立，所以ab＋ba≥a＋b. 6
综合法和分析法的综合应用 [探究问题] 1．在实际解题时，综合法与分析法能否可以结合起来使用？ 提示：在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程． 2．你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路？ 提示：用框图表示如下：
其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论． 已知a、b、c是不全相等的正数，且0
求证：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2[思路探究] 解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成整式不等式证明． [解] 要证明：
logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2
只需要证明logxa＋b2·b＋c2·a＋c2由已知0abc. 由公式a＋b2≥ab>0，b＋c2≥bc>0，a＋c2≥ac>0， 又∵a，b，c是不全相等的正数， ∴a＋b2·b＋c2·a＋c2>a2b2c2＝abc.
即a＋b2·b＋c2·a＋c2>abc成立． ∴logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2母题探究：1.(变条件)删掉本例条件“0a＋lg b＋lg c. [证明] 要证lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c，只需证7
lga＋b2·b＋c2·c＋a2≥lg(a·b·c)， 即证a＋b2·b＋c2·c＋a2＞abc. 因为a，b，c为不全相等的正数， 所以a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0，c＋a2≥ac＞0， 且上述三式中等号不能同时成立， 所以a＋b2·b＋c2·c＋a2＞abc成立，
所以lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c成立． 2．(变条件)把本例条件“0[证明] 法一：由左式推证右式 ∵abc＝1，且a，b，c为互不相等的正数，
∴1a＋1b＋1c＝bc＋ac＋ab
＝bc＋ac2＋ac＋ab2＋ab＋bc2 ＞bc·ac＋ac·ab＋ab·bc ＝c＋a＋b.
∴1a＋1b＋1c＞a＋b＋c. 法二：由右式推证左式 ∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，
∴a＋b＋c＝1bc＋1ac＋1ab
＜1b＋1c2＋1a＋1c2＋1a＋1b2(基本不等式)＝ 1a＋1b＋1c. [规律方法] 分析综合法的解题思路 分析综合法的解题思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证. [当 堂 达 标·固 双 基] 1．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) 【导学号：31062145】
