高考数学单元考点复习等差数列的前n项和(2)

- 1 - 3.3 等差数列的前n项和（2）

教学目的：

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.

教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式

教学难点：灵活应用求和公式解决问题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的

教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1.等差数列的前n项和公式1：2)(1nnaanS

2.等差数列的前n项和公式2：2)1(1dnnnaSn

3.n)2da(n2dS12n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

（1） 利用na:

当na>0，d<0，前n项和有最大值可由na≥0，且1na≤0，求得n的值

当na<0，d>0，前n项和有最小值可由na≤0，且1na≥0，求得n的值

（2） 利用nS：由n)2da(n2dS12n二次函数配方法求得最值时n的值

二、例题讲解

例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.

解：由2n－1＜60,得n＜261,又∵n∈N*

∴满足不等式n＜261的正整数一共有30个.

即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以1a=1, 30a=59,n=30的等差数列.

∵nS=2)(1naan,∴30S=2)591(30=900.

答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.

- 2 - 例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和

分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}

解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}

由3n+2＜100,得n＜3232,且m∈N*,

∴n可取0，1，2，3，…，32.

即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.

把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.

它们可组成一个以1a=2,d=3, 33a=98,n=33的等差数列.

由nS=2)(1naan,得33S=2)982(33=1650.

答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.

例3已知数列,na是等差数列，nS是其前n项和，

求证：⑴6S，12S-6S，18S-12S成等差数列；

⑵设kkkkkSSSSS232,, （Nk）成等差数列

证明：设,na首项是1a，公差为d

则6543216aaaaaaS

∵121110987612aaaaaaSS

)6()6()6()6()6()6(654321dadadadadada

dSdaaaaaa3636)(6654321∵∴1817161514131218aaaaaaSS)6()6()6()6()6()6(121110987dadadadadadadaaaaaa36)(121110987dSS36)(612

12186126,,SSSSS是以36d为公差的等差数列

同理可得kkkkkSSSSS232,,是以2kd为公差的等差数列.

三、练习：

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.

分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.

解：根据题意，得4S=24, 5S－2S=27

- 3 - 则设等差数列首项为1a,公差为d,

则

27)2)12(22()2)15(55(242)14(44111dadada

解之得：231da ∴na=3+2（n－1）=2n+1.

2．两个数列1, 1x, 2x, ……,7x, 5和1, 1y, 2y, ……,6y, 5均成等差数列公差分别是1d, 2d, 求21dd与621721yyyxxx的值

解：5＝1＋81d, 1d＝21, 又5＝1＋72d, 2d＝74, ∴21dd＝87;

1x+2x+……+7x＝74x＝7×251＝21,

1y+2y+ ……+6y＝3×(1＋5)＝18,

∴

621721yyyxxx＝67.

3．在等差数列{na}中, 4a＝－15, 公差d＝3, 求数列{na}的前n项和nS的最小值

解法1：∵4a＝1a＋3d, ∴ －15＝1a＋9, 1a＝－24,

∴ nS＝－24n＋2)1(3nn＝23[(n－651)2－36512],

∴ 当|n－651|最小时，nS最小，

即当n＝8或n＝9时，8S＝9S＝－108最小.

解法2：由已知解得1a＝－24, d＝3, na＝－24＋3(n－1),

由na≤0得n≤9且9a＝0,

∴当n＝8或n＝9时，8S＝9S＝－108最小.

四、小结 本节课学习了以下内容：na是等差数列，nS是其前n项和，则

- 4 - kkkkkSSSSS232,, （Nk）仍成等差数列

五、课后作业：

1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.

解：由(n－2)·180＝100n＋2)1(nn×10，

求得n2－17n＋72＝0, n＝8或n＝9,

当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.

2．已知非常数等差数列{na}的前n项和nS满足

5)1(222310mnnmnSmn(n∈N, m∈R), 求数列{35na}的前n项和.

解：由题设知

nS＝lg(5)1(2223mnnmnm)＝lgm2＋nlg3＋5)1(2mnnmlg2,

即 nS＝[2lg5)1(m]n2＋(lg3＋2lg5m)n＋lgm2,

∵ {na}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

∴2lg5)1(m≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1,

∴ nS＝(－52lg2)n2＋(lg3－51lg2)n,

则 当n=1时，1a＝2lg533lg

当n≥2时,na＝nS－1nS＝(－52lg2)(2n－1)＋(lg3－51lg2)

＝2lg513lg2lg54n

∴na＝2lg513lg2lg54n

d=nnaa1=2lg54

35na=2lg513lg2lg)35(54n

=2lg5113lg2lg4n

数列{35na}是以8a=2lg5313lg为首项,5d=2lg4为公差的等差数列， ∴数列{35na}的前n项和为

- 5 - n·(2lg5313lg)＋21n(n－1)·(2lg4)＝nn)2lg5213(lg2lg22

3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.

解：设这个数列的首项为1a, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列，由已知得27323063063546612121dadada, 解得d＝5.

解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得2732354奇偶奇偶SSSS,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5.

4．两个等差数列，它们的前n项和之比为1235nn, 求这两个数列的第九项的比

解：38)(217)(217'171717117117117199SSbbaabbaaba.

5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和

解：在等差数列中，

10S, 20S－10S, 30S－20S, ……, 100S－90S, 110S－100S, 成等差数列，

∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，

1010S＋2910·D＝100S＝10, 解得D＝－22

∴ 110S－100S＝10S＋10×D＝－120, ∴ 110S＝－110.

6．设等差数列{na}的前n项和为nS，已知3a＝12，12S>0，13S<0，(1) 求公差d的取值范围；

(2) 指出1S, 2S, 3S, ……, 12S中哪一个最大，说明理由

解：(1)

0212131302111212113112daSdaS06011211dada,

∵ 3a＝1a＋2d＝12, 代入得 030724dd, ∴ －724

(2) 13S＝137a<0, ∴ 7a<0, 由12S＝6(6a＋7a)>0, ∴ 6a＋7a>0,

- 6 - ∴6a>0, 6S最大.