两数和的平方

完全平方公式各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是的熟记及应用．难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)．是进行代数运算与变形的重要的知识基础。

1．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即：这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的．这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．2．只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式．在运用公式时，有时需要进行适当的变形，例如可先变形为或或者，再进行计算．在运用公式时，防止发生这样错误．3．运用计算时，要注意：（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．（2）切勿把“乘积项” 中的2丢掉．（3）计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．4．与都叫做．为了区别，我们把前者叫做两数和的，后者叫做两数差的．三、教法建议1．在公式的运用上，与平方差公式的运用一样，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，教科书把公式中的字母同具体题目中的数或式子，用“ ”连结起来，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用进行计算．2．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．重要的是确定两数，然后再看是否两数的和（或差），最后按照公式写出两数和（或差）的平方的结果．3．如何使学生记牢公式呢？我们注意了以下两点．（1）既讲“法”，又讲“理”在教学中要讲法则、公式的应用，也要讲公式的推导，使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆．我们引导学生借助面积图形对做直观说明，也是对说理的重视．在“明白道理”这个前提下的记忆，即使学生将来发生错误也易于纠正．（2）讲联系、讲对比、讲特点对于类似的内容学生容易混淆，比如在本节出现的(a+b)2=a2+b2的错误，其原因是把和“旧”知识(ab)2=a2b2及分配律弄混，排除新旧知识间相互干扰的一种作法是向学生指明新知识的特点．所以讲“理”是要讲联系、讲对比、讲特点．教学设计示例一、教学目标1．理解的意义，准确掌握两个公式的结构特征．2．熟练运用公式进行计算．3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力．4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．5．渗透数学公式的结构美、和谐美．二、学法引导1．教学方法：尝试指导法、讲练结合法．2．学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用计算时，要注意：（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉．（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．三、重点·难点及解决办法（一）重点掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．（二）难点综合运用平方差公式与进行计算．（三）解决办法加强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用．四、课时安排一课时．五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征．2．引入，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维能力．3．举例分析如何正确使用，师生共练完成本课时重点内容．4．适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题．七、教学步骤（一）明确目标本节课重点学习及其应用．（二）整体感知掌握好的关键在于能正确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab中2的问题，在解题过程当中应多观察、多思考、多揣摩规律．（三）教学过程1．计算导入；求得公式（1）叙述平方差公式的内容并用字母表示；（2）用简便方法计算①103×97②103 × 103（3）请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题，并算出结果．学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果．要想用好公式，关键在于辨认题目的结构特征，正确使用公式，这节课我们继续学习“乘法公式”．引例：计算，学生活动：计算，，两名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后说出答案，得出公式．或合并为：教师引导学生用文字概括公式．方法：由学生概括，教师给予肯定、否定或更正，同时板书．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．①复习平方差公式，主要是引起回忆，巩固公式；编题在于提高兴趣．②有了平方差公式的推导过程，学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的认识方法，因此推导可以由计算直接得出．2．结合图形，理解公式根据图形完成下列问题：如图：A、B两图均为正方形，（1）图A中正方形的面积为____________，（用代数式表示）图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。

两数和（差）的平方教案设计泌阳县春水镇中心学校刘老师教学内容教科书P.32——P.34的内容本节课是华师大八年级（上）义务教育课程标准实验教材第12章第3节第二课时的内容。

它是学生在已经掌握整式的加减法、幂的运算、单项式乘法、多项式乘法之后进行学习的。

一方面它是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面也是后续学习的基础，不仅对提高学生运算速度、准确率有较大作用，更是今后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、分式运算的知识基础，同时乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端。

通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。

一、教学目标1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示。

2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。

3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想。

二、教学重难点重点：掌握公式的特点，牢记公式。

难点：对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义。

关键：引导学生对本节课公式结构特征进行理解，并注意同两数与这两数差的积的公式进行区分。

教学过程一、创设情景、问题导入很久很久以前,有一个国家的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主。

国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为b 米的正方形土地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了。

国王想不通了，他说：“你们的要求不是一样的吗？” 你认为他们的要求一样吗？以小组为单位，讨论交流a2+b2与(a+b)2的大小.思考怎样计算(a+b)2，结果是多少？二、探究新知，得出公式方法一、利用代数方法计算(a+b)2＝(a+b) (a+b)＝a2＋2ab＋b2方法二、利用几何图形的面积的两种表示方法验证。

两数平方和公式
平方和，数学术语，定义为2个或多个数的平方相加。

通常是一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。

平方和公式：n(n+1) ( 2n+1 ) /6 。

平方和公式是一个比较常用公式，于求连续自然数的平方和，其和又可称为四角锥数，或金字塔数也就是方形数的级数。

平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和（Sum of squares），其和又可称为四角锥数，或金字塔数（square pyramidal number）也就是正方形数的级数。

此公式是冯哈伯公式(Faulhaber's formula)的一个特例。

北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。

为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。

这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。

数学平方公式大全平方公式是数学中常用的一类公式，它们在解决各种数学问题时起到了重要的作用。

下面是数学平方公式的一些常见公式：1. 二次平方差公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²这个公式表示了两个数的平方的和等于这两个数分别平方之后的和再加上这两个数的乘积的两倍。

2. 二次平方和公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²这个公式表示了两个数的平方的差等于这两个数分别平方之后的差再减去这两个数的乘积的两倍。

3. 立方和公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b +3ab² + b³这个公式表示了两个数的和的立方等于第一个数的立方加上三倍的第一个数的平方与第二个数的乘积再加上三倍的第一个数和第二个数的平方的乘积再加上第二个数的立方。

4. 立方差公式：(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³这个公式表示了两个数的差的立方等于第一个数的立方减去三倍的第一个数的平方与第二个数的乘积再加上三倍的第一个数和第二个数的平方的乘积再减去第二个数的立方。

5. 平方和公式：a² + b² = (a + b)² - 2ab这个公式表示了两个数的平方的和等于这两个数的和的平方减去两倍的两个数的乘积。

6.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)这个公式表示了两个数的平方的差等于这两个数的和与差的乘积。

7. 完全平方公式：a² - 2ab + b² = (a - b)²这个公式表示了一个完全平方等于两个相等的数相减后再平方。

8. 立方和展开公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³这个公式表示了两个数的和的立方等于第一个数的立方加上三倍的第一个数的平方与第二个数的乘积再加上三倍的第一个数和第二个数的平方的乘积再加上第二个数的立方。

2.两数和（差）的平方【基本目标】1.能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示.2.能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法.3.通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想.【教学重点】掌握公式的特点，牢记公式.【教学难点】具体问题，具体分析，灵活运用完全平方公式.一、创设情景，导入新课王老汉开辟了一个正方形的菜园，它的边长是（a+b），则它的面积是多少？【学生活动】（a+b）2=a2+2ab+b2（用多项式乘以多项式算得）【教师活动】有没有更简洁的方法?回答是有的，今天将给大家一个满意的回答.二、师生互动，探究新知【教师活动】请同学们自学教材P32~P33内容.回答下列问题：1.计算（a+b）2= .2.这个公式的左边和右边各有什么特点？用文字叙述.3.你会用（a+b）2=a2+2ab+b2计算（a-b）2吗？4.你会结合教材P33图形验证吗？【学生活动】学生小组内合作、交流、并汇报探究结果，回答上述问题.【教学说明】在学生发言的基础上归纳：两个乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2文字叙述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方，加上（减去）这两数的积的2倍.口诀“首平方，尾平方，二倍乘积中间放”.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，并及时点评与指导，特别是公式运用中错误及时纠正.四、典例精析，拓展新知例已知x+y=4,xy=2，求（1）x2+y2;（2）3x2-xy+3y2;（3）x-y【分析】（1）x2+y2=（x+y）2-2xy;(2)3x2-xy+3y2=3（x+y）2-7xy；(3)（x-y）2＝（x+y）2-4xy.【答案】（1）12；（2）34；（3）x-y=【教学说明】x+y、xy、x2+y2是一组典型对称式，注意指导学生灵活进行公式变形.（x+y）2=（x-y）2+4xy.五、运用新知，深化理解1.已知：x2+y2=6,xy=5.求x+y;2.已知a、b满足，（a+b）2=1,（a-b）2=25,试求a2+b2+ab的值.【答案】1.x+y=±4；2.a2+b2+ab=7.【教学说明】本题是结合典例精析中公式变形后的变式训练，对公式变形不熟练学生给予有效指导.六、师生互动、课堂小结这节课你学到了什么？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节课在初中数学中占有重要地位，特别是公式应完全掌握，教学时为防止类比平方差公式，出现（a+b）2=a2+b2的错误，教师给出了口诀，相信同学们都能掌握该公式的结构特征.教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导，本节课考虑到换元思想将两数和与两数差的平方用两数和来推导，进一步体现转化思想，也加深了对两数和的平方公式的理解.本节课中的公式恒等变形较灵活，逻辑性较强，对学习困难的学生以更多指导与关心.。