第三章 一维定态问题

47 第三章 一维定态问题 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题——一维定态问题。其好处有： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。 §1 一维无限深势阱 （一） 一维运动 当粒子在势场V(x,y,z)中运动时，其定态Schrodinger 方程为：

此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： 123V(x,y,z) = V(x) + V(y) + V(z) 形式，则定态Schrodinger方程可在直角坐标系中分离变量。令(,,) () () () , xyzxyzXxYyZzEEEE，代入定态Schrodinger 方程

等式两边除以,,)()()()xyzXxYyZz（，得 于是定态Schrodinger方程化为三个常微分方程

22ˆ[(,,)](,,)(,,)2HVxyzxyzExyz



2222123222

()()()()()()(,,)(,,)2dddXxYyZzVxVyVzxyzExyzdxdydz





222222123222

()()()(,,)222dddYZXVxXZYVyXYZVzExyzdxdydz





222222123222

111()()()222dddXVxYVyZVzEXdxYdyZdz



 48

所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。 （二）一维无限深势阱 已知粒子所处的势场为：

粒子在势阱内势能为零。在阱外势能为无穷大，称为一维无限深方势阱。 例：如图所示，一块无穷大并足够厚的平板，取厚度方向为z轴，板上沿y方向开一条无限长的缝，沿x轴的缝宽为2a。电子束由板的下方入射。单就电子在x方向运动而言，便是一个（沿x方向）无限深方阱问题。 (1）列出各势域的定态Schrodinger方程

一维定态Schrodinger方程为

改写成 势V(x)分为三个区域，用Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ表示，其上的波函数别为 ,III和III

。则三个区域所满足的方程分别为：

221222222232[()]()()2[()]()()2[()]()()2x

yz

dVxXxEXxdxdVyYyEYydydVzZzEZzdz





0,||()||xaVxxa





-a 0 a

V(x)IIIIII

xze

222222

()()()()22()[()]()0dxVxxExdxdxVxExdx





222()()0IId

xxxadx 49

其中2/,2/VEE为常数。 (2)、解方程 满足上述方程的一般解分别为

波函数应满足条件:1.单值。显然成立； 2.有限。当x -∞ ， ψ有限条件要求C2=0和B2=0。当x +∞ ，ψ有限条件要求C1=0和B1=0。所以0,0III。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是ψ(-a) = ψ(a) = 0。于是方程的解可表示为

(3)、使用标准条件3，波函数连续。 由()()IIIaa得 同样由()()IIIIIaa得 波函数导数在边界x = ±a不连续 在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：

若ψI(-a)′= ψII(-a)′， 则有，0 = A αcos(-αa + δ) 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。

222()()0IIIId

xxaxadx

222()()0IIIIIId

xxxadx

1212sin()IxxIIIIIxxCeCeAxBeBe



0,sin(),0.IIIIIIAx



sin()0,Aasin()0Aa 50

前述方程有两组解:I、sinδ=0; Ⅱ、cosδ=0. Ⅰ、sinδ=0于是δ=0，因而sinαa=0,得

因2/E，所以能量本征值和对应本征函数为

不难看出，粒子的能量只能取分立值，这表明能量具有量子化的性质。n叫做主量子数，每一个可能的能量称为一个能级，n=1称为基态，粒子处于最低状态，1222/2Ea称为零点能。 讨论：00000,sin00IInEAx当时：，，状态不存在。 sinsinIIkkknkAxAxaa当时：，描写同一状态。 所以 n 只取正整数，即1,2,n。 Ⅱ、cosδ=0于是δ=π/2，因而cosαa=0,得

所以 于是对应的本征态波函数为：

类似 I 中关于 n =  m 的讨论可知 。于是能量本征值和对应本征函数可表示为

1(1/2)()(0,1,2,)2nanna

222222

2

2

(21)(1/2)228nnnEaa







12

021sin()coscoscos22IIIInIInnnAxAxAxAxaa





0,1,2,n

(0,1,2,)nanna222222

2

2222nnnEaa











sinsinIInnAxAxa

22228mmEa

 51

能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。下图为基态，第一激发态和第二激发态波函数及对应几率。

由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，

在无限远处，ψ = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。 （4）由归一化条件定系数 A

-a 0 a ψ1 -a 0 a |ψ1|2 -a 0 a ψ2 -a 0 a |ψ2|2

-a 0 a ψ3 -a 0 a |ψ3 |2

0,sin020,cos2IIIIIImIIIIIImAxmamAxma的偶数奇数。

2222||||||||aaIIIIIImmaadxdxdxdx

2||aIImadx

 52

于是 （三）宇称 （1）空间反演：空间矢量反向的操作。

（2）此时如果有：(,)(,)ttrr，那么 若(,)(,)ttrr，则称波函数具有正宇称（或偶宇称）； 若(,)(,)ttrr，则称波函数具有负宇称（或奇宇称）； （3）如果在空间反射下，(,)(,)ttrr则波函数没有确定的宇称。 （四）讨论 一维无限深势阱中粒子的状态

其能量本征值为： （1）n = 1,基态能221/80Ea，与经典最低能量为零不同, 这是微观粒子波动性的表现,因为“静止的波”是没有意义的。 （2）0,0,0nE，态不存在，无意义。而n = ± k, k=1,2,...。

2222||sin12||cos12aaaamAxdxmevenamAxdxmodda









211||AAaa（取实数）

(,)(,)ttrrrr

0||;1sin,||;21cos,||.2nxanxnevenxaaanxnoddxaaa







222,1,2,3,8nnEna



sinsin22coscos22nknkkkAxAxaakkAxAxaa



