第17课时 三角形及其性质

1 第四单元 三角形 第17课时 三角形及其性质 命题点1三角形的分类 1.（2016六盘水22题10分）在△ABC中，BC= 67，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图①，则有a2+b2＝c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2>c2，理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x， 在Rt△ADC中，AD2＝b2-x2， 在Rt△ADB中，AD2＝c2-（a-x）2， 则b2-x2=c2-（a-x）2，∴a2+b2=c2+2ax， ∵a>0,x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2. ∴当△ABC为锐角三角形时a2+b2>c2， 所以小明的猜想是正确的. （1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系； （2）温馨提示：在图③中，作BC边上的高； （3）证明你猜想的结论是否正确.

第1题图 2

命题点2三角形的三边关系、内外角关系 （遵义2015.22，黔东南州2考，黔西南州2014.17，毕节3考，安顺2015.7） 2. （2017黔东南2题4分）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是( )

第2题图 第3题图 3. （2017毕节6题3分）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点EC=70°，则∠AED的大小为（ ） A55° B125° C135° D140° 4. （2015安顺7题3分）已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长是( ) A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 5.（2016贵阳15题4分）已知△ABC，∠BAC=45°，AB=8，要使满足条件的△ABC唯一确定，那么BC边长度x的取值范围为______________. 3

6.（2014六盘水23题12分）（1）三角形内角和等于________； （2）请证明以上命题.

针对拓展 7. 如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数 为( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 45°

第7题图 命题点3三角形中重要线段的性质计算 （遵义2考，铜仁2考，毕节3考，安顺2015.24） 8. （2016毕节6题3分)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( ) 4

A. 三条高线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 9. （2014黔南州11题4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D，如果∠A=30°，AE=6 cm，那么CE等于（ ） A. 3 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm

第9题图 第10题图 第11题图 10. (2015毕节8题3分)如图，已知D为△ABC边AB的中点，点E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的点F处，若∠B＝65°，则∠BDF等于( ) A. 65° B. 50° C. 60° D. 57.5° 11. （2017遵义10题3分）如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是( ) A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6

12. （2017遵义12题3分）如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F，若AB＝11，AC＝15，则 5

FC的长为（ ） A.11 B.12 C.13 D.14 13. (2016六盘水14题4分)如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6 cm,则△ABC的周长为__________cm.

第12题图 第13题图 第14题图 14. （2016黔南州16题4分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B= 30°，AB边的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3,则BD的长为_____________. 15. （2015铜仁17题4分)如图，∠ACB=90°，D为AB中点，连

接DC并延长到点E，使CE= 14CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，若BF=10，则AB的长为_____________.

第15题图 16. （2016遵义17题4分)如图，AC⊥BC,AC=BC,D是BC上一点，

连接AD，与∠ACB的平分线交于点E，连接BE.若S△ACE= 67,S 6

△BDE= 314,则AC＝____________. 第16题图 17. （2015六盘水20题8分)如图，已知l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2， A为垂足，C2、C3是l1上的任意两点，点B在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2,△ABC3的面积为S3.小颖认为S1

＝S2＝S3，请帮小颖说明理由.

第17题图

针对拓展 18. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M， 交AC于点N，若BM+CN=9，则线 7

段MN的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

第18题图

答案 1. 解：（1）猜想：a2+b2＜c2.（3分） 8

（2）画图如解图所示： 第1题解图（6分） 【解法提示】作图方法： a.延长BC，在BC不同于A的一侧取一点G； b.以AG为半径画圆，交BC于E,F; c.分别以E、F为圆心，以大于12EF的长为半径画弧， 两弧相交于P; d．作射线AP，交BC于D，则AD即为所求. （3）证明：设CD=x, 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2=c2-(a+x)2， 在Rt△ACD中，同理可得AD2=b2-x2， ∴c2-(a+x)2=b2-x2， 整理得c2=b2+a2+2ax， ∵a>0,x>0，∴2ax>0, ∴c2＞b2+a2. ∴猜想正确.（10分） 2. C 【解析】∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠B+∠A，∵∠ACD=120°，∠B=20°，∴∠A=120°-20°=100°. 3. B【解析】∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∴∠CAB=180°- 9

70°=110°，∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠CAE=55°，∵AB∥CD，∴∠AED+∠BAE=180°，∴∠AED=180°-∠BAE=125°. 【一题多解】∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∴∠CAB=180°- 70°=110°，∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠CAE=55°，∴∠AED=∠C+∠CAE=70°+55°=125°. 4. B【解析】因为三角形的两边是3和4，所以第三边大于1且小于7，方程x2－12x+35=0可化为(x－5)(x－7)=0，即x1=5,x2=7（舍去），所以周长为12. 5. x=42或x≥8【解析】如解图，由题意可知点C在射线AM上，当BC⊥AC时，△ABC是唯一确定的，此时BC=AB·sin45°=42；当42点，故不合题意；当BC=AB时，以B为圆心，BC为半径作圆弧与射线AM交于点A和点C，而当交于点A时，不构成三角形，故当BC=AB=8时，符合题意；当BC＞AB时，以B为圆心，BC为半径作圆弧与射线AM只有一个交点，故x＞8符合题意；综上x的取值范围是x=42或x≥8.

第5题解图 6. 解：(1)180°；(4分) (2)已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 证明：如解图，过点C作CF∥AB，(6分) 10

第6题解图 ∵CF∥AB， ∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，(8分) ∵∠1+∠2=∠BCF， ∴∠B+∠1+∠2=180°， ∴∠B+∠ACB+∠A=180°， 即三角形内角和等于180°．(12分) 7. D【解析】∵AB∥CD，∴∠EFC=∠EBA=45°.∠EFC为△EFD的一个外角，∴∠EFC=∠E+∠D=45°,∴∠E+∠D的度数为45°. 8. D【解析】依题意知这个点到三角形每边的两个端点的距离相等，∴它是三条边的垂直平分线的交点. 9. C 【解析】∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6 cm，∴ED=3 cm，∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3 cm. 10. B【解析】∵△FDE是由△ADE折叠得到，∴DF=AD，∵D是AB的中点，∴BD=AD，∴BD=DF，∴∠B=∠DFB=65°，∴∠BDF=180°-2∠B=50°.

11.A【解析】根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△AEF=12S△

ABE=14S△ABD=18S△ABC＝32,同理S△AEG=32.根据三角形中位线的性质 11

得：FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，∴S△GEF＝14S△BCE=18S△ABC＝32,∴S△AFG=S△AEF+S△AEG+S△EFG=4.5. 12. C【解析】如解图，取AC中点N，连接EN，∵E是BC的中点，∴EN∥AB.

第12题解图 ∴EN=12AB，∠CNE＝∠BAC.∵EF∥AD，∴∠DAC＝∠EFN.又∵AD是∠BAC的平分线，∠CNE=∠EFN+∠FEN,∴∠EFN=∠FEN,∴FN=EN=12AB,∴FC＝FN+NC=12AB+12AC=12 (AB+AC)= 12×(11+15)=13. 13. 12【解析】因为EF是△ABC的中位线，所以EF∥BC，EF=12BC，所以△AEF∽△ABC，根据相似三角形的周长比等于相似比可知C△

AEF：C△ABC=EF：BC=12，因为△AEF的周长是6 cm，所以△ABC

的周长是12 cm. 14. 6【解析】∵在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，∴∠BAC=60°，又∵ED垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠BAD=∠B=30°,∴∠DAC=30°,∴AD=2DC=2×3=6，∴BD=6. 15. 8【解析】∵BF∥DE,D为AB中点,∴DE是△ABF的中位线,∵