八年级数学上册第十七章特殊三角形17.5反证法习题课件新版冀教版

反证法
例2 用反证法证明直角三角形，在 △ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，
AB=A′B′=AC=A′C′，
求证：△ABC≌△A′B′C′.
A
A'
B
C B'
C'
反证法
证明：假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′.
不妨设BC＜B′C′.如图,在B′C′上截取连接A′D.
所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角.
反证法
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为： (1)先假设原命题结论不正确; (2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已 知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
定义：像这样的证明方法叫“反证法”.
反证法
E
M A
G2 B
N
H1
C
D
F
∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行. 这与“经过已
知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.∴∠1≠∠2
的假设是不成立的.因此，∠1=∠2.
反证法
归纳：反证法的步骤： 第一步，假设命题的结论不成立. 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学 过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正 确的.
问题1 已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角.
证明：假设△ABC中有两个(或三个)直角，不妨设
∠A=∠B =90°.
C
∵∠A+∠B=180°，
∟
∴∠A+∠B+∠C >180°.

ac Cb A
∟
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CONTENTS
2
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反证法
问题1 已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角.
证明：假设△ABC中有两个(或三个)直角，不妨设
∠A=∠B =90°.
C
∵∠A+∠B=180°，
D
F
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反证法
证明：假设∠1≠∠2. 过点G作直线MN，使得∠EGN =∠1. ∴∠EGN=∠1， ∴ MN∥CD(基本事实). 又∵AB∥CD(已知)，
E
M A
G2 BNH1源自CDF∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行. 这与“经过已
知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.∴∠1≠∠2
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反证法
例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
已知：如图，在 △ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，
AB=A′B′=AC=A′C′，
求证：△ABC≌△A′B′C′.
A
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A'
B
C B'
C'
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反证法
反证法的 步骤
假设结论的反面成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确
∟

D. m 为非负数
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易错点 用反证法证明时易犯推出结论与假设相矛盾的错误 4. 阅读下列文字，回答问题.
例题：在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，若∠ A ≠45°，求 证： AC ≠ BC . 证明：假设 AC ＝ BC ，∵∠ A ≠45°，∠ C ＝90°， ∴∠ A ≠∠ B . ∴ AC ≠ BC ，这与假设矛盾， ∴ AC ≠ BC . 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方 法；若有错误，请予以改正.
且∠ APB ＞∠ APC ，求证： PB ＜ PC . (反证法)
123456
【证明】假设 PB ≥ PC ，
如图，把△ ABP 绕点 A 逆时针旋转，使点 B 与点 C 重
合，得到△ ADC ，
∴∠ APB ＝∠ ADC . 连接 PD ，
∵ PB ≥ PC ， PB ＝ CD ，
∴ CD ≥ PC ，∴∠ CPD ≥∠ CDP ，
123456
【解】有错误.改正： 假设 AC ＝ BC ，则∠ A ＝∠ B . 又∵∠ C ＝90°，∴∠ B ＝∠ A ＝45°， 这与∠ A ≠45°矛盾， ∴ AC ＝ BC 不成立，∴ AC ≠ BC .
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用反证法证角的不等关系
5. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过 程可以归纳为以下三个步骤： ①∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝90°＋90°＋∠ C ＞180°，这与 三角形的内角和为180°相矛盾，所以∠ A ＝∠ B ＝90° 不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角；
∵ AP ＝ AD ，∴∠ APD ＝∠ ADP ，
∴∠ APD ＋∠ CPD ≥∠ ADP ＋∠ CDP ，

的假设是不成立的.因此，∠1=∠2.
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归纳：反证法的步骤： 第一步，假设命题的结论不成立. 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学 过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正 确的.
B
C B' D C'
这与∠C′＝90°相矛盾.因此，BC≠B′C′的假设不成立，
即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立.
所以，△ABC≌△A′B′C′.
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反证法
练一练：利用反证法证明“直角三角形中至少有一个
锐角不小于45°”，应先假设( C )
A.直角三角形的两个锐角都小于45° B.直角三角形有一个锐角大于45° C.直角三角形的两个锐角都大于45° D.直角三角形有一个锐角小于45°
∟
∴∠A+∠B+∠C >180°.
A
B
这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.
因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的.
所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角.
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反证法
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为： (1)先假设原命题结论不正确; (2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已 知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
D
F
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反证法
证明：假设∠1≠∠2. 过点G作直线MN，使得∠EGN =∠1. ∴∠EGN=∠1， ∴ MN∥CD(基本事实). 又∵AB∥CD(已知)，

∠C'=90°相矛盾.因此，BC≠B'C'不成立.即△ABC与△A'B'C'不全等
的假设不成立.∴△ABC≌△A'B'C'.
练一练
1、写出下列各结论的反面：
（1）a//b；
a∥b
（2）a≥0；
a<0
（3）b是正数； b是0或负数
（4）a⊥b
a不垂直于b
2、利用反证法证明“直角三角形中至少有一个
锐角不小于45°”，应先假设( A )
第一步，假设
证明：假设△ABC中有两个（或三个） 本来命题结论
直角，不妨设∠A=∠B=90°.
A不正确；由矛盾的结果，
从这判个定假假设设和不其成他立，
∵∠A+∠B=180°，
已知从条而件说出明发命，题经的 过推结论论论是证正，确得的出.
∴∠A+∠B+∠C>180°.
C 矛盾的结果.
B
这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.
所以假设不成立，所求证的命题成立.
例题讲授
例1.用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直 线所截，同位角相等.
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB，
CD交于点G，H，∠1和∠2是同位角. 求证：∠1=∠2.
A
E
G
2
B
H
1
C
D
F
例题讲授
证明：假设∠1≠∠2. 假设
M
E
过点G作直线MN，使得∠EGN=∠1.
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
知识讲授
反证法
在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时 候间接证明的方法可能更方便，反证法就是一种常见的间接证明 方法.

子， 又抱小孩，怎能偷你三个大瓜？ 他运用了怎样的推理 分明是你调戏。"经过审问，果然不 方法?
错。
张飞推理方法是:
假设“少妇偷瓜” 少妇同时要抱小孩和三个瓜 与 “恶少无法抱动三个瓜”产生矛盾
假设 “少妇偷瓜”不成立 所以“少妇没有偷瓜” 是正确的
从前有个聪明的孩子叫王 戎。他7岁时,与小伙伴们外 出游玩,看到路边的李树上结 满了果子.小伙伴们纷纷去摘 取果子,只有王戎站在原地不 动.有人问王戎为什么，
学习目标
• 1.掌握反证法的证明步骤。 • 2.能用反证法进行推理。 • 3.学会反面说理的方法，培养从正反两方面
进行说理的能力。
• 学习重点
• 反证法的证明步骤
• 学习难点
• 能用反证法进行推理证明
故事说一个少妇抱着小孩回娘家，路 过瓜田，遇上一个恶少调戏。少妇不 从，被诬偷瓜，告到县衙。恶少暗中 用 钱收买为他看瓜的地保，嘱他摘三
所证 命题 成立
与已知条件
推理得 矛盾
假设
出的结 与定理，定
论
义，基本事
不成 立
实矛盾
常用的互为否定的表述方式：
是—— 不是
存在—— 不存在
平行—— 不平行 等于—— 不等于
大于—— 不大于
垂直—— 不垂直
都是—— 不都是 小于—— 不小于
至少有一个—— 一个也没有
至少有三个—— 至多有两个
至少有n个—— 至多有(n-1)个 至多有一个—— 至少有两个 三角形中最多有一个是直角——
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C__＞__1_8_0° 这与三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°___矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.

∠A≠∠B. 所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC. 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；
若有错误，请予以改正．
【点拨】假设结论不成立后，应该从假设入手，得 出角的关系，通过三角形的内角和定理可以得出与 已知相矛盾的结果，所以假设不成立．
思路导引：反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2) 从假设出发推出矛盾； (3)假设不成立，则结论成 立．运用反证法证题时，应从假设出发，把假设当 成已知条件，经过推理论证，得出与基本事实、定 义、定理或已知相矛盾的结果，从而判定假设不成 立，肯定结论，而非推出结论与假设相矛盾．
JJ版八年级上
第十七章 特殊三角形
17.5 反证法
提示：点击 进入习题
1
(1)结论 (3)矛盾
2D
(2)矛盾
3C
4B
5 见习题
6 见习题 7 见习题
答案显示
1．反证法的一般步骤： (1)假设命题的__结__论____不成立； (2)从提出的假设出发，结合已知条件，根据已学过的 概念、定理、基本事实推出与已知条件或已学过的 概念、定理、基本事实等相___矛__盾___的结果； (3)由__矛__盾____的结果，判定假设不成立，从而肯定原 命题的结论正确．
A．假设三个内角都不大于60° B．假设三个内角都大于60° C．假设三个内角至多有一个大于60° D．假设三个内角至多有两个大于60°
*5.阅读下列文字，回答问题． 题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，求证：
AC≠BC. 证明：假设AC＝BC，因为∠A＝AC，∠APB≠∠APC. 求证：PB≠PC.
【点拨】解这个问题的关键就是假设两条线段相等， 利用两条线段相等进行论证，最后得出与已知条件 相矛盾的结果，继而可得证．

总结
知1－讲
对于此题，要先写出、求证，然后运用 反证法证明.
知1－练
1 用反证法证明等腰三角形的底角是锐角．
解：：在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B和∠C都是锐角． 证明：假设等腰三角形ABC的底角∠B和∠C 都不是锐角，那么∠B≥90°，∠C≥90°， 所以∠B＋∠C≥180°. 那么该三角形的三个内角的和一定大于180°， 这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不 成立，即∠B和∠C都是锐角． 所以等腰三角形的底角是锐角．
知1－练
2 用反证法证明“在同一平面内，假设a⊥c，b⊥c
，那么
D
3
a∥b〞，第一步应假设( )
4
A．a∥b
B．a与b垂直
5 C．a与b不一定平行 D．a与b相交
6 3 用反证法证明C命题“如果x＞y，那么x3＞y3〞
时，假
7 设的内容应是( )
8
A．x3＝y3
B．x3＜y3
9
C．x3＜y3或x3＝y3 D．x3＜y3且x3＝y2
凸多边形中至多有3个锐角．
知2－练
1 用反证法证明在一个三角形中，不能有两个角 是钝角．
解：：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角． 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角． 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨 设∠A＞90°，∠B＞90°，那么∠A＋∠B＋∠C
＞ 180°，这与三角形的内角和定理相矛盾. 故 ∠A， ∠B均大于90°不成立． 所以在一个三角形中不能有两个钝角．
知识点 2 用反证法证明的步骤
知2－讲
用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是： 第一步，假设命题的结论不成立. 第二步，从这个假设和其他条件出发，经过 推理论证，得出与学过的概念、根本领实，已证明的 定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而 说明命题的结论是正确的.

yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/192021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月19日星期日2021/9/192021/9/192021/9/19 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/192021/9/19September 19, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/192021/9/192021/9/192021/9/19
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 11:39:03 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/192021/9/192021/9/19Sep-2119-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/192021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021

检测反馈
1.用反证法证实 “曾经清晰 :在△ABC中,∠C=90°.求证
:∠A,∠B中至少有一个角不大年夜 于45°〞A时,应先假设
() A.∠A>45°,∠B>45° B.∠A≥45°,∠B≥45° C.∠A<45°,∠B<45° D.∠A≤45°,∠B≤45°
剖析 :用反证法证实 命题“∠A，∠B中至 少有一个角不大年夜 于45°〞时，应先 假设 ∠A>45°,∠B>45°.应选A.
2.要证实 命题“假设 a>b，那么a2>b2〞是假命 题,以下a，b的值不克不迭 作为反例的D是 ( ) A.a=1，b=-2 B.a=0，b=-1 C.a=-1，b=-2 D.a=2，b=-1
剖析 :∵当a=1,b=-2或a=0,b=-1或a=-1，b=-2时， a>b，a2<b2，∴A，B，C都能证实 “假设 a>b,那么a2>b2〞是假命题，故A，B， C不符合 题意，只要 当a=2，b=-1时，“假设 a>b,那么a2>b2〞是真命题,故现在 a,b的值不克不迭 作为反例.应选D.
3.用反证法证实 “三角形的三个外角中至少有 两个钝角〞时,假设 精确 的选项D是 ( ) A.假设 三个外角全然 上 锐角 B.假设 至少有一个钝角 C.假设 三个外角全然 上 钝角 D.假设 三个外角中只要 一个钝角
剖析 :∵“至少有两个〞的背面为“至少有一个〞,而反证法的假设 即原命题的论 断 不成破 ,∴应假设 :三角形三个外角中至少有一个钝角,也能够 假设 :三个外角 中只要 一个钝角.应选D.
活动 二:应用 举例
用反证法证实 平行线的性质 定理一:两 条平行线被第三条直线所截,同位角相称 .