江苏省南京市2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(解析版)

南京市2015－2016 学年度第一学期期末学情调研高一数学2016.01 注意事项：1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第14 题）、解答题（第15 题~第20 题）两部分．本试卷满分为100 分，考试时间为100 分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案．．．写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．．．．．．．．一、填空题：本大题共14 小题，每小题 3 分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数 f ( x)＝1x –3的定义域是▲．2．集合{0 ，1} 的子集的个数为▲．3．求值：log 345－log35＝▲．4．已知角的终边经过点P(2，－1)，则sin 的值为▲．2．5．已知扇形的半径为3cm，圆心角为 2 弧度，则扇形的面积为▲cm6．函数 f ( x)＝cos (x－3)，x [0，2]的值域是▲．2，b＝log20.3，c＝20.3 之间的大小关系是▲（用a，b，c 表示，并用“＜”7．三个数a＝0.3连结）．8 y sin2x．将函数＝的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式是▲．6FDC9．如图，在矩形ABCD 中，已知AB＝3，AD＝2，→且BE→＝EC→，DF ＝1→2 FC→，则AE→·BF ＝▲．EA B（第9 题）3－log2x 的零点为x0，若x0 (k，k＋1)，其中k 为整数，则k＝▲．10．已知函数 f (x)＝x高一数学期末调研第 1 页共9 页11．已知函数 f (x)＝x，x≤0，eln x，x＞0，12其中 e 为自然对数的底数，则 f [f()]＝▲．12．已知定义在实数集R 上的偶函数 f (x)在区间[0，＋)上是单调增函数，且 f (lg x)＜f (1)，则x 的取值范围是▲．x－3×2x＋1－2 的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是▲．13．若函数 f (x)＝m·414．若函数 f (x)＝sin(ωx＋3) (ω＞0) 在区间[0，2 ]上取得最大值 1 和最小值－ 1 的x 的值均唯一，则ω的取值范围是▲．．．．．．．．．二、解答题：本大题共 6 小题，共58 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分8 分）4已知sin x＝，其中0≤x≤．5 2（1）求cos x 的值；cos(－x)（2）求的值．sin( 2－x) －sin(2 －x)16．（本小题满分10 分）已知向量a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，c＝(3，4) ．（1）求a·(b＋c)；（2）若(a＋b)∥c，求实数的值．高一数学期末调研第 2 页共9 页17．（本小题满分10 分）经市场调查，某商品在过去20 天的日销售量和日销售价格均为销售时间t(天)的函数，日销售量(单位：件)近似地满足： f (t )＝－t＋30(1≤t≤20，t N*) ，日销售价格(单位：元)近似地满足：g( t)＝2t + 40，1≤t≤10，t N* ，15，11≤t≤20，t N* ．（1）写出该商品的日销售额S 关于时间t 的函数关系；（2）当t 等于多少时，日销售额S 最大？并求出最大值．18．（本小题满分10 分）已知函数 f (x)＝A sin( x＋) （A＞0，＞0，0＜＜2 ）的部分图象如图所示，5且f (0)＝f (6 )．y（1）求函数 f ( x)的最小正周期；（2）求f (x)的解析式，并写出它的单调增区间．●●xO566–2（第18 题）高一数学期末调研第 3 页共9 页19．（本小题满分10 分）已知|a |＝10，| b |＝5，a·b＝－5，c＝x a＋(1－x) b．（1）当b c 时，求实数x 的值；（2）当| c |取最小值时，求向量 a 与c 的夹角的余弦值．20．（本小题满分10 分）对于定义在[0，＋)上的函数 f ( x)，若函数y=f ( x)－( a x＋b)满足：①在区间[0，＋)上单调递减；②存在常数p，使其值域为(0，p]，则称函数g (x)＝ax＋b 为f (x)的“渐近函数”．2＋2x＋3x（1）证明：函数g(x)＝x＋1 是函数 f ( x)＝，x [0，＋)的渐近函数，并求此时实x＋1数p 的值；（2）若函数 f ( x)＝x2＋1，x [0，＋)的渐近函数是g (x)＝ax，求实数 a 的值，并说明理由．高一数学期末调研第 4 页共9 页南京市2015－2016 学年度第一学期期末学情调研高一数学参考答案2016.01 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14 小题，每小题 3 分，共42 分．1．(3，＋) 2．4 3．2 4．－5 512，1] 7．b＜a＜c 8．y＝sin(2x－5．9 6． [3)12 9．－4 10．2 11．1，10) 12．(107 13．(0，＋) 14．[，12 13) 12二、解答题：本大题共 6 小题，共58 分．15．解（1）因为sin 2 2x ＋cos x＝1，所以cos 2 2x＝1－sin x＝1－( 45)2＝9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分25又因为0≤x≤2 ，故cos x≥≤0，所以cos x＝35．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）原式＝cosx cosx―(―sinx)cosx＝cosx＋sinx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分35 ＝35＋3＝．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分4 75高一数学期末调研第 5 页共9 页16．解（1）因为b＋c＝(3，－2)＋(3，4)＝(6，2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分所以a·(b＋c)＝(2，－1)·(6，2)＝12－2＝10．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（2）因为a＋b＝(2，－1)＋(3 ，－2 )＝(2＋3 ，－1－2 )，又(a＋b)//c，所以4(2＋3 ＝3(－1－2 )，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分解得＝－1118．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分17．解（1）由题意知，S＝f (t)·g( t)＝(2t＋40)(－t＋30)，1≤t≤10，t N* ，15(－t＋30)，11≤t≤20，t N*．⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）当1≤t≤10，t N*时，2＋20 t＋1200＝－2 (t－5)2＋1250．S＝(2t＋40)(－t＋30)＝－2 t因此，当t＝5 时，S 最大值为1250；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分当11≤t≤20，t N* 时，S＝15(－t＋30)＝－15t＋450 为减函数，因此，当t＝11 时，S 最大值为285．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分综上，S 的最大值为1250．答：当t＝5 时，日销售额S 最大，最大值为1250 元．⋯⋯⋯⋯⋯10 分18．解（1）由题意知，函数图象的一条对称轴为x＝0＋256＝5，⋯⋯⋯⋯ 2 分12则T4＝5－12 6＝，即T＝．4所以函数的最小正周期是π．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）由图可知，A＝2，因为T＝，所以＝2T＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分5 5 又f( )＝－2，所以 2 sin(12 65＋)＝－2，即sin(6＋)＝－1，因此56＋＝2k －，即＝2k －243，k∈Z．因为0＜＜2 ，所以＝23．高一数学期末调研第 6 页共9 页所以函数的解析式为 f (x)＝2sin(2x ＋所以函数的解析式为 f (x)＝2sin(2x ＋2 3 )． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分由 2k － 2 ≤2x ＋2 3≤2k ＋，k ∈Z ， 27解得 k － ≤x ≤k － ，k ∈Z ，12 12所以函数的单调增区间为 [k －7 ， k －]，k ∈Z ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分121219．解（1）b ·c ＝b ·[x a ＋(1－x) b ]2＝x b ·a ＋(1－x) b＝x ×(－5)＋(1－x)×5＝0，解得 x ＝1 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）|c |2＝[x a ＋(1－x) b ] 2＝x 2a 2＋2x(1－x) a ·b ＋(1－x)2 b 22－10 x (1－x)＋5(x －1)2＝10x2－20 x ＋5＝25x22＋1．＝25( x －5)所以，当 x ＝2 5时， | c | 2有最小值 1，即| c |有最小值 1． ⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分2有最小值 1，即| c |有最小值 1． ⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分2 此时， c ＝ 5a ＋3 5b ．2 5又 a ·c ＝a ·（a ＋3 b ） 5 ＝2×10＋32＋3 2 a a ·b ＝×(－5)＝1．5 5 5 5设向量 a ，c 的夹角为，则cos ＝a·c 1＝＝| a ||c |1×1010．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分1020．解（1）由题意知， f (x)－x－1＝2＋2x＋3 2＋2x＋3－(x＋1)2x x－x－1＝x＋1 x＋1＝2．x＋12易知，函数y＝在[0，＋)上单调递减，且值域为(0，2]．x＋ 1所以，函数g(x)＝x＋1 是函数 f ( x)＝2＋2x＋3x，x [0，＋)的渐近函数，x＋ 1此时p＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分高一数学期末调研第7 页共9 页（2）①当a＞1 时，考察函数y＝x2＋1－ax，令y＝0，得x2＋1＝ax，两边平方得x2＋1＝a2x2，所以x2＝ 12－1，a因为x≥0，所以x＝1，即x＝2－1a1时，函数y＝x2＋1－ax 的值为0．2＋1－ax 的值为0．2－1a因此，函数y＝x2＋1－ax 的值域不是(0，p]．所以g(x)＝ax 不是函数 f ( x)＝x2＋1的渐近函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分②当a＝1 时，考察函数y＝x2＋1－x，由于x ，下面考察t＝x2＋1－x＝ 12＋1＋x．2＋1＋x x任取x1，x2 [0，＋)，且x1＜x2，2 2则t1－t2＝x1＋1＋x1－x2＋1－x22 2＝x1＋1－x2＋1＋x1－x2＝2 21－xx22 21＋1 + x2＋1x＋x1－x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋1)＜0，2 21＋1＋x2＋1x所以函数t＝x2＋1＋x 在[0，＋)上单调递增，又当x 无限增大时，t 的值也无限增大，所以t 的取值范围是[1，＋)．因为函数y＝1t在(0，＋）单调递减，从而函数y＝x2＋1－x 在[0，＋）单调递减，且值域为(0，1] ．所以g(x)＝x 是f (x)＝x2＋1的渐近函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分③当0＜a＜1 时，方法（一）y＝x2＋1－ax＝( x2＋1－x)＋(1－a) x因为x2＋1－x (0，1]，所以y＞(1－a)x．假设y＝ax 是f (x)＝x2＋1的渐近函数，则y＝x2＋1－ax 的值域为(0，p]，故y的最大值为p．设(1－a)x＝p，则x＝p ，当x＞p1－a 1－a时，必有y＞p，矛盾．所以，此时g(x)＝ax 不是函数 f ( x)的渐近函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分高一数学期末调研第8 页共9 页方法（二）记F (x)＝x2＋1－ax，则 F (0)＝1，2＋1－ax＝1，即x2＋1＝ax＋1，解得x＝2a2a由x 2＞0，即F (0)＝F(2)，1－a 1－a所以函数y＝x2＋1－ax 在[0，＋)上不单调，所以g(x)＝ax 不是函数 f ( x)的渐近函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分④若a≤0，则函数y＝x2＋1－ax 在[0，＋)上单调递增，不合题意．综上可知，当且仅当a＝1 时，g(x)＝x 是函数 f (x)＝x2＋1的渐近函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分高一数学期末调研第9 页共9 页。

班级 姓名 学号 分数（测试时间：120分钟 满分：160分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. 若复数z 满足iz=1（其中i 为虚数单位），则|z|= _________ ． 【答案】1． 【解析】试题分析：设z=x+yi ，∵iz=1，∴i （x+yi ）=-y+xi=1，故x=0，y=-1，即z=-i ，所以|z|=1． 2. 若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为 【答案】-2 【解析】试题分析：12=(a+2i)(1-i)=(a+2)-(a-2)i z z 为纯虚数，所以a+2=0a-20a=-2.≠，， 3. 已知直线l 过点)1,0(-，且与曲线x x y ln =相切，则直线l 的方程为 . 【答案】1-=x y4. 已知1cos32π=21coscos554ππ=231cos cos cos 7778πππ=根据以上等式，可猜想出的一般结论是____． 【答案】231cos coscos cos 212121212n n n n n n ππππ=++++ 【解析】试题分析：由以上等式，可猜想出的一般结论是231coscoscos cos 212121212n n n n n n ππππ=++++ .5. 【2015届湖北省武汉华中师大附中高三5月考试】已知复数31i z i=+，则z 的虚部是 ．【答案】12- 【解析】试题分析：由题意(1)111(1)(1)222i i i z i i i ---+===-+-，虚部为12-．考点：复数的运算与复数的概念．【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时，注意利用多项式的乘法公式进行简便计算，在最后一步的计算中，根据21i =-，最后根据复数的加法原则，实部与实部相加，虚部与虚部相加便可得到最终结果；在进行复数的除法运算时，首先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数，分子的运算遵循复数的乘法运算法则，从而得到相应的结果．6. 【2014-2015学年广东省佛山黄岐高中高二下学期第一次质检】已知曲线222y x x =+-在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是【答案】(1,3)-- 【解析】试题分析：根据导数的几何意义，令'220y x =+=得1x =-，∴ (1,3)M -- 考点：导数值与斜率的关系．7. 【2014-2015学年甘肃省武威一中高一下学期期末】已知数列11113,5,7,9,481632试写出其一个通项公式： ． 【答案】*,21)12(1N n n a n n ∈++=+考点：数列的通项公式；8. 【2014-2015年辽宁实验中学等五校高二下期末】已知x 为实数，复数22(2)(32)=+-+++z x x x x i 为纯虚数，则x = ． 【答案】1【解析】试题分析：由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≠++=-+0230222x x x x ，即⎩⎨⎧≠++=+-0)1)(2(0)2)(1(x x x x ，即1=x ．考点：复数的概念．9. 【2014-2015学年安徽省青阳县木镇中学高二4月月考】已知函数x x x f sin cos )(+=，则=)4('πf .【答案】0 【解析】试题分析：x x x f sin cos )(+=()''sin cos 04f x x x f π⎛⎫∴=-+∴= ⎪⎝⎭考点：函数求导数10. 【2016届广东省惠州市高三第一次调研考试】如下面数表为一组等式：123451,235,45615,7891034,111213141565,s s s s s ==+==++==+++==++++=某学生猜测221(21)()n S n an bn c -=-++，若该学生回答正确，则3a b += ．【答案】4考点：合情推理.11.【2015届河南省八校高三上学期第一次联考】若函数31f x x a x =+-（） 在[0，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[3,0]- 【解析】试题分析：函数31f x x a x =+-（）3311x ax a x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+⎩，，＜，223131x a x f x x a x ⎧+≥'=⎨-⎩，（），＜，∵f （x ）在[0，+∞）上单调递增，当1x ≥ 时，230f x x a '=+≥（） ，∴3a ≥-；当01x ≤＜ 时，230f x x a '=-≥（），∴0a ≤．综上可得，30a -≤≤ ，故答案为：[30]-， ．12. 【2014-2015学年吉林省临江一中高二下学期期中考试】计算：12⨯|3＋4i|－10⨯（i 2010+i2011+i2012＋i2013）＝______ . （其中i 为虚数单位） 【答案】60故答案：60．13. 【2014-2015学年辽宁省实验中学分校高二新疆班下学期期末】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）=．2．已知向量，若，则实数m=．3．已知，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）=．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．5．设α∈，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为．6．若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．7．已知﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，则tanθ的值为．8．设且，则f（f（2））=．9．设函数f（x）=3|x|，则f（x）在区间（m﹣1，2m）上不是单调函数，则实数m的取值范围是．10．已知，，则tan（β﹣2α）等于．11．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为．12．已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．13．已知函数（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列三个命题：①函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；②存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；③关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}．则是真命题的有．（不选、漏选、选错均不给分）14．在斜三角形△ABC中，A=45°，H是△ABC的垂心，λ=+，则λ=．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设集合A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．20．对于定义在R上的函数f（x），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z函数”：①对任意x∈（﹣∞，a]，都有f（x）=C1；②对任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C2；③对任意x∈（a，b），都有（f（x）﹣C1）（f（x）﹣C2）＜0．（其中a＜b，C1，C2为常数）（1）判断函数f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1和f2（x）=x﹣|x﹣2|是否为R上的“Z函数”？（2）已知函数g（x）=|x﹣2|﹣，是否存在实数m，使得g（x）为R上的“Z函数”？若存在，求实数m的值；否则，请说明理由；（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a2+a）=h（4a），求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）={1} ．【分析】根据交集与补集的定义，进行化简与运算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，∴∁U A={1，4}，B={3，4}，∴∁U B={1，2}，∴（∁U A）∩（∁U B）={1}．故答案为：{1}．2．已知向量，若，则实数m=﹣1．【分析】先将向量，表示出来，再由二者共线即可得到答案．【解答】解：由题意知，=（1，3）﹣（0，1）=（1，2）=（m，m）﹣（0，1）=（m，m﹣1）∵∴存在实数λ使得即（1，2）=λ（m，m﹣1）解得，λ=﹣1，m=﹣1故答案为：﹣13．已知，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）=．【分析】由条件利用二倍角公式求得sinα=，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα的值，再利用诱导公式求出cos（α﹣π）的值．【解答】解：∵，3sin2α=2cosα，∴6sinα•cosα=2cosα，解得sinα=，∴cosα=﹣．故cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣cosα=，故答案为．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．5．设α∈，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为{1} ．【分析】分别验证α取不同的值时，函数y是否满足题意即可．【解答】解：当α=﹣1时，函数y=x﹣1的定义域为{x|x≠0}，不满足题意；当α=1时，函数y=x的定义域为R，且为奇函数，满足题意；当α=时，函数y=的定义域为{x|x≥0}，不满足题意；当α=时，函数y=x﹣1的定义域为R，且为偶函数，不满足题意；综上，满足题意的所有α值为{1}．故答案为：{1}．6．若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．【分析】先由已知条件求出•=﹣1，代入两个向量的夹角公式求出cosθ的值，结合θ的范围求出θ值．【解答】解：设，的夹角为θ．∵•（+）=1，∴+•=1，又∵||=，∴•=﹣1．∴cosθ===﹣．又∵0≤θ≤π，∴θ=．故答案为．7．已知﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，则tanθ的值为﹣．【分析】由条件判断tanθ＞﹣1，再根据sinθcosθ==﹣，求得tanθ的值．【解答】解：∵﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，∴1+2sinθcosθ=，即sinθcosθ=﹣＜0，∴θ∈（﹣，0），则tanθ＞﹣1．再根据sin θcos θ===﹣，求得tan θ=﹣（舍去），或tan θ=﹣，故答案为：﹣．8．设且，则f （f （2））= 6 ．【分析】通过，求出a 的值，然后求出f （2），即可求解所求表达式的值．【解答】解：因为设且，所以，所以a=7，f （2）==log 73，f （f （2））=f （log 73）=2=6．故答案为：6．9．设函数f （x ）=3|x|，则f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是 （0，1） ．【分析】由题意，函数f （x ）=3|x|，关于y 轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，要使f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数，则m ﹣1＜0＜2m ，解出即可．【解答】解：由题意，函数f （x ）=3|x|，关于y 轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∵f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数， ∴m ﹣1＜0＜2m ， ∴0＜m ＜1． 故答案为：（0，1）．10．已知，，则tan （β﹣2α）等于 ﹣1 ．【分析】把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tan α的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由==2tanα=1，得到tanα=，又，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．故答案为：﹣111．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为8．【分析】设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为g（t）=2sinπt﹣，由于g（x）是奇函数，观察函数y=2sinπt与y=的图象可知，在[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而x1+x2+…+x7+x8的值．【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣3，3]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．12．已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．【分析】根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b，然后根据分式函数和对数函数的单调性建立条件关系即可求出a．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴1﹣x2=b2﹣x2，即b2=1，解得b=±1．当b=﹣1时，函数f（x）=log a=f（x）=log a=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=1时，函数f（x）=log a=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣1，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣1，a）上单调递增，∵当x∈（﹣1，a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（a）=1，即f（a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1+，∴a+b=﹣1++1=，故答案为：．13．已知函数（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列三个命题：①函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；②存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；③关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}．则是真命题的有①②．（不选、漏选、选错均不给分）【分析】①由f（x+b）+f（b﹣x）=0即可判断①的正误；②将（a≠0，b∈R，c＞0），转化为y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，由△≥0即可判断②的正误；③由f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），可判断③的正误．【解答】解：对于①，∵f（x+b）+f（b﹣x）=+=0，∴函数f（x）的图象关于x轴上的点（b，0）成中心对称；故①正确；对于②，∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），∴y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，∴△=a2﹣4cy2≥0，又a≠0，c＞0∴y2≤，∴﹣≤y≤．即存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；∴②正确；③∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），∴=（mn＞0），假设g（x）=0有四个根，令t=（x﹣b）2（t≥0），则x=b±，∴x1+x2=2b，同理x3+x4=2b，∴其解集{﹣4，﹣2，0，3}中﹣4+3≠﹣2+0，即x1+x2≠x3+x4=2b，∴③错误．故正确答案为：①②．14．在斜三角形△ABC中，A=45°，H是△ABC的垂心，λ=+，则λ=1．【分析】H是△ABC的垂心，可得tanA+tanB+tanC=．再利用向量的三角形法则、正切和差公式即可得出．【解答】解：∵H是△ABC的垂心，则tanA+tanB+tanC=．∴=+，∴=+=λ，则λ====tanA=1，故答案为：1．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设集合A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．【分析】（1）当a=2时，分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．（2）由已知得a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，再分别把a=1和a=﹣3代入集合B验证，由此能求出a．【解答】解：（1）当a=2时，集合A={2，3，a2+2a﹣3}={2，3，5}，B={x||x﹣a|＜2}={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}，∴A∩B={2，3}．（2）∵A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}，0∈A∩B，∴a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，当a=1时，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，成立，当a=﹣3时，B={x||x+3|＜2}={x|﹣5＜x＜﹣1}，不成立．∴a=1．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．【分析】（1）通过向量的平行，利用坐标运算，同角三角函数的基本关系式求出sinα即可．（2）通过向量的垂直，列出关系式，求出sinα，利用两角和的余弦函数，以及同角三角函数的基本关系式，求解所求表达式的值即可．【解答】解：（1）因为向量由得，所以15cosα+16tanα=0，即15﹣15sin2α+16sinα=0，解得：（舍）或．（2）由得，12﹣20cosα•tanα=0，∴，又，∴，，．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．（2）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数f（x）在区间（0，）上的对称中心和对称轴．（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，利用三角恒等变换化简h（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值以及此时x的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2），∴A=2，==﹣=，∴ω=2，再根据五点法作图，可得2•+φ=，求得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得函数的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称中心为（，0）．令2x+=kπ+，可得x=+，k∈Z，故函数的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称轴为x=．（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的图象，令h（x）=f（x）•g（x）=﹣4sin（2x+）•cos2x=﹣4[sin2x+cos2x]•cos2x=﹣2sin2xcos2x﹣2cos22x=﹣sin4x﹣2•=﹣2sin（4x+）﹣1．在区间（﹣，0）上，4x+∈（﹣，），sin（4x+）∈[﹣1，），h（x）∈（﹣1，2]，当4x+=﹣时，h（x）取得最大值为2，此时，x=﹣．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．【分析】（1）先利用θ及R表示出AC、BC的长，进而求出S2；再设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC，即可求出三角形AMC、三角形BNC的面积，进而求得S1；（2）先利用（1）的结论求出关于θ的表达式；再结合三角函数以及函数单调性的知识即可求出的最小值．【解答】解：（1）因为∠ABC=θ，则AC=2Rsinθ，BC=2Rcosθ，则．设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC．设MO交AC与点E．则ME=MO﹣OE=R﹣=R﹣Rcosθ=R（1﹣cosθ）．所以：S△AMC=|AC|•|ME|=R2sinθ（1﹣cosθ）；同理可得三角形BNC的面积为R2cosθ（1﹣sinθ），∴S1=R2sinθ（1﹣cosθ）+R2cosθ（1﹣sinθ）=R2（sinθ+cosθ﹣2sinθcosθ）．（2）∵，令，则2sinθcosθ=t2﹣1．∴．∴的最小值为．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【分析】（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），先求出F（x）的表达式，结合一元二次函数的性质求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）先求出G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）的表达式，利用换元法将函数G（x）进行转化求解；（3）若H（x）=，证明H（x）+H（1﹣x）=1，利用倒序相加法，即可求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【解答】解：（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x））=（1+log22x）•=（1+x）•2×=2x（1+x）=2x2+2x=2（x+）2﹣当x∈[1，4]上函数F（x）为增函数，则函数的最大值为F（4）=40，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为[4，40]．（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）=（1+log28x2）（1+log2）﹣k（1+log2x）=（1+og28+log2x2））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（4+2log2x））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（log2x）2+4log2x+4﹣k﹣klog2x=（log2x）2+（4﹣k）log2x+4﹣k，设t=log2x，当x∈[1，4]，则t∈[0，2]，则函数等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k若函数G（x）在区间[1，4]有零点，则等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k在t∈[0，2]上有零点，即h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k=0在t∈[0，2]上有解，即t2+4t+4﹣k（1+t）=0在t∈[0，2]上有解，即k===t +1++2，设m=t +1，则m ∈[1，3]，则k=m ++2≥2+2=2+2，当且仅当m=，即m=取等号，当m=1时，k=1+2+2=5，当m=3时，k=2+3+=＞5，∴2+2≤m ++2≤，即2+2≤k ≤，即实数k 的取值范围是2+2≤k ≤；（3）若H （x ）=，则H （x ）==，则H （x ）+H （1﹣x ）=+=+=+=1，设H （）+H （）+H （）+…+H （）=S ，H （）+H （）+…H （）+H （）=S ，两式相加得2015[H （）+H （）]=2S ，即2S=2015，则S=．20．对于定义在R 上的函数f （x ），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z 函数”： ①对任意x ∈（﹣∞，a ]，都有f （x ）=C 1； ②对任意x ∈[b ，+∞），都有f （x ）=C 2； ③对任意x ∈（a ，b ），都有（f （x ）﹣C 1）（f （x ）﹣C 2）＜0．（其中a ＜b ，C 1，C 2为常数）（1）判断函数f 1（x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣3|+1和f 2（x ）=x ﹣|x ﹣2|是否为R 上的“Z 函数”？（2）已知函数g （x ）=|x ﹣2|﹣，是否存在实数m ，使得g （x ）为R 上的“Z函数”？若存在，求实数m 的值；否则，请说明理由；（3）设f （x ）是（1）中的“Z 函数”，令h （x ）=|f （x ）|，若h （2a 2+a ）=h （4a ），求实数a 的取值范围． 【分析】（1）根据“Z 函数”的定义，结合分段函数的性质作出图象进行判断即可． （2）结合“Z 函数”的定义以及根式的性质利用配方法进行判断求解．（3）求出h（x）的解析式以及作出函数h（x）的图象，讨论变量的取值范围解方程即可．【解答】解：（1）f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，作出函数f1（x）的图象如图：当x≤1时，f（x）=﹣1，当x≥3时，f（x）=3，当1＜x＜3时，﹣1＜f（x）＜3恒成立，故f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1是R上的“Z函数”，f2（x）=x﹣|x﹣2|=，则当x≤2时，函数f（x）不是常数，不满足条件．②，故f2（x）=x﹣|x﹣2|不是否为R 上的“Z函数”．（2）若g（x）=|x﹣2|﹣是R上的“Z函数”，则满足g（x）=|x﹣2|﹣|x+a|的形式，若=|x+a|，则平方得mx+4=2ax+a2，即或，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x﹣2|=0，不满足条件③，故此时g（x）不是“Z函数”，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x+2|=，满足条件①②③，故此时g（x）是“Z函数”，故当m=4时，g（x）为R上的“Z函数”．（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，则f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，则h（x）=|f（x）|=，对应的图象如图：若h（2a2+a）=h（4a），则①，即，即﹣1≤a≤时，h（2a2+a）=h（4a）=1，②得即a≥1时，h（2a2+a）=h（4a）=3，③或，此时h（2a2+a）=h（4a）=1，即或，即a=或a=．④2a2+a=4a，即2a2=3a，得a=0或a=，当a=时，⑤2a2+a=﹣4a，即2a2=﹣5a，得a=0或a=﹣，综上﹣1≤a≤或a≥1或=或a=．2016年8月18日。

2015-2016学年江苏省南京市溧水高中高一（上）12月月考数学试卷一．填空题：1．函数y=5tan（2x+1）的最小正周期为．2．求值：sin120°+cos150°=．3．集合A={a2，2a﹣1}，若sin90°∈A，则实数a=．4．幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则满足f（x）=﹣27的x的值是．5．函数f（x）=2x+lg（x+1）﹣5的零点x0∈（k，k+1），k∈Z，则k=．6．函数y=2sinx（x∈[0，π]）的值域为．7．若x∈[0，π），则sinx＜的x取值范围为．8．已知sinα=，α∈（，π），则tanα=．9．已知函数f（x）=sin（2x+φ）x∈R，φ∈（0，π），若图象关于点（，0）对称，则φ=．10．已知函数f（x）满足f（10x）=x+lg5，则f（2）=．11．函数f（x）=asinx+bxcosx﹣2ctanx+x2，若f（﹣2）=3，则f（2）=．12．若tan2x﹣sin2x=，则tan2xsin2x=．13．已知函数f（x）=，则关于x的不等式f（x2）＞f（3﹣2x）的解集是．14．设f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[﹣2，0）∪（0，2]，f（x）=，则f（2015）=．二．解答题（共6大题，58分）15．已知角θ的终边经过点P（﹣3a，4a），（1）当a=1时，求sinθ﹣2cosθ的值；（2）若sinθ=﹣，求3tanθ+5cosθ的值．16．已知tan2x﹣tanx﹣6=0，且x为第四象限角，试求：（1）sinxcos（π﹣x）的值；（2）2cosx﹣sinx的值．17．（2015秋•夷陵区月考）已知f（x）=cos（x+）．（1）f（）+f（）的值；（2）若f（x）=，求sin（﹣x）+4cos2（+x）的值；（3）若x∈（﹣，]，求f（x）的值域．18．若α∈（π，2π），且sinα+cosα=．（1）求cos2α﹣cos4α的值；（2）求sinα﹣cosα的值．19．设函数f（x）=ax2﹣bx+3，且f（x）＞0的解集为（﹣1，3），（1）求函数f（x）的表达式；（2）设g（x）=，若g（3+2sinθ）≥m2﹣m对任意θ∈R恒成立，则实数m的取值范围．20．某农副产品从5月1日起开始上市，通过市场调查，得到该农副产品种植成本Q（单位：元/kg）与上市时间t（单位：天）的数据如表：（1）根据上表数据，从下列函数模型中选出一个适当的函数来描述农副产品种植成本Q与上市时间t的变化关系，要求简述你选择的理由并求出该函数表达式．参考函数：Q=at+b，Q=at2+bt+c；Q=ab t；Q=alog b t （以上均有a≠0）（2）利用你选出的函数模型，求该农副产品最低种植成本及相应的上市时间．2015-2016学年江苏省南京市溧水高中高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：1．函数y=5tan（2x+1）的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用正切函数的周期性即可得出．【解答】解：根据正切函数y=tanx的周期为π可得：函数y=5tan（2x+1）的最小正周期=．故答案为．【点评】熟练掌握正切函数的周期性是解题的关键．2．求值：sin120°+cos150°=0．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；规律型；函数思想；三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．【解答】解：sin120°+cos150°=sin60°﹣cos30°=﹣=0．故答案为：0．【点评】本题可得诱导公式的应用三角函数的化简求值，考查计算能力．3．集合A={a2，2a﹣1}，若sin90°∈A，则实数a=﹣1．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合思想；综合法；函数的性质及应用；集合．【分析】分别令a2=1或2a﹣1=1，求出a的值，结合元素的互异性判断即可．【解答】解：若sin90°∈A，则1∈A，∴a2=1，解得：a=±1，a=1时：2a﹣1=1，不合题意，a=﹣1时：2a﹣1=﹣3，符合题意，若2a﹣1=1，解得：a=1，不合题意，故实数a=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了元素的互异性原则，考查三角函数值，是一道基础题．4．幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则满足f（x）=﹣27的x的值是﹣．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】设幂函数f（x）=x a，由幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），解得a=﹣3，由此能求出满足f （x）=﹣27的x的值．【解答】解：设幂函数f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），∴，解得a=﹣3，∴f（x）=x﹣3，∵f（x）=x﹣3=﹣27，∴x=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查幂函数的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．函数f（x）=2x+lg（x+1）﹣5的零点x0∈（k，k+1），k∈Z，则k=2．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】可判断函数f（x）=2x+lg（x+1）﹣5在其定义域上连续单调递增，从而解得．【解答】解：函数f（x）=2x+lg（x+1）﹣5在其定义域上连续单调递增，f（2）=4+lg3﹣5＜0，f（3）=8+lg4﹣5＞0，故f（2）f（3）＜0，故x0∈（2，3），故答案为：2．【点评】本题考查了函数的单调性的判断与函数零点的判定定理的应用．6．函数y=2sinx（x∈[0，π]）的值域为[1，2]．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【专题】函数思想；数形结合法；转化法；函数的性质及应用．【分析】先求出指数部分sinx的取值范围[0，1]，再根据指数函数的单调性，得出原函数的值域．【解答】解：设u（x）=sinx，当x∈[0，π]时，u（x）=sinx∈[0，1]，所以，结合指数函数y=2x的单调性得，①当sinx=1时，原函数取得最大值2，此时x=；②当sinx=0时，原函数取得最小值1，此时x=0或π；因此，函数y=2sinx（x∈[0，π]）的值域为[1，2]，故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查了指数型复合函数的值域，以及三角函数的图象和性质，属于基础题．7．若x∈[0，π），则sinx＜的x取值范围为[0，）∪（，π）．【考点】三角函数线．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；三角函数的求值．【分析】先令sinx=，解得x=或x=，再根据三角函数线得出不等式sinx＜的解集为[0，）∪（，π）．【解答】解：当x∈[0，π）时，令sinx=得，x=或x=，如右图，要使sinx＜，由图可知，x∈[0，）∪（，π），故答案为：[0，）∪（，π）．【点评】本题主要考查了三角函数线的应用，以及三角函数的求值，体现了数形结合的解题思想，属于基础题．8．已知sinα=，α∈（，π），则tanα=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，则tanα==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．9．已知函数f（x）=sin（2x+φ）x∈R，φ∈（0，π），若图象关于点（，0）对称，则φ=．【考点】余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得sin（2•+φ）=0，再结合φ∈（0，π），求得φ的值．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）x∈R，φ∈（0，π），若图象关于点（，0）对称，∴sin（2•+φ）=0，再结合φ∈（0，π），可得φ=，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦函数的图象，根据三角函数的值求角，属于基础题．10．已知函数f（x）满足f（10x）=x+lg5，则f（2）=1．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数运算性质、运算法则和函数性质求解．【解答】解：∵f（10x）=x+lg5，∴f（2）=f（10lg2）=lg2+lg5=lg10=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、对数运算法则的合理运用．11．函数f（x）=asinx+bxcosx﹣2ctanx+x2，若f（﹣2）=3，则f（2）=5．【考点】正切函数的奇偶性与对称性；函数的值．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由函数性质、三角函数性质得到asin2+2bcos2=2ctan2=1，由此能求出f（2）．【解答】解：∵f（x）=asinx+bxcosx﹣2ctanx+x2，f（﹣2）=3，∴f（﹣2）=asin（﹣2）﹣2bcos（﹣2）﹣2ctan（﹣2）+（﹣2）2=﹣asin2﹣2bcos2+2ctan2+4=3，∴asin2+2bcos2=2ctan2=1，∴f（2）=asin2+2bcos2+4=5．故答案为：5．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．12．若tan2x﹣sin2x=，则tan2xsin2x=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用本题主要考查同角三角函数的基本关系，求得sin2x的值，可得tan2x的值，可得tan2xsin2x的值．【解答】解：∵tan2x﹣sin2x=﹣sin2x=，∴sin2x=，或sin2x=﹣3（舍去）．∴sin2x=，∴cos2x=，∴tan2x=4，则tan2xsin2x=4×=，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．13．已知函数f（x）=，则关于x的不等式f（x2）＞f（3﹣2x）的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，3）．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】先利用f（x）=，将f（x2）化为x2，再分“3﹣2x≥0”及“3﹣2x＜0”进行讨论，可将原不等式进一步化为一元二次不等式，即得x的范围．【解答】解：∵f（x）=，由x2≥0，得f（x2）=x2，从而原不等式f（x2）＞f（3﹣2x）化为x2＞f（3﹣2x）．①当3﹣2x≥0即x≤时，原不等式进一步化为x2＞3﹣2x，得x＞1，或x＜﹣3，∴1＜x≤，或x＜﹣3．②当3﹣2x＜0即x＞时，原不等式进一步化为x2＞（3﹣2x）2，得1＜x＜3，∴．综合①、②得原不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，3）．故填（﹣∞，﹣3）∪（1，3）．【点评】1．本题考查了分段函数不等式的解法，关键是对函数进行分段处理，体现了分类讨论的思想．2．利用分类讨论法解不等式时，一般在同类中取交集，类与类之间取并集．14．设f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[﹣2，0）∪（0，2]，f（x）=，则f（2015）=．【考点】函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据奇偶性求出b，然后根据周期性可求出a的值，从而可求出f（2015）的值．【解答】解：设0＜x≤2，则﹣2≤﹣x＜0，f（﹣x）=﹣ax+b，f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）=﹣ax+1=﹣ax+b，∴b=1，而f（﹣2）=f（2），∴﹣2a+1=2a﹣1，即a=，所以f（2015）=f（﹣1）=．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．二．解答题（共6大题，58分）15．已知角θ的终边经过点P（﹣3a，4a），（1）当a=1时，求sinθ﹣2cosθ的值；（2）若sinθ=﹣，求3tanθ+5cosθ的值．【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得要求式子的值．【解答】解：（1）（1）当a=1时，角θ的终边经过点P（﹣3a，4a），即P（﹣3，4），x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴sinθ==，cosθ==﹣，∴sinθ﹣2cosθ=﹣2（﹣）=2．（2）若sinθ=﹣，r=|5a|，由sinθ==﹣，∴a＜0，r=|5a|=﹣5a，tanθ===﹣，cosθ==，∴3tanθ+5cosθ=3•（﹣）+3=﹣1．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．16．已知tan2x﹣tanx﹣6=0，且x为第四象限角，试求：（1）sinxcos（π﹣x）的值；（2）2cosx﹣sinx的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义．【专题】函数思想；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）解tan2x﹣tanx﹣6=0结合x为第四象限角可得tanx=﹣2，弦化切可得sinxcos（π﹣x）=﹣，代值计算可得；（2）由题意tanx==﹣2，sin2x+cos2x=1，解方程组结合x的范围可得．【解答】解：（1）解tan2x﹣tanx﹣6=0可得tanx=3或tanx=﹣2，又∵x为第四象限角，∴tanx=﹣2，∴sinxcos（π﹣x）=﹣sinxcosx=﹣=﹣=﹣=；（2）∵tanx=﹣2，∴=﹣2，结合sin2x+cos2x=1可解得或，∵x为第四象限角，∴，∴2cosx﹣sinx=【点评】本题考查同角三角函数基本关系，涉及弦化切和方程组的解法，属中档题．17．（2015秋•夷陵区月考）已知f（x）=cos（x+）．（1）f（）+f（）的值；（2）若f（x）=，求sin（﹣x）+4cos2（+x）的值；（3）若x∈（﹣，]，求f（x）的值域．【考点】余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用诱导公式化简所给的式子可得结果．（2）由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得sin（﹣x）+4cos2（+x）的值．（3）由x∈（﹣，]，利用余弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=cos（x+），∴f（）+f（）=cos（+）+cos（+）=﹣sin+cos=．（2）若f（x）=，则cos（x+）=，令x+=θ，则x=θ﹣，cosθ=，∴sin（﹣x）+4cos2（+x）=sin（﹣θ）+4cos2（+θ）=﹣cosθ+4sin2θ=﹣+4（1﹣cos2θ）=﹣+4（1﹣）=．（3）若x∈（﹣，]，则x+∈[﹣，]，cos（x+）∈[﹣，1]，故f（x）的值域为[﹣，1]．【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．18．若α∈（π，2π），且sinα+cosα=．（1）求cos2α﹣cos4α的值；（2）求sinα﹣cosα的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）把sinα+cosα=两边平方，得到sin，由此能求出cos2α﹣cos4α的值．（2）由sinαcosα=﹣＜0，α∈（π，2π），得sinα＜0，cosα＞0，先求出（sinα﹣cosα）2，由此能求出sinα﹣cosα的值．【解答】解：（1）∵sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴sin，…..∵cos2α﹣cos4α=cos2α（1﹣cos2α）=cos2αsin2α=．…..（2）∵sinαcosα=﹣＜0，α∈（π，2π），∴sinα＜0，cosα＞0，…..（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1+，…..∴sinα﹣cosα=﹣．…..【点评】本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系的合理运用．19．设函数f（x）=ax2﹣bx+3，且f（x）＞0的解集为（﹣1，3），（1）求函数f（x）的表达式；（2）设g（x）=，若g（3+2sinθ）≥m2﹣m对任意θ∈R恒成立，则实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据方程和一元二次不等式的解集的关系，根据韦达定理即可求出a，b的值，继而求出函数f（x）的解析式，（2）先求出3+2sinθ的范围，根据g（x）的单调性质，求出g（3+2sinθ）min=g（5）=﹣，继而得到关于m的不等式，解得即可．【解答】解：（1）由题知：方程ax2﹣bx+3=0的解为﹣1与3，则解得：，∴f（x）=﹣x2+2x+3，（2）由（1）g（x）==﹣x+2，∵θ∈R，∴﹣1≤sinθ≤1，∴1≤3+2sinθ≤5，∵g（x）是单调减函数，∴g（3+2sinθ）min=g（5）=﹣，∴m2﹣m≤﹣即：m2﹣12m+12≤0，解得6﹣2≤m≤6+2，∴实数m的取值范围为[6﹣2，6+2]．【点评】本题考查了一元二次不等式和函数解析式的求法，以及解决不等式恒成立问题，通过转化为函数最值问题来解决是常用的方法．20．某农副产品从5月1日起开始上市，通过市场调查，得到该农副产品种植成本Q（单位：元/kg）与上市时间t（单位：天）的数据如表：（1）根据上表数据，从下列函数模型中选出一个适当的函数来描述农副产品种植成本Q与上市时间t的变化关系，要求简述你选择的理由并求出该函数表达式．参考函数：Q=at+b，Q=at2+bt+c；Q=ab t；Q=alog b t （以上均有a≠0）（2）利用你选出的函数模型，求该农副产品最低种植成本及相应的上市时间．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）由表提供数据知函数不为单调函数，结合表中数据构造方程组，求出各参数的值，可得函数解析式；（2）结合二次函数的图象和性质，可得函数的最小值及最小值点；【解答】解：（1）由表提供数据知函数不为单调函数，而模型函数Q=at+b，Q=ab t，Q=alog b t均为单调函数，所以不适合；从而选择函数模型：Q=at2+bt+c …..将表格数据代入Q=at2+bt+c得方程：，解得：…所以描述农副产品种植成本Q与上市时间t的变化关系为：Q=t2﹣t+…..（2）∵Q=t2﹣t+的图象是开口朝上，且以直线t=150为对称轴的抛物线，∴当t=150时，Q取最小值100…．答：该农副产品最低种植成本为100元/kg，相应的上市时间为150天…【点评】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，二次函数的应用，难度中档．。