答案：(1)B (2)1
(文)(2010·四川高考)2log510＋log50.25＝( )
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525 ＝2，故选 C.
答案：C
(理)(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2； (2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
5．换底公式：logab＝llooggccba(c，a>0 且 c，a≠1，b>0)
由换底公式得：logab＝log1ba，loganbm＝
m n
logab.
另外：log10N＝lgN，logeN＝lnN(e＝2.71828…)分别
叫做常用对数和自然对数．
二、对数函数的图象与性质
定义
y＝logax(a>0，a≠1) (x>0)
A．0<a－1<b<1 C．0<b－1<a<1
B．0<b<a－1<1 D．0<a－1<b－1<1
解析：∵t＝2x＋b－1 单调增，f(x)单调增，∴a>1. 由图知－1<f(0)<0，∴－1<logab<0， ∴a－1<b<1，故选 A.
答案：A
对数函数的单调性
[例 3] 若 0<x<y<1，则( )
答案：C
点评：关于含对数式的不等式求解，一般都是用单 调性或换元法求解．
已知 0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbc，则 m 与 n 的大小关系是________．
A．x3<x2<x1
B．x2<x1<x3
C．x1<x3<x2
D．x2<x3<x1
解析：取 a＝12满足条件，则
log4x1＝log1 x2＝log3 x3>0，画出图象后知选 D.
2
2
答案：D
反函数的概念
[例 5] 已知函数 f(x)＝2x＋1(x≥0)，记 f(x)的反函数
为 f－1(x)，那么 f－1(54)＝(
对数的运算与性质
[例 1] (1)已知函数 f(x)＝lg11－＋xx，若 f(a)＝b，则 f(－
a)＝( )
A．b
B．－b
1 C.b
D．－1b
(2)(2011·苏 北 四 市 二 模 )(lg2)2 ＋ lg2lg5 ＋ lg5 ＝ ________.
分析：(1)由11－ ＋aa与11＋ －aa的倒数关系及对数运算法则 logaNn＝nlogaN 求解．
图象
定义
y＝logax(a>0，a≠1) (x>0)
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1,0)，即当 x＝1 时，y＝0.
性质 (4)当 a>1 时，在(0，＋∞)上是增函数； 当 0<a<1 时，在(0，＋∞)上是减函数．
x>1
0<x<1
a>1
y>0
y<0
0<a<1
y<0
y>0
答案：C
(文)设 a>1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的最大
值与最小值之差为12，则 a＝(
)
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
解析：因为 a>1，所以 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上为 增函数，最大值为 loga2a，最小值为 logaa.因此 loga2a－ logaa＝12，即 loga2＝12，解得 a＝4.
)
5 A.4
B．4
1 C.4
D．－2
分析：利用函数 f(x)及其反函数 f－1(x)的关系求解．
解析：设 f－1(54)＝a，则 f(a)＝54， ∴2a＋1＝54，∴a＝－2.
答案：D
点评：如果点(a，b)在反函数 y＝f－1(x)的图象上，则 点(b，a)在原来函数的图象上；互为反函数的两个函数的 图象关于直线 y＝x 对称．
[例 6] (文)(2011·浙江省“百校联盟”交流联考卷)
已知 0<a<1，loga(1－x)<logax 则( )
A．0<x<1
B．x<12
C．0<x<12
D.12＜x<1
分析：底数相同，真数不同，可利用对数函数 y＝logax 的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解．
解析：∵0<a<1 时，y＝logax 为减函数，
(理)(2010·重庆南开中学)函数 y＝lg(x＋1)的反函数 的图象为( )
解析：解法 1：∵函数 y＝lg(x＋1)的图象过点(0,0)， 故反函数图象过点(0,0)，排除 A、B、C，选 D.
解法 2：函数 y＝lg(x＋1)的反函数为 y＝10x－1，故 选 D.
答案：D
对数方程与不等式
第六节
对数与对数函数
重点难点 重点：①对数的概念、性质、运算法则、换底公式． ②对数函数的概念、图象与性质． 难点：①对数的换底公式． ②对数函数在 a>1 与 0<a<1 时图象、性质的区别． ③对数函数图象与性质的应用及简单对数方程、不 等式的求解．
知识归纳
一、对数 1．由定义知：ab＝N⇔b＝ logaN (a>0，a≠1，N>0)． 2．性质：(1)负数和零没有对数；(2)1 的对数为 0 ； (3)底的对数为 1 . 3．恒等式：
(2)注意到 lg2＋lg5＝1，可通过提取公因式产生 lg2 ＋lg5 求解．
解析：(1)f(－a)＝lg11＋ －aa＝lg11－＋aa－1＝－lg11－ ＋aa＝－ f(a)＝－b.故选 B.
(2)(lg2)2＋ lg2lg5＋ lg5＝ lg2(lg2＋ lg5)＋lg5＝ lg2＋ lg5＝1.
0<a<1， 由图象易得loga12≥122，
即 0<a≤116.故选 D.
答案：D
三、解题技巧 1．注意对数恒等式、换底公式及对数运算法则的灵 活运用及指对互化的应用． 2．同底数的对数比较大小用单调性．同真数的对数 比较大小用图象或换底或转化为指数式．要注意与中间 量 0、1 的比较．对数函数图象在第一象限内底数越小， 图象越靠近 y 轴(逆时针底数依次变小)，在直线 x＝1 右 侧，底大图低(区分 x 轴上方与下方)．
A．n>m>p
B．m>p>n
C．m>n>p
D．p>m>n
解析：由 a>1 得 a2＋1>2a>a－1>0， ∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)．
答案：B
(理)已知 log2 x1＝logax2＝loga＋1x3>0,0<a<1，则 x1、
a
x2、x3 的大小关系是( )
二、数形结合的思想
[例] 不等式 x2－logax<0 在 x∈(0，12)时恒成立，则 a 的取值范围是( )
A．0<a<1
B.116≤a<1
C．a>1
D．0<a≤116
解析：我们没有学过如何解答这类不等式，但我们 熟知函数 y＝x2 与 y＝logax 的图象与性质，因此可在同一 坐标系中，画出此二函数的图象借助图象进行讨论，在 同一坐标系中画出 y＝x2，x∈(0，12)与 y＝log(ax－1)(a>0 且 a≠1)的定义域在 a>1 时为(0，＋∞)；在 0<a<1 时为(－∞，0)．
一、转化的思想 指数式 ab＝N 与对数式 logaN＝b(a>0 且 a≠1，N>0) 可以互化，在解决与指数式、对数式有关的问题时，利 用指对互化(或等式两端取同底的对数)结合换底公式常 能起到事半功倍的效果．
1－x>0 ∴原不等式化为x>0
1－x>x
，解得
1 0<x<2.
答案：C
(理)设 0<a<1，函数 f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使 f(x)<0 的 x 取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，loga3)
D．(loga3，＋∞)
解析：∵0<a<1 ∴loga(a2x－2ax－2)<0 即 a2x－2ax－2>1 ∴a2x－2ax－3>0 ∴ax>3 或 ax<－1(舍) ∴x<loga3，故选 C.
解析：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5 ＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
(2)原式＝llgg23＋llgg29·llgg34＋llgg38 ＝llgg23＋2llgg23·2llgg32＋3llgg32＝32llgg23·56llgg32＝54.
(1)
＝ N ，(a>0，a≠1，N>0)
(2)logaab＝ b .
4．运算法则： (1)loga(MN)＝ logaM＋logaN ；
(2)logaMN＝ logaM－logaN ；
(3)logaNn＝ nlogaN ；
n (4)loga
N＝
1 nlogaN
.
(其中 M>0，N>0，a>0 且 a≠1，n∈N*)
答案：B
(文)已知函数 y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则 ab ＝________.
解析：由图象知llooggaabb＝－12，＝0， 得 a＝b＝3， 所以 ab＝33＝27.
