人教a版高考数学(理)一轮课件：2.5对数与对数函数

【解】 (1)loge16＝a，即 ln16＝a. (2)log6414＝－13. (3)32＝9. (4)xz＝y.
将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4;
(2)log127＝－3； 3
(3)43＝64; (4)14－2＝16. 解：(1)由 log216＝4 可得 24＝16.
(2)由
1．对数的概念 一 般 地 ， 如 果 ax ＝ N(a>0 ， 且 a≠1) ， 那 么 数 x 叫 做 _以___a_为___底__N__的__对__数____ ， 记 作 _x_＝___lo_g_a_N__ ， 其 中 a 叫 做 ___对__数__的__底__数____，N 叫做真 __数___．
把对数式 loga49＝2 写成指数式为( )
A．a49＝2
B．2a＝49
C．492＝a
D．a2＝49
答案：D
log32x－ 5 1＝0，则 x＝________．
答案：3
指数式与对数式的互化
将下列指数式与对数式互化： (1)ea＝16; (2)64－13＝14； (3)log39＝2; (4)logxy＝z(x＞0 且 x≠1，y＞0)．
log127＝－3 3
可得13－3＝27.
(3)由 43＝64 可得 log464＝3.
(4)由14－2＝16
可得
log116＝－2. 4源自利用对数式与指数式的关系求值
求下列各式中 x 的值： (1)log27x＝－23； (2)logx16＝－4； (3)lg10100＝x; (4)－lne－3＝x.
4.3对数 第一课时 对数
的概念
第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标

【名师点睛】对数运算的一些结论 (1)logam bn＝mn logab. (2)logab·logba＝1. (3)logab·logbc·logcd＝logad.
3.对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
图象
0<a<1
定义域 值域
(0，＋∞) R
(续表)
y＝logax
a>1
0<a<1
过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
题组一 走出误区 1.(多选题)下列结论错误的是( )
A.2lg 3≠3lg 2 B.若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN C.y＝log2x2 不是对数函数，而 y＝log2(－x)是对数函数 D.函数 y＝ln 11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域 相同 答案：ABC
解析：原式＝1－2log63＋log63lo2g＋64log663×log66×3 ＝1－2log63＋lologg63642＋1－log632＝212－lolgo6g263 ＝log6l6o－g6l2og63＝lloogg6622＝1.
答案：1
3.已知 2x＝12，log231＝y，则 x＋y 的值为________. 答案：2 4.设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝________.
[例 4](1)(2020 年新高考Ⅱ)已知函数 f(x)＝lg(x2－4x－
5)在(a，＋∞)单调递增，则 a 的取值范围是( )
A.(－∞，－1]
B.(－∞，2]
C.[2，＋∞)
D.[5，＋∞)
解析：由 x2－4x－5＞0，得 x＜－1 或 x＞5，即函数 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).令t＝x2－4x－5， 则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减， 在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg t在(0，＋∞)上 单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)， 由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，∴a≥5.

二、“基本技能”运用好
1．(好题分享——新人教 A 版必修第一册 P127T3 改编)
计算 log29×log34＋2log510＋log50.25＝
A．0
B．2
C．4 答案：D
D．6
()
2．已知 a＝ln 3，b＝log3e，c＝logπe，则下列关系正确的是
A．c<b<a
B．a<b<c
C．b<a<c
解析：由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－ (－26.7)＝52lgEE12，所以 lgEE12＝10.1，所以EE12＝1010.1. 答案：A
性质
(0，＋∞)R来自过定点 (1,0) ，即 x＝1 时，y＝0
当 x>1 时， y>0 ；
当 x>1 时， y<0 ；
当 0<x<1 时， y<0
当 0<x<1 时， y>0
在(0，＋∞)上是 增函数 在(0，＋∞)上是 减函数
4．反函数 指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)互为反函数， 它们的图象关于直线 y＝x 对称．
2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与
亮度满足 m2－m1＝52lgEE12，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek(k＝1,2)．已知 太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的
比值为
()
A．1010.1
B．10.1
C．lg 10.1
D．10－10.1
谨记结论·谨防易错 (1)换底公式的两个重要结论

������������2+������������5-������������8 ; ������������50-������������40
(1)、(2)为化简题目,可由原式联想指数与对数的运算法则、 公式的结构形式来寻找解题思路.(3)可先求出 2m+n 的值,再用公式来求 a2m+n 的值.
(1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分 数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运 算中要注意化同底及指数与对数之间的互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数 计算、化简、证明常用的技巧.
1.(1)化简 lg +lg 70-lg 3- ������������2 3-������������9 + 1; (2)已知 f(3x)=4xlog23+233,求 f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值. 【解】(1)原式=lg
2 3 2 ,0 3
B.
C.(1,0) 【答案】C 【解析】代入验证.
D.(0,1)
3.如果 f(10x)=x,则 f(3)等于( A.log310 B.lg 3 【答案】B 【解析】令 10x=t,则 x=lg t, 于是 f(t)=lg t.故 f(3)=lg 3.
) C.103 D.310
4.设 lg 2=a,lg 3=b,则 log512 等于( A.
������������ 8 【解】(1)原式= 50 ������������40
2×5
=
������������4
5
5=1. ������������4
(2)2
3+������������ ������ 0.5 4

人教A版数学（理科）一轮
2020版高考 全册精品 PPT课件
第1章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 第二节 函数的单调性与最值 第三节 函数的奇偶性与周期性 第四节 二次函数与幂函数 第五节 指数与指数函数 第六节 对数与对数函数 第七节 函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教 材 改 编 ) 若 集 合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
22
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第二节 两条直线的位置关系 第三节 圆的方程 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第五节 椭 圆
第1课时 椭圆的定义、标准方程及其性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系
第六节 双曲线 第七节 抛物线 第八节 曲线与方程 第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题 高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章 算法初步、统计与统计案例 第一节 算法与程序框图 第二节 随机抽样 第三节 用样本估计总体 第四节 变量间的相关关系与统计案例

则需 22＜a＜1(如图所示)．
当
a＞1
时，不符合题意，舍去．所以实数
a
的取值范围是
22，1.故
选 B.
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考点三 对数函数的性质及应用 考查角度 1：比较大小．
设 a＝log3π，b＝log2 3，c＝log3 2，则( )
(A)a＞b＞c
(B)a＞c＞b
(C)b＞a＞c
(D)b＞c＞a
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(2)B 由题意得，当 0＜a＜1 时，要使得 4x
＜logax0＜x≤12，即当 0＜x≤12时，函数 y＝4x 的图 象在函数 y＝logax 图象的下方．
又当 x＝12时，412＝2，即函数 y＝4x 的图象过
点12，2，把点12，2代入函数 y＝logax，得 a＝ 22， 若函数 y＝4x 的图象在函数 y＝logax 图象的下方，
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【反思归纳】 (1)logaf(x)＞logag(x) ⇔
或
.
(2)有关形如 y＝logaf(x)的单调性：先求定义域，根据复合函数 y＝
logau，u＝f(x)的单调性(判断)求解．
(3)对于形如 y＝logaf(x)(a＞0 且 a≠1)的复合函数的值域的求解步骤
为：①分解成 y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求 f(x)的定义域；③求 u
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考查角度 4：与对数函数有关的参数取值(范围)问题． 高考扫描：2013 高考新课标全国卷Ⅰ
函数 (A)(－∞，2) (C)(2,3)∪(3，＋∞)
的定义域是( ) (B)(2，＋∞) (D)(2,4)∪(4，＋∞)
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C 解析：要使函数有意义就满足
,

(3)在同一坐标系中,对数函数 y=log2x,y=log5x,y=log 1 x,y=log 1 x 的
2
5
图象如图所示.从图中看,对数函数图象的分布与底数有什么关系?
提示:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴,0<a<1时,a
越小,图象越靠近x轴.
课前篇
自主预习
一
二
三
2.填表
对数函数的图象和性质
数的大小,如图所示.
2.牢记特殊点:对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象经过
(1,0),(a,1),
1

,-1 .
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
变式训练2作出函数y=
解:先画出函数y=lg x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象
思想方法
随堂演练
反思感悟 1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数
解析式时只须一个条件即可求出.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=
2
是
.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练

所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，
所以a＋2b>3， 所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞).
思维升华
对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的 特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利 用数形结合法求解.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则logaM＝logaN.( × )
(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.( × )
(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( × )
(4)函数y＝log2x与y＝log 1
C.(0,1)
B.(1,3) D.(1，＋∞)
令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数. 又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减， 可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1， 故有a6>－12，a≥0， 解得 1<a≤3.
(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝logax2－ax＋12 (a>0，且a≠1)有最小值， 则实数a的取值范围是_(_1_，___2_)_.
命题点3 对数函数的性质及应用 例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)
√A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B.是奇函数，且在(－3,3)上单调递减 C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D.是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}， f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|， 令g(x)＝|x2－9|， 则f(x)＝ln g(x)， 函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知， 当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减， 当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增， 由复合函数单调性同增异减得单调区间. 由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数.

解：(1) log2 (47 25) log2 47 log2 25
7 log2 4 5log2 2 7 2 51 19
2
（2） lg 5 100 lg105
2
5
1.课本68页练习2，3
练习
3（1）log2 6 log2 3
log
2
6 3
log2 2 1
（2） lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
例如：
42 16
log 4 16 2
102 100
log10 100 2
1
42 2
log 4
2
1 2
102 0.01
log10 0.01 2
例1 将下列指数式写成对数式：
（1） 54 625 log5 625 4
（2）
26 1 64
log 2
1 64
6
（3） 3a 27 log3 27 a
语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和
两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍
例4 用 log a x, log a y, log a z 表示下列各式：
xy
x2 y
(1)loga
解（1） xy
z
;
(2) log a 3 z
loga z loga (xy) loga z
（3）
log 5
3
log 5
1 3
（4） log3 5 log3 15
log
5
(3
1) 3
log5 1
0
log
3
5 15
log3 31 1

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第二章
函数、导数及其应用
【总结反思】 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形， 化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正 用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运 算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真 数的积、商、幂的运算.
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第二章
函数、导数及其应用
【解析】
1 (1)f(x)＝lg ＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数 y |x＋1|
＝－lg|x|的图象左移 1 个单位得到． 由 y＝－lg|x|的图象可知选 D.
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第二章
函数、导数及其应用
(2)构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax.当 a>1 时不满足条件；当 0<a<1
)
lg9 lg4 2lg3· 2lg2 解析：方法 1：原式＝lg2· lg3＝ lg2· lg3 ＝4. log24 方法 2：原式＝2log23· log23＝2×2＝4.
答案：D
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第二章
函数、导数及其应用
知识点二 对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1
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第二章
函数、导数及其应用
2．若将本例(2)中的条件换为“不等式(x－1)2<logax 恰有三 个整数解”，如何求解？
解：
不等式 logax>(x－1)2 恰有三个整数解，画出示意图可知 a>1， 其整数解集为{2,3,4}．

A.(2，＋∞)
B.0，12∪(2，＋∞)
C.0， 22∪( 2，＋∞)
D.( 2，＋∞)
(2)已知函数 f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且 a≠1)，若 f(x)>1 在区间[1，2]上恒成立，则实
数 a 的取值范围是________.
解析 (1)因为偶函数 f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.( )
(2)函数 y＝log2(x＋1)是对数函数.( )
(3)函数 y＝ln 11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(
)
(4)当 x>1 时，若 logax>logbx，则 a<b.( )
规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特 殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法 求解.
【训练 2】 (1)若函数 f(x)＝log2(x＋1)，且 a>b>c>0，则f（aa），f（bb），f（cc）的大
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
解析 (1)因为 a＝log23＋log2 3＝log23 3＝32log23>1，b＝log29－log2 3＝log23 3＝a， c＝log32<log33＝1.所以 a＝b>c. (2)因为 y＝log5x 是增函数，所以 a＝log52<log5 5＝0.5. 因为y＝log0.5x是减函数， 所以b＝log0.50.2>log0.50.5＝1. 因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51<c＝0.50.2<0.50＝1， 即0.5<c<1.所以a<c<b. 答案 (1)B (2)A

得 x＝3 或 3.如图所示，
12 可知(b－a)min＝1－3 ＝3 .
2 答案：3
考点突破·典例探究
对数式的化简与求值
【典例 1】(1)已知函数 f(x)＝2x，x≥4， f（x＋1），x<4，
则 f(2＋log23)的值为(
)
A．24 B．16 C．12 D．8
(2)(2021·通州区模拟)某同学在数学探究活动中确定研究主题是“an(a>1，n∈N*) 是几位数”，他以 2n(n∈N*)为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研 究数据如表： 试用该同学的研究结论判断 450 是几位数 (参考数据 lg 2≈0.301 0)( ) A．101 B．50 C．31 D．30
【微思考】
(1)试利用换底公式分析logab与logba(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)的关 系．
(2)试利用换底公式化简logambn(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，
m≠0).
提示：(1)
logab＝lloogg
b＝b
ba
Hale Waihona Puke .1log b a
(2)
logambn＝llooggaaabmn＝
【解析】当 x＝2 时，函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且 a≠1)的值为 2， 所以图象恒过定点(2，2). 答案：(2，2)
3 4．若 loga4 ＜1(a＞0 且 a≠1)，则实数 a 的取值范围是________.
3
3
【解析】当 0＜a＜1 时，loga4 ＜logaa＝1，所以 0＜a＜4 ；
3
lg 25 lg （2 2） lg 9 lg 52 lg2 2 lg 32
＝ lg 2 · lg 3

取值范围是
.
答案 (1)A (2)(1, 10)∪(100,+∞)
解析
(1)因为

x+≥2

x+≥2
,当且仅当
>2,故 f(x)=loga

+

x=时,等号成立,又因为
a>1,所以
>loga1=0,所以只有 A 正确,故选 A.
(2)如图,画出 f(x)=|lg x|的大致图象,易知 f
单调区间、值域、零点等问题时,可利用数形结合的思想.
(3)对于一些对数型方程、不等式等问题,通常转化为相应的函数图象问题,
利用数形结合进行求解.
对点训练2(1)(2021浙江绍兴高三二模)函数f(x)=loga
能是(

+ (a>1)的图象可

)
(2)(2021山东德州高三月考)已知函数f(x)=|lg x|,若f(lg m)>f(2),则实数m的
7
7
当 a>1 时,f(x)max=loga4=2,得 a=2;当 0<a<1 时,f(x)max=loga4=2,得 a= 2 (舍去),
故 a=2.
考向3.对数函数性质的综合问题
典例突破
例5.已知函数f(x)=log2(mx2+4x+8)(m∈R),则下列说法正确的是(
)
1
A.若函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),则实数 m 的取值范围是[2,+∞)
log 15
log 2


x=log2k,y=log3k,z=log5k, +
=log215≈4,故选 C.