耦合建筑物动力响应分析：一致激励和多点激励对比

车-隧耦合条件下地铁盾构隧道动力响应分析陈昭; 杨建伟; 刘传【期刊名称】《《北京建筑工程学院学报》》【年(卷),期】2019(035)003【总页数】8页(P34-40,95)【关键词】地铁; 隧道; 移动荷载; 动力响应; 衬砌【作者】陈昭; 杨建伟; 刘传【作者单位】北京建筑大学机电与车辆工程学院城市轨道交通车辆服役性能保障北京市重点实验室北京100044【正文语种】中文【中图分类】U451+.3随着城市化进程的加快，城市交通也越发拥堵. 许多城市开始修建轨道交通来缓解路面交通. 轨道交通必然伴随着大量地下隧道的修建. 由于隧道构成和所穿越的围岩条件也不尽相同，运行过程中的问题出现多样化和复杂化的特点. 与此同时，随着轨道交通列车的运行速度的不断提高，列车在隧道中运行所带来的振动也随之加强，车- 线- 隧耦合系统的动力响应问题就有待进一步研究.近几年，有关地铁隧道结构的动力学研究有所增长. 大量的研究已经从隧道结构的不同部位展开，根据不同工况建立相应的模型，进行模型试验或者数值分析. 有些学者将车辆线路和下部基础耦合起来分析其动力学响应并取得相应进展. 翟婉明等[1]建立了机车轨道动力非线性耦合模型，通过与实测线路实验结果对比，研究机车与轨道的动力作用问题；夏禾等[2]建立了多自由度的车- 桥耦合动力学三维模型，研究车辆在桥上运行过程中的动力响应，并与实验结果对比；梁波等[3]在车- 路系垂直耦合动力相互作用关系等方面的研究取得了较大进展；和振兴等[4]运用有限元的方法，对车辆- 轨道- 隧道进行三维建模，并对简化后的模型分析，讨论了地铁运行的振动规律；金先龙[5]采用多体动力学模型模拟地铁荷载，将车体和转向架看作两个自由度，轮对考虑为一个自由度，对上海某公铁两用隧道进行了动力学分析；宫全美等[6]研究了地铁车辆运行引起的隧道地基土的动力响应；此外各学者[7-11]先后运用不同方法研究隧道结构的动力学响应问题.有关车辆- 隧道体系的动力相互作用方面的研究虽有涉及但还是较少. 列车在隧道系统中的动力响应是复杂且多方面的，是否建立更加贴近实际的动力学模型直接影响到仿真结果的准确性与可靠性. 所以考虑模型材料的准确性和外部激励与实际情况的一致性很重要. 考虑了列车实际运行的力学性能所建立的运算模型能很好地满足对列车通过隧道时对隧道结构和土体的影响的研究. 为进一步研究列车在隧道结构中运行的长期安全性，保证城市轨道列车运行安全和地铁施工安全，开展车- 线- 隧耦合大系统的研究是合乎时宜的，也是有重要意义的.1 车辆- 隧道耦合动力学模型建立1.1 分析思路不同于以往把车辆系统和隧道系统分别做单独分析，这里将两个子系统通过轮轨接触这个纽带联系在一起，作为一个整体系统进行研究. 通过动力学方程进行解耦分析，动力学方程为：MA+CV+KX=P(1)1.2 车辆模型的假定与建立不同于以往车- 隧系统只有列车荷载，本系统创造性地运用Simpack软件独立建立地铁车辆真三维模型，并运用模型计算出列车实际运行中移动荷载，车辆模型的建立分为车身和转向架两部分，每节车有两个转向架，且将车身和转向架均视为刚体，列车为地铁b型车辆，列车拖车模型如图1所示，车体受力如图2所示.图1 车体计算模型Fig.1 Car body computing model图2 车体受力分析图Fig.2 Force analysis diagram of car body经查阅相关文献及相应标准，以及相关研究成果，选取地铁b型车计算其参数见表1[12].1.3 隧道有限元模型为了更加真实地模拟隧道的实际情况，考虑土层孔隙水压力作用下系统的动力响应，将车辆模型作为子结构建模，并运用专业岩土类软件MIDAS建立隧道模型. 由于隧道结构一般跨度大，但结构属性基本无变化，因此模型只建立特定区段，而并不是将整个的隧道拿出来分析. 因此应该建立相应的人工边界来切割隧道. 在MIDAS 软件隧道建模中将隧道两侧取3～4倍隧道间距，上边界为2倍隧道间距. 隧道结构为盾构隧道，衬砌与轨道板的具体材料参数见表2.表1 列车参数表Tab.1 Train parameter序号名称单位数值1轴重N1400002构架质量kg25503轮对质量kg14204车体质量kg219205轮对摇头转动惯量kg·m29856构架摇头转动惯量kg·m219807轮对数量rcounter48车体点头转动惯量kg·m26173109车体摇头惯量kg·m261731010转向架垂向刚度N/m1.7e611转向架垂向阻尼N·s/m500012车体总长m1913车体定距m12.614转向架轴距m2.215转向架长度m2.99516转向架宽度m2.635注：其中隧道埋深为12 m，衬砌厚35 cm，轨道结构参数符合规范规定.表2 轨道系统和隧道结构参数表Tab.2 Track system and tunnel structure parameters弹性模量E/GPa密度ρ/(kg·m-3)泊松比v阻尼比衬砌29.525000.220.03轨道板3125000.100.03钢轨206.078000.300.01因为隧道/轨道结构有限元模型采用的是离散模型，所以要考虑隧道的纵向长度. 经查阅文献，在动力分析中要达到一定的线路长度才能有一个较为准确的精度. 本模型采用的隧道长度为50 m，其中上表面模拟地面为自由边界并施加地面超载，下表面模拟大地为固定边界，侧面采用黏性边界. 隧道/轨道横断面轮廓如图3所示. 图3 隧道有限元模型Fig.3 Tunnel finite element model根据有限元计算的精度需求，隧道衬砌附近的网格划分较密集，远离隧道的土层采用较为稀疏的网格. 并且整个隧道的土层根据实际情况建立3个土层，分别为粉质黏土层，黏土层，风化岩层. 具体土层属性见表3. 另外钢轨部分用工字梁单元模拟钢轨.表3 土体力学参数表Tab.3 Soil mechanical parameter弹性模量E/MPa密度(饱和)ρ/(kg·m-3)泊松比v内黏聚力c/kPa内摩擦角ϕ/(°)粉质黏土2019000.352025黏土风化岩50500200023000.330.3302030331.4 土体本构模型本次模型的地基土采用弹塑性本构关系来模拟材料的非线性特性. 通常反映岩土、混凝土的屈服和破坏情况的屈服准则主要有摩尔- 库伦(Mohr-Coulomb)屈服准则和德鲁克- 普拉格(Drucker-Prager)屈服准则[13](图4).图4 Mohr-Coulomb与Drucker-Prager关系示意图Fig.4 Diagram of the relationship between Mohr-Coulomb and Drucker-Prager由图4可以看出Drucker-Prager准则计算更加准确，本文选用Drucker-Prager 准则进行土体本构模型的模拟.数学表达式为：(2)(3)(4)式中：I1为应力的第一不变量，I2为应力的第二不变量;α和k可有摩擦角和黏聚力c求得.2 车辆指标与移动荷载施加2.1 车辆运行品质指标分析车辆运行品质这里从3个方面进行考虑：1)车体的振动加速度可以由Simpack分析直接得到；2)车辆动轮重Pijω：由轮对沉浮运动可求得轮对对钢轨的作用力：Pijω=Pijs+Kωzi(Zωij+ηijlijθi)+(5)式中：Pijs为车辆的静轮重；Kωzi为轮对弹簧刚度；Mωi为第i节车体的轮对质量；Zωij为第i节车体的第j轮对的竖向位移；Cωzi为轮对阻尼系数.3)轴重减载率：(6)式中：Pijw为列车运行时的动轮重；Pijs为平均静轮重.经计算可以得到车辆的最大加速度处于合理水平，最大动轮重与轮重减载率分别低于250 kN和0.6的舒适性判断标准. 因此车辆运行品质可以保证后面隧道动力分析的准确性与可靠性.2.2 移动荷载施加前面讲述了车辆和隧道的计算参数，列车模型为6节编组的地铁b型车，最高时速为120 km/h. 本次仿真采用80 km/h，为增加仿真准确性，考虑孔隙水压力存在的情况下对轨道板施加移动荷载并进行有限元计算. 计算时间为6 s.移动荷载为车辆模型在Simpack中计算得到，由于轮轨接触的受力可以转化为扣件与轨道板的力，这里将移动荷载施加在轨道板上扣件位置[14]. 图5、图6为列车动力荷载加载位置和列车动力荷载时程曲线.图5 移动荷载布置图Fig.5 Mobile Load Layout图6 移动荷载时程曲线Fig.6 Time-history curve of moving load3 隧道计算结果与分析为了反映隧道衬砌上不同位置的动力响应，在y=15 m处隧道断面上，选区了4个典型位置，其中Cir-1位于受载钢轨正下方，Cir-2和Cir-4为轨道板与衬砌接触的地方，另外再取一个距荷载施加位置较远的Cir-3点作为对比，这里取位于隧道顶部与中心线程30°角的位置. 4个位置如图7所示.图7 衬砌环不同位置取点示意图Fig.7 Diagram of different locations of lining ring3.1 衬砌单元同一断面不同位置各指标时程曲线分析在移动荷载作用下，衬砌上3个位置应力时程曲线如图8至图11所示，每节列车运行过程中应力变化对应不同轮对主应力大小不同，其中最大主应力位置Cir-1达到0.7 MPa，3个位置均为拉应力；对于最大剪切力位置Cir-2大于其他2个位置，最高为0.54 MPa. 主应力和最大剪切力均小于该处土体的容许应力，土体不会出现破坏.图8 最大主应力时程曲线Fig.8 Maximum principal stress time history curve图9 最大剪应力时程曲线Fig.9 Time history curve of maximum shear stress图10 加速度时程曲线Fig.10 Acceleration time history curve图11 位移时程曲线Fig.11 Displacement time history curve从应力时程曲线可以看出，处于轮轨正下方的Cir-1位置处的应力动力响应最强烈，在隧道左上方的Cir-3位置动力响应最弱，符合衬砌各位置动应力分布规律.移动荷载作用下，隧道衬砌不同位置的加速度响应与位移时程曲线如图12和图13所示，可以看出位置Cir-1处加速度的动力响应最为明显，且和列车动力荷载作用频率相吻合，加速度动力响应最大处出现在轮轨正下方的衬砌位置；由图可以看出位置Cir-1处的位移最大，最大达到0.18 mm.根据前述分析可知隧道衬砌总体动应力水平较低，但出现明显的加卸载过程. 动应力在3.5 s左右时刻达到一个峰值，根据列车运行速度80 km/h可以推断出，此时的y=15 m断面恰好处在整列列车中部位置，此时动应力响应最为强烈. 衬砌管片的加速度和动应力响应均有一定的循环特征，在列车长期的移动荷载作用下，这种特征可能会带来衬砌结构的变形以及疲劳损伤. 因此在地铁运营期应及时做好防护和定期检查.3.2 衬砌弯矩和轴力的动力效应和速率效应图12 不同速度下弯矩与轴力分布图Fig.12 Distribution Diagram of Bending Moment and Axis Force at Different Velocities对于隧道衬砌环向轴力和弯矩，分别进行没有列车荷载，和附加列车荷载下的计算. 这里取环向轴力和弯矩最大位置处如图12所示，图12(a)在附加移动荷载的情况下，隧道弯矩相比于不附加移动荷载时有所增加，增幅在12%左右；在附加不同速度移动荷载的情况下，弯矩大小会有速率效应的影响，不过影响幅度较小. 图12(b)所示，隧道衬砌的轴力受移动荷载的影响与弯矩相似，在附加移动荷载的情况下增幅为11%左右，同样速率效应不明显.不同时刻，隧道的合弯矩和合轴力是不同的，这是由于列车的动力作用对隧道的动力响应造成的. 图13是列车荷载激励对某一截面隧道合轴力和合弯矩的影响的时程曲线. 这里考虑y=40 m截面处，列车速度为80 km/h,所以第一个荷载到达截面出的时间为40÷22.2=1.8 s.图14 t=3 s时刻隧道轴力图Fig.14 t=3 s time tunnel axial force diagram图13 动力作用下的合轴力与合弯矩时程变化Fig.13 Axis resultant force and time-history change of resultant moment under dynamic action图13可以看出随着第一个荷载经过y=40 m断面，轴力合力不断增大，最大值为257.2 kN，合弯矩的趋势和轴力合力大体相同，最大值为312.3 kN.3.3 同一时刻不同断面Cir-1位置处正压力与轴向力图14为t=3 s时刻隧道两个方向的轴力图云图.在3 s时刻，y=10 m，y=20 m，y=30 m，y=40 m 4个断面，在移动荷载作用下Cir-1位置的竖直和沿隧道走行方向的动应力如图15所示，单位为kPa.图15 3 s时刻不同断面处的Cir-1位置的动应力水平Fig.15 3 s Dynamic Stress Level at Cir-1 Location at Different Section由图15可以看出，同一时刻不同断面均处于移动荷载作用下，其动应力响应的程度不同且方向不同，其中同一位置拉应力和压应力交替变换，受拉应力和压应力均处于衬砌结构最大容许应力范围内. 由此可见，在同一时刻，不同位置断面受力状态是不相同的.4 结论地铁列车在盾构隧道运行中，引起的动力响应是多方面的. 建立相对完善的并能够较为准确地模拟实际工况的车辆- 线路- 隧道耦合分析模型，施加接近实际情况的动力荷载，是得到相对准确结果的关键所在.因此，本文运用精确建模技术，建立车辆- 线路- 隧道耦合模型，通过Simpack计算出车辆移动荷载加载到扣件处以模拟实际工况，研究盾构隧道衬砌结构在移动荷载作用下的动力响应，得到结论如下：1)隧道衬砌环向经过多次加载卸载过程，不同位置的动力响应状态各不相同，但总体动应力水平较低，对隧道结构影响较小.2)隧道衬砌底部受动力响应程度大于隧道顶部，随着位置不同，动应力响应程度不同. 衬砌管片的加速度和动应力响应均有一定的循环特征，在列车长期的移动荷载作用下，这种特征可能会带来衬砌结构的变形以及疲劳损伤. 因此在地铁运营期应及时做好防护和定期检查.3)隧道衬砌环向弯矩与轴力，在施加移动荷载时有显著增大，速率效应虽不明显，但也应该引起足够重视. 隧道轴力合力与合弯矩变化随时间变化趋势大体相同.4)同一时刻不同断面的动力响应不同，方向大小都有变化，且动应力绝对值均较小，不会引起隧道结构破坏. 运营阶段需重视特殊断面隧道损伤，及时进行维修加固.参考文献：【相关文献】[1] 翟婉明. 车辆- 轨道耦合动力学[M]．北京: 科学出版社, 2007：11-19．ZHAI Wanming.Coupling dynamics of the vehicle-track [M]． Beijing: Science Press，2007：11-19． (in Chinese)[2] 夏禾,陈英俊．车- 梁- 墩体柔动力相互作用分析[J]．土木工程学报，1992, 25(2): 42-44．XIA He，CHEN Yingjun． Analysis of the lateral dynamic interaction in vehicle-bridge-pier system[J]． Chinese Journal of Civil Engineering，1992，25(2): 42-44． (in Chinese)[3] LIANG B，LUO H，et al． Dynamic model of the vehicle-subgrade coupled system under secondary suspension [J]． Applied Mathematics and Mechanics， 2007(6):769-778.[4] 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Ground vibration caused by moving metro trains[J]．Journal of Southwest JiaoTong University, 2008(2):218-221,247.(in Chinese) [5] 王建炜,金先龙,张伟伟.公路与轨道交通载荷作用下隧道动力响应分析[J].振动与冲击,2012,31(21):46-49,72.WANG Jianwei, JIN Xianlong, ZHANG Weiwei. Dynamic response analysis of a tunnelunder traffic flow loads and train loads[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012,31(21):46-49,72. (in Chinese)[6] 宫全美，徐勇，周顺华，地铁运行荷载引起的隧道地基土动力响应分析[J]．中国铁道科学，2005． 26(5): 47-51．GONG Quanmei,XU Yong,ZHOU Shunhua. Dynamic response analysis of tunnel foundation by vehicle vibration in metro[J].China Railway Science,2005,26(5):47-51. (in Chinese)[7] DEGRANDS G,CLOUTEAU D,OTHMAN R,et al. A numerical model for ground borne vibrations from underground railway traffic based on a periodic firute element boundary element formulation [J].Journal of Sound and Vibration,2006,193(3-5):645-666.[8] LAI C G, CALLERIO A, FACCIOLO E,et al. Prediction of railway-induced ground vibrations in tunnels[J]. 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地震动多点输入作用下大跨结构的动力响应分析葛英华【摘要】对于大跨空间结构,地震动空间变化的影响不容忽视,本文探讨了大跨结构多点地震波输入的基本理论,包括多点地震输入的分析方法、动力方程的建立与求解；对大跨结构建立有限元模型,选取合适的地震波,进行了非一致输入的地震时程分析,并与一致输入下的结构响应进行了对比分析,得到了结构在非一致输入下的响应特点等方面的结论,为工程应用提供了参考.【期刊名称】《四川建材》【年(卷),期】2013(039)004【总页数】2页(P45-46)【关键词】地震动;多点输入;大跨结构;动力响应【作者】葛英华【作者单位】中煤科工集团武汉设计研究院,湖北武汉430064【正文语种】中文【中图分类】TU352.10 前言对于大跨度的空间结构，支承点间距较大，地面运动空间变化对结构的抗震性能的影响必然成为工程中急需解决的问题［1］。

现行的抗震设计方法是对一般结构采用反应谱法求解地震作用，而对一些重要的结构则需要选择几条典型的地震记录做为地震输入，用数值方法求出结构的动力响应。

反应谱方法把地震作用的计算与结构的固有频率结合起来，计算方法简单快捷，动力时程法更全面地考虑了结构的动力特性，可以模拟结构在地震动时的响应，同时也使得结构的弹塑性分析和非线性分析成为可能。

然而以上的抗震分析方法并非与实际情况完全一致，他们都假定了结构各支点具有相同的地震动输入。

这个假定对于一般平面尺寸较小的房屋建筑物是可以接受的，但是对于平面尺寸较大的结构物，忽略地面运动的空间变化可能会给结构的动力分析带来较大误差。

1 地震动空间效应地震时地面运动是一个复杂的时间－空间过程［2］，以往的抗震设计研究往往把注意力集中在地震动的时变特性上，而对地震动的空间变化特性考虑较少。

地震时，从震源释放的能量以地震波的形式传到地表面并引起地面震动，对于平面尺寸较大的结构，各支点的地震动是不相同的，这一点已被许多强震观测记录所证实。

建筑物动力响应分析与抗震设计一、引言建筑物动力响应分析与抗震设计是当今建筑工程领域中至关重要的一门学科。

随着城市化进程的加快和人们对建筑安全性的要求不断提高，建筑物在地震作用下的动力响应和抗震设计成为了工程师们亟待解决的难题。

本文将对建筑物动力响应分析与抗震设计进行探讨与分析。

二、动力响应分析建筑物在地震作用下的动力响应分析是抗震设计的基础，通过对建筑结构的动力特性和地震力的作用进行分析，可以评估建筑物在地震中的耐震性能。

1. 动力特性分析动力特性分析是指对建筑结构的固有振动频率、固有振型和阻尼比等进行研究。

通过在设计阶段对建筑结构进行动力特性分析，可以为后续的地震响应分析提供基础数据。

2. 地震力分析地震力分析是指通过建立合适的地震模型，计算出地震作用下建筑物所受到的地震力。

地震力的大小与建筑物的动力特性、地震波特性以及建筑结构的刚度等因素密切相关。

3. 动力响应计算动力响应计算旨在确定建筑物在地震中的位移、加速度和剪力等响应值。

通过对建筑物的动力响应进行计算，可以评估建筑物在地震中的倒塌风险，为后续的抗震设计提供依据。

三、抗震设计方法抗震设计是在动力响应分析的基础上，通过合理的设计手段提高建筑物的抗震能力，减少地震灾害对建筑物的破坏程度。

1. 强度设计强度设计是指根据地震力大小，确定建筑物的抗震设防烈度等级，并对结构材料、连接方式和构造系统进行合理配搭。

在强度设计中，需要考虑建筑物承受地震力的能力和结构的刚度等重要因素。

2. 塑性设计塑性设计是在强度设计的基础上考虑建筑结构的耗能能力，通过在结构中引入预设位移来吸收地震作用下的能量，从而使结构具有更好的抗震性能。

塑性设计可以提高结构的韧性和延性，有效减少地震灾害对建筑物的影响。

3. 隔震设计隔震设计是一种通过在建筑物和地基之间增加隔震装置，使建筑物在地震作用下产生相对运动，从而减小地震力对建筑物的影响。

隔震设计可以提高建筑物的抗震能力和安全性能，降低地震灾害对建筑物的破坏。

大跨度悬索桥强地震一致激励分析发表时间：2015-10-08T11:43:08.513Z 来源：《基层建设》2015年5期供稿作者：吴昊孙华怀[导读] 西南交通大学土木工程学院对全桥模型输入汶川地震波，研究该悬索桥在汶川地震波一直激励作用下跨中、塔顶等位置位移的时程变化。

吴昊孙华怀西南交通大学土木工程学院摘要：本文首先研究了地震一直激励的基本原理，以一座三塔两跨大跨度悬索桥为工程背景，利用有限元软件ANSYS建立全桥模型，研究该座桥梁的自振特性。

同时，对全桥模型输入汶川地震波，研究该悬索桥在汶川地震波一直激励作用下跨中、塔顶等位置位移的时程变化。

关键词：大跨度悬索桥；一直激励地震动包括一致激励和多点激励，对于跨度较小的结构体系而言，采用一致激励进行地震分析即可满足工程需要。

但对于大跨度悬索桥，由于其跨度很大，受地震波传播速度影响，支座各点处的地震波会产生相位差，使其承受多点地震激励。

本文主要分析大跨度悬索桥在地震一致激励下的响应，为大跨度悬索桥地震多点激励响应分析作参考。

对于大跨度悬索桥强地震一致激励响应分析，本文以某大桥作为算例，采用地震波加速度输入法进行计算。

1.地震激励的计算原理地震地面运动下，大跨度悬索桥动力响应的分析模型主要分两种：一致加速度输入和直接位移输入模型。

对一个与地面刚性连接的离散单元的结构体系，在地震作用下的动力平衡方程可以表达为：2.2．某大跨度悬索桥空间有限元计算模型本文采用有限元分析软件ANSYS，建立该大跨度悬索桥空间有限元模型，模型各个部分采用的单元情况介绍如下：BEAM4单元：可以承受拉、压、弯、扭作用。

本文模型中，加劲梁、中塔上塔钢塔柱采用BEAM4单元建立，BEAM188单元：可以承受拉、压、弯、扭作用。

本文模型中，边塔、中塔下塔混凝土塔柱建立BEAM188单元。

实现连续线性的变截面。

LINK10单元：仅受拉单元，本文模型中，主缆、吊索采用LINK10单元。

结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生《结构动力学》思考题第1章1、对于任一振动系统，可划分为由激励、系统和响应三部分组成。

试结合生活或工程分别举例说明：何为响应求解、环境识别和系统识别？响应求解：结构系统和荷载已知，求响应。

又称响应预估问题，是工程正问题的一种，通常在工程中是指结构系统已知，具体指结构的形状构件及离散元件等，环境识别：主要是荷载的识别，结构和响应已知，求荷载。

属于工程反问题的一种。

在工程中，如已知桥梁的结构和响应，根据这些来反推出桥梁所受到的荷载。

系统识别：荷载和响应已知，求结构的参数或数学模型。

又称为参数识别，是工程反问题的一种，在土木工程领域，房屋、桥梁和大坝等工程结构被视为“系统”，而“识别”意味着由振动实验数据求得结构的动力特性（如频率、阻尼比和振型）。

如模态分析和模态试验技术等基本成型并得到广泛应用。

2、如何从物理意义上理解线性振动系统 解的可叠加性。

求补充！！！！！3、正确理解等效刚度的概念，并求解单自由度系统的固有频率。

复杂系统中存在多个弹性元件时，用等效弹性元件来代替原来所有的弹性元件，等效原则是等效元件刚度等于组合元件刚度，则等效元件的刚度称为等效刚度。

4、正确理解固有频率f 和圆频率ω的物理意义。

固有频率f ：物体做自由振动时，振动的频率与初始条件无关，而仅与系统的本身的参数有关(如质量、形状、材质等)，它是自由振动周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。

圆频率ω： ω=2π/T=2πf 。

即为单位时间内位移矢量在复平面内转动的弧度，又叫做角频率。

它只与系统本身的参数m ，k 有关，而与初始条件无关5、正确理解过阻尼、临界阻尼、欠阻尼的概念。

一个系统受初扰动后不再受外界激励，因为受到阻力造成能量损失而位移峰值渐减的振动称为阻尼振动。

系统的状态按照阻尼比ζ来划分。

把ζ=0的情况称为无阻尼，即周期运动;把0<ζ<1的情况称为欠阻尼，即系统所受的阻尼力较小，振幅在逐渐减小，最后才达到平衡位置;把ζ>1的情况称为过阻尼，如果阻尼再增大，系统需要较长的时间才能达到平衡;把ζ=1的情况称为临界阻尼，即阻尼的大小刚好使系统作非"周期"运动。