九年级数学上册第1章反比例函数整理与复习课件(新版)湘教版

湘教版九年级数学上册

第一章 反比例函数

（一）反比例函数

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自

变

量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而

得到反比例函数的解析式；

（二）反比例函数的图象与性质

1．函数解析式：（）

2．自变量的取值范围：

3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，

且x应对称取点（关于原点对称）．

　（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．

　（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近

线．

当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

　（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支

上．

图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在

双曲线的另一支上．

4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y

轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则

有三角形PQC的面积为．

图1 图2

5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概

而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，

两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

（三）反比例函数的应用

1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．

2、反比例函数与一次函数的联系．

3、充分利用数形结合的思想解决问题．

蒋一舟

2016、09

1第一章 反比例函数

探究内容： 1.1 建立反比例函数模型（ 1）

目标设计： 1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律，抽象出反比例函数的概念；

2、理解反比例函数的概念和意义；

3 、培养学生自主探究知识的能力。

重点难点： 对反比例函数概念的理解

探究准备： 投影片等。

探究过程：

一、旧知回顾：

1、函数的概念：

一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那

么就说x 是自变量， y是 x 的函数 。

2、一次函数的概念：

一般地，如果 y kx b （ k 、 b 是常数， k 0 ）那么 y 叫做 x 的一次函数 。如： y 3x 1，⋯

当 b 0 时，有 y kx（ k 为常数， k 0 ）则y 叫做 x 的正比例函数。如： 1

y x ， y 4x ，⋯

2

二、新知探究：

类似地，有反比例函数：

1、概念：

一般地，如果两个变量 y 与 x 的关系可以表示成 y k

x （ k 为常数， k 0 ）的形式，那么称 y 是 x 的反

比例函数。

2、强调：

①自变量在分母中，指数为 1，且 x 0 ；

②也可以写成 1

y kx 的形式，此时自变量 x 的指数 1 ；

③自变量 x 的取值为 x 0的一切实数；

④由于 k 0 ， x 0 ，因此函数值 y 也不等于 0。

例题讲评：

1、下列函数中， x 均表示自变量，那么哪些是反比例函数，并指出每一个反比例函数中相应的 k 值。

⑴ y 5

x ⑵ y 0.4

2

x ⑶ x

y ⑷ xy 2

2

分析：

⑴ y 5

x 是反比例函数， k 5 ；

⑵ y 0.4

2

x 不是反比例函数；

⑶ x

y 是正比例函数；

2

⑷ xy 2 ，即 y 2

x ，是反比例函数， k 2 。

2、若函数 2 7

WORD整理版

专业学习参考资料

1.反比例函数概念

一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成

(k为常数,k

0)的形式,那么称y是x的反比例函数.反比例函数的自变量x不能为 .

2.反比例函数的等价形式

y是x的反比例函数⇔y=

(k≠0)⇔y=kx-1(k≠0)⇔xy=k(k≠0).

探究一:反比例函数的概念

【例1】 若函数y=(m+1) 是反比例函数,则m的值为( )

(A)m=1 (B)m=-2

(C)m=-2或m=-1 (D)m=2或m=1

【导学探究】

判断形如y=

(k≠0)的反比例函数时,要特别注意:①自变量x的指数是 ,②k的取值范围是 .

反比例函数y=

(k≠0)中应注意三点:(1)k≠0;(2)x≠0;(3)其解析式的另外两种写法是xy=k,y=kx-1(k≠0),其中(1)是最容易被忽视的.

变式训练1-1:下列各式中的两个字母都表示变量,哪些式子中的两个变量可以成反比例函数关系?每一个反比例函数相应的常数“k”值是多少?

(1)y=

;(2)xy=-6;

(3)s=-

;(4)y=

+1.

变式训练1-2:写出下列问题中y与x之间的函数关系式,并判断是否为反比例函数. WORD整理版

专业学习参考资料 (1)三角形的面积为36 cm2,底边长y(cm)与该边上的高x(cm);

(2)圆锥的体积为60 cm3,它的高y(cm)与底面的面积x(cm2).

探究二:求反比例函数解析式

九年级数学基础知识归纳

第一章 反比例函数

一、基础知识

1. 定义：一般地，形如xky（k为常数，ok）的函数称为反比例函数。xky还可以写成kxy1

2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.

⑵比例系数0k

⑶自变量x的取值为一切非零实数。

⑷函数y的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

② 描点（有小到大的顺序）

③ 连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，xky（k为常数，0k）中自变量0x，函数值0y，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是xy或xy）。

⑷反比例函数xky（0k）中比例系数k的几何意义是：过双曲线xky （0k）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。

4．反比例函数性质如下表：

k的取值 图像所在象限 函数的增减性

ok 一、三象限 在每个象限内，y值随x的增大而减小

ok 二、四象限 在每个象限内，y值随x的增大而增大

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用

8、比较正比例函数和反比例函数的性质

正比例函数 反比例函数

解析式

图像 直线 双曲线

位置 k＞0，一、三象限；

k＜0，二、四象限

k＞0，一、三象限

k＜0，二、四象限

(0)ykxk(0)kykx增减性 k＞0，y随x的增大而增大

k＜0，y随x的增大而减小