吉林省吉林市2021届高三下学期第三次调研测试(3月) 数学(理) 答案

1 吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第三次调研测试

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.

13. 1 14. ,,cba 15. 38

16. 22143xy (2分)， ①②③④ （3分）

17．【解析】

（1）nm

0cos2Baanm .0a .........................................3分

22cosB

,0B 4B ....................................................... 6分

（2）由正弦定理得BbAasinsin

2222sin32A 23sinA .......................................... 9分

,0A 3A或32 ......................................... 12分

[注：①只写出一种情形且算对，扣2分；②未说明角范围各扣1分.] 18.【解析】

（Ⅰ）散点图如右图....................1分

由散点图可知，管理时间y与土地使用面积x

线性相关............................ 2分

依题意:3554321x，又16y

437281)2(0)5()1()8()2())((51yyxxiii..........3分

10210)1()2()(22222251xxii，206)(251yyii.................4分

则947.04.45435152432061043)()())((21211niiniiiniiyyxxyyxxr................ 5分

由于75.0947.0，故管理时间y与土地使用面积x线性相关性较强..................... 6分

（Ⅱ）由题知调查的300名村名中不愿意参与管理的女性村民人数为

60)6040140(300

该贫困县中任选一人，取到不愿意参与管理的女性村民的概率5130060p ............. 7分

则X可取3,2,1,0 ............................................................. 8分

12564)54()0(303CXP 12548)54(51)1(213CXP

1251254)51()2(223CXP 1251)51()3(333CXP ............... 10分

2 也可以写如下形式：

)51,3(~BX 3,2,1,0,)54()51()(33kCkXPkkk

X的分布列为

.............. 11分

5312513125122125481125640)(XE .............................. 12分

(或53513)(nPXE)

19.【解析】

（１）证明：连.BN 连 ,11HCAAC连MH

MHBCMBAMHCAH//,11

又MH面CMA1，1BC面CMA1 //1BC面CMA1 ................. 2分

四边形NBMA1是平行四边形，MABN1// BN面CMA1，MA1面CMA1

//BN面CMA1 ..........................................................4分

BNBCBBNBC,,11面NBC1

面//1CMA面NBC1 .......................................................5分

【注：也可以利用CAPNCMNC11//,//证明】 PQ面NBC1 //PQ面CMA1 ..........................................6分

（２）以A为原点，1,,AAABAC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系..........................................7分

设),0,0(1hA)0(h)0,4,0(),0,0,2(),0,2,0(BCM

所以),2,0(1hMA， ),0,2(1hCA

设平面CMA1的法向量zyxn,,

则020211hzxCAnhzyMAn 即

2zhyhx

)2,,(hhn

平面ACM的法向量)1,0,0(0n ............................................... 9分

由二面角ACMA1的余弦值是33

则331422|||||)1,0,0()2,,(||||||||,cos|20000hnnhhnnnnnn

又0h ， 解得 2h

)2,2,2(n ..............................................................11分

又0,2,0MB ，332322,2,20,2,0nnMBd

即点B到平面CMA1的距离为332............................................. 12分

[方法二: 利用传统方法求出 𝐀𝐀𝟏=𝟐.............................................9分

3 再利用等积法求出点B到平面CMA1的距离为332............................ 12分]

[方法三: 利用传统方法求出 𝑨𝑨𝟏=𝟐......................................... 9分

再利用点B到平面CMA1的距离即为点A到平面CMA1的距离.由直接法求出距离为332................................ 12分]

20.【解析】

解：(Ⅰ)由抛物线的定义知，2321p，解得1p，..........................2分

所以抛物线C的方程为yx22 ..............................................3分

焦点)21,0(F ..............................................................4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知焦点)21,0(F,设),(),,(2211yxByxA

易知直线l存在斜率，设为k，直线l方程为21kxy，

联立yxkxy2212，消去x得：041)12(22yky

04424kkΔ 恒成立，则12221kyy ..............................5分

22||221kpyyAB ...............................................6分

设原点O到直线l的距离为1d，12121kd 所以121121)1(221||2122211kkkdABS .....................7分

1S解法二 联立yxkxy2212，消去y得：0122kxx，0442kΔ 恒成立，

则kxx221，121xx

)1(24414)(1||222212212kkkxxxxkAB

设原点O到直线l的距离为1d，12121kd

所以121121)1(221||2122211kkkdABS

1S解法三

1214421214)(||21||||212221221211kkxxxxOFxxOFS

易知)21,21(kQ

设Q到直线l的距离为2d，122222kkd

所以1)2(21122)1(221||212222222kkkkkdABS.....................8分

4 故2111SS=2121)2()1(21)2(21222222222kkkkkkkk.............. 9分

设112km，1122121211221mmmmmmSS ....................10分当且仅当mm1，即1m时，取等号 ...........................................11分

所以2111SS的最大值为1 .......................................................12分

21. 【解析】

（Ⅰ）xxexfxsin2)(，xexfxcos2)(，且0)0(f...................1分

① 当0x时，1xe，1cosx 02cosxex

即0)(xf解集为)0,( )(xf在)0,(上是减函数...........................2分

②当0x时，设xexhxcos2)( 则xexhxsin)(

而1xe，1sinx，所以0)(xh

因此)(xh在),0(上为增函数，且0)0(h

所以0)(xh在),0(上恒成立 )(xf在),0(上是增函数.......................3分

综上：)(xf的减区间为)0,(，增区间为),0(.....................................4分

（2）由（1）知，函数min()(0)1fxf

]2,0[,21xx，使得不等式)()(21xfxg成立 等价于不等式(sincos)1xexxa在[0,]2x时有解