2.4 正态分布1．正态曲线若φμ，σ(x )＝，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛a b φμ，σ(x )，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．思考：如何估计参数μ，σ的值？[提示] 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．3σ原则(1)若X ～N (μ，σ2)，则对于任何实数a >0，P (μ－a <X ≤μ＋a )＝⎠⎛μ－a μ＋a φμ，σ(x )d x .(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682_7， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954_5， P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997_3.(3)通常认为服从于正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．1．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，则P (X <2)＝( ) A.15 B.14 C.13D.12D [由题意知X 的均值为2，因此P (X <2)＝12.]2．正态曲线关于y 轴对称，则它所对应的正态总体均值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．不确定C [由正态曲线性质知均值为0.]3．正态分布的概率密度函数P (x )＝122πe －(x －5)28在(3,7]内取值的概率为________．0．682 7 [由题意可知X ～N (5,4)，且μ＝5，σ＝2， 所以P (3<X ≤7)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7.]【例1】图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是()A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同A[由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.]利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ1．正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.2．正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象可求σ.3．由σ的大小区分曲线的胖瘦．1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2A[根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.]【例2＝0.8，则P(0<ξ<2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．[思路点拨](1)根据正态曲线的对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．(1)C[∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.](2)[解]由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 7.又因为正态曲线关于x＝1对称，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝12P(－1＜X＜3)≈0.341 4.正态变量在某个区间内取值概率的求解策略1．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 2．注意概率值的求解转化：(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；(2)P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)；(3)若b＜μ，则P(X＜b)＝1－P(μ－b＜X＜μ＋b)2.3．熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．2．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4<x<8)．[解](1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2.(2)P(－4<x<8)＝P(2－2×3<x<2＋2×3)＝0.954 5.【例3ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？[思路点拨](1)ξ～N(90，100)―→μ＝90，σ＝10―――――――――→借助“3σ”原则解题求P(70<ξ<110)(2)先求P(80<ξ<100)―→由2 000P(80<ξ<100)求结果[解]因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 5，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率为0.954 5.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 7，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率就是0.682 7.一共有 2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有 2 000×0.682 7≈1 365(人)．正态曲线的应用及求解策略1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．3．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.52)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？[解]由于X服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0.52)在(4－3×0.5,4＋3×0.5)之外的取值的概率只有0.002 7，而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (X <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )，若b <μ，则P (X <μ－b )＝1－P (μ－b <X <μ＋b )2.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( ) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．( ) (3)正态曲线是一条钟形曲线．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√2．设随机变量X 的正态密度函数为f (x )＝12π·e，x ∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )A ．μ＝3，σ＝2B ．μ＝－3，σ＝2C ．μ＝3，σ＝ 2D ．μ＝－3，σ＝ 2D [由正态密度函数表达式知μ＝－3，σ＝ 2.] 3．设X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，则P (－1＜x ＜1)＝________. 0．954 5 [∵X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，∴μ＝0，σ＝12，∴P (－1＜X ＜1)＝P (0－2σ＜X ＜0＋2σ)＝0.954 5.]4．有一种精密零件，其尺寸X (单位：mm)服从正态分布N (20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22 mm 间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26 mm 间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？[解] (1)∵X ～N (20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， 于是尺寸在18～22 mm 间的零件所占的百分比大约是68.27%.(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在14～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在16～24 mm间的零件所占的百分比大约是95.45%.∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.73%－95.45%2＝2.14%.因此尺寸在24～26 mm间的零件大约5 000×2.14%≈107(个)．∴这批零件中不合格的零件大约有107个．。
人教版高中选修2-3《正态分布》教案一、教学目标1.知识与技能：–能够通过计算、观察与分析进行正态分布的基本参数估计与计算；–能够根据数据特征确定正态分布的使用条件，并运用正态分布解决实际问题。
2.过程与方法：–提高学生数理思维能力及运用计算机软件进行数据统计和分析的能力；–提高学生观察、归纳、分析问题及解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：–培养学生科学态度，认识正态分布的重要性和应用价值，拓宽学生科学视野。
二、教学重、难点1.教学重点：–正态分布的基本概念与相关参数的计算；–正态分布的性质及模型的应用；–正态分布与假设检验。
2.教学难点：–正态分布在实际中的广泛应用。
三、教学内容1. 正态分布的基本概念与参数1.正态分布的定义–介绍正态分布的基本特征和概念。
2.正态分布的概率密度函数和分布函数–掌握正态分布的概率密度函数和分布函数的定义；–画出正态分布的概率密度函数和分布函数的图像。
3.正态分布的标准化–掌握正态分布的标准化转化法，以及标准正态分布表的使用方法。
2. 正态分布的参数估计与计算1.正态分布的基本形式–介绍正态分布的基本形式，以及参数的含义；–学习如何通过样本来估计总体的参数。
2.样本均值和样本标准差–掌握样本均值和样本标准差的定义和计算方法；–从样本中估计总体的均值和标准差。
3.抽样分布–掌握样本均值和样本标准差的概率分布，以及如何计算抽样分布。
3. 正态分布的应用1.正态分布的性质及模型的应用–描述正态分布的各种统计特征；–掌握利用正态分布进行概率估计的方法；–了解正态分布在实际问题中的应用，如质量控制、投资、风险评估等。
2.正态分布与假设检验–了解假设检验的基本内容及步骤；–学习如何从正态分布的角度来诠释假设检验。
四、教学方法1.授课讲解：对正态分布相关概念和公式进行讲解，以期解决学生对于正态分布不熟悉的情况。
2.讲解示范法：用实例向学生呈现正态分布的应用场景及应用方法，以期加深学生对于正态分布在实践中的应用认识。
