矢量分析与场论讲义全

l
l
称为 A 沿闭曲线l的环量。
定义：若 lim 存在，则
SP S
称此极限为矢量场
n
P
S
A沿l之正向的环量 在点P处沿n方向的 环量面密度。
l
图3 闭合曲线方向与面元的 方向示意图 (P59)
性质：l围成的面元法矢量 旋涡面的方向
重合，最大
夹角，中间值 R
垂直， 0
矢量R
旋度矢量
①在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密 度
其内某点M 收缩时，若平均发散量的极限值存在，
便记作
A ds
divA lim s V V 0
称为矢量场 A(M ) 在该点的散度(div是divergence的缩写)
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发 散的强弱程度，当div A 0，表示该点有散发通量 的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的负源；
定义：①线矢量l: 矢量场A中的
一条封闭的有向曲线
z
②环量Г：（图2） A
A dl Acos dl
l
l
性质：① Г是标量
P
dl l
② Г≠ 0，l 内有旋涡源 O
y
③ Г=0，l 内无旋涡源 x
图2 矢量场的环量(P56)
环量的表达式
定义 向量场 A 沿空间有向闭曲线 l 的
线积分 A dl Pdx Qdy Rdz
ds
通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和
v ds
s
对于闭合曲面s，通量f为
v ds s
定义 向量场 A沿选定方向的曲面S的面积分
A dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
S (定侧)
S
称为 A 向曲面指定一侧穿过曲面S的通量。
例题
例1 设由矢径 r xi yj zk 构成的矢量场中，有一由
若下列极限
u u(M ) u(M0 )
lim u lim u(M ) u(M0 )
l l 0
l 0
l
存在，则该极限值记作 u ，称之为数量场
沿 的方l 向导数。
l M0
u(在MM) 0处
u u cos u cos u cos
l x
y
z
lˆ (cos ,cos ,cos )
【例1】 设点电荷q位于坐标原点，它在空间一点
M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为
E
q
4
r3
r
式中，q、ε均为常数， r=xi+yj+zk为M点的位置
矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。
解题过程：
整理求解作图
矢量的直角 坐标系方程
矢量线的 微分方程
z
y
x
图 点电荷的电场矢量线 (P27)
y C1 x z C2 y
例题
例1 求函数 u x2 y2 z2 在点M(1, 0,1)处沿
l i 2 j 2k 方向的方向导数。
例3 设 r x2 y2 z2为点M ( x, y, z)处的矢径r的模， 试证： gradr r r r
例4 求数量场 u xy2 yz3 在点M(2, 1,1)处的梯度
dx dy dz Ax Ay Az
例2 求矢量场 A xzi yz j ( x2 y2 )k 通过点M(2, 1,1)
的矢量线方程。
在场矢量 A 不为零的条件下，由线性微分方程组的
理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场 中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的 点的两条矢量线没有公共点。
圆锥面 x2 y2 z2及平面z H(H 0)所围成的封闭 曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3+xy）k
的散度。
• 如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：
A
0
A dS＝ 0
就称为稳定场，否则，称为不稳定场。
注
1. 场的特点：
①分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器 进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况；
②具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。
2.场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质.
2、方向导数
方向导数是数性函数 u(M在) 一点处沿任意方向
对距离的变化率，它的数值与所取
l
的方向有关，
l
一般来说，在不同的方向上 u的值是不同的，但 它并不是矢量。如图所示， ll为M0场中的任意方向，
M0是这个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近
的一点。
M
l
M0
l
为l M0和M之间的距离，从M0沿 到l M的增量为
nˆ
S
0
（Ⅰ） 0
表示有净的矢量 线流出，闭合面 内有产生矢量线 的正源；
（Ⅱ） 0
表示有净的矢量 线流入，闭合面 内有吸收矢量线 的负源；
（Ⅲ） 0
表示流入和流出 闭合曲面的矢量 线相等或没有矢 量线流入、流出 闭合曲面
若S 为闭合曲面，可根据净通量 S A d S的大
小判断闭合面中源的性质:
= 0 (无源) < 0 (有负源) > 0 (有正源) 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭 合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系
2、散度
设封闭曲面s所包围的体积为V，则
A ds s V
就是矢量场 A(M )在 V 中单位体积的平均通量，或者 平均发散量。当闭合曲面s及其所包围的体积 V 向
2、旋度（没有流出的量）
旋涡源
➢ 旋度即该矢量(的平行平面分量)沿平面的大小密度(即
大小/面积)
➢ 旋度不为0表示有量在该平面“逗留”
➢ 旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从Stokes公 式里理解
➢ 旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有 旋场
§5 几种重要的矢量场 一、无旋场
定义：若在区域V内，矢量场A的旋度处处为零 （即 A 0），则称A为V内的无旋场。
§1 场的概念（Field）
一、场的概念
场是用空间位置函数来表征的。若对全空间或其中 某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或矢量) 与 之对应, 则称在 V 上确定了一个 数量场 (或矢量场). 例如: 温度场和密度场都是数量场, 重力场和速度 场都是矢量场。 若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，
2. 矢量线连续分布，一般互不相交。
A (r )
M
l
r dr
• 矢量线的微分方程： •O
M点位置 r xi yj zk
矢量线l 微分 dl dr dxi dyj dzk
场矢量
A Ax i Ay j Azk
矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的 dx, dy, dz 成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程
i jk
rot A A
x y z PQR
(R Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k
y z
z x
x y
简单地说,旋度是个矢量，它的物理意义
是场在该矢量方向上旋转性的强弱。
6
利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋 转的强度)，我们可以用向量的形式重写 Stokes公式。
直接从散度的定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲 面所包含体积中矢量场散度的积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场的Gauss定理。
注：它能把一个闭合曲面的面积分转为对 该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。
§4 矢量场的环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场的环量
梯度
gradu u i u j u k u
(Gradient)
x y z
u gradu lˆ gradu cos(gradu, lˆ) l
G u i u j u k gradu x y z
lˆ cos i cos j cos k
u G lˆ G cos(G, lˆ)
相对应. 这里 Ax , Ay , Az为所定义区域上的数性函数, 并假定它们有一阶连续偏导数。
数量场的等值面（线）：直观表示数量u在场中的分布。
是由场中使u取相同数值的点所组成的曲面。
其方程为
u (x, y) c
u( x, y, z) c(c为常数)
（c值不同对应不同等值面）
c1 c2
l
当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0
,沿l增加
u l
0
,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度的性质
（1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在 该方向的投影。
（2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等 值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面 的法向有两个）
§3 矢量场的通量与散度
1、通量
一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量
场 v 方向通过 ds的流量是dQ，而dQ是以ds为底，以
v cosθ为高的斜柱体的体积，即
dQ v cosds v ds
称为矢量 v通过面元 ds的通量。
nˆ
对于有向曲面s，总可以
将s分成许多足够小的面元ds，
v
θ
于是
（3）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数 量场也随之确定，最多相差一个任意常数
数量标场量沿场任的一梯方度向垂的直方于向通导过数该等点于的梯等度值在面该（方或向切的平投面影）。