大一下学期解析几何考试试卷习题及标准答案.doc
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一、填空题（共 7 题， 2 分 / 空，共 20 分）
1. 四点 O (0,0,0) , A(1,0,0) , B(0,1,1) , C (0,0,1) 组成的四面体的体积是 ___ ___.
2. 已知向量 a (1,1,1)
(1,2,3) , c (0,0,1) , 则 ( a b ) c =__(-2,-1,0)____. , b
3. 点 (1,0,1) 到直线
x y 的距离是 ___ 66 ___________. 3x z
11
4. 点 (1,0,2) 到平面 3x y
2z 1的距离是 __
3
14 ___________.
7
5. 曲线 C:
x 2
y 2
z
对 xoy 坐标面的射影柱面是 ___ x 2 x y 2
1 0 ____,
z x 1
对 yoz 坐标面的射影柱面是 __ ( z 1)2 y 2 z 0 _________, 对 xoz 坐标面的射影
柱面是 ____ z x 1 0 __________.
6. 曲线 C:
x 2
2 y
绕 x 轴旋转后产生的曲面方程是 __ x 4
4( y 2 z 2 ) _____，曲线
z 0
C 绕 y 轴旋转后产生的曲面方程是 ___ x 2 z 2 2y _______________.
7. 椭球面 x
2
y 2 z 2 1 的体积是 _____ ____________.
9
4 25
二、计算题（共 4 题, 第 1 题 10 分, 第 2 题 15 分, 第 3 题 20 分, 第 4 题 10 分,
共 55 分）
1. 过点 P(a, b, c) 作 3 个坐标平面的射影点 , 求过这 3 个射影点的平面方程 . 这里
a, b, c 是 3 个非零实数 .
解 : 设点 P( a, b, c) 在平面 z 0 上的射影点为 M 1 (a,b,0) ，在平面 x
0 上的射影
点为 M 2 (0, a, b) ，在平面
上的射影点为 M 3 (a,0, c)
uuuuuur
( a,0, c) ，
y
0 ，则 M M
1
2
uuuuuur
M 1M 3 (0, b, c)
uuuuuur uuuuuur
x a y b z
于是 M 1 所确定的平面方程是 a 0 c 0
， M M 2
， M M 3
1
1
0 b c
即 bc( x a)
ac( y b) abz
.
2. 已知 空间 两 条直 线 l 1 :
x y 0 x y 0
z 1 0 , l 2 : 1 .
z 0
(1) 证明 l 1 和 l 2 是 异面 直 线 ;(2) 求 l 1 和 l 2 间的 距离 ;(3) 求公 垂线 方程 . 证明： (1) l 1 的 标准 方程 是
x
y
z 1
， l 1 经 过点 M 1 (0,0, 1) ，方 向 向量
1
1
v 1 {1, 1,0}
l 2 的标准方程是
x
y
z 2
， l 2 经过点 M 2 (0,0, 2) ，方 向 向量 v 2 {1,1,0} ，于
1 1
是
uuuuuur
0 0 3
( M 1M 2 , v 1 , v 2 ) 1 1
0 6 0 ，所以 l 1 和 l 2 是 异面 直 线 。
1 1
(2) 由于 v 1 v 2 (0,0, 2) ， v 1 v 2
2
uuuuuuuuuuuur (M 1 M 2 , v 1,v 2 )
6 l 1 和 l 2 间 的距 离 d
v 1 v 2
3
2
x y z 1
1 1 0 0
(3) 0 0 2 ，即 x y 0 。
公垂 线方 程是
y z 2 x
x y 0
1 1 0 0
0 0
2
3. 求曲线
x 2
2 y
绕 x 轴旋转产生的曲面方面 .
z 1
解：设 M 1( x 1 , y 1, z 1 ) 是母线 x 2
2 y
上任意一点 , 则过 M 1 ( x 1 , y 1, z 1 ) 的纬圆方程是
z 1
x 2 y 2 z 2 x 12 y 12
z 12
，（1）
x x 1 0
又
x
1
2
2 y 1 ，（ 2）
z 1
1
由（ 1）（ 2）消去 x 1, y 1 , z 1 得到 x 2 2 y 2 2z 2
2 0 .
4. 已知 单 叶 双曲 面
x 2
y 2 z 2 1, P( 2,0,0) 为腰 椭 圆上 的点 , 4 9 25
(1) 求经 过点 P 两 条直 母线 方程 及其 夹角 ;
(2) 求这 两条 直 母 线 所在 的平 面 的方 程及 平面 与 腰 椭 圆 所 在 平面 的 夹角 .
w(
x
z ) u(1
y ) 解 ： (1)
设 单 叶 双 曲 面 两 直 母 线 方 程 是
2 5
3 与
x z
y
u( w(1
2 ) )
5 3
t (
x
z ) v(1 y ) 2 5 3 x z t(1 y
v( ) )
2 5 3
把 点 P(2,0,0) 分 别代 入上 面两 方程 组， 求 得 w u, t v 代 入直 母线 方程 ，
x z y
x z
y
1
1
得 到 过 点 P(2,0,0) 的 两 条 直 母 线
2 5
3 与
2 5
3 ， 即
x z y
x z y
2 1
3
2 5
1
5
3
15x 10y 6z 30 0
15x 10y 6z 30 与
0 15x 10y 6z 30
0 15x 10y 6z 30
两 直母 线的 方 向向 量可 分别 取 v 1
(0,3,5) 和 v 2 (0,3, 5) ，设 两直 母 线的
v 1 v 2 8 ， 8
.
夹 角是 ， 则有 cos
v 2
17
arccos
v 1
17
x 2 y z
（ 2）两 直母 线 所 在平 面 的方 程是 0
3 5 0 ，即 x 2
3
5
显 然平 面 与腰 椭圆 所在 的平 面的 夹角 是 0.
四 、证 明题 ( 共 2 题 , 第 一题 10 分 , 第 二题 15 分 , 共 25 分 )
t
t 2 t 2 ,
1 t 3
1. 求 证 : 曲 线 r (t )
( 1 t
t 2
,
1 t
t t 2 ) 在 一 个 球 面 上 , 这 里 的
t ( , ) .
uuur
( x, y, z) ， 则有 x 2 y 2 z 2
y ， 即 x
2
( y 1) 2
z 21
证 明 : 设 r (t)
2
4
所以曲线 r (t ) (
t 2
, t 2
2
,
t 3
2 ) 在 球 心 为 (0,
1
,0) , 半 径 为 1
的 球
1 t t
1 t t
1 t t
2 2
面 上。
2. 证明 :(1) 双 曲抛 物面 的同 族 的 所有 直母 线都 平 行于 同一 平面 :
(2) 双曲 抛物 面 的同 族的 两条 直母 线异 面 . 证 明 : (1)
双 曲抛 物面 的 u 族直 母线 中任 一条 直母 线都 平行 于 平面
x y
a 0 ,
b
v 族 直母 线 中任 一条 直母 线都 平行 于平 面
x y
0 ,
因 而结 论成 立 .---------5
a b
分
(2) 不 妨 取 u 族直 母线 来证 明， 任取 u 族直 母线 中两 条直 母线
x y x y 2u 2
l 1 ： a
2u 1 b ① 和 l 2 ： a b ②
u 1 (
x y
) z
u 2 (
x y
) z
a b
a b
其 中 u 1 u 2 . 由 于 ① 的 第一 个方 程 表 示 的 平 面 平 行于 ② 的 第一 个 方程 表 示的 平面 , 即 l 1 和 l 2 在 两个 平行 平面 上 , 因 而 l 1 和 l 2 不会 相 交 . 又 由于 直线 l 1 的 方向 向量 为 v 1 ( 1 , 1 ,0)
( u
1 ,
u 1
, 1)
( 1 , 1 , 2u
1 )
a b a
b
b a ab
直 线 l 2 的方 向向 量为 v 2 ( 1 , 1 ,0) ( u
2 , u 2
, 1)
( 1 , 1 ,
2u
2 ) a b a b
b a ab
由 于 u 1 u 2 , 因 此 l 1 和 l 2 不 会平 行 , 从 而 证 明 了 双 曲抛 物面 的同 族 的两
条 直母 线异 面 .。
