《高等代数与解析几何(上) 》期末考试试卷(A 卷)

考试样卷（A ）卷学年第1学期考试有关事项说明考试日期：年01月17日（星期五）考试用时：150分钟考试地点：（花都校区教学楼_____室）考试形式：闭卷有关考试的特殊提示：（沉着冷静、认真作答！相信自己，你是最棒的！）此此为为考考试试样样卷卷，，仅仅提提供供试试卷卷题题型型，，内内容容与与实实际际考考试试无无关关。

如如有有雷雷同同，，纯纯属属巧巧合合！！一、填空题（每小题2分，共14分）1、等式222)(baba•成立的充分必要条件是）共线（或、baba//；。

2、若置换24131234,32411234qp,则qp14321234。

3、将矩阵541312bA的第1行乘上-2加到第二行后变成5421112B, 则b 4 。

4、1至6的排列241356的逆序数为________ 3 。

5、四阶行列式展开式中，项23413412aaaa的符号为负 (或-1) 。

6、如果线性方程组5-32221232131321x x x x x x x ax 有唯一解，a 的取值范围 611 a 。

7、 设在空间直角坐标系下，A=(2,0,0),B=(2,1,2),C=(0,-1,4),则空间ABC 面积等于 6。

二、判断题（每小题2分，共10分）1、 0ab ac a b cr r r r若且则一定有。

（ × ）2、 若a r （，，b r ，c r ）=0r，则必存在不全为零的实数 ， ，使得c a b r r r 。

（ × ）3、1112111221222122ka ka a a kka ka a a 。

（ × ）4、在△ABC 中一定存在一点O ，可以使得 0OC OB OA 。

（ √ ） 5、m ,,,21 线性相关当且仅当m rank m )),,,((21 。

（ √ ）三、选择题（每小题2分，共10分）1、 在四边形ABCD 中,若AB u u u v 2a b rr ,BC uuu v 4a b r r ,CD uuu v 53a b r r ,则四边形ABCD 为( A ).A.梯形;B.平行四边形;C.一般四边形;D.以上结论都不正确. 2、n 维向量组s ,,,21 )3(n s 线性无关的充分必要条件是（ D ） A. 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使02211 s s k k k B. s ,,,21 中任意两个向量组都线性无关C. s ,,,21 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示D. s ,,,21 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示3、 行列式00 (010)0 (200).............10......00000......00n n的值为（ D ）.A. !n ;B. 1(1)!n n ; C. (1)2(1)!n n n ; D. (1)(2)2(1)!n n n4、行列式41032657a 中，元素a 的代数余子式是（ D ）。

2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、填空（共40分，每小题4分）1.向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为____________,它的一组基为__________________．2.已知111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，则_______,_______a b ==特征向量α对应的特征值0___________λ=．3.k 满足___________时，二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =--+---是负定的。

4.设矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000B y -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则_________,________x y ==．5.在空间[]n P x 中，设变换σ为()(1)()f x f x f x →+-，则σ在基0(1)(1)1,(1,2,1)!i x x x i i n i εε--+===-下的矩阵为____________________．6.相似矩阵的特征值__________.7.向量)1,3,2,4(),4,3,2,1(==βα,则内积=),(βα___________. 8.若A 是实对称矩阵,则 A 的特征值为____________.9.n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于___________________.10.对于线性空间V 中向量)1(,,,21≥r r ααα ,若在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ,使02211=+++r r k k k ααα ,则向量r ααα,,,21 称为_________.二、（15分）设V 是实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间，其中2100100,200A ωωω⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,求V 的维数和一组基.三、（15分）用非退化线性替换化二次型22212312132322448x x x x x x x x x ---++为标准形.四、（15分）在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在基1234,,,ηηηη下的坐标，设(1,0,1,0)ξ=1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩； 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩.五、（15分）设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换σ在这组基下的矩阵为1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭ 1）求σ在基11242234334442,3,,2ηεεεηεεεηεεηε=-+=--=+=下的矩阵； 2）求σ的核与值域.2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A 答案一、填空（共40分，每小题4分）1、向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为__2n -__________,它的一组基为122(1,1,0,,0,0),(0,0,1,,0,0),,(0,0,0,,1,0)n εεε-=-==_。

2020-2021《解析几何》期末开课程考试试卷A适用专业: 信息与计算科学 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题(每空2分，共40分)1. 求与向量{}3,4,12a =-反方向的单位向量 .2. 向量{}1,2,3a =-与向量{}2,3,1b =-,则与a 和b 都垂直的单位向量为 .3. 设{}2,2,1a =-,向量b 与a 共线,且模为75,方向与a 相反, 则b = .4. 已知2AP PB -→-→=-，且(2,1,3)A ，(0,2,1)B -，则P 点坐标为 . 5. 一直径的两个端点坐标为(1,2,3)-, (3,0,1)的球面方程为 . 6. 在空间直角坐标系下方程221z x =+表示 .7. 二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=,当旋转角α满足 时, 方程不含交叉项.并写出曲线在直角坐标系下的三个不变量为 , , .10 222253x y z y ⎧++=⎨=⎩的圆心坐标为 .11 方程22221x y z -+=表示的曲面名称为 .12 方程2222x y z z ++=转化为球面坐标系下方程为 . 13 平面外一点(2,1,3)P 到平面221x y z -+=的距离为 . 14 写出平面240x y z -++=的法式方程 .15 平移平面直角坐标系下的坐标轴, 使新原点的坐标为(2,1)o ',则在新坐标系下坐标为(4,0)-的点在旧坐标系下的坐标为 .16 已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)a b c ==-=-,则()a b c ⨯⋅= ,()a b c ⨯⨯= .17 写出22210x y z --+=过点(2,1,-2)的直母线方程 ,.二、计算题（1,2,3每题7分,4,5每题10分, 共41分）1.求直线12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与平面3240x y z -++=的夹角,并求交点.2.写出直线2210:220x y z L x y z +-+=⎧⎨+--=⎩的参数式方程, 并求出直线的方向余弦.3.求曲线222222x y z z x y ⎧++=⎨=+⎩在xoy 面的射影柱面方程和射影曲线方程. 4求直线11111x y z --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l ,并求0l 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程.5. 判断二次曲线223234440x xy y x y -+++-=是中心型,无心型还是线心型, 并化方程为标准型.三、 求证两条直线异面122:101x y z l +-==-2321:151x y z l -+-==，并求公垂线方程. （9分）四、画图题(每题5分,共10分)1.作出两个曲面z =,224z x y -=+所围立体的图形.2. 作出由三个坐标面, 曲面22z x y =+和平面1x y +=所围的立体图形.2020-2021《解析几何》期末开课程考试试卷A 答案适用专业: 信息与计算科学 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分二. 填空题(每空2分，共40分)1. 求与向量{}3,4,12a =-反方向的单位向量 3412,,131313⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.2. 向量{}1,2,3a =-与向量{}2,3,1b =-,则与a 和b 都垂直的单位向量为. 3. 设{}2,2,1a =-,向量b 与a 共线,且模为75,方向与a 相反, 则b = （-10，10，-5） .4. 已知2AP PB -→-→=-，且(2,1,3)A ，(0,2,1)B -，则P 点坐标（-2，3，-5） . 5. 一直径的两个端点坐标为(1,2,3)-, (3,0,1)的球面方程为222(2)(1)(1)6x y z -+-++= .6. 在空间直角坐标系下方程221z x =+表示 拄面 .7. 二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=,当旋转角α满足 112212cot 2a a a α-=时, 方程不含交叉项.并写出曲线在直角坐标系下的三个不变量为 1I , 2I , 3I .10 222253x y z y ⎧++=⎨=⎩的圆心坐标为 （0，3，0） .11 方程22221x y z -+=表示的曲面名称为 单叶双曲面 .12 方程2222x y z z ++=转化为球面坐标系下方程为 2sin ρϕ= .13 平面外一点(2,1,3)P 到平面221x y z -+=的距离为 5/3 . 14 写出平面240x y z -++=的法式方程0x y +=. 15 平移平面直角坐标系下的坐标轴, 使新原点的坐标为(2,1)o ',则在新坐标系下坐标为(4,0)-的点在旧坐标系下的坐标为 （-2，1） . 16 已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)a b c ==-=-,则()a b c ⨯⋅= -2 ,()a b c ⨯⨯= （5，0，5） .17 写出22210x y z --+=过点(2,1,-2)的直母线方程0220x z x y z +=⎧⎨---=⎩,10x z y -=⎧⎨+=⎩. 二、计算题（1,2,3每题7分,4,5每题10分, 共41分）1.求直线12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与平面3240x y z -++=的夹角,并求交点.(3,4,0)s = 2分 (3,1,2)n =- 1cos 14s n s n θ⋅== 5分 12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与3240x y z -++=解方程组得（-2，-2，0） 7分2.写出直线2210:220x y z L x y z +-+=⎧⎨+--=⎩的参数式方程, 并求出直线的方向余弦.212121ijks =--(3,0,3)= 3分取一点45(,,0)33- 4分 参数方程为433535x t y z t ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩ 5分方向余弦cos α=，cos 0β=，cos ν= 7分3.求曲线222222x y z z x y ⎧++=⎨=+⎩在xoy 面的射影柱面方程和射影曲线方程.2242x y z ⎧+=⎨=⎩， 224x y += 7分 4求直线11111x y z --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l ,并求0l 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程.平面束1(1)0x y z y λ--+-+=，(1,1,)n λλ=-+，1(1,1,2)n =- 3分 10n n ⋅=， 3312913I λ-=-=-，得0l ：3210210x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩， 6分 2224174210x y z y -++-= 10分5. 判断二次曲线223234440x xy y x y -+++-=是中心型,无心型还是线心型, 并化方程为标准型. 23113I -=-=8 3分， 中心型 4分。

高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。

5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。

–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。

2009级数学与应用数学专业《高等代数》I (A 卷)第 1 页 共 6 页高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案课程名称：《高等代数》参考答案及评分标准（A 卷）考试（考查）：考试 时间：200 年 月 日本试卷共7页，满分100 分； 考试时间：120 分钟答题前请将密封线内的项目填写清楚一．选择题（本大题共8个小题,每小题3分，共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题后的括号内）.1．在[]F x 里一定能整除任意多项式的多项式是 【 B 】A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =−++−的一个因式，则=k 【 C 】A ．4B ．3C ．2D ．13．A ,B 是n 阶方阵，则下列结论成立的是 【 C 】A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠ B . 0A A O =⇔=C ．0AB A O =⇔=或B O =D . 1||=⇔=A I A4．设n 阶矩阵A 满足220A A I −−=，则下列矩阵哪个不可逆 【 B 】A . 2A I +B . A I +C ．A I −D .A5．设A 为3阶方阵，且1)(=A r ，则 【 A 】A .0)(*=A rB .1)(*=A rC ．2)(*=A rD .3)(*=A r6．设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则A A *= 【 D 】2009级数学与应用数学专业《高等代数》I (A 卷)第 2 页 共 6 页A . 2||n AB .||n AC ．2||nnA − D . 21||nn A −+7．下列对于多项式的结论正确的是 【 D 】A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果多项式在有理数域上可约,则它一定存在有理根C .每一个多项式都有唯一确定的次数D .奇数次实系数多项式必有实根8． 方程组为b AX =，且()()r A r A r ==，则和原方程组同解的方程组为 【 A 】A .Pb PAX =（P 为可逆矩阵）B .b QAX =（Q 为初等矩阵）C ． b X A T= D . 原方程组前r 个方程组成的方程组二．填空题（本大题共6个小题，每空3分,共24分.请将正确结果填在题中横线上）.1．把5)(4−=x x f 表成1−x 的多项式是4)1(4)1(4)1(4)1(234−−+−+−+−x x x x ；2．设42()f x x x ax b =+++，2()2g x x x =+−，若((),())()f x g x g x =，则=a 6 ，=b 8 ；3．当k = 5 ，l = 4 时，5阶行列式D 的项53431212a a a a a l k 取“负”号；4. 设4122011121113101−−−−=A ，则=+++44342414A A A A -20 ；5．设n > 2,n a a a ,...,,21为互不相等的常数，则线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++−−−1......1...1...132211232222111321211nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x 的解是 (1,0,…,0) ；2009级数学与应用数学专业《高等代数》I (A 卷)第 3 页 共 6 页6．01000020......... (00010)00n n−L LL L= !)1(1n n −−. 三．计算题（本大题共4个小题，共34分.请写出必要的推演步骤和文字说明）.1111111111111111x xD y y+−=+−.:分分分解第一列第二列第三列第四列第二行第一行第四行第三行601401100001012001111001111:222)1()1()1()1(−−−−−=−−=−−−−−−−−−−−−−−−−+−−+==+−⨯+−⨯+−⨯+−⨯y x yy xyy x xyy y x x x2．（本小题8分）k 为何值时，齐次线性若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+−−=−+=++0300321321321x x x x kx x x x kx 有非零解，并求出它的一般解. 解: 组有非零解01131111=−−−⇔kk，得1−=k --------2分 对系数矩阵施行行初变换如下:1．（本小题6分）2009级数学与应用数学专业《高等代数》I (A 卷)第 4 页 共 6 页⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−−00021102101113111111 --------6分 故一般解为323121,21x x x x −== (3x 为自由未知量) ---------8分3．（本小题8分）设A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−321011330，B A AB 2+=，求B .解: 易知A I A B 1)2(−−= --------2分而⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=−−−212121232121232321121011332)2(11I A --------6分 故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=011321330321011330212121232121232321B --------8分 4．（本小题12分）λ取何值时，线性方程组123123123(1)0(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ⎧+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎩有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解.2009级数学与应用数学专业《高等代数》I (A 卷)第 5 页 共 6 页解: 对增广阵施行行初变换如下:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+−+−−+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−+−−−−+→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=)3)(1()3(0030111)1()2(0301110111311111130111111111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλA--------- 4分易知1) 当0)3(≠+λλ,即30−≠≠λλ且时,3)()(==A r A r ,组有唯一解λλλλ1,2,1321−==−=x x x ---------8分2) 当3−=λ时, <==2)()(A r A r 未知量个数,组有无穷多解,2,13231x x x x +−=+−=(3x 为自由未知量) ---------10分3) 当0=λ时, 2)()(1=≠=A r A r ,组无解 ---------12分2个小题，共18分.证明须写出必要的推演步骤和文字说明）.1．（本小题10分） 证明：一个秩为r 的矩阵总可以表为r 个秩为1的矩阵的和.证: 设A 为m×n 矩阵且秩A=r ，则存在m 阶可逆矩阵p 及n 阶可逆矩阵Q ，使A I PAQ r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00----------2分 又rr E E E A ΛΘ++=2211 ----------4分r rr B B B Q E p Q E P Q E P A +++=+++=∴−−−−−−ΛΛ211112211111----------8分由于秩B k =秩（P -1E rr Q -1）=秩E kk =1所以A 可表成r 个秩为1的矩阵之和. ----------10分2009级数学与应用数学专业《高等代数》I (A 卷)第 6 页 共 6 页2．（本小题8分）设)(x f 是一个整系数多项式，证明：若)0(f 与)1(f 都是奇数，则)(x f 不能有整数根.证明: 用反证法假设)(x f 有整数根α,则)()()(x g x x f α−=,其中)(x g 为整系数多项式,--------3分 于是)1()1()1(),0()0(g f g f αα−=−= --------5分即)1(|)1(),0(|f f αα−但)0(f 与)1(f 都是奇数,而αα−1,不同为奇数,因而矛盾. ----------7分 故)(x f 不能有整数根 ----------8分。

中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(00001λλλλ → )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=)1(000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分 行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分 初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Zy Y x X ==----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分 将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx 24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-024z y x ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为 12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分 2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（α，A β）． 证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分。

数学系《高等代数》期末考试试卷年级专业学号姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分。

题号一二三四五总分签名得分一装订线得分阅卷教师一．判断题（正确的在题后的括号内打“√”；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分）1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( ) 2．若向量空间V的维数dimV2,则V没有真子空间. ( )3.n维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( ) 4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( ) 5．每一个线性变换都有本征值. ( ) 6．若向量是线性变换的属于本征值的本征向量，则由生成的子空间为的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( ) 8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9.若两个n阶实对称矩阵A,B均正定,则它们的和A B也正定. ( )得二分阅卷教师二．单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）1.下列命题不正确的是 ( ).A.若向量组{1,2,,r}线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B.若向量组{1,2,,r}线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组{1,2,,r}线性无关，且每一i可由向量{1,2,,s}线性表示，则r s ；D.n(n0)维向量空间的任意两个基彼此等价.2.下列关于同构的命题中，错误的是( ).A．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；B．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；C．若是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1是W 到V 的同构映射；D．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A．充分而非必要条件； B．必要而非充分条件；C．充分必要条件； D.既非充分也非必要条件．21x14．二次型q(x 1,x 2,x 3)(x 1,x 2)31x的矩阵是( ).22121A．； B．3111；310210C．310； D．1100000005.实二次型q(x 1,x 2,x 3)x Ax 正定的充分且必要条件是 ( ).A．A0； B．秩为3；C．A 合同于三阶单位矩阵； D．对某一x (x 1,x 2,x 3)0,有x Ax 0.三得分阅卷教师三．填空题（每小题2分，共10分，把答案填在题中横线上）1.复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.2.设F n{(x 1,x 2,,x n)xiF ,i 1,2,,n}是数域F 上n 元行空间，对任意(x 1,x 2,,x n)F n ，定义((x 1,x 2,,x n ))(0,0,x 1,x 2,,x n 2)，则是一个线性变换，且的核Ker()的维数等于______.3.若A 是一个正交矩阵，则A 2的行列式A 2=________.4.在欧氏空间R 3中向量1(1,0,0)与2(0,1,0)的夹角=______.5.实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.得四分阅卷教师四．计算题（每小题14分，共42分）1．求齐次线性方程组x 1x 2x 3x 403x 12x 2x 3x 40x 2x 2x 03425x14x 23x 33x4的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．1002．设A 021,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？032若可以，则求一可逆矩阵T ，使T 1AT 为对角形.3．写出3元二次型q(x1,x2,x3)x1x24x2x3的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.五得分阅卷教师五．证明题（每小题10分，共20分）1．设1,2为n阶矩阵A的属于不同特征根，1,2分别是A的属于1,2的特征向量，证明12不是A的特征向量.2．设是n维欧氏空间V的正交变换，且2为单位变换，某一规范正交基的矩阵，证明A为对称矩阵．A是关于V的数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级专业学号姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分。