解析几何期末试卷A卷

大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。

选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。

2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。

对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。

二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。

答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。

将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。

2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。

答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。

这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。

三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。

姓名：__________大 连 理 工 大 学 学号：__________课 程 名 称： 线性代数与解析几何 试卷： A 考试形式： 闭卷院系：__________ 授课院（系）： 数学科学学院 考试日期： 2014年6月16日 试卷共 6 页 _____ 级_____ 班装 得 分 一、（每小题4分，共40分）填空题1.已知222222222222kk k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A , 则3(6)(2)k k =+-A . 2. 设1300250000200003--⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A , 则1530021001000210003-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 订 3. 设123,,a a a 是一线性无关的向量组，若向量组122313,,k k -++a a a a a a 线性相关， 则k 需满足条件1-1k =或4. 矩阵111022021113-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的行最简形为1-10000100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5. 已知25141001k -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 有三个线性无关的特征向量，则=1k 线6. 设1231233,2223p k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b ，方程组=Ax b 无解，则,p k 应满足关系2k p =7. 过点0(1,2,3)P ，且垂直于直线4010x y z y z +++=⎧⎨--=⎩的平面的一般式方程为230x y z -++-=8. 已知二次型10()9000T k f k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x x 为正定二次型，则k 需满足条件03k <<9. 在空间直角坐标系Oxyz 中，设22a i j k =+- ，b i j =+，则a 与b 的夹角为π410. 设[]1234,,,=A a a a a ，123,,a a a 线性无关，且412323=++a a a a ， 则齐次线性方程组=Ax 0的通解为[]1,2,3,1Tk -得 分 二、（每小题2分，共10分）单项选择题1.方阵A 是降秩矩阵的充要条件是（ D ）（A ）()()r r <AB B （B ）方程组=Ax b 有无穷多个解 （C ）存在非零矩阵B ，使得≠AB O （D ）存在非零矩阵B ，使得=AB O 2.设,A B 都是n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，且,,≠≠+=+A E B E AB E A B ， 则必有（ A ）（A ） 0,0-=-=A E B E （B ） 0,0-=-≠A E B E （C ） 0,0-≠-≠A E B E （D ） 0,0-≠-=A E B E 3.设矩阵,,A B P 都是n 阶方阵，若=B AP ，且P 可逆，则（ B ） （A ）矩阵A 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （B ）矩阵A 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 （C ）矩阵P 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵P 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价4.已知123,,ηηη是齐次线性方程组=Ax 0的基础解系，则该方程组的基础解系还可选用（ C ）（A ）122331,,ηηηηηη--- （B ）与123,,ηηη等秩的向量组 （C ）122331,,ηηηηηη+++ （D ）与123,,ηηη等价的向量组5.设对称矩阵111111111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，200000000⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，则A 与B （ B ） （A ）合同且相似 （B ）合同但不相似（C ）不合同但相似 （D ）不合同且不相似得 分 三、（8分）已知210120,2,001**⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ABA BA E 求.B解：由2**=+ABA BA E ，得(2),(2)*-=-=A E BA E A E B A A11(2)3-=-B A E A10100102100,(2)100001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A E A E12012103001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦B 得 分 四、（8分）求向量组[][][]1231,1,0,1,3,2,2,4,2,1,2,3,TTT===a a a[]41,0,2,1T=--a 的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

解析几何期末试卷A 参考答案及评分标准一、（10分）写出下列方程在空间所表示的图形名称.1．1321222-=++z y x 虚椭球面 2．0222=++-z y x 二次锥面（圆锥面）3．1321222=++-z y x 单叶双曲面4．y z x 22122=+ 椭圆抛物面 5．y x 22= 抛物柱面 .二、（10分）试证：对于给定的四个向量}3,5,1{=a ，}2,4,6{--=b ，}7,5,0{-=c ，}35,27,20{--=d ，总可以确定三个实数l ，m ，n ，使得a l ，b m ，c n ，d 构成封闭折线.证明：假设a l ，b m ，c n ，d构成封闭折线，则=+++d c n b m a l （4分）于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+--=-+0357230275450206n m l n m l m l （6分） 解出 2=l ，3=m ，5=n所以命题成立. （10分）三、（15分）设向量a ，b ，c 两两互相垂直，1||=a ，2||||==c b ，并且向量c b a r -+=，证明：1,cos ,cos ,cos 222>=<+><+><c r b r a r. 证明：因为22)(c b a r -+=)(2222c b c a b a c b a ⋅-⋅-⋅+++=， 由题设条件可得3||=r ， （5分） 于是31||||,cos =⋅>=<a r a r a r，32||||,cos =⋅>=<b r b r b r ，32||||,cos -=⋅>=<c r c r c r（12分） 所以1,cos ,cos ,cos 222>=<+><+><c r b r a r （15分） 四、（10分）试求经过点)1,2,4(-P 和x 轴的平面方程. 解：由于平面过x 轴，可设为0=+Cz By （5分）以)1,2,4(-代入，得 02=+-C B于是 B ：C ＝1：2 （8分）故所求平面方程为02=+z y （10分）五、（10分）试求经过点)1,0,1(-P ，并且与直线1l ：321z y x ==和2l ：431221-=-=-z y x 都相交的直线的方程.解：过)1,0,1(-P 与直线1l 的平面方程为321010001000=-------z y x即02=+-z y x （4分） 过)1,0,1(-P 与直线2l 的平面方程为412312011321=-------z y x即 022=--+z y x （8分）∴所求直线方程为 ⎩⎨⎧=--+=+-02202z y x z y x （10分）六、（10分）证明直线1l ：01123-==-z y x 与2l ：10211zy x =-=+是异面直线. 证明： 1l 的方向向量 }0,1,2{， 2l 的方向向量 }1,0,1{ （4分） 取 1l ， 2l 上的点 )1,0,3(， )0,2,1(- （6分）计算7110120120)1(3≠=----所以 1l 与 2l 是异面直线. （10分）七、（10分）试求到定点与定直线的距离之比等于常数0>λ的点的轨迹方程，并根据λ的取值范围，说明轨迹的形状（注：假定定点不在定直线上）. 解：设定点不在定直线上，建立坐标系，使定直线为x 轴，定点为),0,0(c C ，（0≠c ）. 设动点为),,(z y x P ，则由假设可知),(),(轴x P d C P d λ=， 即 22222)(z y c z y x +=-++λ 平方，得 02)1()1(222222=+--+-+c cz z y x λλ（5分）①当1=λ时，得 0222=+-c cz x即)2(22cz c x -= 此为抛物柱面. （8分）②当1≠λ时，得2222222221)1)(1()1(λλλλλ-=---+-+c c z y x ， 则当1>λ时，此为单叶双曲面；当 10<<λ时，此为椭球面. （10分）八、（10分）试求单叶双曲面∑：11649222=-+z y x 上，经过点)0,2,0(M 的两条直母线方程.解：∑上两族直母线：λ族：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=+)21()43()21()43(1221y z x y z x λλλλ μ族：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=+)21()43()21()43(1221y z x y z x μμμμ将 )0,2,0(M 分别代入，可得 02=λ， 01=μ （6分）分别代入，可得所求直线方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+021043y z x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-043021z x y 即 ⎩⎨⎧=-=+02034y z x⎩⎨⎧=-=-02034y z x .（10分）九、（15分）在欧氏平面上，将方程0844222=+--+-y x y xy x 化成标准型，作出其图形，说明原方程表示什么曲线.解：由 022cot 122211=-=a a a θ得4πθ=于是 0tan 121111=+='θa a a 2tan 122222=-='θa a a 22sin cos 231313-=+='θθa a a0cos sin 231323=+-='θθa a a原方程化为： 04222=+'-'x y 配方0)2(222=-'-'x y 作平移变换 ⎩⎨⎧'=''-'=''y y x x 2 原方程化为x y ''=''222. （5分） 所以原方程表示抛物线. （10分）作图 （15分）。

解析几何期末复习题一、选择题1、已知直线06:21=++y m x l ，023)2(:2=++-m my x m l ，m 为何值时，若1l //2l 则m 的值为（ ）（A ）0 （B ）-1 （C ）0或1 （D ）0或-12、直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N两点，若MN ≥k 的取值范围是（ ）A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B. []304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦ ，，C.33⎡-⎢⎣⎦， D.203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，3、以椭圆221169144xy+=的右焦点为圆心，且与双曲线221916xy-=的渐近线相切的圆的方程是（ ） A. 221090x y x +++= B. 221090x y x +--= C. 221090x y x +-+= D. 221090x y x ++-=4、椭圆22221()x y a b ab+=>>0的右焦点F ，A 点的坐标为2(,0)ac，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( ) A. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.02⎛ ⎝⎦D.)1,1二、填空题5、已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的最大值是________．6、已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为___________.7、已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA ，PB 是圆012222=+--+y x y x 的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 . 8、从双曲线22135xy-=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点P ，T为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -＝_________三、解答题9、已知：以点C (t, 2t)(t∈R , t≠ 0)为圆心的圆与x轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点．（Ⅰ）求证：△OAB的面积为定值；（Ⅱ）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程．10、已知点(2,0),(2,0)A B-，P是平面内一动点，直线P A、P B斜率之积为3 4 -.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)过点1(,0)2作直线l与轨迹C交于E F、两点，线段E F的中点为M,求直线M A的斜率k的取值范围.11、已知(2, 0)B为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A-，(2, 0)∆面积的最大值为A，B的动点，且A P B（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线A P与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线A P绕点A转动时，试判断以B D 为直径的圆与直线P F的位置关系，并加以证明．12、如图，椭圆的中心在原点，其左焦点1F 与抛物线24y x =-的焦点重合，过1F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，与抛物线交于C 、D 两点．当直线l 与x轴垂直时，C D AB=（Ⅰ）求椭圆的方程；（II ）求22F A F B ⋅的最大值和最小值．答案与提示：1.D ；2. A ；3. C ；4. B ；5. 7；6. 221927xy-=7.；8. -提示：由21211||||||||22M O M F M F M F ==，及双曲线的定义，得12211||||||||(2)22M O M F M F M F a -=-=⨯-=（），又11||||||||M F M T TF M T =+= ，所以1|||3.M O M F - 9、解：（1）O C 过原点圆 ，2224tt OC+=∴．设圆C 的方程是 22224)2()(tt ty t x +=-+-令0=x ，得t y y 4,021==；令0=y ，得t x x 2,021==1142422||||O A B S O A O B t t∆∴=⋅=⨯⨯=，即：OAB ∆的面积为定值．（2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21=．t t 212=∴，解得：22-==t t 或当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去．∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x ．10、解: (Ⅰ)设P 点的坐标为(,)x y ，依题意，有3(2)224y y x x x ⋅=-≠±-+ .化简并整理，得221(2)43xyx +=≠±.∴动点P 的轨迹C 的方程是221(2)43xyx +=≠±. …………………………4分(Ⅱ)依题意，直线l 过点1(,0)2且斜率不为零，故可设其方程为12x m y =+.由方程组2212143x m y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去x ，并整理得224(34)12450m y m y ++-=. 设),(),,(2211y x F y x E ,),(00y x M , 122334m y y m ∴+=-+ ，∴1202322(34)y y m y m +==-+∴00212234x m y m =+=+, 020244y m k x m ∴==-+. ………………8分① 当0=m 时，0k =； …………………………………………9分② 当0≠m 时, 144k m m=+44|4|4||8||m m mm +=+≥ 110484m m∴<≤+.10||8k ∴<≤. 1188k ∴-≤≤且0k ≠ .综合①、②可知，直线M A 的斜率k 的取值范围是1188k -≤≤. ……………………12分11、解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，(,0)F c ．由题意知解得b =，1c =．故椭圆C 的方程为22143xy+=，离心率为12．……6分（Ⅱ）以B D 为直径的圆与直线P F 相切．证明如下：由题意可设直线A P 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，B D 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k--=+．所以2026834k x k-=+，00212(2)34k y k x k=+=+． ……………………………10分因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±.直线P F x ⊥轴，此时以B D 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线P F 相切．当12k ≠±时，则直线P F 的斜率0204114PF y k k x k==--.所以直线P F 的方程为24(1)14k y x k=--．⎧⎪⎨⎪⎩2221222, .a b a a b c ⋅⋅===+点E 到直线P F的距离d =322228142||14|14|k k k k kk +-==+-．又因为||4||BD k = ，所以1||2d B D =．故以B D 为直径的圆与直线P F 相切．综上得，当直线A P 绕点A 转动时，以B D 为直径的圆与直线P F 相切．………14分 12、解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点1(1,0)F -．设椭圆的方程：)0(12222>>=+b a by ax ．解方程组241y xx ⎧=-⎨=-⎩得C （-1，2），D （1，-2）．由于抛物线、椭圆都关于x 轴对称，∴11||||||||F C C D F A AB ==，1||2F A =，∴(1,2A ．∴221112ab +=又1222==-c b a ，因此，2211112b b+=+，解得21b =并推得22a =．故椭圆的方程为2212xy += ． …………4分（Ⅱ）由12(1,0),(1,0)F F -点①若AB 垂直于x 轴，则)22,1(),22,1(---B A ，22(2,(2,)22F A F B ∴=-=--，2217422F A F B ⋅=-= …………………………………………9分②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为)1(+=x k y由⎩⎨⎧=-++=022)1(22y x x k y 得 0)1(24)21(2222=-+++k x k x k0882>+=∆k，∴方程有两个不等的实数根．设),(11y x A ，),(22y x B .2221214kkx x +-=+, 222121)1(2kkx x +-=⋅………………………………11分),1(),,1(222112y x B F y x A F -=-=∴)1)(1()1)(1()1)(1(21221212122+++--=+--=⋅x x k x x y y x x B F A F22122121))(1()1(k x x k x x k +++-++= 22222221)214)(1(21)1(2)1(k kkkkkk +++--++-+==)21(29272117222k kk +-=+-12110,121,0222≤+<≥+≥kk k]27,1[22-∈⋅∴B F A F ，所以当直线l 垂于x 轴时，B F A F 22⋅取得最大值27当直线l 与x 轴重合时，B F A F 22⋅取得最小值1-。

高中解析几何试题及答案1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，求该圆的圆心坐标和半径。

答案：圆心坐标为 \((2, 3)\)，半径为 \(3\)。

2. 求直线 \(2x + 3y - 6 = 0\) 关于点 \((1, 2)\) 对称的直线方程。

答案：对称直线的方程为 \(2x - 3y + 8 = 0\)。

3. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > b > 0\)）经过点 \((2, 3)\)，且离心率 \(e = \frac{c}{a}\) 为 \(\frac{1}{2}\)，求椭圆的长轴和短轴长度。

答案：根据离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，我们有 \(c =\frac{a}{2}\)。

由于椭圆经过点 \((2, 3)\)，代入椭圆方程得\(\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\)。

又因为 \(c^2 = a^2 -b^2\)，代入 \(c = \frac{a}{2}\) 得 \(\frac{a^2}{4} = a^2 -b^2\)，解得 \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)。

将 \(b^2\) 代入椭圆方程，解得 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 12\)。

因此，椭圆的长轴长度为\(2a = 32\)，短轴长度为 \(2b = 24\)。

4. 求抛物线 \(y^2 = 4px\)（\(p > 0\)）的焦点坐标。

答案：焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。

5. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一条渐近线方程为 \(y = \frac{b}{a}x\)，求双曲线的离心率。

答案：双曲线的离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。

《解析几何》期末考试试卷A适用专业: 信息与计算科学 考试日期： 2011.7 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题(每空2分，共40分)1. 求与向量{}3,4,12a =-反方向的单位向量 .2. 向量{}1,2,3a =-与向量{}2,3,1b =-,则与a 和b 都垂直的单位向量为 .3. 设{}2,2,1a =-,向量b 与a 共线,且模为75,方向与a 相反, 则b = .4. 已知2AP PB -→-→=-，且(2,1,3)A ，(0,2,1)B -，则P 点坐标为 . 5. 一直径的两个端点坐标为(1,2,3)-, (3,0,1)的球面方程为 . 6. 在空间直角坐标系下方程221z x =+表示 .7. 二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=,当旋转角α满足 时, 方程不含交叉项.并写出曲线在直角坐标系下的三个不变量为 , , .10 222253x y z y ⎧++=⎨=⎩的圆心坐标为 .11 方程22221x y z -+=表示的曲面名称为 .12 方程2222x y z z ++=转化为球面坐标系下方程为 . 13 平面外一点(2,1,3)P 到平面221x y z -+=的距离为 . 14 写出平面240x y z -++=的法式方程 .15 平移平面直角坐标系下的坐标轴, 使新原点的坐标为(2,1)o ',则在新坐标系下坐标为(4,0)-的点在旧坐标系下的坐标为 .16 已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)a b c ==-=-,则()a b c ⨯⋅= ,()a b c ⨯⨯= .17 写出22210x y z --+=过点(2,1,-2)的直母线方程 ,.二、计算题（1,2,3每题7分,4,5每题10分, 共41分）1.求直线12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与平面3240x y z -++=的夹角,并求交点.2.写出直线2210:220x y z L x y z +-+=⎧⎨+--=⎩的参数式方程, 并求出直线的方向余弦.3.求曲线222222x y z z x y ⎧++=⎨=+⎩在xoy 面的射影柱面方程和射影曲线方程. 4求直线11111x y z --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l ,并求0l 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程.5. 判断二次曲线223234440x xy y x y -+++-=是中心型,无心型还是线心型, 并化方程为标准型.三、 求证两条直线异面122:101x y z l +-==-2321:151x y z l -+-==，并求公垂线方程. （9分）四、画图题(每题5分,共10分)1.作出两个曲面z =,224z x y -=+所围立体的图形.2. 作出由三个坐标面, 曲面22z x y =+和平面1x y +=所围的立体图形.《解析几何》期末考试试卷A 答案适用专业: 信息与计算科学 考试日期： 2011.7 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分二. 填空题(每空2分，共40分)1. 求与向量{}3,4,12a =-反方向的单位向量 3412,,131313⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.2. 向量{}1,2,3a =-与向量{}2,3,1b =-,则与a 和b 都垂直的单位向量为. 3. 设{}2,2,1a =-,向量b 与a 共线,且模为75,方向与a 相反, 则b = （-10，10，-5） .4. 已知2AP PB -→-→=-，且(2,1,3)A ，(0,2,1)B -，则P 点坐标（-2，3，-5） . 5. 一直径的两个端点坐标为(1,2,3)-, (3,0,1)的球面方程为222(2)(1)(1)6x y z -+-++= .6. 在空间直角坐标系下方程221z x =+表示 拄面 .7. 二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=,当旋转角α满足 112212cot 2a a a α-=时, 方程不含交叉项.并写出曲线在直角坐标系下的三个不变量为 1I , 2I , 3I .10 222253x y z y ⎧++=⎨=⎩的圆心坐标为 （0，3，0） .11 方程22221x y z -+=表示的曲面名称为 单叶双曲面 .12 方程2222x y z z ++=转化为球面坐标系下方程为 2sin ρϕ= . 13 平面外一点(2,1,3)P 到平面221x y z -+=的距离为 5/3 . 14 写出平面240x y z -++=的法式方程0x y +=. 15 平移平面直角坐标系下的坐标轴, 使新原点的坐标为(2,1)o ',则在新坐标系下坐标为(4,0)-的点在旧坐标系下的坐标为 （-2，1） . 16 已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)a b c ==-=-,则()a b c ⨯⋅= -2 ,()a b c ⨯⨯= （5，0，5） .17 写出22210x y z --+=过点(2,1,-2)的直母线方程0220x z x y z +=⎧⎨---=⎩,10x z y -=⎧⎨+=⎩. 二、计算题（1,2,3每题7分,4,5每题10分, 共41分）1.求直线12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与平面3240x y z -++=的夹角,并求交点.(3,4,0)s = 2分 (3,1,2)n =- 1cos 14s n s n θ⋅== 5分 12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与3240x y z -++=解方程组得（-2，-2，0） 7分2.写出直线2210:220x y z L x y z +-+=⎧⎨+--=⎩的参数式方程, 并求出直线的方向余弦.212121ijks =--(3,0,3)= 3分取一点45(,,0)33- 4分 参数方程为433535x t y z t ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩5分方向余弦cos α=，cos 0β=，cos ν= 7分3.求曲线222222x y z z x y ⎧++=⎨=+⎩在xoy 面的射影柱面方程和射影曲线方程.2242x y z ⎧+=⎨=⎩， 224x y += 7分4求直线11111x y z --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l ,并求0l 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程.平面束1(1)0x y z y λ--+-+=，(1,1,)n λλ=-+，1(1,1,2)n =- 3分 10n n ⋅=， 3312913I λ-=-=-，得0l ：3210210x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩， 6分 2224174210x y z y -++-= 10分5. 判断二次曲线223234440x xy y x y -+++-=是中心型,无心型还是线心型, 并化方程为标准型. 23113I -=-=8 3分， 中心型 4分。

解析几何试题山东财政学院2005—2006学年第一学期期末考试《解析几何》试卷(A )一、填空（40分，每题4分）1. 设向量{3,6,1},{1,4,5},{3,4,12},a b c =--=-=-a b c + 那么向量在上的射影为.2．设{2,1,1},{1,2,1},,a b e a b =-=-单位向量同时垂直于与那么e ＝ .3．球面的中心在点(1,3,2),-而且球面通过原点，那么该球面的方程为 . 4．点(1,1,1)到平面x+3y -2=0的距离是 . 5. 点(0,0,1)到直线z y x =+=-2121的距离是 . 6．直线的与直线21123212-+=-=-=+=-z y x z -y x 距离是 .7. 过直线?=-=-113y x y x 和点(0,2,0)的平面是 .8．准线是9122x +y =z =，母线方向是（1，2，3）的柱面方程为 .（请用x,y,z 的一个方程表示） 9．直线0y z y z x -=??=?绕轴和轴旋转所生成的旋转曲面的方程分别为和 .10．中心二次曲线346843022x xy y x y -+--+=的中心为 ,线心二次曲线44632022x xy y x y -++-+=的中心直线的方程为 . 二．已知四面体的体积V ＝5，它的三个定点为(2,1,1),(3,0,1),(2,1,3)A B C --，又知它的第四个定点D 在y 轴上，试求点D 的坐标和从定点D 所引出的高的长h.三.,,a b c d设是三个两两垂直的非零向量，试证明任意向量可表示成222a d b d c d d a b c a b c=++四试求通过点(1,0,4)M -,垂直于平面34100,x y z π-+-=：13:312x y zl +-==且与直线平行的平面方程。

五. 求过点0(1,1,1)M 且与直线50:0x y z l x y z --=??+-=?垂直相交的直线的方程。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第二章 平面解析几何初步综合测试A 新人教B 版必修2时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．数轴上三点A 、B 、C ，已知AB ＝2.5，BC ＝－3，若A 点坐标为0，则C 点坐标为( ) A ．0.5 B ．－0.5 C ．5.5 D ．－5.5[答案] B[解析] 由已知得，x B －x A ＝2.5，x C －x B ＝－3，且x A ＝0，∴两式相加得，x C －x A ＝－0.5，即x C ＝－0.5.2．(2015·福建南安一中高一期末测试)已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－2C ．2D ．不存在[答案] B[解析] 由斜率公式得，直线AB 的斜率k ＝2－41－0＝－2.3．已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐标可以为( )A ．(0,1，－1)B ．(0，－1,6)C ．(0,1，－6)D ．(0,1,6)[答案] C[解析] 由题意设点C 的坐标为(0，y ，z )， ∴1＋y －22＋z －22＝1＋y ＋32＋z －12，即(y －2)2＋(z －2)2＝(y ＋3)2＋(z －1)2. 经检验知，只有选项C 满足．4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y ＝2x ＋3.令y ＝0，则x ＝－32， ∴直线在x 轴上的截距为－32，故选A ．5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2[答案] C[解析] 当k ＝3时，两直线显然平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－k －34－k＝2k －32.解得k ＝5，故选C ．6．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率为0，则AC 、AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3[答案] B[解析] 如图所示．由图可知，k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.7．直线3x －2y ＋m ＝0与直线(m 2－1)x ＋3y ＋2－3m ＝0的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与m 的取值有关[答案] C[解析] 由3×3－(－2)×(m 2－1)＝0，即2m 2＋7＝0无解．故两直线相交． 8．若点(2,2)在圆(x ＋a )2＋(y －a )2＝16的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－2<a <2 B ．0<a <2 C ．a <－2或a >2 D ．a ＝±2[答案] A[解析] 由题意，得(2＋a )2＋(2－a )2<16， ∴－2<a <2.9．(2015·辽宁沈阳二中高一期末测试)设A 、B 是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －7＝0[答案] A[解析] 由题意知，点P 在线段AB 的垂直平分线x ＝2上．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －y ＋1＝0，得y ＝3.∴P (2,3)．令x －y ＋1＝0中y ＝0，得x ＝－1， ∴A (－1,0)．又∵A 、B 关于直线x ＝2对称， ∴B (5,0)．∴直线PB 的方程为y 3－0＝x －52－5，即x ＋y －5＝0.10．设m >0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相切或相离 D ．相交或相切[答案] C[解析] ∵m >0，∴圆心(0,0)到直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0的距离d ＝|1＋m |2＋2＝1＋m2，圆x 2＋y 2＝m 的半径r ＝m ，由1＋m 2－m ＝1－2m ＋m2＝1－m22≥0，得d ≥r ，故选C ．11．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] C[解析]x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心为(2，－1)，半径为2，圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0的圆心为(－2,2)，半径为3，故两圆外切，即两圆有三条公切线．12．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A．1.4 m B．3.5 mC．3.6 m D．2.0 m[答案] B[解析]圆半径OA＝3.6 m，卡车宽1.6 m，∴AB＝0.8 m，∴弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5 m.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．若点(2，k)到直线3x－4y＋6＝0的距离为4，则k的值等于________．[答案]－2或8[解析]由题意，得|6－4k＋6|32＋－42＝4，∴k＝－2或8.14．以点A(2,0)为圆心，且经过点B(－1,1)的圆的方程是________．[答案](x－2)2＋y2＝10[解析]由题意知，圆的半径r＝|AB|＝－1－22＋1－02＝10.∴圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.15．若直线x ＋3y －a ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为________． [答案] －1或3[解析] 圆心为(1,0)，半径r ＝1，由题意，得|1－a |1＋3＝1，∴a ＝－1或3.16．(2015·山东莱州市高一期末测试)已知直线l 垂直于直线3x ＋4y －2＝0，且与两个坐标轴构成的三角形的周长为5个单位长度，直线l 的方程为________．[答案] 4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0[解析] 由题意可设直线l 的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ，令y ＝0，得x ＝－34b .∴三角形的周长为|b |＋34|b |＋54|b |＝5，解得b ＝±5，故所求直线方程为4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)正方形ABCD 的对角线AC 在直线x ＋2y －1＝0上，点A 、B 的坐标分别为A (－5,3)、B (m,0)(m >－5)，求B 、C 、D 点的坐标．[解析] 如图，设正方形ABCD 两顶点C 、D 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．∵直线BD ⊥AC ，k AC ＝－12，∴k BD ＝2，直线BD 方程为y ＝2(x －m )，与x ＋2y －1＝0联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15＋45m y ＝25－25m，点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m ，25－25m ，∵|AE |＝|BE |， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－25m －32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m －m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－25m 2， 平方整理得m 2＋18m ＋56＝0，∴m ＝－4或m ＝－14(舍∵m >－5)，∴B (－4,0)．E 点坐标为(－3,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－5＋x 122＝3＋y12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1.即点C (－1,1)， 又∵⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－4＋x 222＝0＋y22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2＝4，即点D (－2,4)．∴点B (－4,0)、点C (－1,1)、点D (－2,4)．18．(本题满分12分)已知一直线通过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求这条直线的方程．[解析] 设直线方程为y －2＝k (x ＋2)，令x ＝0得y ＝2k ＋2，令y ＝0得x ＝－2－2k，由题设条件12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－2k ·||2k ＋2＝1，∴2(k ＋1)2＝|k |，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >02k 2＋3k ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <02k 2＋5k ＋2＝0，∴k ＝－2或－12，∴所求直线方程为：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.19．(本题满分12分)已知直线y ＝－2x ＋m ，圆x 2＋y 2＋2y ＝0. (1)m 为何值时，直线与圆相交？ (2)m 为何值时，直线与圆相切？ (3)m 为何值时，直线与圆相离？[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋mx 2＋y 2＋2y ＝0，得5x 2－4(m ＋1)x ＋m 2＋2m ＝0.Δ＝16(m ＋1)2－20(m 2＋2m )＝－4[(m ＋1)2－5]， 当Δ>0时，(m ＋1)2－5<0， ∴－1－5<m <－1＋ 5. 当Δ＝0时，m ＝－1±5，当Δ<0时，m <－1－5或m >－1＋ 5.故(1)当－1－5<m <－1＋5时，直线与圆相交； (2)当m ＝－1±5时，直线与圆相切；(3)当m <－1－5或m >－1＋5时，直线与圆相离．20．(本题满分12分)求与圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)，且半径为1的圆C 2的方程．[解析]解法一：由圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，知圆心为C 1(2，－1)， 则过点A (4，－1)和圆心C 1(2，－1)的直线的方程为y ＝－1， 设所求圆的圆心坐标为C 2(x 0，－1)， 由|AC 2|＝1，即|x 0－4|＝1， 得x 0＝3，或x 0＝5，∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1，或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 解法二：设所求圆的圆心为C 2(a ，b )， ∴a －42＋b ＋12＝1，①若两圆外切，则有a －22＋b ＋12＝1＋2＝3，②联立①、②解得a ＝5，b ＝－1， ∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1； 若两圆内切，则有a －22＋b ＋12＝2－1＝1，③联立①、③解得a ＝3，b ＝－1， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1，或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.21．(本题满分12分)(2014·甘肃庆阳市育才中学高一期末测试)已知两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0.求：(1)它们的公共弦所在直线的方程； (2)公共弦长．[解析] (1)由两圆方程x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0相减，得x －y ＋4＝0. 故它们的公共弦所在直线的方程为x －y ＋4＝0.(2)圆x 2＋y 2＋6x －4＝0的圆心坐标为(－3,0)，半径r ＝13， ∴圆心(－3,0)到直线x －y ＋4＝0的距离d ＝|－3－0＋4|12＋－12＝22， ∴公共弦长l ＝2132－222＝5 2.22．(本题满分14分)(2015·湖南郴州市高一期末测试)已知圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)若圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(2)在(1)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． [解析] (1)圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴m <5.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得5y 2－16y ＋m ＋8＝0， ∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝m ＋85.x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，∵OM ⊥ON ，∴k OM ·k ON ＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0， ∴16－8×165＋8＋m ＝0，∴m ＝85.(2)以MN 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0， 即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.又x 1＋x 2＝4－2y 1＋4－2y 2＝8－2(y 1＋y 2)＝85，∴以MN 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0.。

《解析几何》期末试卷及答案一、 填空（每题3分，共30分）11=, 2=⋅，则摄影= 2 。

2．已知不共线三点)5,2,3(),5,1,2(),3,2,1(--C B A 则三角形ABC 的 BC 边上的高为 8 。

3．，= 时+平分，夹角。

4．自坐标原点指向平面：035632=-++z y x 的单位法矢量为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,31,92 。

5．将双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-012222x c z b y 绕虚轴旋转的旋转曲面方程为 122222=-+c z b y x 。

6．直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 与X 轴重合，则系数满足的条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00,02211221121A C A C C B C B D D 。

7．空间曲线⎩⎨⎧=+=-00422z x z y 的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=242t z t y t x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=242t z t y tx 。

8．直纹曲面0222=-+z y x 的直母线族方程为 ⎩⎨⎧-=-=+)()()(y w y x u uyz x w ，或⎩⎨⎧=--=+sy y x t y t z x s )()()( 。

9．线心型二次曲线0),(=y x F 的渐近线方程为 0131211=++a y a x a 。

10．二次曲线027522=+-++y x y xy x 在原点的切线为 021=+-y x 。

二、选择题（每题3分，共15分）1. 二次曲线0126622=-++++y x y xy x 的图象为（ B ）A 椭圆型B 双曲型C 无心型D 线心型 2. 点O 到平面0522:=++-z y x π的距离为（ D ）A 5B 95C 56D 353. 设,,a b c 满足关系0a b c ++=，则c a b b c a ⨯+⨯+⨯=（ C ）A 、0B 、0C 、3()a b ⨯D 、b c ⨯ 4. 若直线11112x y z λ-+-==，与11111x y z++==相交，则必有（ B ）。

一、填空题(共7题,2分/空,共20分)1、四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积就是______、2、已知向量(1,1,1)a →=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____、3、点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离就是___6611___________、4、点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离就是__3147___________、 5、曲线C:2201x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面就是___2210x x y -+-=____,对yoz 坐标面的射影柱面就是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面就是____10z x --=__________、6、曲线C:220x yz ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程就是__4224()x y z =+_____,曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程就是___222x z y +=_______________、7、椭球面12549222=++z y x 的体积就是_________________、二、计算题(共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分)1、 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程、这里,,a b c 就是3个非零实数、解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ,在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ,在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ,则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r ,13(0,,)M M b c =-u u u u u u r于就是1M ,12M M u u u u u u r ,13M M u u u u u u r所确定的平面方程就是000x ay b z ac bc---=-即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= 、2、已知空间两条直线:1l 010x y z +=⎧⎨+=⎩,:2l 010x y z -=⎧⎨-=⎩、 (1)证明1l 与2l 就是异面直线;(2)求1l 与2l 间的距离;(3)求公垂线方程、证明:(1) 1l 的标准方程就是1110x y z +==-,1l 经过点1(0,0,1)M -,方向向量1{1,1,0}v =-2l 的标准方程就是2110x y z -==,2l 经过点2(0,0,2)M ,方向向量2{1,1,0}v =,于就是1212003(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r0≠,所以1l 与2l 就是异面直线。

《空间解析几何》期末考试试卷(A)考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟班号 学号 姓名 得分1 下列等式中正确的是 ( ) A a (b c )= (a b )c B (a ⨯b )c =a (b ⨯c ) C (a b )2 =a 2b 2 D a ⨯b =c ⨯b ,b ≠0，则a =c2 已知向量a 与b 的夹角为23π, 且||3a =, ||4b =, 则2()a b +为 ( )A 14B 13C 12D 11 3 点(1,2,3)M -和平面:5340x y z π-++=间的离差为 ( )A1δ=- B 1δ= C 0δ= D 12δ=-4 直线320:0x y z l x y z +--=⎧⎨-+=⎩与平面:230x y z π+--=的交点和夹角分别为 ( )A (1,0,1)--,3π B (1,0,1)--, 6π C (1,0,1), 3π D (1,0,1)-, 6π 5 方程2350x my z ++-=与6620lx y z --+=表示二平行平面,则,l m 为 ( ) A 4,3l m =-= B 3,3l m ==- C 4,3l m ==- D 3,4l m =-= 6 二次曲线223426250x xy y x y ++--+=属于 （ ） A 抛物型 B 椭圆型 C 双曲型 D 不能确定.二 填空题(每空3分,共18分)1 中心在点(3,1,1)-且通过点(2,3,5)-的球面方程为 .2 在直角坐标系下, 通过点(1,5,3)--且与平面63520x y z --+=垂直的直线方程为 .3 与平面2340x y z -+-=平行, 且在y 轴上截距等于3-的平面方程为 .4 曲线⎩⎨⎧=++=+222222:a z y x axy x L 在xOz 面上的投影曲线方程为 . 5 二次曲线222430x xy y x y -++--=上过点()2,1的切线方程是 .6 设一条二次曲线通过两条二次曲线222610x xy y x +-+-=与2220x y x y ---=的交点，并且还通过点(2,2)-，这条二次曲线的方程为 .三 试用两种方法求过点)2,0,0(0-M ，与平面1:32180x y z ∏-+-=平行，且与直线12341:1zy x l =--=-相交的直线l 的方程. (10分)四 在空间直角坐标系中,直线1l 和2l 的方程分别为1l ：11142412x t y t z t=-+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩和2l ：222545355x t y t z t=-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（1）求过1l 且平行于2l 的平面方程；（2）求1l 和2l 的距离；（3）求1l 和2l 的公垂线方程.（15分） 五 求直线01xy zβα-==绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程，并就α与β可能的值讨论曲面类型.（15分）六 将二次曲线22230x xy y x y ++++=化成标准型，并作出它的图形.（14分）七 求与两直线161:321x y z l --==和284:322x y z l -+==-都相交,且与平面:2350x y ∏+-=平行的直线的轨迹. (10分)《空间解析几何》期末考试试卷答案(A)考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟班号 学号 姓名 得分1 下列等式中正确的是 ( B ) A a (b c )= (a b )c B (a ⨯b )c =a (b ⨯c ) C (a b )2 =a 2b 2 D a ⨯b =c ⨯b ,b ≠0，则a =c2 已知向量a 与b 的夹角为23π, 且||3a =, ||4b =, 则2()a b +为 ( B )A 14B 13C 12D 11 3 点(1,2,3)M -和平面:5340x y z π-++=间的离差为 ( C )A1δ=- B 1δ= C 0δ= D 12δ=-4 直线320:0x y z l x y z +--=⎧⎨-+=⎩与平面:230x y z π+--=的交点和夹角分别为 ( D )A (1,0,1)--,3π B (1,0,1)--, 6π C (1,0,1), 3π D (1,0,1)-, 6π 5 方程2350x my z ++-=与6620lx y z --+=表示二平行平面,则,l m 为 ( A ) A 4,3l m =-= B 3,3l m ==- C 4,3l m ==- D 3,4l m =-= 6 二次曲线223426250x xy y x y ++--+=属于 （ B ） A 抛物型 B 椭圆型 C 双曲型 D 不能确定.二 填空题(每空3分,共18分)1 中心在点(3,1,1)-且通过点(2,3,5)-的球面方程为222(3)(1)(1)21x y z -+++-=.2 通过点(1,5,3)--且与平面63520x y z --+=垂直的直线方程为153635x y z -++==--. 3 与平面2340x y z -+-=平行, 且在y 轴上截距等于3-的平面方程为2360x y z -+-=.4 曲线⎩⎨⎧=++=+222222:az y x ax y x L 在xOz 面上的投影曲线方程为220:0z ax a L y ⎧+-=⎨=⎩.5 二次曲线222430x xy y x y -++--=上过点()2,1的切线方程是5460x y --=.6 设一条二次曲线通过两条二次曲线222610x xy y x +-+-=与2220x y x y ---=的交点，并且还通过点(2,2)-，这条二次曲线的方程为2224527340x xy y x y -+--+=.三 试用两种方法求过点)2,0,0(0-M ，与平面1:32180x y z ∏-+-=平行，且与直线12341:1zy x l =--=-相交的直线l 的方程. (10分)解法一 先求l 的一个方向向量),,(Z Y X υ。

高二数学解析几何试题答案及解析1.双曲线的虚轴长等于( )A．B．C．D．4【答案】C【解析】双曲线方程化为因为是双曲线方程，所以则标准方程为所以虚轴长故选C2.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A．B．C．D．【答案】D．【解析】消去参数，得直线的普通方程为，则直线的斜率为．【考点】直线的参数方程；2．直线的斜率．3.圆与的圆心距与曲线的长度的大小关系是（）．A．B．C．D．无法比较【答案】A．【解析】两圆的圆心分别为，则圆心距，曲线表示半径为2的圆心角为的圆弧，弧长为．；则【考点】圆的参数方程；2．弧长公式．4.已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）此问是待定系数法求椭圆的标准方程第一步先设椭圆的标准方程是，根据已知条件列3个关于的方程，求解；（Ⅱ）此题考查直线与椭圆相交的综合问题，总体思路是第一步，先将直线与椭圆联立，利用韦达定理得到和，，第二步，利用，表示点的坐标，第三步，将点的坐标代入椭圆方程，得到，第四步，根据直线与圆相切，得到与的关系，消参后求的范围．试题解析：解:（Ⅰ）设椭圆的标准方程为由已知得:解得所以椭圆的标准方程为:（Ⅱ）因为直线:与圆相切所以，把代入并整理得:设，则有因为，，所以，又因为点在椭圆上，所以，因为，所以所以，所以的取值范围为【考点】1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆相交的综合问题．5.如图，是圆的切线，切点为交圆于两点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】连接，∵是圆的切线，切点为交圆于两点，，∴，∴，解得，∴，∴，故选B．【考点】1.与圆有关的比例线段的应用；2.计算.6.（本小题满分12分）已知椭圆经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．【答案】（1）（2）【解析】（1）待定系数法求椭圆方程；（20先求出直线方程代入椭圆方程，然后由韦达定理求出两根之和，再求出中点横坐标，最后代入直线方程求出中点纵坐标即得结果．试题解析：（1）因为椭圆经过点A，所以b=4．又因离心率为，所以所以椭圆方程为：依题意可得，直线方程为，并将其代入椭圆方程，得．（2）设直线与椭圆的两个交点坐标为，则由韦达定理得，,所以中点横坐标为，并将其代入直线方程得，故所求中点坐标为．【考点】求椭圆方程、直线与椭圆相交求弦的中点坐标．7.（本小题满分12分）已知一条光线从点射出，经过轴反射后，反射光线与圆相切，求反射光线所在直线的方程．【答案】或【解析】根据对称性先求出点A关于x轴的对称点，然后设出反射光线所在的直线方程，利用直线与圆相切求出反射光线所在的直线的斜率，从而求出反射光线所在的直线方程．试题解析：A关于x轴的对称点．反射光线相当于是从点射出的光线．因为反射光线的斜率存在，所以反射光线所在的直线可设为即因为该直线与圆相切，所以…10分所以反射光线所在直线方程为或．【考点】求直线方程．8.已知是椭圆的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．四条线段【答案】B【解析】连接并延长交于M点，是外角的角平分线，所以是等腰三角形,所以,Q为中点，连接OQ，则OQ===，所以M表示以O为圆心为半径的圆，故选B【考点】椭圆定义及动点轨迹方程【方法点睛】求动点的轨迹方程的一般步骤：建立合适的坐标系，设出所求点及相关点坐标，代入动点满足的关系式并将其坐标化，整理化简并检验是否有不满足要求的点；本题中要充分结合等腰三角形的性质及椭圆定义得到动点到定点的距离为定值，结合三角形中位线的性质得到点到原点的距离为定值，因此得到其轨迹为圆9.（本题满分10分）已知椭圆，经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于，两点，试问：直线是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】（1）根据椭圆经过点以及两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形可列得方程组，从而求解；（2）若直线斜率存在时，可设，再利用韦达定理以及条件斜率乘积为，可得到，满足的关系式，即可得证，再验证当斜率不存在也符合即可．试题解析：（1）根据题意；（2）当的斜率存在时，设，，∴，∴或（舍）∴过定点，当斜率不存在时也符合，即直线恒过定点．【考点】1．椭圆的标准方程；2．椭圆中定点问题．【思路点睛】定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．10.已知直线与直线平行，则的值是（）A．B．C．－D．或0【答案】A【解析】由题意，解得，经检验时，两直线重合，时，两直线平行，故选A．【考点】11.过点的椭圆（）的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点．（1）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；（2）当点异于点时，求证：为定值．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）将点代入椭圆方程可求得，再由离心率求得，从而得到椭圆的方程，再将直线的方程供稿椭圆，求得交点坐标即可求得线段的长；（2）设直线的方程为（且），代入椭圆方程，求得点坐标，再联立直线的方程求得点坐标，然后结合点坐标，利用向量的数量积公式即可得出结论．试题解析：（1）由已知得，，解得，所以椭圆方程为．椭圆的右焦点为，此时直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，，代入直线的方程得，，所以，故．（2）当直线与轴垂直时与题意不符．设直线的方程为（且）．代入椭圆方程得．解得，，代入直线的方程得，，所以点的坐标为．又直线的方程为，又直线的方程为，联立得．因此，又．所以．故为定值．【考点】1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、平面向量的数量积．12.以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆的焦点为、双曲线顶点为，因此双曲线焦点为，双曲线方程是，选C．【考点】椭圆与双曲线方程【名师】用待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤（1）作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．（2）设方程：根据上述判断设出方程．（3）找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组．（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．13.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后，水面宽________米．【答案】．【解析】如下图所示，建立直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入可得，，所以抛物线的方程为，于是将可得，，所以水面宽为，故应填．【考点】1、抛物线的实际应用．【思路点睛】本题主要考查了抛物线的应用，考查了学生利用抛物线的解决实际问题的能力，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据已知条件建立适当的直角坐标系，并写出点的坐标，然后设出所求的抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线的方程可求得，得到抛物线的方程，最后把代入抛物线的方程即可得出点的坐标，进而得出所求的答案．14.已知命题：点不在圆的内部，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”．（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）或．【解析】（1）“且”是真命题，所以，得不等式组；（2）是的必要不充分条件得：或，从而求解．试题解析：（1）若为真：，解得或若为真：则，解得或，若“且”是真命题，则，解得或（2）若为真，则，即，由是的必要不充分条件，则可得或即或，解得或．【考点】1、复合命题的真假；2、充分条件、必要条件；3、不等式组．15.设是椭圆的左右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是底角为的等腰三角形，所以，因为P在直线上一点，所以，所以椭圆的离心率为，故选C．【考点】椭圆简单的几何性质．16.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线的倾斜角为,由直线方程可知直线的斜率,即,,．故D正确．【考点】直线的斜率,倾斜角．17.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米．【答案】【解析】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0．5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：，解得：，所以水面宽度增加到米，【考点】二次函数的应用18.已知椭圆：的右焦点，过的直线交椭圆于两点，且是线段的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）已知是椭圆的左焦点，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设，，代入椭圆方程并作差，由中点坐标公式与直线的斜率得到的关系，从而求得椭圆的离心率；（2）联立直线与椭圆的方程，消去，利用韦达定理求得，从而求得求的面积．试题解析：（1）设，，则，，两式相减，得．∵线段的中点坐标为，∴．∵直线的斜率为，∴．∴，∴．（2）由（1）可知直线：，由，得，．又，所以．【考点】1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．19.抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】把抛物线转化为标准式方程为所以抛物线焦点在轴上，且即其准线方程为故选B．【考点】1、抛物线的简单性质；2、抛物线的标准式方程．20.已知抛物线上的任意一点P，记点P到轴的距离为，对于给定点，则的最小值为．【答案】【解析】过P作PB垂直于直线x=-1，垂足为B∵抛物线方程为y2=4x，∴2p=4，得可得焦点F（1，0），且直线x=-1是抛物线的准线，因此，|PA|+d+1=|PA|+|PB|=|PA|+|PF|,∵|PA|+|PF|≥|AF|∴当且仅当P、A、F三点共线时，|PA|+|PF|达到最小值,因此，|PA|+d+1的最小值为|AF|=,所以|PA|+d的最小值为．故答案为：．【考点】抛物线的几何性质和两点之间的距离公式等知识．【易错点睛】过P作PB垂直于直线x=-1，垂足为B，根据抛物线的定义得：|PA|+d+1=|PA|+|PB|=|PA|+|PF|．利用三角形两边之和大于第三边，可得当且仅当P、A、F三点共线时，|PA|+d+1达到最小值，因此可用两点的距离公式求出|PA|+d+1的最小值．本题给出定点A和抛物线上动点P，求P到A点与P到抛物线准线距离之和的最小值，学生易在P到轴的距离为，当成P到准线的距离为，忘记减1，造成失误．21.如图，直线与抛物线交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把直线方程抛物线方程联立求得焦点的坐标，则中点的坐标可得，利用的斜率推断出垂直平分线的斜率，进而求得垂直平分线的方程，把代入求得的坐标．（2）设出的坐标，利用到直线的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形，利用的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．试题解析：（1）解方程组得或即，从而AB的中点为．由，直线AB的垂直平分线方程令，得（2）直线OQ的方程为，设．∵点P到直线OQ的距离=，，∴==∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴或．∵函数在区间上单调递增，∴当时，的面积取到最大值．【考点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其应用及直线与圆锥曲线的综合应用和点直线的距离公式，着重考查了解析几何基础知识的灵活运用．本题解答中，设出的坐标，利用到直线的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形，利用的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．22.已知圆经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率．【答案】【解析】由可知过点【考点】圆与椭圆的方程及性质23.已知：，不等式恒成立，：椭圆的焦点在轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．【答案】【解析】首先由不等式恒成立和椭圆性质分别得到两命题中m的取值范围，由复合命题p∧q为真命题可知两命题都是真命题，由此求交集可得到m的取值范围试题解析：∵p：∀x∈R，不等式恒成立，即解得：；-q：椭圆的焦点在x轴上，∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，由p∧q为真可知，p，q都为真，解得．【考点】1．不等式，椭圆的性质；2．复合命题24.如图，抛物线和圆，其中，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，由题意知抛物线的焦点，则设直线的方程为：，联立，消去，得：，根据抛物线的定义，得：，故选B．【考点】圆与圆锥曲线的综合．25.已知焦点在x轴上的椭圆过点A（﹣3，0），且离心率e=，则椭圆的标准方程是（）A．=1B．=1C．=1D．=1【答案】D【解析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a=3，由离心率公式和a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a=3，e==，可得c=，b===2，则椭圆方程为+=1．故选：D．【考点】椭圆的简单性质．26.（2012•赤坎区校级模拟）抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x﹣y+2=0上，则此抛物线方程为．【答案】y2=﹣8x或x2=8y【解析】求出已知直线与坐标轴的交点A和B，在焦点分别为A和B的情况下设出抛物线标准方程，对照抛物线焦点坐标的公式求待定系数，即可得到相应抛物线的方程．解：直线x﹣y+2=0交x轴于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（2，0）①当抛物线的焦点在A点时，设方程为y2=﹣2px，（p＞0），可得=2，所以2p=8，∴抛物线方程为y2=﹣8x②当抛物线的焦点在B点时，设方程为x2=2p'y，（p'＞0），可得=2，所以2p'=8，∴抛物线方程为x2=8y综上所述，得此抛物线方程为y2=﹣8x或x2=8y故答案为：y2=﹣8x或x2=8y【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．27.设A（x1，y1）．B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线．（1）当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）（，+∞）．【解析】（1）先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得抛物线的焦点坐标．先看直线l的斜率不存在时，显然x1+x2=0；看直线斜率存在时设斜率为k，截距为b，进而用A，B的坐标表示出线段AB的中点代入设的直线方程，及用A，B的坐标表示出直线的斜率，联立方程可分别求得x 1+x2和x21+x22的表达式进而求得b的范围，判断即l的斜率存在时，不可能经过焦点F．最后综合可得结论．（2）设直线l的方程为：y=2x+b，进而可得过直线AB的方程，代入抛物线方程，根据判别式大于0求得m的范围，进而根据AB的中点的坐标及b和m的关系求得b的范围．解：（1）∵抛物线y=2x2，即x2=，∴p=，∴焦点为F（0，）①直线l的斜率不存在时，显然有x1+x2=0②直线l的斜率存在时，设为k，截距为b 即直线l：y=kx+b由已知得：⇒⇒⇒x12+x22=﹣+b≥0⇒b≥．即l的斜率存在时，不可能经过焦点F（0，）所以当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F（2）解：设直线l的方程为：y=2x+b′，故有过AB的直线的方程为y=﹣x+m，代入抛物线方程有2x2+x﹣m=0，得x1+x2=﹣．由A、B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式△=+8m＞0，也就是：m＞﹣．由直线AB的中点为（，）=（﹣，+m），则+m=﹣+b′，于是：b′=+m＞﹣=．即得l在y轴上的截距的取值范围是（，+∞）．【考点】抛物线的应用；直线的斜率；恒过定点的直线．28.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，因此，从而选D.【考点】双曲线定义，双曲线离心率29.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，由余弦定理，可得【考点】双曲线方程及性质30.焦点在y轴的椭圆x2＋ky2＝1的长轴长是短轴长的2倍，那么k等于（）A．－4B．C．4D．【答案】D【解析】椭圆方程变形为【考点】椭圆方程及性质31.若直线被圆所截的的弦长为，则实数的值（）A．－2或6B．0或4C．－1 或D．－1或3【答案】D【解析】由圆的方程可知圆心为,半径为2.圆心到直线的距离.由题意可得,解得或.故D正确.【考点】圆的弦长问题.32.已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，它的准线过双曲线C1的焦点，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2，则双曲线C1的离心率为．【答案】+1【解析】先设出抛物线方程，进而根据题意可得p与a和c的关系，把抛物线方程与双曲线方程联立，把x=c，y2=4cx，代入整理可得答案．解：设抛物线方程为y2=2px，依题意可知=c，∴p=2c，抛物线方程与双曲线方程联立得﹣=1，把x=c，代入整理得e4﹣6e2+1=0解得e=+1，故答案为：+1．【考点】双曲线的简单性质．33.如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用已知条件求出椭圆的方程，然后利用椭圆的离心率即可．解：设M（x，y），则P（x，2y），代入圆的方程并化简得：，解得a=2，b=1，c=．椭圆的离心率为：．故选：D．【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程．34.椭圆上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于 .【答案】5【解析】由椭圆的方程可知,.由椭圆的定义可得点到另一个焦点的距离等于.【考点】椭圆的定义.35.若直线与直线平行，则的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】由两直线平行可知系数满足【考点】两直线平行的判定36.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线的焦点距离为3，则（）A．B．C．3D． 4【答案】C【解析】根据题意，可设抛物线的标准方程为，由于点到该抛物线的焦点距离为3，故，解得，抛物线标准方程为，将点代入抛物线方程可得，因此；【考点】抛物线的焦半径；37.已知抛物线与直线相交于两点．（1）求证：；（2）当的面积等于时，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）；【解析】（1）要证，即证，联立直线与抛物线方程消去，得ky2＋y－k＝0，利用韦达定理可以证得；（2）设直线l与x轴的交点为N，求出点N的坐标为（－1,0），则，把（1）中的韦达定理代入可得的值；试题解析：（1）证明：联立，消去，得ky2＋y－k＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，.因为，所以，所以，所以，即，所以.（2）设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为（－1,0），所以，解得，所以【考点】直线与抛物线位置关系；38.直线与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题如图所示：，代入得：，解得：。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2006学年第1学期 考试科目： 解析几何考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（每空2分，共16分）。

1． 设向量a b 、非零，若(),a b a b R λλ+=-∀∈ ，则a 与b满足的条件 。

2． 设a b、非零不共线，则a b、的正向所成角的平分线上的单位向量是。

3． 设向量{}{}1,1,2,2,1,1a b =-=- ，则同时垂直于向量,a b 的单位向量为 。

4． 设a b c 、、为互相垂直的右旋向量组，且a b c ===，则a b b c c a ⨯+⨯+⨯＝ 。

5． 参数方程sin ,,0cos ,x au va b c y bu v u v z cu=⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，为参数，表示的二次曲面是 。

6． 20xy a z ⎧=⎨=⎩绕自身的渐近线旋转的的旋转面方程为 。

7. 二次曲线的22435630x xy y x y ++--+=平行于40x y +=的切线方程是 。

8. 曲线2222210x y z x z ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩关于xoy 面上的投影曲线方程为 。

二、 选择题（每题3分，共24分）。

1. 下列命题中，正确的是 ( )A 、 ()//0,0a b l am b l m ⇔+=≠； B 、 ()//,a b b a R λλ⇔=∈； C 、 ()0,,a b a b c c la mb l m R π<<⇔=+∈ 若，则、、共面、； D 、()0,,0a b c la mb nc l m n R lmn ⇔++=∈≠ 、、共面、、且。

2. 设向量a b 、是不共线，且,2,//,u a b v a b u v λλλ=+=+=若则 ( )A D ±±±±、 2B 、 3C 、 、 3. 设a b c 、、均为单位向量，且0a b c ++= ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅ 的值为 ( )A B C D 33、 0； 、 1； 、、 -224． 直线133y zx -==-与直线2020x y y z -=⎧⎨+=⎩的位置关系是 ( ) A 、垂直； B 、平行； C 、重合； D 、异面。

《解析几何》期末试卷及答案一、 填空 (每题3分，共30分) 1 .若 a =1, a 6 = 2 ,则摄影 a b= _______ 2 ___________________2 •已知不共线三点A(1,2,3),B(2,1,_5),C(3,2,_5)则三角形ABC 的 BC 边上的高为 __8 ______ 。

3. a , b 满足 ____ a = b ____________ , 时a+ b 平分 a , b 夹角。

4. 自坐标原点指向平面：2x • 3y • 6z — 35 =0的单位法矢量为以 x+z) =t(_y) 、t(x _ y) = sy5. 将双曲线 r 2 2 y z1丿尹一 C 2 * T 绕虚轴旋转的旋转曲面方程为 I x 0x 2y 2b 22z_1一 2 - * 1C6. 直线丿Ax+B q y+C q Z + D d =0 ；x+B ：；+C ：z + D 2=0与X 轴重合，则系数满足的条件为 D i 0G ¥C2C1 A19 A2=0 =0=D 2 = 0, 7.空间曲线「一的参数方程为 x + z =0X - -t 4y = 2t 或彳 y = -2t z 二 t 2x - -t 4oZ =t 28 .直纹曲面x 2 • y 2 -z 2=0的直母线族方程为"w(x + z) = uyU(x — y) = w(—y)，或 ______2 12 9’三、计算题(6X 5=30分)1.已知 a J 3,2,11, 20,-12,'6,5,0；①试证a, b , c 共面 ②把c 分解为a , b 的线性组合3 2= (a,b,c) = O -1 6 5而a , b 不共线，所以c 可以分解为a , b 的线性组合c = 2a-b即(x -1) -2(y 2) (x -1)=0 , 整理得x -2y - 6 =02. 3. 4. 5. A 椭圆型B 双曲型 C 无心型D 线心型 点O 到平面二：2x — y 2z 0的距离为（D ） 5 A 5 B5C 9设a, b,c 满足关系a b c A 、b)若直线亍二次曲线 A 、 1 :1F(x, y)上相交，贝U 必有（1-2xy y 2 1:2-1 =0的渐近方向为（、1 : -1 、1 : -22.求与平面x y ■ z - 5 =0垂直且通过直线l :--1 y2 z-1 23的平面二的方程x -1 y 2 z -1解平面兀的方程为1 1 1=0 ,2 =24 +6 —30 =0，二 a , b , c 共面将点 p 6,2,8 代入得 w:u =1: 2 , s = 0 所以，过点p 6,2,8的两条直母线方程为——y + — —2=03 4 空亠z_1=0 k 3 2 2 求通过点p 4,0, -1且与x 轴平行的直线的参数式、对称式、一般式及摄影式方程所求直线的参数式方程为对称式方程为口y =0 z = -1=0 与 12 : x 2 2xy • y 2- x • y = 0 的公共直径对于 h : x 2 _xy _ y 2 _x _ y 二 0 , I 2 --13. 求过单叶双曲面-丫92 …2 2--1上点p 6,2,8的两条直母线方程 4 162 2单叶双曲面—乂9 4 2-1上的两族直母线方程为 16 x zy w( ) = u(1 )3 4u (△- Z) =w(1 --) x z y s(：+T=t(1—彳) 一 x z 、 ” y 、 t(— -—) = s(11 -- =02x -- =0.3 44.般式方程为*y = 0 Z - -5.1 1 °x——y__=0 1 342 2 解出中心坐标为(丄,-3)--x-y-—=0 5 5.2 2求两条二次曲线h : x2 - xy - y2 - x - y5-一丄0为中心型4x =3t 72.证明直线 x -1z -5 -3与直线 y =2t2共面并求它们所在的平面的方程而对于 12 : x 2 2xy y 2 - x y = 0， 12专，为无心型，它的 2渐近方向为X ：丫二-a 12 : a 11因此公共直径方程为 -1=0 即 5x 5y 2 = 0四、证明题（2X 5=10分）1.设L 、M 、N 分别是△ ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,证明：三中线矢量AL BM CN 可以构成一个三角形•1 1 — 证明 因为 AL (AB AC), BM (BA BC),CN =2 2 1-(CA CB)2所以AL BM CN 1 ■ I1 ' ’ 1 _ ・(AB AC) (BA BC) (CA CB) 因此ALBMCN 可 以构成一个三角形.证明因为■:二x -1 y 2 -3z _5=0, 整理得 2x -18y -15Z-37 =0五、利用坐标变换化简二次曲线 x 2 - xy ■ y 2■ 2x -4y = 0 并作图(15 分)解因为I 237 所以曲线为中心二次曲线，解方程组41x y 2 1F (x, y) x y -2 = 0F 1(x, y)二1=0…2或者写成标准形式22=1得中心的坐标为x=0,y=2，取（0,2）为新的原点，作移轴 原方程变为 x'2 -x' y'- y'2 -4 = 0 再转轴消去x'y'项'设旋转角为「则就一需=01 -tan2 ：2ta n _：s 从而可取「4,所以得转轴公式为1x "2 3宀"这是一个椭圆，它的图形如图所示9. ________________________________________ 线心型二次曲线F(x,y)=0的渐近线方程为 __________________ a 11x a 12y a 1^ 0110. ______________________________________________ 二次曲线5x 27xy y^x 2^0在原点的切线为 _______________________________________________________= 36 -24 • 48 -36 -48 • 24 =0，所以两直线共面而它们所在的平面方程为(x"-y")(x" y")经转轴后曲线的方程化简为最简形式‘X = x' y =--x ^0 _________________________________________________2二、选择题(每题3分，共15分)1. 二次曲线x2 6xy y2 6x 2y-^0的图象为(B )。

中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(000001λλλλ→ )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)1(0000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Z y Y xX == ----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx )24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分 因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-0024z yx ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（ α，A β）．证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

2010—2011学年第二学期《解析几何》试题(A)院别 班级 学号 姓名核分人签名2分，共14分）1、||||||a b a b +=+的条件是 。

A ：a b 与同向；B ：a b与反向； C ：a b ⊥ ； D ：//a b 。

2、已知a b ⊥ ，c 与,a b 的夹角都为60︒，且||1,||2a b ==,||3c = ,则2(2)a b c +-=。

A ： 9；B ：10；C ：11；D ：12。

3、过点(-2,3,-4)且与平面3x-y+z+1=0垂直的直线方程是 。

A ：141332-+=+=-z y x ； B ： 141332--=-=+z y x ； C ：141332+=-+=-z y x ； D ： 141332+=--=+z y x 。

4、直线111112x y z --+==-与平面240x y z +--=关系是 。

A ：平行； B ：重合；C ：相交，交点为(1,1,1)--；D ：相交，交点为(1,1,1)-。

5、方程2221x y z A B C λλλ++=---(0A B C >>>）表示单叶双曲面的条件是 。

A ：A λ>；B ：B A λ<<；C ：C B λ<<；D ：C λ<。

6、下面各点在平面2340x y z +-+=同侧的是 。

A ：(0,0,0),(2,0,2)； B ：(1,0,2),(1,3,0)-； C ：(1,1,4),(1,0,2)-； D ：(0,0,4),(1,0,1)-。

7、球面方程为22222220x y z x y z ++---+=，点(0,1,1)在 。

A ：球面上；B ：球面内；C ：球面外；D ：球心。

2分，共24分） 1、向量{2,3,4}--与向量{4,6,}λ-共线，则=λ 。

2、设向量{2,1,4}a =- 、{1,1,0}b =- 、{1,1,1}c =-是{;,,}O i j k 中的向量，则混合向量积(,,)a b c =。