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杭州师范大学理学院 2014-2015 学年第一学期期末考试
15分，每空格3分）
,a b 满足||,||,262a b a b ⋅=
==，则以,a b 为边的 。
3) 到平面10x y z -+-=的距离为 。
10
20
x y x y z +-=-+-=与直线2x y z ==平行的平面方程是 ,,)(,,)a b c c b a =；
222
222+1x y z a b c
-=-是直纹曲面；）三向量a 、b 、c 的混合积等于以a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积；）如果0a ≠且a ∥b ，则存在数λ使得 b a λ=。
向量(0,1,3),(4,2,3),αβ==若γ与,αβ均垂直，且与z 轴所成角为锐角，γ的坐标为
（A ）(6,24,8)-- (B)(6,24,8) (C)(6,24,8)-- (D) (6,24,8)
-
4、 直线
12
101x y z +-==
与平面10x y +-=的夹角为 （ ） （A ）3π （B ）3π或23π （C ）6π （D ）6
π或56π
5、 平面12(22)(342)0x y z x y z λλ+++++-=，如在z 轴上的截距为2，则12:λλ=（ ） （A ） 2:3 （B ）3:2 （C ）-2:3 （D ）-3:2
6、 点(2,1,1)M -和坐标原点在平面1:3210x y z π+-+=和2:31120x y z π+++=的（ ） （A ）同一个二面角内； （B ）相邻二面角内； （C ）对顶二面角内； （D ）不能确定。
7、 曲线22
2201
y z b c x -=⎧⎪⎨⎪=⎩
绕y 轴旋转所得到的曲面叫做 （ ）
（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）圆锥面 （D ）圆柱面
三、计算题（共50分）
1、已知四面体ABCD 的三个顶点为(1,0,1)A ，(1,1,5)B -，(1,3,3)C ---，(0,3,4)D ,求此四面体的体积。 （7分）
2、求通过直线5040
x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面4820:1x y z π--+=成4π
角的平面方程。（7分）
3、已知向量3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求向量,a b 的夹角。（6分）
4、已知异面直线120
:1,00
:10x y l z x y l z -⎧+==⎧⎨
=+-⎩⎨=⎩
，求1l 和2l 间的距离及公垂线方程。（8分）
5、求单叶双曲面222
14916
x y z +-=的过点(2,3,4)M - 的直母线方程。 （8分）
6、过点(2,1,3)A -与直线12
10:2
l x y z --==
-相交且垂直的直线方程。（7分）
7、求顶点为(1,2,4)A ，轴与平面22110x y z ++-=垂直，且经过点(1,0,1)P -的圆锥面方程（7
分）
四、证明题（共14分）
1、 （本题7分）设点O 是平面上正多边形12
n A A A 的中心，证明：120n OA OA OA +++=
2、 （本题7分）证明：设点M 在三角形ABC 内（包括三边），则存在非负实数,,k l m 使得
,OM kOA lOB mOC =++ 1k l m ++=。
