12.7 正态分布

§12.7 正态分布

一、选择题

1．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝( )

A．0.1588

B．0.1587

C．0.1586

D．0.1585

解析 通过正态分布对称性及已知条件得

P(X＞4)＝1－P2≤X≤42＝1－0.68262＝0.1587，故选B.

答案 B

2. 设随机变量服从正态分布 ),1(2N，则函数2()2fxxx不存在零点的概率为( )

A.41 B. 31 C.21 D.32

解析 函数2()2fxxx不存在零点,则440,1,

因为2~(1,)N，所以1,11.2P

答案 C

3．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于( )．

A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ(1)－Φ(－1)

C．Φ1－μσ D．2Φ(μ＋σ)

解析 由题意得，P(|ξ－μ|＜σ)＝P|ξ－μσ|＜1＝Φ(1)－Φ(－1)．

答案 B

4．已知随机变量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，则D(η)等于( )．

A．0 B．1 C．2 D．4

解析 由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝σ2＝4，

∴D(η)＝1.

答案 B

5．标准正态总体在区间(－3,3)内取值的概率为( )．

A．0.998 7 B．0.997 4 C．0.944 D．0.841 3

解析 标准正态分布N(0,1)，σ＝1，区间(－3,3)，即(－3σ，3σ)，概率

P＝0.997 4.

答案 B

6．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσie－x－μi22σ2i(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则( )．

A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3

B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3

C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3

D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3

解析 正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.

答案 D

7．在正态分布N0，19中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )．

A．0.097 B．0.046 C．0.03 D．0.0026

解析 ∵μ＝0，σ＝13

∴P(X＜1或x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6.

答案 D

二、填空题

8. 随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝0.3，则P(ξ＜2)＝

________.

答案 0.7

9．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．

解析 由题意知，P(ξ＞110)＝1－2P90≤ξ≤1002＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.

答案 10

10．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．

解析 ∵X服从正态分布(1，σ2)，

∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.

∴X在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8

答案 0.8

11．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Ф(x)＝P(ξ＜x)，给出下列结论：

①Φ(0)＝0.5；

②Φ(x)＝1－Φ(－x)；

③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1.

则正确结论的序号是________．

答案 ①②③

12．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是________．

解析 P(9.8

答案 0.954 4

三、解答题

13．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．

解析 由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ

此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6，

又由于P(μ－2σ

所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为

0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.

14．若一批白炽灯共有10 000只，其光通量X服从正态分布，其概率密度函数是φμ，σ(x)＝162πe－x－209272，x∈(－∞，＋∞)，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数．

(1)209－6～209＋6；

(2)209－18～209＋18.

解析 由于X的概率密度函数为

φμ，σ(x)＝162πe－x－209272，x∈(－∞，＋∞)，

∴μ＝209，σ＝6.

∴μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6.

μ－3σ＝209－6×3＝209－18，

μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18.

因此光通量X的取值在区间(209－6,209＋6)，(209－18,209＋18)内的概率应分别是0.682 6和0.997 4.

(1)于是光通量X在209－6 ～209＋6范围内的灯泡个数大约是

10 000×0.682 6＝ 6 826.

(2)光通量在209－18～209＋18范围内的灯泡个数大约是

10 000×0.997 4＝9 974.

15．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．

(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；

(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．

解析 (1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.

∴P(80＜ξ≤120)＝P(100－20＜ξ≤100＋20)＝0.954 4，

即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954 4.

(2)P(90＜ξ≤110)＝P(100－10＜ξ≤100＋10)

＝0.682 6，

∴P(ξ＞110)＝12(1－0.682 6)＝0.158 7，

∴P(ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.

∴及格人数为2 000×0.841 3≈1 683(人)．

16．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．

(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？

(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？

解析 设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．

则μ＝60，σ＝10.

(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.

∴P(X＞90)＝12[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3

∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．

(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8.

设分数线为x.

则P(X≥x0)＝0.022 8.

∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4.

又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.

∴x0＝60＋2×10＝80(分)．