正态分布图制图步骤知识讲解

2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线,可求出总体在区间a ,b 内取值的概率等于总体密度曲线,直线x =a ,x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 式中的实数μ、)0(>σσ是参数,分别表示总体的平均数与标准差,,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线． 讲解新课：一般地,如果对于任何实数a b <,随机变量X 满足,()()baP a X B x dx μσϕ<≤=⎰,则称 X 的分布为正态分布normal distribution ．正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布,则记为X ～),(2σμN .经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布．例如,高尔顿板试验中,小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞,每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落,因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果,所以它近似服从正态分布．在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此,正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年,法国数学家棣莫弗就用n 的近似公式得到了正态分布．之后,德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它,并研究了它的性质,因此,人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2σμN 是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图,书中没有做要求,教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板,形象、美观地画出三条正态曲线的图形,结合前面均值与标准差对图形的影响,引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：1曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交2曲线关于直线x=μ对称3当x=μ时,曲线位于最高点4当x ＜μ时,曲线上升增函数；当x ＞μ时,曲线下降减函数 并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近5μ一定时,曲线的形状由σ确定σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握,后两条较难理解,因此在讲授时应运用数形结合的原则,采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是2221)(x ex f -=π,-∞＜x ＜+∞其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N0,1在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ和标准差σ１),(,21)(22+∞-∞∈=-x ex f x π２),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π３22(1)(),(,)x f x x -+=∈-∞+∞ 答案：10,1；21,2；3-1,例2求标准正态总体在-1,2内取值的概率． 解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有=1)1()2(-Φ+Φ=＋－1=．1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N0,1,)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率, 即 )()(00x x P x <=Φ,其中00>x ,图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时,)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时,Φ0=2.标准正态分布表 标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位,为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中,对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率,即 )()(00x x P x <=Φ,)0(0≥x ．若00<x ,则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表,可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率,即直线1x x =,2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体,然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差,然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件,即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先,假设总体应是或近似为正态总体,然后,依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序,即“三步曲”一是提出统计假设,教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入μ-3σ,μ+3σ； 三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N 0,1,求l P <x <；2Px >2. 解：1P <x <=- =-1-==.2Px >2=1-Px <2=1-2==.例2．利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面区间取值的概率： 1在N1,4下,求)3(F 2在N μ,σ2下,求Ｆμ－σ,μ＋σ； Ｆμ－σ,μ＋σ；Ｆμ－2σ,μ＋2σ； Ｆμ－3σ,μ＋3σ解：１)3(F ＝)213(-Φ＝Φ1＝ ２Ｆμ＋σ＝)(σμσμ-+Φ＝Φ1＝Ｆμ－σ＝)(σμσμ--Φ＝Φ－1＝１－Φ1＝１－＝Ｆμ－σ,μ＋σ＝Ｆμ＋σ－Ｆμ－σ＝－＝ Ｆμ－σ,μ＋σ＝Ｆμ＋σ－Ｆμ－σ＝ Ｆμ－2σ,μ＋2σ＝Ｆμ＋2σ－Ｆμ－2σ＝ Ｆμ－3σ,μ＋3σ＝Ｆμ＋3σ－Ｆμ－3σ＝ 对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间μ-σ,μ+σ、μ-2σ,μ+2σ、μ-3σ,μ+3σ内取值的概率分别为%、%、% 因此我们时常只在区间μ-3σ,μ+3σ内研究正态总体分布情况,而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为π21,求总体落入区间－,之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ,它是偶函数,说明μ＝0,)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21,所以σ＝1,这个正态分布就是标准正态分布教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 ,频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞, σ＞0由此可见,正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为x=μ,并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近x 轴,但永不与x 轴相交,因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征;由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的,因此从某种意义上说,正态分布就有好多好多,这给我们深入研究带来一定的困难 发现,许多正态分布中,重点研究N0,1,其他的正态分布都可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化为N0,1,我们把N0,1称为标准正态分布,其密度函数为22121)(x ex F -=π,x ∈-∞,+∞,从而使正态分布的研究得以简化;结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质 正态曲线的作图较难,教科书没做要求,授课时可以借助几何画板作图,学生只要了解大致的情形就行了,关键是能通过正态曲线,引导学生归纳其性质;8 3 9 4 5 7 0 1 9 3 3 9 2 2 2 2 4 1 3 2 1 827111685997534898681585429216862743663734973785872642428478149354895912512838678682439194554598482664234415421965863654387648772856368434736597265522431794923915791536777。

1. 双击Origin Pro的图标,
2. 将数据从text 文件里复制粘贴到数据区域
3. 按照如下路径,选择频率分
析.Frequency Count
4. 设置起点终点和步进,一般
步进50,单击ok
5. 选择生成的 X,Y列数据,点
击plot，按如下路径画图,
--------------------
6. 对得到的柱形图进行颜色调整，默认是红色。

7. 单击菜单栏的Analysis选项，按照图中路径，选择高级拟合（Advanced Fitting Tool）
8. 在Advanced Fitting Tool 菜单界面选择Action-Fit
9. 弹出的对话框，选择
Active Dateset。

10. 选择100Iter，单击Done。

11. 对模型的解释框内容进行删除，只保留Model，Equation，and R2的信息。

12. 右击边框，在属性Properties窗口中去掉边框。

13. 对坐标轴进行命名
14. 右击空白区域，弹出菜单中单击添加Text选项，添加本图表的制作日期。

15. 右击图标空白区域，探出菜单中选择Export Page 导出图片，图片DPI选择200，格式选择png or jpg
16. 最后，保存数据
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《正态分布》讲义在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布，它在自然科学、社会科学、工程技术等众多领域都有着广泛的应用。

下面，让我们一起来深入了解正态分布。

一、什么是正态分布正态分布，也被称为高斯分布，是一种连续型概率分布。

它的概率密度函数呈现出一种独特的“钟形”曲线，具有对称性。

从数学表达式上看，正态分布的概率密度函数为：＼ f(x) ＝＼frac{1}｛＼sigma ＼sqrt{2\pi}｝ e^｛＼frac{（x ＼mu)＾2}｛2\sigma^2}｝＼其中，＼（＼mu\）是均值，决定了曲线的位置；＼（＼sigma\）是标准差，决定了曲线的“胖瘦”程度。

二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线以均值\（＼mu\）为对称轴，左右两侧对称。

这意味着在均值两侧相同距离处，出现观测值的概率相等。

2、集中性大部分数据集中在均值附近，离均值越远，数据出现的概率越小。

3、均值和中位数、众数相等这三个统计量在正态分布中是重合的，反映了数据的中心趋势。

4、标准差的作用标准差\（＼sigma\）越大，曲线越“胖”，数据的分散程度越大；标准差越小，曲线越“瘦”，数据越集中。

三、正态分布的产生原因为什么在现实世界中会有如此多的现象符合正态分布呢？1、大量独立随机因素的综合作用许多自然和社会现象受到众多微小、相互独立的随机因素的影响。

例如，人的身高受到遗传、营养、环境等多种因素的影响，当这些因素的数量足够多且相互独立时，最终的结果往往呈现正态分布。

2、中心极限定理根据中心极限定理，当从一个总体中抽取大量独立同分布的随机样本，并计算其均值时，这些均值的分布将近似于正态分布。

四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，通过对产品质量特征的测量，如果其符合正态分布，可以设定合理的控制界限，来监控生产过程是否处于稳定状态。

2、考试成绩评估考试成绩通常近似服从正态分布。

教师可以根据正态分布来确定合理的分数段，评估学生的学习情况。

怎么画标准正态分布标准正态分布是统计学中非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。

在绘制标准正态分布曲线时，需要遵循一定的步骤和方法。

下面我将详细介绍如何画标准正态分布曲线。

首先，我们需要了解标准正态分布的概念。

标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。

它的概率密度函数图形呈现为一个钟形曲线，左右对称，且曲线下面积为1。

在实际绘制标准正态分布曲线时，我们通常使用统计软件或者计算机绘图工具来完成。

其次，我们需要明确标准正态分布曲线的特点。

标准正态分布曲线的中心位于均值处，曲线在均值处达到最高点，然后逐渐向两侧下降。

曲线的形状由标准差决定，标准差越大，曲线越矮胖；标准差越小，曲线越瘦高。

接下来，我们可以开始绘制标准正态分布曲线。

首先，确定横轴和纵轴的范围。

横轴通常表示变量的取值范围，纵轴表示概率密度。

然后，我们需要计算出各个取值点对应的概率密度值，这可以通过标准正态分布表或者统计软件来进行计算。

接着，将这些点连成平滑的曲线，就得到了标准正态分布曲线。

在绘制标准正态分布曲线时，需要注意一些细节。

首先，曲线的平滑程度要求较高，可以使用光滑曲线工具或者增加取值点来实现。

其次，标注均值和标准差的位置，这有助于更直观地理解曲线的特点。

最后，可以添加一些辅助信息，如曲线下面积表示概率，或者在曲线上标注一些特定取值点的概率密度值。

总之，绘制标准正态分布曲线需要我们对标准正态分布的特点有深入的理解，同时需要掌握一定的绘图技巧。

通过本文的介绍，相信大家对如何画标准正态分布曲线有了更清晰的认识。

希望本文能够对大家有所帮助。

正态分布折线图直⽅图相关⽅法以及概念最近在做正态分布相关图像是遇到的很多问题最主要的是以前的很多知识点都忘掉了 ⽅差:各个数据与平均数之差平⽅和的平均值 标准差:⽅差的算数平⽅根柱状图步骤: 1.找出最⼤值和最⼩值 2.分组(可计算也可⾃⼰设定⼀个值) 3.计算组距宽度(组数去除最⼤值与最⼩值之差) 4.计算每⼀组的起始值(第⼀组初值为最⼩值减去最⼩测定单位的⼀半,末值为初值加组距)/*** 计算平均数** @param array* @return*/public static double getAverage(double[] array) {double sum = 0;if (array != null && array.length > 0) {int num = array.length;for (int i = 0; i < num; i++) {sum += array[i];}return (double) (sum / num);} else {return 0d;}}/*** 计算标准差** @param array* @param average* @return*/public static double getStandardDevition(double[] array, double average) {double sum = 0;if (array != null && array.length > 0) {int num = array.length;for (int i = 0; i < num; i++) {sum += Math.sqrt(((double) array[i] - average) * (array[i] - average));}return (sum / (num - 1));} else {return 0d;}}/*** 计算正态值** @param randomNumber* @param average* @param standardDevition* @return*/public static double getNormality(double randomNumber, double average, double standardDevition) {double y = (randomNumber - average) / standardDevition;double coefficient = 1 / (Math.sqrt(2 * Math.PI) * standardDevition);double z = Math.exp(-0.5 * y * y) * coefficient;return z;}}/*** 对double数组进⾏降序排** @param array* @return*/public static double[] downSort(double[] array) {for (int i = 0; i < array.length - 1; i++) { // 最多做n-1趟排序for (int j = 0; j < array.length - i - 1; j++) { // 对当前⽆序区间score[0......length-i-1]进⾏排序(j的范围很关键，这个范围是在逐步缩⼩的) if (array[j] < array[j + 1]) { // 把⼩的值交换到后⾯double temp = array[j];array[j] = array[j + 1];array[j + 1] = temp;}}}return array;}/*** 返回某个区间的数出现的次数** @param array* @param ele* @return*/public static int inCounts(double[] array, BigDecimal leftEle, BigDecimal rightEle) {int count = 0;for (int i = 0; i < array.length; i++) {double ele = array[i];BigDecimal eleBd = new BigDecimal(ele + "");if ((pareTo(leftEle) == 1 || pareTo(leftEle) == 0) && pareTo(rightEle) == -1) {count++;}}return count;}。