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2018届高考数学一轮复习配餐作业76不等式证明的基本方法含解析理20170919124

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1 配餐作业(七十六) 不等式证明的基本方法

(时间：40分钟)

1．(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：

a3＋b3>a2b＋ab2；

(2)已知a，b，c都是正数，求证：a2b2＋b2c2＋c2a2a＋b＋c≥abc。

证明 (1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2。

因为a，b都是正数，

所以a＋b>0。

又因为a≠b，

所以(a－b)2>0。

于是(a＋b)(a－b)2>0，

即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，

所以a3＋b3>a2b＋ab2。

(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，

所以a2(b2＋c2)≥2a2bc。①

同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c。②

c2(a2＋b2)≥2abc2。③

①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)。

由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，

因此a2b2＋b2c2＋c2a2a＋b＋c≥abc。

2．(2016·安徽皖北联考)设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－2|，x∈R，不等式f(x)≤6的解集为M。

(1)求M；

(2)当a，b∈M时，证明：3|a＋b|≤|ab＋9|。

解析 (1)|x＋2|＋|x－2|≤6等价于 x≤－2，－2x≤6或 －2

故M＝[－3,3]。

(2)证明：当a，b∈M时，即－3≤a≤3，－3≤b≤3时，要证3|a＋b|≤|ab＋9|，即证9(a＋b)2≤(ab＋9)2。

而9(a＋b)2－(ab＋9)2＝9a2＋9b2－a2b2－81＝ 2 (b2－9)(9－a2)≤0，故3|a＋b|≤|ab＋9|。

答案 (1)[－3,3] (2)见解析

3．(2017·赣州模拟)设a、b为正实数，且1a＋1b＝22。

(1)求a2＋b2的最小值；

(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值。

解析 (1)由22＝1a＋1b≥21ab得ab≥12。

当且仅当a＝b＝22时取等号。

故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝22时取等号。

所以a2＋b2的最小值是1。

(2)由(a－b)2≥4(ab)3得1a－1b2≥4ab。

即1a＋1b2－4ab≥4ab，从而ab＋1ab≤2。

又ab＋1ab≥2，所以ab＋1ab＝2，

又a，b为正实数，所以ab＝1。

答案 (1)1 (2)1

4．(2016·湖北八校联考)已知函数f(x)＝

|x＋2|＋|x－4|－m的定义域为R。

(1)求实数m的取值范围；

(2)若m的最大值为n，当正数a，b满足4a＋5b＋13a＋2b＝n时，求4a＋7b的最小值。

解析 (1)∵函数f(x)的定义域为R，且|x＋2|＋|x－4|≥|(x＋2)－(x－4)|＝6，∴m≤6。

(2)由(1)知n＝6，利用柯西不等式求得，4a＋7b＝16(4a＋7b)·4a＋5b＋13a＋2b＝16[(a＋5b)＋(3a＋2b)]4a＋5b＋13a＋2b≥32，当且仅当a＝126，b＝526时取等号，

∴4a＋7b的最小值为32。

答案 (1)(－∞，6] (2)32

(时间：20分钟)

1．(2016·福建质检)已知函数f(x)＝|x＋1|。 3 (1)求不等式f(x)<|2x＋1|－1的解集M；

(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)－f(－b)。

解析 (1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1<－2x－2，解得x<－1，此时原不等式的解是x<－1。

②当－1

③当x≥－12时，原不等式可化为x＋1<2x，解得x>1，

此时原不等式的解是x>1。

综上，M＝{x|x<－1或x>1}。

(2)证明：因为f(ab)＝|ab＋1|＝|(ab＋b)＋(1－b)|≥|ab＋b|－|1－b|＝|b||a＋1|－|1－b|，

又a，b∈M，所以|b|>1，|a＋1|>0。

所以f(ab)>|a＋1|－|1－b|，即f(ab)>f(a)－f(－b)。

答案 (1){x|x<－1或x>1} (2)见解析

2．(2016·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记f(x)>－1的解集为M。

(1)求M；

(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与1a的大小。

解析 (1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝ x－1，x≤0，3x－1，0

由f(x)>－1，得 x≤0，x－1>－1

或 0－1或 x≥12，－x＋1>－1，

解得0

故M＝{x|0

(2)由(1)知0

因为a2－a＋1－1a＝a3－a2＋a－1a

＝a－1a2＋1a， 4 当0

所以a2－a＋1<1a，

当a＝1时，a－1a2＋1a＝0，

所以a2－a＋1＝1a，

当10，

所以a2－a＋1>1a，

综上所述：当0

当a＝1时，a2－a＋1＝1a，

当11a。

答案 (1){x|0

(2)当0

当a＝1时，a2－a＋1＝1a，

当11a

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小初高试卷教案类

K12小学初中高中 配餐作业(七十五) 绝对值不等式

(时间：40分钟)

1．(2017·沈阳模拟)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|。

(1)解不等式f(x)>0；

(2)若f(x)＋3|x－4|>m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围。

解析 (1)当x≥4时，f(x)＝2x＋1－(x－4)＝x＋5>0，得x>－5，所以x≥4。

当－12≤x<4时，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－3>0，得x>1，所以1

当x<－12时，f(x)＝－2x－1＋x－4＝－x－5>0，得x<－5，

所以x<－5。

综上，原不等式的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞)。

(2)f(x)＋3|x－4|＝|2x＋1|＋2|x－4|≥|2x＋1－(2x－8)|＝9，

当－12≤x≤4时等号成立，

所以m<9，即m的取值范围为(－∞，9)。

答案 (1)(－∞，－5)∪(1，＋∞) (2)(－∞，9)

2．(2016·南昌一模)设函数f(x)＝x－2＋11－x的最大值为M。

(1)求实数M的值；

(2)求关于x的不等式|x－2|＋|x＋22|≤M的解集。

解析 (1)f(x)＝x－2＋11－x≤

2x－＋－x2＝32，当且仅当x＝132时等号成立。故函数f(x)的最大值M＝32。

(2)由(1)知M＝32。由绝对值三角不等式可得|x－2|＋|x＋22|≥||x－2－x＋22＝32，

所以不等式|x－2|＋|x＋22|≤32的解集就是方程|x－2|＋|x＋22|＝32的解，由绝对值的几何意义得，当且仅当－22≤x≤2时，|x－2|＋|x＋22|＝32，

所以不等式|x－2|＋|x＋22|≤M的解集为

{x|－22≤x≤2}。

答案 (1)32 (2){x|－22≤x≤2}

3．(2017·南宁模拟)已知函数f(x)＝|x－a|。

(1)若f(x)≤m的解集为[－1,5]，求实数a，m的值； 小初高试卷教案类

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(时间：40分钟)

一、选择题

1．(2017·丹东模拟)若f(x)＝lnxx，e

A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)

C．f(a)1

解析 因为f′(x)＝1－lnxx2，当x>e时，f′(x)<0，f(x)是减函数，又因为ef(b)。故选A。

答案 A

2．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a

A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)

C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)

解析 因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，

所以fxx′＝xfx－fxx2≤－2fxx2≤0。

则函数fxx在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0

则faa≥fbb，即af(b)≤bf(a)。故选A。

答案 A

3．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为(

)

A．(－∞，－1)∪(0,1)

B．(－1,0)∪(1，＋∞)

C．(－2，－1)∪(1,2)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析 当x∈(－∞，－1)和x∈(1，＋∞)时，f(x)是增函数，所以f′(x)>0，由推荐精选K12资料

推荐精选K12资料 x·f′(x)<0，得x<0，所以x<－1。

当x∈(－1,1)时，f(x)是减函数，所以f′(x)<0。

由x·f′(x)<0，得x>0，所以0

故x·f′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)。故选A。

答案 A

4．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，0) B．(－∞，4]

C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)

解析 2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋3x，

设h(x)＝2lnx＋x＋3x(x>0)，则h′(x)＝x＋x－x2。

2018届高考数学一轮复习配餐作业38基本不等式(含解析)理

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1 配餐作业(三十八) 基本不等式

(时间：40分钟)

一、选择题

1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是( )

A．a2＋b2 B．2ab

C．2ab D．a＋b

解析 只需比较a2＋b2与a＋b。由于a，b∈(0,1)，

∴a2

答案 D

2．下列命题中正确的是( )

A．函数y＝x＋1x的最小值为2

B．函数y＝x2＋3x2＋2的最小值为2

C．函数y＝2－3x－4x(x>0)的最小值为2－43

D．函数y＝2－3x－4x(x>0)的最大值为2－43

解析 y＝x＋1x的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，y≥2，当x<0时，y≤－2，无最小值，故A项不正确；

y＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1时取等号，

∵x2＋2≥ 2，∴取不到“＝”，故B项不正确；

∵x>0时，3x＋4x≥23x·4x＝43，

当且仅当3x＝4x，即x＝233时取“＝”，

∴y＝2－3x＋4x有最大值2－43，故C项不正确，D项正确。

答案 D

3．若0

)

A.916 B.94 2 C．2 D.98

解析 ∵00，∴y＝x(3－2x)＝12×2x(3－2x)≤122x＋3－2x22＝98

当且仅当x＝34时取等号，∴y＝x(3－2x)的最大值是98。故选D。

答案 D

4．设x>0，y>0，且2x＋y＝6，则9x＋3y有( )

A．最大值27 B．最小值27

C．最大值54 D．最小值54

解析 因为x>0，y>0，且2x＋y＝6，

所以9x＋3y≥2 9x·3y＝2 32x＋y＝236＝54，当且仅当x＝32，y＝3时，9x＋3y有最小值54。故选D。

答案 D

5．若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( )

A．6＋23 B．7＋23

C．6＋43 D．7＋43

解析 log4(3a＋4b)＝log2ab，

2018届高考数学大一轮复习 不等式选讲 第二节 不等式证明的基本方法教师用书 理 选修4-5

2018届高考数学大一轮复习 不等式选讲 第二节 不等式证明的基本方法教师用书 理 选修4-5

第二节 不等式证明的基本方法

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求 真题举例 命题角度

了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法。 2016，全国卷Ⅱ，24,10分(比较法证明不等式)

2015，全国卷Ⅱ，24,10分(分析法、综合法证明不等式)

2014，全国卷Ⅰ，24,10分(放缩法、反证法证明不等式)

本部分主要考查比较法、综合法、分析法证明不等式，往往应用完全平方式、基本不等式等知识点，有时与函数、数列相结合。

微知识

小题练

自|主|排|查

1．比较法

作差比较法与作商比较法的基本原理：

(1)作差法：a－b>0⇔a>b。

(2)作商法：ab>1⇔a>b(a>0，b>0)。

2．综合法与分析法

(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法。

(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立。这是一种执果索因的思考和证明方法。

3．反证法

先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法。

4．放缩法

证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法。

5．柯西不等式

设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立。 微点提醒

1．作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系。

2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立。