概率总复习一(09-06 )
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第一章
内容提要
随机事件的概率、条件概率及其有关性质，注意条件概率具有概率的性质。重点：掌握乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式，应用贝努里试验概型计算概率。
例1．一次数学考试中，有一道选择题填空题，共有三个供选择的答案，（每题对应一个答案），某考生判断不清，他只好随机的选择，是问他至少填对一道题的概率是多少？
解 设Ai表示该考生答对第i道题，i =1，2，3，则
该考生至少填对一道题的事件为：123AAA
3123iij123i=11ij3(AAA)(A)(AA)(AAA)PPPP
例2．某学生一次给n位同学每人了一封信，他把写好的n封信随机的塞进已写好地址，姓名的几个信封中，求出至少有一封信的信纸与信封是配对的概率，及没有一封信的信纸与信封配对的概率。
解 设Ai表示第i封信的信纸与信封配对，i =1，2，…，n，则
至少有一封信的信纸与信封是配对的事件为：nii1A
nnn1iiij12ni=11ijni1(A)(A)(AA)(1)(AAA)PPPP
例3． 已知甲、乙两箱中装有同样产品，其中甲箱中装有三件合格品，三件次品；乙箱中仅有3件合格品，从甲箱中任取三件放入乙箱后。试求
（1） 乙箱中次品数X的分布律
（2） 从乙箱中随机的取一件产品，它是次品的概率为多少？
例4（07年7月考题） 设有甲，乙两个相同口袋，甲袋中有4个红球，3个白球，乙袋中有3个红球，2个白球.先从两口袋中任取一袋；然后再从该口袋中不放回地任取一球，共取二球.（1）已知第一次取的球是红球，求该红球来自甲袋的概率；（2）求第二次取出的是红球的概率.
例5 在一道答案有4种选择的单项选择题测验中，若一个学生不知道题目的正确答案，他就从4个答案中任选1个。己知有80%的学生知道正确答案，现在某个学生答对了此题，问他确实知道正确答案的概率为多少？
例6 某工厂有四种机床：车床、钻床、磨床和刨床，其台数之比为9:3:2:1，而在一定时间内需要修理的台数之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？
例7*． 自动包装机把白色的和淡黄色地乒乓球混合装入盒子中，每盒10只，已知每盒内装有的白球个数是等可能的。 为检验某一盒子内装有的白球数，从盒子中任取一球，发现是白球，求该盒子中装的全是白球的概率？
例8． 某厂卡车运送防“非典”用品下乡， 顶层装 10个纸箱，其中5箱民用口罩，2箱医用口罩，3箱消毒棉花，到达目的地发现丢失一箱，不知丢失的那一箱，从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率。
第二章
重点：
1．清楚分布函数的定义，性质。 离散型的分布律的性质；连续型的分布密度函数的性质。
2．熟练掌握常用分布：（1）离散型（两点分布，二项分布，泊松分布，及其它），（2）连续型（均匀分布，指数分布，正态分布）
3．掌握随机变量函数的分布（概念要清楚）
例1． (教材p83,17题)设连续型随机变量X的分布函数为 200()0111xFxkxxx
（1）求系数k，（2）(0.250.75)PX，（3）X的密度函数
（4）Y表示四次独立试验中X的取值恰好在(0.25, 0.75）内的次数，写出Y得分布律，并求四次独立试验中恰好有三次X的取值在(0.25, 0.75）内的概率，以及()EY. （5）独立的试验多少次才能使得至少一次X的取值恰好在(0.25, 0.75）内的概率大于0.9？
*例2. 甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，且产量相等，它们产品的某种物质的含量（单位:mg）分别为,,XYZ，，2~(50,5)XN，2~(55,5)YN ，2~(60,10)ZN
（1）. 从三个厂生产的产品中任取一件,求这件产品某种物质的含量大于55mg的概率.
(2). 从三个厂生产的产品中独立的取两件, 求这两件产品中至少有一件某种物质的含量大于55mg.
第三章
重点:
1. 二维随机变量联合分布函数, 边缘分布函数, 及相关的性质, 关系.
2. 两个随机变量的相互独立性的定义, 判断, 条件分布的求法及应注意的问题.
3. 两个随机变量的函数的分布,其中和的分布，线性函数的分布可以用密度函数公式；或直接用定义求分布函数，然后再求导函数。其它随机变量函数的分布一般用定义先求分布函数再求密度函数(另，一些可加性的结果：二项分布的可加性, 泊松分布的可加性,正态分布的可加性, 2的可加性).
例1．例1．设连续型随机变量(,)XY在
(,)01,Dxyxyx
内服从均匀分，求
（1）X与Y的边缘分布及条件分布，X与Y是否相互独立？
（2）求2()PYX， X与Y中至少有个小于0.5的概率。
（3）求XY；XY；YX的分布密度函数
例2．A 、B为二个随机事件，1()4PA，1(|)3PBA
1(|)2PAB 1,0,AXA，1,,0,.BYB
求随机变(X,Y) 的联合分布列
例3．设X与Y相互独立且同分布,且X的分布律为:
1(),1,12PXii
(1).求ZXY的分布.
(2). 证明: ,,XYZ两两相互独立, 但三个并不相互独立.
例4．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停
两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的，甲船停泊的时间需2小时，乙船停泊的时间需3小时，两船起航后都不再返回该码头。求它们中任意船都不需等候码头空出的概率。
第四章
重点:
随机变量的数学期望, 函数的数学期望的定义、性质、常见随机变量的数学期望（记住）
方差、协方差、相关系数的定义、计算、性质等。常见随机变量的方差、协方差、相关系数等（方差、协方差事实上都是函数的数学期望）。 X , Y 不相关
注 ()()()2cov(,)DXYDXDYXY
0XY X Y 不相关
cov(,)0XY
()()()EXYEXEY
()()()DXYDXDY
X , Y 相互独立 X , Y 不相关，反之不然；
当 221122(,)~(,,,,)XYN
X , Y 相互独立 X , Y 不相关
例1．（1）211~(,)XN，222~(,)YN，并且X、Y相互独立，则，aXbYc的分布函数为：
（2）已知2211~()xxXfxe，则
()EX， ()DX
例2． 导学p242，例7）
一台仪器有三大部件组成，在运行中各部件需调整的概率分别为0.1, 0.2, 0.3, 各部件是否需要调整相互独立,以X表示需调整的部件数, 写出X的分布律, 并求EX，DX
例3．一个系统由两个子系统组成, 工作中仅有一个系统发生故障,系统仍能工作. 两个子系统的工作寿命都服从参数为的指数分布, 并相互独立。求系统工作寿命的数学期望与方差。 例4． 两个独立的随机变量,XY都服从标准正态分布，则
1.02APXY， 1.12BPXY
1.02CPXY 1.12DPXY
例5．设 (,)~(1,4,1,4,1)XYN
2UXY， 2VXY，
求DU，DV
例7设二维随机变量(,)XY在(,),1Gxyxy内服从均匀分布，问X，Y是否相互独立，是否不相关，为什么？
例6．设X 在（-1，1）上服从均匀分布，求X与 nX的相关系数
例 设随机变量X 的概率密度函数为
||1(),2xfxex
(1) E(| X |), D(| X |)
(2) 求cov( X ,| X |), 问X 与| X |是否不相关.
(3) 问X 与| X | 是否独立？为什么？
