高考数学不等式的解法

高考数学中常规的不等式证明思路及技巧数学是高考中必不可少的一门科目，而数学中的不等式证明题目更是高考难点之一。

不等式证明题目考察的是学生的推理能力、逻辑思维能力和精准计算能力。

本文将介绍常见的不等式证明思路及技巧，以帮助高中生更好地应对高考数学中的不等式证明题目。

一、利用已知条件推出结论在不等式证明题目中，往往会给出一些已知条件，利用这些条件我们可以推出某个结论，从而间接证明不等式的正确性。

在做题时，我们应该把题目中的已知条件先作出标注，理清思路后再进行推导。

例如：给定实数 $x$，$y$，$z$，满足 $x^2+y^2+z^2=1$，求证：$x+y+z\leq \sqrt{3}$。

解析：首先，我们可以根据均值不等式得出 $x+y+z\leq\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$。

接下来，根据题目中的条件$x^2+y^2+z^2=1$，我们可以将被开方量化简为 $\sqrt{3}$，从而得到 $x+y+z\leq \sqrt{3}$。

因此，我们成功地证明了该不等式的正确性。

二、借助已知不等式证明目标不等式借助已知不等式间接证明目标不等式的正确性是不等式证明中最常用的方法之一。

这种方法需要对不等式理解深入，需要对不等式的性质有全面认知。

可以通过加、减、乘、除等运算方式进行变形，或者通过引理证明的方式来证明目标不等式的正确性。

例如：已知 $ab+bc+ca=1$，证明$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\geq\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$。

解析：首先，我们可以通过柯西不等式将原不等式中的多项式化成分数进行求解。

具体而言，我们有：$$\begin{aligned}&\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\\ &\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{a+ab^2+b+b^2c+c+c^2a+a^2}\\ &\geq\dfrac{3}{\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+1}\\ &\geq\dfrac{3}{\sqrt[4]{\dfrac{abc}{abc}}+1}\\ &=\dfrac{3}{2}\end{aligned}$$由此，我们可以通过制定合适的策略，借助已知不等式成功证明了目标不等式的正确性。

开篇语：不等式恒成立问题在高中数学是一类重点题型，高考也是必考内容。

由于不等式问题题型众多，题目也比较灵活。

所以在学习过程中，同学们要学会总结各种解题方法！方法一：分离参数法解析：分离参数法适用的题型特征：当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min方法二：变换主元法(也可称一次函数型)解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，则可简便解题。

适用于变换主元法的题型特征是：题目有两个变量，且已知取值范围的变量只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解。

方法三：二次函数法解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析 1，判断二次函数的开口方向2，二次函数的判别式是大于0还是小于03，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性 方法四：判别式法解析：不等式一边是分式，且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，利用判别式法可以快速的解题，分离参数将会使解题变得复杂。

方法五：最值法解析：不等式两边是两个函数，且含有参数时，我们可以分出出参数，构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。

总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。

平时练习过程中，应注意观察，总结！。

专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一 简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二 含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-； 由于()221a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a≤≤-； 当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞； 当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三 函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（ ）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<， 所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】 集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭， 则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】 由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =， 不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6）， 则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <． 即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞， 【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ， 由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或 故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤， 由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =， 当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5， 当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜， 综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥， 则()1215f a a -=--， 因为()13f a -<，所以2153a --<， 即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-． 综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ， 由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+． （2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ． （3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。

高考数学总复习 不等式的解法1.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.2.高次不等式的解法：序轴标根法：化正、求根、标根、穿根（注意奇穿偶回）、写集（注意端点值能否取到）。

3．分式不等式的一般解题思路是：移项、通分、穿根。

4.含有绝对值的不等式当a> 0时，有 22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.5.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩（22()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩ （32()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. 6.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩7． 在解含有参数的不等式时，应进行讨论。

高中数学不等式解法归纳不等式轮换对称法与地位等价法大家好，今天我就为大家介绍一下基本不等式求最值的重要的方法：轮换对称法也可称为地位等价法。

让我们看一下第一个问题。

这道题一共有4种不同的解法。

今天我会告诉同学们两种方法。

第一种方法就是大家常规用的方法：直接不等式法。

第二种方法就是我们今天的重磅秒杀解题技巧：轮换对称法(地位等价法)通过常规解题与技巧解题对比，来体验一下轮换对称法的真正魅力!从上面这个等式变下来，很多同学让你自己来想象构造，能想明白的同学微乎其微，所以这常规解是有一定的难度的。

那接下来我们来讲技巧大招：轮换对称法(地位等价法)，它不但适合基本不等式求最值，还适合有些三角函数问题，以及有些向量问题。

但是我要给同学们讲的是：它是有一定的局限性，不是所有不等式求最值都能搞定的，但是只要题目满足2个要求，它就能做到秒杀。

实事实是的讲，我们上次讲的差值法比这轮换对称法要广泛很多，对于这种题型是可遇不可求的。

那么，有同学就问了，有没有能搞定大部分不等式求最值的方法?答案是肯定的，那么，绝招肯定是要留到正课里的，你懂的。

但是，今天讲这种方法是可以快速解决掉这方面的高考真题。

那么它要满足的2个需求是：确认对称：①.“平方和式”与“和式”的系数必须成比例②.不用管乘积项系数(成绩项系数可凑)为方便大家理解，请看下图：大家可以看出，这样一写，和式系数与和乘积项系数成比例条件是成立的，那就我们就可以x=2y，不信是不是?那么大家可以将x=2y，y=x/2代入原等式，可以看出题干没有任何变化，那么就相当于X与2y等价!可以看下图：那么，将x=2y代入，只剩未知数y，解出y和x即可算出答案。

看一看，是不是可以10秒出答案!!!好，我们再看第二题来验证下技巧：大家看好，通过变化，和式系数、乘积项系数、平方和式系数成比例条件是不是成立了，那么大家可以将x=y/2，y=2x代入原等式，也可以看出题干没有任何变化, 那就相当于2x与y等价。

不等式解题漫谈一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1b等价。

此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。

如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1x)>1.分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a,1x 同号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0<a<1时，原不等式等价于 0<1- 1x <a,∴1-a<1x <1, ∵0<a<1，∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1<x<11-a;综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0<a<1时，x ∈(1,11-a).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。

二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。

这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。

当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线；当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。

如：若1<1a <1b,则下列结论中不正确的是（ ）A 、log a b>log b aB 、| log a b+log b a|>2C 、(log b a)2<1D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a|分析：由已知，得0<b<a<1,∴a,b 同号，故|log a b|+|log b a|=|log a b+log b a|，∴D 错。

高考数学总复习考点知识与题型专题讲解不等式的解法【考纲要求】1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图，3.掌握一次不等式、分式不等式、高次、指对不等式等的解法，4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。

【知识网络】一元二次不等式解法不等式的解法一次、分式、高次、指对等不等式函数不等式解法【考点梳理】要点一、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2+bx+c>0 (或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)，图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解.而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标.求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集.设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅要点诠释：一元二次不等式的步骤：（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：2A ax bx c =++(0)a >（2）计算判别式∆，分析不等式的解的情况：①0∆>时，求根12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）写出解集.要点二、高次不等式的解法高次不等式：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-xn)>0（其中x1, x2, ……,xn 是互不相等的实常数）叫做一元n 次不等式(n ∈N).要点诠释：作出相应函数的图象草图.具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x 轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x 轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）.然后根据图象草图，写出满足不等式的解集.要点三、无理不等式的解法无理不等式:如果函数f(x)是关于x 的无理式，那么f(x)>0或f(x)<0，叫做无理不等式.要点诠释：(1))(x f >)(x g ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)()(0)(0)(x g x f x g x f ⇔⎩⎨⎧>≥)()(0)(x g x f x g(2))(x f >g(x) ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)()(0)(0)(2x g x f x g x f 或 ⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f ⇔⎩⎨⎧>≥)()(0)(2x g x f x g 或⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f (3))(x f <g(x) ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥)()(0)(0)(2x g x f x g x f 要点四、指对不等式的解法解法指导：化超越不等式为代数不等式，依据是指数函数和对数函数的单调性. 要点诠释：(1))()(x g x f a a >(a>0,a ≠1).当0<a<1时，f(x)<g(x); 当a>1时，f(x)>g(x). (2)m ·(a x )2+n ·(a x )+k>0.令a x =t(t>0)，转化为mt 2+nt+k>0，先求t 的取值范围，再确定x 的集合.(3)log a f(x)>log a g(x) (a>0, a ≠1).当0<a<1时，⎩⎨⎧<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<>>)()(0)()()(0)(0)(x g x f x f x g x f x g x f当a>1时，⎩⎨⎧>>⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>>)()(0)()()(0)(0)(x g x f x g x g x f x g x f(4) 0)(log ))((log 2>+⋅+⋅k x f n x f m a a .令log a f(x)=t(t ∈R)，转化为mt 2+nt+k>0，先求t 的取值范围，再确定x 的集合.【典型例题】类型一：一元二次不等式例1. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集。

高中数学典型例题分析 第五章 不等式§5.1不等式的解法一、知识导学1. 一元一次不等式ax>b(1)当a>0时，解为a b x >；(2)当a ＜0时，解为abx <；(3)当a ＝0，b ≥0时无解；当a ＝0，b ＜0时，解为R ．2. 一元二次不等式：(如下表)其中a ＞0，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两实根，且12 类型 解集 ax 2+bx+c ＞0ax 2+bx+c≥0ax 2+bx+c ＜0ax 2+bx+c≤0Δ＞0{x ｜x ＜x 1或x ＞x 2} {x ｜x≤x 1或x≥x 2} {x ｜x 1＜x ＜x 2} ｛x ｜x 1≤x≤x 2｝ Δ＝0{x ｜x≠-ab 2，x ∈R }R Ф ｛x ｜x=-ab 2｝ Δ＜0RRΦΦ3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是： ①将f(x)的最高次项的系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； ④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集. 4.分式不等式：先整理成)()(x g x f ＞0或)()(x g x f ≥0的形式，转化为整式不等式求解，即：)()(x g x f ＞0⇔f(x)·g(x)＞0 )()(x g x f ≥0⇔0)x (g )x (f 0)x (g 0)x (f ＞或⋅⎩⎨⎧≠=然后用“根轴法”或化为不等式组求解.二、疑难知识导析1.不等式解法的基本思路解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解—注意分类. 三、经典例题导讲[例1] 如果kx 2+2kx －(k+2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿. A. －1≤k ≤0 B. －1≤k<0 C. －1<k ≤0 D. －1<k<0错解：由题意：⎩⎨⎧<+-⋅-<0)]2([4)2(02k k k k 解得：－1<k<0错因：将kx 2+2kx －(k+2)<0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k ＝0的情况. 正解：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，∴ k ＝0符合题意. 当k ≠0时，由题意：⎩⎨⎧<+-⋅-<0)]2([4)2(02k k k k解得：－1<k<0∴ 01≤<-k ，故选C.[例2] 命题:1A x -＜3，命题:(2)()B x x a ++＜0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿A.(4,)+∞B.[)4,+∞C.(,4)-∞-D.(],4-∞- 错解：由｜x －1｜＜3得：－2＜x ＜4， 又由（x ＋2）(x ＋a)=0得x=－2或x ＝－a,A 是B 的充分不必要条件,∴{x|－2＜x ＜4}⊂{x|－2＜x ＜－a } ∴－a>4故选D.错因：忽略了a ＝－4时，{x|－2＜x ＜4}＝{x|－2＜x ＜－a }，此时A 是B 的充要条件，不是充分不必要条件.正解：由｜x －1｜＜3得：－2＜x ＜4， 又由（x ＋2）(x ＋a)=0得x=－2或x ＝－a,A 是B 的充分不必要条件,∴{x|－2＜x ＜4}⊂{x|－2＜x ＜－a } ∴－a>4故选C.[例3]已知f(x) = a x + x b，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围.错解： 由条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303ba b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32338-≤≤-b ④ ③+④得 .343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的.当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.正解： 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f b a f ,解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f b f f a -=-=).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .337)3(316≤≤f[例4] 解不等式（x+2）2(x+3)(x －2)0≥ 错解： （x+2）20≥∴原不等式可化为：(x+3)(x －2)0≥∴原不等式的解集为｛x| x ≤ －3或x 2≥｝错因:忽视了“≥”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.正解：原不等式可化为：（x+2）2(x+3)(x －2)0= ①或（x+2）2(x+3)(x －2)0>②，解①得：x=－3或x ＝－2或x ＝2 解②得：x ＜ －3或x ＞2∴原不等式的解集为｛x| x ≤ －3或x 2≥或x 2-=｝[例5] 解关于x 的不等式)()(ab x b ab x a +>- 解：将原不等式展开，整理得：)()(b a ab x b a +>-讨论：当b a >时，ba b a ab x -+>)(当b a =时，若b a =≥0时φ∈x ；若b a =<0时R x ∈ 当b a <时，ba b a ab x -+<)(点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.[例6]关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集． 解：由题设知 0<a ，且21,2=-=x x 是方程02=++c bx ax 的两根 ∴25-=-a b ， 1=ac从而 02>+-c bx ax 可以变形为02<+-acx a b x 即：01252<+-x x ∴221<<x 点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想在解题中的简单应用.[例7]（06年高考江苏卷）不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 解：∵3)61(log 2≤++x x ，∴0＜168x x ++≤，∴ 12160x x x x ⎧+≤⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<--=<0x 2232231,0或或x x x解得{}(322,322)1x ∈---+⋃反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等. 四、典型习题导练1.解不等式0322322<--+-x x x x 2. 解不等式 62323+>+x x x3.解不等式 0)2)(54(22<++--x x x x4. 解不等式 0)2)(1()1()2(32<-+-+x x x x 5.解不等式1116-<-x x 6.k 为何值时，下式恒成立：13642222<++++x x kkx x 7. 解不等式0343>---x x8. 解不等式24622+<+-x x x§5.2简单的线性规划一、知识导学1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．3. 平 移 直 线 ｙ＝－k ｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.三、经典例题导讲[例1] ．画出不等式组10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩表示的平面区域.错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩表示的平面区域.错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩表示的平面区域.[例2] 已知1≤x －y ≤2,且2≤x+y ≤4,求4x －2y 的范围. 错解：由于 1≤x －y ≤2 ①,2≤x+y ≤4 ②,①+② 得3≤2x ≤6 ③①×(－1)+② 得：0≤2y ≤3 ④. ③×2+④×(－1)得. 3≤4x －2y ≤12错因：可行域范围扩大了. 正解：线性约束条件是：⎩⎨⎧≤+≤≤≤4y x 22y -x 1令z ＝4x －2y ，画出可行域如右图所示，由⎩⎨⎧=+=2y x 1y -x 得A 点坐标（1.5，0.5）此时z ＝4×1.5－2×0.5＝5.由⎩⎨⎧=+=4y x 2y -x 得B 点坐标（3，1）此时z ＝4×3－2×1＝10.∴ 5≤4x －2y ≤10[例3] 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x ,求x 2+y 2的最值.错解：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 表示的平面区域如右图所示∆ABC 的内部（包括边界），令z= x 2+y 2由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得A 点坐标（4，1），此时z ＝x 2+y 2＝42+12＝17， 由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得B 点坐标（－1，－6），此时z ＝x 2+y 2＝（－1）2+(－6)2＝37，由⎩⎨⎧≥++≤-+01040117y x y x 得C 点坐标（－3，2），此时z ＝x 2+y 2＝（－3）2+22＝13，∴ 当⎩⎨⎧-=-=61y x 时x 2+y 2取得最大值37，当⎩⎨⎧=-=23y x 时x 2+y 2取得最小值13.错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A 、B 、C 到原点的距离的平方的最值.正解：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 表示的平面区域如图所示∆ABC 的内部（包括边界），令z= x 2+y 2,则z 即为点（x ，y ）到原点的距离的平方.由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得A 点坐标（4，1），此时z ＝x 2+y 2＝42+12＝17， 由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得B 点坐标（－1，－6），此时z ＝x 2+y 2＝（－1）2+(－6)2＝37， 由⎩⎨⎧≥++≤-+01040117y x y x 得C 点坐标（－3，2），此时z ＝x 2+y 2＝（－3）2+22＝13， 而在原点处，⎩⎨⎧==00y x ，此时z ＝x 2+y 2＝02+02＝0，∴ 当⎩⎨⎧-=-=61y x 时x 2+y 2取得最大值37，当⎩⎨⎧==00y x 时x 2+y 2取得最小值0.[例4]某家具厂有方木料90m 3，五合板600m 2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3，五合板2m 2，生产每个书橱需要方木料0.2m 3，五合板1m 2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？ 分析： 数据分析列表设生产书桌x 张，书橱y 张，利润z 元，则约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≤+≤+N y N x 600y 2x 902.01.0y x目标函数z=80x+120y作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A （100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为z max =80×100+400×120=56000(元)若只生产书桌，得0<x ≤300，即最多生产300张书桌，利润为z=80×300=24000（元）若只生产书橱，得0<y ≤450，即最多生产450张书橱，利润为z=120×450=54000（元） 答：略[例5]某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：2，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？解：设需要截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z m 2，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+≥+≥+Ny x y x y x y x ,27315212目标函数z=x+2y作出可行域如图作一组平行直线x+2y=t ，由⎩⎨⎧=+=+27312y x y x可得交点⎪⎭⎫⎝⎛215,29，但点⎪⎭⎫⎝⎛215,29不是可行域内的整点，其附近的整点（4，8）或（6，7）可都使z 有最小值，且z min =4+2×8=20 或z min =6+2×7=20若只截第一种钢板，由上可知x ≥27，所用钢板面积最少为z=27(m 2);若只截第二种钢板，则y ≥15，最少需要钢板面积z=2×15=30(m 2).它们都比z min 大，因此都不行. 答：略[例6]设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值.解：由引例可知：直线0l 与AC 所在直线平行，则由引例的解题过程知，当l 与AC 所在直线35250x y +-=重合时z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个， 当l 经过点(1,1)B 时，对应z 最小，∴max 61050z x y =+=，min 6110116z =⨯+⨯=．说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2．线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.四、典型习题导练1．画出不等式－x +2y －4＜0表示的平面区域.2．画出不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≥-≥-+53006x y y x y x 表示的平面区域3.求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x4.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？5.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一x+2y=0张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？6．（06年高考广东）在约束条件0,0,,2 4.xyy x sy x≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s≤≤时，目标函数32z x y=+的最大值的变化范围是A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]§5.3 基本不等式的证明一、知识导学1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0⇔ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0⇔ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.(2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R+，ａ/ｂ≥1⇔ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1⇔ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法.2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ.3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元.二、疑难知识导析1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向.2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用. 三、经典例题导讲[例1] 已知a>b(ab 0≠),比较a 1与b 1的大小. 错解： a>b(ab 0≠)，∴a 1<b1.错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正解：aba b b a -=-11，又 a>b(ab 0≠)， (1)当a 、b 同号时，即a>b>0或b<a<0时，则ab>0,b －a<0, 0<-ab a b ,∴a 1<b1. (2)当a 、b 异号时，则a>0,b<0,a 1>0,b 1<0∴a 1>b1. [例2] 当a 、b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（ ）A.2b a +B.abC.222b a + D.111)2(---+b a错解：所以选B.错因是由于在2b a +、ab 、222b a +中很容易确定ab 最小，所以易误选B.而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可遗漏111)2(---+b a 与前三者的大小比较. 正解：由均值不等式≥+2ba ab 及a 2+b 2≥2ab,可知选项A 、B 、C 中，ab 最小，而111)2(---+b a ＝ba ab +2，由当a ≠b 时，a+b>2ab ,两端同乘以ab ，可得（a+b ）·ab＞2ab,∴ba ab+2＜ab ，因此选D. [例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a)2+(b+ 1b)2的最小值.错解: (a+a 1)2+(b+b 1)2=a 2+b 2+21a +21b+4≥2ab+ab 2+4≥4ab ab 1•+4=8,∴(a+a 1)2+(b+b1)2的最小值是8. 错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=21,第二次等号成立的条件是ab=ab1，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.正解：原式= a 2+b 2+21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +21b )+4=[(a+b)2－2ab]+[(a 1+b 1)2－ab 2]+4= (1－2ab)(1+221ba )+4，由ab ≤(2b a +)2=41 得：1－2ab ≥1－21=21, 且221b a ≥16，1+221b a ≥17，∴原式≥21×17+4=225 (当且仅当a=b=21时，等号成立)，∴(a + a 1)2 + (b + b1)2的最小值是252 .[例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小.解法一：[][])1(log )1(log )1(log )1(log |)1(log | |)1(log |22x x x x x x a a a a a a +---+-=+--xxx aa +--=11log )1(log 2∵0 < 1 - x 2< 1, 1110<+-<x x ∴011log )1(log 2>+--xx x a a∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 解法二：2111111log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log xxx x x x x x x x x a a -+=-=--=-=+-++++ )1(log 121x x --=+∵0 < 1 - x 2< 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log 21>--+x x∴1)1(log 121>--+x x ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-解法三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2,∴0)1(log ,0)1(log <+>-x x a a∴左 - 右 = )1(log )1(log )1(log 2x x x a a a -=++- ∵0 < 1 - x 2< 1, 且0 < a < 1 ∴0)1(log 2>-x a∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-[例5]已知x 2= a 2+ b 2，y 2= c 2+ d 2，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd证：证法一（分析法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数 ∴要证：xy ≥ac + bd只需证：(xy )2≥(ac + bd )2即：(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)≥a 2c 2 + b 2d 2+ 2abcd展开得：a 2c 2 + b 2d 2 + a 2d 2 + b 2c 2≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd即：a 2d 2 + b 2c 2≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy ≥ac + bd证法二（综合法）xy =222222222222d b d a c b c a d c b a +++=++≥bd ac bd ac db abcdc a +=+=++22222)(2证法三（三角代换法）∵x 2 = a 2 + b 2，∴不妨设a = x sin α, b = x cos αy 2 = c 2 + d 2 c = y sin β, d = y cos β∴ac + bd = xy sin αsin β + xy cos αcos β = xy cos(α - β)≤xy [例6] 已知x > 0，求证： 25111≥+++xx xx 证：构造函数)0(1)(>+=x x x x f 则21≥+xx ， 设2≤α<β由αβ-αββ-α=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛β-α+β-α=β+β-α+α=β-α)1)((11)()1(1)()(f f 显然 ∵2≤α<β ∴α - β > 0, αβ - 1 > 0, αβ > 0 ∴上式 > 0 ∴f (x )在),2[+∞上单调递增，∴左边25)2(=≥f 四、典型习题导练1.比较（a +3）(a －5)与（a +2）（a -4）的大小.2.已知a ,b ,c ,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：22311+≥+y x 4.若122≤+y x ，求证：2|2|22≤-+y xy x5.若x > 1，y > 1，求证：)1)(1(1--+≥y x xy6．证明：若a > 0，则212122-+≥-+a a aa §5.4不等式的应用一、基础知识导学1.利用均值不等式求最值：如果a 1，a 2∈R +，那么ab ba ≥+2. 2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式. 3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值. 二、疑难知识导析不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数)])(()[(,,2bx d ax c x b a k y x bax y x b ax y --+=+=+=”为模型的新的形式. 三 经典例题导讲[例1]求y=4522++x x 的最小值.错解： y=414241445222222+⋅+≥+++=++x x x x x x ＝2∴ y 的最小值为2.错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可. 正解：令t=42+x ,则t 2≥,于是y=)2(,1≤+t tt 由于当t 1≥时，y=tt 1+是递增的，故当t ＝2即x=0时，y 取最小值25.[例2]m 为何值时，方程x 2+(2m+1)x+m 2－3=0有两个正根. 错解：由根与系数的关系得3030122-<⇒⎩⎨⎧>-<+m m m ，因此当3-<m 时，原方程有两个正根.错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.正解：由题意：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-<-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<+≥--+=∆3m 321413030120)3(4)12(222或m m m m m m m ,3m 413-≤≤-⇒因此当3m 413-≤≤-时，原方程有两个正根. [例3]若正数x ，y 满足365y 6x =+，求xy 的最大值． 解：由于x ，y 为正数，则6x ，5y 也是正数，所以xy y x x 3056256=⋅≥+ 当且仅当6x=5y 时，取“=”号． 因365y 6x =+，则23630≤xy ，即554≤xy ，所以xy 的最大值为554. [例4] 已知：长方体的全面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S 是定值．因此最大值一定要用S 来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y ，其长、宽、高分别为a ，b ，c ，则y=abc ．由于a+b+c 不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y 2的最大值，这样y 的最大值也就可以求出来了．解：设长方体的体积为y ，长、宽、高分别是为a ，b ，c ，则 y=abc ，2ab+2bc+2ac=S ． 而 y 2=（abc ）2=（ab ）（bc ）（ac ）当且仅当ab=bc=ac ，即a=b=c 时，上式取“=”号，y 2有最小值答：长方体的长、宽、高都等于66s 时体积的最大值为366s s . 说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.四、典型习题导练1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.3.在四面体P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为m ，求这个四面体体积的最大值．4. 设函数f(x)=ax 2+bx+c 的图象与两直线y=x ，y=-x ，均不相 交，试证明对一切∈x R 都有||41||2a c bx ax >++. 5．青工小李需制作一批容积为V 的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？5.5 推理与证明一、基础知识导学1. 推理一般包括合情推理和演绎推理.2. 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.3.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.4.归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.5.类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.6.类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.7.演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.8.直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.9.分析法：从原因推导到结果的思维方法.10.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.11.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.12.应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.13.数学归纳法：设｛p n｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设p k成立的前提上，推出p k＋1也成立，那么可以断定，｛p n｝对一切正整数成立.14.数学归纳法的步骤：（1）证明当（如或2等）时，结论正确；（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．二、疑难知识导析1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.三、经典例题导讲[例1] {n a}是正数组成的数列,其前n项和为n s,并且对于所有的自然数n,n a与2的等差中项等于n s与2的等比中项.(1)写出数列{n a}的前3项;(2)求数列{n a}的通项公式(写出推证过程);错解：由(1)猜想数列{n a}有通项公式n a=4n-2.下面用数学归纳法证明数列{n a}的通项公式是。

高考数学如何解决复杂的不等式问题高考数学中，不等式问题一直是考试中的难点之一。

解决复杂的不等式问题需要灵活运用不等式的性质以及各种解不等式的方法。

本文将介绍解决复杂不等式问题的一些有效方法与技巧，帮助考生在高考数学中更好地应对不等式题目。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式问题，形式一般为ax+b>0或ax+b<0。

解决一元一次不等式问题，可以通过下面的步骤进行：1. 化简不等式：将一元一次不等式化简为标准形式。

即将不等式左右两边移项，使得系数为正或负。

2. 约束条件：根据不等式中的约束条件，判断解的范围。

3. 解不等式：根据一元一次不等式的性质，得到不等式的解集。

二、一元二次不等式一元二次不等式是高考数学中常见的复杂不等式类型之一。

一元二次不等式的解决方法一般分为以下几种情况：1. 利用一元二次不等式的图像解题：将一元二次不等式转化为图像，通过观察图像的形状来确定解的范围和解集。

2. 利用配方法解题：对一元二次不等式进行配方法，将其化为平方形式，并利用平方的性质来解决不等式。

3. 利用根的性质解题：对一元二次不等式利用根的性质来解题。

即求出一元二次不等式的根，并根据根的位置来判断解的范围。

三、绝对值不等式绝对值不等式是数学中常见的不等式类型之一。

解决绝对值不等式问题，可以按照以下步骤进行：1. 分情况讨论：将绝对值不等式进行分情况讨论，根据绝对值的定义来确定绝对值的取值范围。

2. 解不等式：将不等式的绝对值表达式划分为两个部分，分别求解，得到不等式的解。

四、常见的不等式定理与性质在解决复杂不等式问题时，常常需要用到一些不等式定理与性质。

以下是一些常见的不等式定理与性质：1. 线性不等式性质：对于线性不等式，若两边同乘（除）一个正数，则不等号方向不变；若两边同乘（除）一个负数，则不等号方向反向。

2. 开方不等式性质：对于开方不等式，若两边平方，则不等号方向不变。

3. 加减不等式性质：对于加减不等式，若右边加（减）一个数，则不等号方向不变。

高考数学复习考点题型专题讲解专题31 不等式高考定位 1.对不等式的性质及不等式的解法的考查一般不单独命题，常与集合、函数图象与性质相结合，也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中；2.基本不等式主要渗透在其他知识中求最值；3.题型多以选择题、填空题的形式呈现，中等难度.1.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝( )A.{x|－1<x<2}B.{x|－1≤x≤2}C.{x|x<－1}∪{x|x>2}D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案 B解析法一因为A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.所以∁R法二因为A＝{x|x2－x－2>0}，A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.所以∁R2.(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则( )A.ln(a－b)>0B.3a<3bC.a3－b3>0D.|a|>|b|答案 C解析由函数y＝ln x的图像(图略)知，当0<a－b<1时，ln(a－b)<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确.3.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则() A.x ＋y ≤1 B.x ＋y ≥－2C.x 2＋y 2≤2D.x 2＋y 2≥1答案 BC解析 因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )，由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x ＋y )2－1＝3xy ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x 2＋y 2)－1＝xy ≤x 2＋y 22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确；因为x 2＋y 2－xy ＝1可变形为⎝⎛⎭⎪⎫x －y 22＋34y 2＝1， 设x －y 2＝cos θ，32y ＝sin θ， 所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ， 因此x 2＋y 2＝cos 2θ＋53sin 2θ＋233sin θcos θ＝1＋33sin 2θ－13cos 2θ＋13＝43＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2， 所以当x ＝33，y ＝－33时满足等式， 但是x 2＋y 2≥1不成立，所以D 错误.4.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________.答案 45解析 法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2， 所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45， 当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号. 所以x 2＋y 2的最小值为45. 法二 设x 2＋y 2＝t ＞0，则x 2＝t －y 2.因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t－y2)y2＋y4＝1，所以4y4－5ty2＋1＝0. 由Δ＝25t2－16≥0，解得t≥45⎝⎛⎭⎪⎫t≤－45舍去.故x2＋y2的最小值为4 5 .热点一不等式的性质及应用不等式的常用性质(1)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(2)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd＞0.(3)a＞b＞0⇒a n＞b n，na＞nb(n∈N，n≥2).(4)a＞b，ab＞0⇒1a＜1b.例1 (1)(多选)(2022·苏州模拟)若a＞b＞0＞c，则( )A.ca＞cbB.b－ca－c＞baC.a c＞b cD.a－c＞2－bc(2)(2022·长沙模拟)已知a，b，c满足a＞b＞c，且ac＞0，则下列选项中一定能成立的是( )A.ab＞acB.c(b－a)＞0C.ab(a－c)＞0D.cb2＞ca2答案(1)ABD (2)C解析(1)由于a＞b＞0＞c，对于A：ca－cb＝c⎝⎛⎭⎪⎫1a－1b＝c⎝⎛⎭⎪⎫b－aab>0，故ca－cb＞0，∴ca＞cb，故A正确；对于B：由于a＞b＞0，所以b－ca－c＞ba，故B正确；对于C：当a＞b＞1时，a c<b c，故C错误；对于D：由于a＞b＞0＞c，所以a－c＞b－c＞2b（－c）＝2－bc，故D正确. (2)取a＝－1，b＝－2，c＝－3，则ab＝2＜ac＝3，cb2＝－12＜ca2＝－3，排除A，D；取a＝3，b＝2，c＝1，则c(b－a)＝－1＜0，排除B；因为a＞b＞c，且ac＞0，所以a，b，c同号，且a＞c，所以ab(a－c)＞0.规律方法判断关于不等式命题真假的常用方法(1)作差法、作商法.(2)利用不等式的性质推理判断.(3)利用函数的单调性.(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题.训练1 (1)(多选)(2022·广州模拟)设a，b，c为实数且a＞b，则下列不等式一定成立的是( )A.1a ＞1bB.2 023a －b ＞1C.ln a ＞ln bD.a (c 2＋1)＞b (c 2＋1)(2)设12＜a ＜1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (1－a )，p ＝log a 12a，则m ，n ，p 的大小关系是( )A.n ＞m ＞pB.m ＞p ＞nC.p ＞n ＞mD.n ＞p ＞m答案 (1)BD (2)D解析 (1)对于A ，若a ＞b ＞0，则1a ＜1b，所以A 错误； 对于B ，因为a －b ＞0，所以2 023a －b ＞1，所以B 正确；对于C ，函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误； 对于D ，因为c 2＋1＞0，所以a (c 2＋1)＞b (c 2＋1)，所以D 正确.故选BD.(2)因为12＜a ＜1， 所以a 2＋1－12a ＝2a 3＋2a －12a ＞0， 12a －(1－a )＝1－2a ＋2a 22a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋122a＞0，y ＝log a x 为减函数， 所以m ＜p ，p ＜n .可得n ＞p ＞m .热点二 不等式的解法不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )＞a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min ＞a ，x ∈I ；f (x )＜a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max ＜a ，x ∈I .(2)f (x )＞g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方.(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.例2 (1)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b ＜0的解集是( )A.(－∞，－3)∪(2，＋∞)B.(－3，2)C.(－∞，－2)∪(3，＋∞)D.(－2，3)(2)若不等式x 2－ax ≥16－3x －4a 对任意a ∈[－2，4]都成立，则x 的取值范围为() A.(－∞，－8]∪[3，＋∞)B.(－∞，0)∪[1，＋∞)C.[－8，6]D.(0，3]答案 (1)A (2)A解析 (1)由关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，得b ＝2a 且a ＜0，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b ＜0可化为x 2＋x －6＞0，即(x ＋3)(x －2)＞0，解得x ＜－3或x ＞2，所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞).(2)由题意得不等式(x －4)a －x 2－3x ＋16≤0对任意a ∈[－2，4]都成立，则⎩⎨⎧（x －4）×（－2）－x 2－3x ＋16≤0，（x －4）×4－x 2－3x ＋16≤0，即⎩⎨⎧－x 2－5x ＋24≤0，－x 2＋x ≤0，解得x≥3或x≤－8.故选A.易错提醒求解含参不等式ax2＋bx＋c＜0恒成立问题的易错点(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况.(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解.(3)不考虑a的符号.训练2 (1)已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)≥f(－3－x2)对任意x∈(0，3]恒成立，则a的取值范围为( )A.[－1，＋∞)B.(3，＋∞)C.[0，＋∞)D.[1，＋∞)(2)若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞)D.(－∞，－6)答案(1)D (2)A解析(1)由题意得，不等式－4x＋a≥－3－x2对任意x∈(0，3]恒成立，所以a≥－x2＋4x－3对任意x∈(0，3]恒成立，令g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，当x∈(0，3]时，g(x)∈(－3，1]，所以a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞).故选D.(2)不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，x∈(1，4). 令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，所以g(x)＜g(4)＝－2，所以a＜－2.热点三基本不等式及其应用基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值.(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值.(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋Ag（x）＋Bg(x)(AB＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.例3 (1)(多选)(2022·青岛模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )A.log2a＋log2b≥－2 B.ab＋1ab≥174C.2a＋1b≤3＋22D.2a－b＞12(2)(2022·湖北九师联盟质检)已知a>0，b≠0，且a＋|b|＝3，则9a＋b＋3|b|的最小值为________.答案(1)BD (2)3＋2 3解析(1)log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝－2，A错误；因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以ab ≤a ＋b 2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)， 所以0<ab ≤14， 因为函数y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减， 所以ab ＋1ab ≥14＋4＝174，B 正确； 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22(当且仅当2b a ＝a b 时取等号)， 所以2a ＋1b≥3＋22，C 错误； 易知0<a <1，0<b <1，所以－1<a －b <1，所以2a －b >2－1＝12，D 正确.选BD. (2)9a ＋b ＋3|b |＝9a ＋3|b |＋b |b |， 当b >0时，b |b |＝1， 当b <0时，b|b |＝－1. 9a ＋3|b |＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫9a ＋3|b |(a ＋|b |)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋9|b |a ＋3a |b |≥13(12＋63) ＝4＋23，当且仅当9|b |a ＝3a |b |，3＋13＋1所以当a ＝333＋1，b ＝－33＋1时， 9a ＋b ＋3|b |取得最小值，且最小值为3＋2 3.易错提醒 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件： (1)一正二定三相等，三者缺一不可；(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.训练3 (1)(2022·湖州质检)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2yy －1的最小值为( ) A.3 B.52＋ 6C.3＋6D.3＋2 2(2)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A.2B.2 2 C.4 D.92答案 (1)D (2)B 解析 (1)∵x ＋y ＝xy ， ∴(x －1)(y －1)＝1， ∴x x －1＋2y y －1＝（x －1）＋1x －1＋2（y －1）＋2y －1＝3＋1x －1＋2y －1≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22，x －1y －1(2)∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)， 都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立，∵m n＋2nm≥2m n ·2nm＝22， 当且仅当m n＝2nm即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.一、基本技能练1.若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列说法正确的是( ) A.ac 2＜bc 2B.1a ＜1bC.b a ＞a bD.a 2＞ab ＞b 2 答案 D解析 当c ＝0时，A 不成立； 1a －1b ＝b －a ab ＞0，即1a >1b，B 错误；b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab ＜0，C 错误； 由a ＜b ＜0，得a 2＞ab ＞b 2，D 正确.2.不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A.(－∞，0]∪(2，4]B.[0，2)∪[4，＋∞) C.[2，4)D.(－∞，2)∪(4，＋∞) 答案 B解析 当x －2＞0，即x ＞2时，(x －2)2≥4， 即x －2≥2，则x ≥4，当x －2＜0，即x ＜2时，(x －2)2≤4， 即－2≤x －2＜0，∴0≤x ＜2， 综上，0≤x ＜2或x ≥4.3.(2022·泰安质检)若不等式ax 2－x －c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12，则函数y ＝cx 2－x －a的图象可以为( )答案 C解析由题意可得－1和12是方程ax 2－x －c ＝0的两个根，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12＝1a ，－1×12＝－ca ，解得a ＝－2，c ＝－1，则y ＝cx 2－x －a ＝－x 2－x ＋2＝－(x ＋2)(x －1)，其图象开口向下，与x 轴交于 (－2，0)，(1，0).故选C.4.已知关于x 的不等式x 2－ax －6a 2＞0(a ＜0)的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，且x 2－x 1＝52，则a 等于( ) A.－5B.－32C.－2D.－52答案 C解析 x 2－ax －6a 2＝(x －3a )(x ＋2a )＞0， ∵a ＜0，∴x ＞－2a 或x ＜3a ， ∴x 2＝－2a ，x 1＝3a ，∴x 2－x 1＝－5a ＝52，∴a ＝－ 2.5.已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x ＜1)，下列结论正确的是( )A.f (x )有最大值114B.f (x )有最大值－114 C.f (x )有最小值132D.f (x )有最小值74答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝ －⎝⎛⎭⎪⎫1－x4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x ＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立. 6.原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是( )A.第一种方案更划算B.第二种方案更划算C.两种方案一样D.无法确定 答案 B解析 设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升，则 方案一：两次加油平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y2≥xy ，方案二：两次加油平均价格为400200x ＋200y＝2xyx ＋y ≤xy ，故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算. 7.设x ＞y ＞z ，n ∈N *，且1x －y ＋1y －z ≥n x －z恒成立，则n 的最大值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 C解析 因为x ＞y ＞z ，n ∈N *， 所以x －y ＞0，y －z ＞0，x －z ＞0，由1x －y ＋1y －z ≥n x －z， 可得n ≤(x －z )⎝⎛⎭⎪⎫1x －y ＋1y －z ＝[(x －y )＋(y －z )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y ＋1y －z ＝1＋1＋y －z x －y ＋x －yy －z≥2＋2y －z x －y ·x －yy －z＝4， 当且仅当x －y ＝y －z 时，上式取得等号， 由题意可得n ≤4，即n 的最大值为4.8.已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a <0在(0，2]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，33 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，47 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫47，＋∞答案 A解析x ∈(0，2]时， 不等式可化为ax ＋3a x<2；当a ＝0时，不等式为0<2，满足题意； 当a >0时，不等式化为x ＋3x <2a，则2a>2x ·3x＝23，当且仅当x ＝3时取等号， 所以a <33，即0<a <33；当a <0时，x ＋3x >2a恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，33.选A.9.(多选)(2022·泰州模拟)下列函数中最小值为6的是( ) A.y ＝ln x ＋9ln x B.y ＝6|sin x |＋32|sin x |C.y ＝3x ＋32－xD.y ＝x 2＋25x 2＋16答案 BC解析 对于A 选项，当x ∈(0，1)时，ln x <0， 此时ln x ＋9ln x<0，故A 不正确.对于B 选项，y ＝6|sin x |＋32|sin x |≥29＝6，当且仅当6|sin x |＝32|sin x |，即|sin x |＝12时取“＝”，故B 正确.对于C 选项，y ＝3x ＋32－x ≥232＝6， 当且仅当3x ＝32－x ，即x ＝1时取“＝”，故C 正确.对于D 选项，y ＝x 2＋16＋9x 2＋16＝x 2＋16＋9x 2＋16≥29＝6， 当且仅当x 2＋16＝9x 2＋16，即x 2＝－7无解，故D 不正确.故选BC.10.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( ) A.a 2＋b 2≥12B.2a －b ＞12C.log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤ 2 答案 ABD解析 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B ，2a －b ＝22a －1＝12×22a ，因为a ＞0，所以22a ＞1，即2a －b ＞12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2，得a ＋b ≤2，故D 正确. 综上可知，正确的选项为ABD.11.函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为________. 答案 3解析 依题意得，一元二次不等式－x 2＋2x ＋c ＞0， 即x 2－2x －c ＜0的解集为(m ，m ＋4)， 所以m ，m ＋4是方程x 2－2x －c ＝0的两个根， 所以⎩⎨⎧m ＋m ＋4＝2，m （m ＋4）＝－c ，解得⎩⎨⎧m ＝－1，c ＝3.12.若命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋m ＜0”为真命题，则实数m 的取值范围为________. 答案 (－∞，1)解析由题意可知，不等式x2－2x＋m＜0有解，∴Δ＝4－4m＞0，m＜1，∴实数m的取值范围为(－∞，1).二、创新拓展练13.(多选)(2022·苏锡常镇调研)已知正实数a，b满足a＋2b＝ab，则以下不等式正确的是( )A.2a＋1b≥2 B.a＋2b≥8C.log2a＋log2b<3 D.2a＋b≥9答案BD解析对于A，因为正实数a，b满足a＋2b＝ab，所以a＋2bab＝1，即2a＋1b＝1，所以A错误，对于B，因为a>0，b>0，a＋2b＝ab，所以a＋2b≥22ab＝22（a＋2b），当且仅当a＝2b时取等号，所以(a＋2b)2≥8(a＋2b)，因为a＋2b>0，所以a＋2b≥8，当且仅当a＝2b时取等号，所以B正确，对于C，若log2a＋log2b<3，则log2a＋log2b＝log2(ab)<3＝log28，所以ab <8，所以a ＋2b <8，而由选项B 可知a ＋2b ≥8， 所以log 2a ＋log 2b <3不成立，所以C 错误， 对于D ，因为正实数a ，b 满足a ＋2b ＝ab ， 由选项A 知，2a ＋1b＝1，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋22ab·2ba＝9，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b ＝3时取等号， 所以D 正确，故选BD.14.(多选)(2022·镇海中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）e x ，x <0，（x ＋1）2e x，x ≥0，下列选项正确的是( )A.函数f (x )在(－2，1)上单调递增B.函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e 2，＋∞C.若关于x 的方程[f (x )]2－a |f (x )|＝0有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，4e D.不等式f (x )－ax －a >0在(－1，＋∞)恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3e 2，2e答案 ACD解析函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）e x ，x <0，（x ＋1）2e x，x ≥0，所以函数f ′(x )＝⎩⎨⎧（x ＋2）e x （x <0），－（x ＋1）（x －1）e x （x ≥0）， 故函数f (x )的大致图象如图1所示，故A 正确，B 错误；对于D ，不等式f (x )>a (x ＋1)，在(－1，＋∞)上恰有两个整数解，必为x ＝0，x ＝1， 故⎩⎨⎧f （1）>a （1＋1），f （2）≤a （2＋1），解得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3e 2，2e ，故D 正确；对于C ，如图2，函数y ＝|f (x )|的图象，原方程可化为|f (x )|＝0或|f (x )|＝a ，由于方程[f (x )]2－a |f (x )|＝0有3个不相等的实数根，所以只需|f (x )|＝a 有两个不等实根，所以a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，4e ，C 正确，故选ACD. 15.(多选)(2022·全国名校大联考)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＋1＝1，m ＝x ＋y ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －1，则( )A.x ＜0且y ＜－1B.m 的最大值为－3C.n 的最小值为7D.n ·2m ＜2答案 ABD解析 由2x ＋2y ＋1＝1，得2y ＋1＝1－2x ＞0，2x ＝1－2y ＋1＞0，所以x ＜0且y ＜－1，故A 正确；由2x ＋2y ＋1＝1≥22x ·2y ＋1＝22x ＋y ＋1，得m ＝x ＋y ≤－3，当且仅当x ＝y ＋1＝－1，即x ＝－1，y ＝－2时，等号成立，所以m 的最大值为－3，故B 正确；n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －1(2x ＋2y ＋1) ＝5＋2×2y 2x ＋2×2x2y ≥5＋22×2y 2x ·2×2x 2y ＝9， 当且仅当2×2y 2x ＝2×2x2y ，即x ＝y ＝－log 23时，等号成立， 所以n 的最小值为9，故C 错误；n ·2m＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －1·2x ＋y ＝2y ＋2x ＋1＝2－3×2y ＜2，故D 正确.故选ABD. 16.(2022·湖南三湘名校联考)若两个正实数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，且不等式x ＋2y ≥m 2－7m 恒成立，则实数m 的取值范围为________.答案 [－1，8]解析 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1， 所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋x y ＋4y x ≥8，当且仅当x ＝4，y ＝2时等号成立， 所以m 2－7m ≤8，解得－1≤m ≤8.17.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3＜x ＜4}，则c 2＋5a ＋b 的取值范围为________.答案 [45，＋∞)解析 关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3＜x ＜4}， 所以a ＜0，且3和4是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两实数根，由根与系数的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧3＋4＝－b a ，3×4＝c a ，解得⎩⎨⎧b ＝－7a ，c ＝12a (a ＜0). 所以c 2＋5a ＋b ＝144a 2＋5a －7a ＝－24a －56a≥ 2（－24a ）·5－6a ＝45(当且仅当－24a ＝－56a ，即a ＝－512时等号成立)， 所以c 2＋5a ＋b的取值范围是[45，＋∞). 18.(2022·温州测试)已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋b ，若存在实数b ，使得对任意的|x |≤1都有|f (x )|≤109，则实数a 的最大值是________. 答案 13解析 由题可得，因为存在实数b 对任意的|x |≤1都有|x 2＋|x －a |＋b |≤109， 所以－109≤x 2＋|x －a |＋b ≤109， 即存在实数b 对任意的|x |≤1都有－x 2－109－b ≤|x －a |≤109－x 2－b ， 由对称性可知，当实数a 取得最大值时，a ≥0，令g (x )＝－x 2－109－b ，h (x )＝－x 2＋109－b ，则g ′(x )＝h ′(x )＝－2x .因为y ＝－x ＋a 的斜率为－1，所以－2x ＝－1，解得x ＝12， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14－109－b ＝－4936－b . 又因为h (－1)＝－1＋109－b ＝19－b ， 即当a ≥12时，切线斜率k ＝h （－1）－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－12＝－5354>－1，不能满足条件； 故当0≤a <12时，g (x )的零点为a ，此时a 最大，满足⎩⎪⎨⎪⎧g （a ）＝－a 2－109－b ＝0，k ＝－1＋109－b －1－a ＝－1，即⎝⎛⎭⎪⎫a －23⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13＝0， 由0≤a <12可得a ＝13.。

高考数学技巧解决不等式的简便方法不等式在高考数学中占据重要地位，掌握解决不等式问题的技巧对于学生们来说至关重要。

本文将介绍几种简便的方法，帮助高中生们更加有效地解决不等式题目。

方法一：零点法对于一元一次不等式，使用零点法是相对简便的方法。

假设不等式为f(x)>0，我们可以先求出f(x)的零点，然后根据零点的位置判断不等式的解集。

举例来说，如果我们有不等式2x+3>0，首先求出方程2x+3=0的解x=-1.5，可以得到方程的解集为x>-1.5。

方法二：区间判断法区间判断法适用于一元二次不等式。

我们可以先将一元二次不等式化为二次函数的形式，然后通过判断二次函数的取值范围来确定不等式的解集。

举例来说，如果我们有不等式x^2-4x+3<0，我们可以将该不等式化简为(x-1)(x-3)<0。

然后我们绘制出二次函数y=(x-1)(x-3)的图像，通过观察图像在x轴的上方还是下方来确定不等式的解集。

方法三：增减法增减法适用于一些特殊的不等式，例如当不等式中存在绝对值，或者不等式左右两侧都是函数时，可以使用增减法来解决问题。

举例来说，如果我们有不等式|3x-1|<2，我们可以根据绝对值的性质将该不等式化简为-2<3x-1<2。

然后我们可以根据不等式的形式来进行分析，得到解集-1<x<1。

方法四：因式分解法对于一些复杂的不等式，通过因式分解可以将不等式化为简单的形式，从而更方便地求解。

举例来说，如果我们有不等式x^3+x^2+x<0，我们可以对该不等式进行因式分解，得到x(x+1)(x+1)<0。

然后我们可以根据不等式的性质来确定解集。

方法五：数轴法数轴法是解决不等式问题常用的方法之一。

通过绘制数轴，将不等式中的关键点标出，并根据关键点的位置来确定解集。

举例来说，如果我们有不等式2x^2-3x-2>0，我们可以先求出方程2x^2-3x-2=0的解x=-1和x=2，然后在数轴上标出这两个点。

2019高考数学不等式的解法讲解高考一轮复习已经开始，查字典数学网为大家带来不等式的解法，希望大家喜欢下文!不等式的解法：(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：(2)绝对值不等式：若，则; ;注意：(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。

(3).含有多个绝对值符号的不等式可用按零点分区间讨论的方法来解。

(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;(5)不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

(6)解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。

有的孩子说“乌云跑得飞快。

”我加以肯定说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。

高考数学中的不等式求解方法数学中的不等式是我们学习的一个重要知识点，它不仅在我们的学习中经常出现，在日常生活中也有着广泛的应用。

高考数学中的不等式求解方法更是需要我们深入研究的一个方向。

在这篇文章中，我将向大家介绍几种高考数学中常用的不等式求解方法，希望能帮助大家在数学高考中取得好成绩。

一、一次不等式的求解方法一次不等式是我们学习中最基础的不等式，通式为ax+b>0。

它的求解方法十分简单，只需要把这个不等式看成一个一元一次方程即可。

将b移到等式的另一边，然后用x将a除掉即可得到x>b/a。

这个结果就是不等式的根。

如果不等式的系数a小于零，则根的符号需要取反。

二、二次不等式的求解方法二次不等式的求解方法则要复杂一些。

它的方程应该长这样：ax²+bx+c>0。

这个不等式可以通过方程的根来求解。

如果我们把这个不等式看成一个一元二次方程，那么它的解就是x1和x2的值。

让我们来看一个例子。

假设我们有一个二次不等式5x²-5x+1>0。

我们需要求的是这个不等式的根。

根据二次函数的求根公式，我们可以得出：Δ=b²-4ac=25-20=5x1=(-b+√Δ)/2a=（5+√5）/10x2=(-b-√Δ)/2a=（5-√5）/10因为不等式中的系数是正数，我们只需要关注其中一个根x1。

所以，我们得到了这个不等式的根，x>x1。

这就是这个不等式的解。

三、分式不等式的求解方法分式不等式是高考数学中比较复杂的一个不等式形式，它的形式可以写成f(x)/g(x)>0。

其中，f(x)和g(x)都是多项式函数。

它的求解方法采用分段法进行。

具体的步骤如下：1. 找出f(x)和g(x)的所有零点，也就是它们的根。

2. 根据这些零点将数轴分成几个部分。

3. 接下来，我们需要对每一个分段分别进行判断。

首先将f(x)和g(x)的符号标记在分段的两个端点上。

如果f(x)和g(x)的符号相同，那么这个分段就符合不等式。

八种方法解决高中数学不等式问题下面用八种方法解决高中数学常见的不等式问题： 例题：224x y ，求34x y 的最大值.【解法一】柯西不等式先备知识：柯西不等式（二维下的）解：3,4,,a b c x d y ，由柯西不等式得：222223434x y x y 所以：3410x y ，当且仅当34x y ，即68,55x y 时，取得最大值10.【总结】柯西不等式常用，建议理解记忆。

【解法二】线性规划解：令34x y t ，则344t y x （将t 看作是直线的截距，转化为求直线截距的范围） ,x y 满足直线方程344t y x ，也满足方程224x y ，因此：显然，由图像得： 2.5104t t .【总结】数形结合典型做法，但是线性规划新高考不考。

建议从数形结合角度理解。

【解法三】判别式法解：令34x y t ，则344t y x ，代入方程：224x y ，得： 223444t x x ， 整理，得：222534016816t x tx ………………（*） 一元二次方程（*）有解，则：2232544081616t t210010t t . 【总结】常用方法之一，解决“条件极值”问题的常用手段。

【解法四】三角换元224x y 22144x y ，不妨令：cos ,sin 22x y x x . 则：34346cos 8sin 10cos sin 10sin 1055x y x x x x x，（3tan 4 ）. 【总结】三角换元、参数法建议学有余力的同学适当了解。

【解法五】对偶式先备知识： 34x y 的对偶式为43x y2223492416x y x xy y (1)2224316249x y x xy y (2)(1)+(2)，得：222234432525100x y x y x y223410043100x y x y .【总结】进阶方法，学有余力可了解。

【解法六】向量法（类似柯西不等式）34x y 可以看作向量 3,4,,a b x y 的数量积：34a b x y .所以：cos ,10a b a b a b.【总结】注意观察代数式的结构特征。