【半角模型】
1、如图,点M 、N 分别为正方形ABCD 边BC 、CD 上的动点,且∠MAN =45°,连接对角线BD 分别交AM 、AN 于点E 、F .
初一:(1)BM 、DN 、MN 的数量关系;(2)证明AN 平分∠MND ;(3)若AB =4,求△MNC 周长
初二:(1)BE 、DF 、EF 的数量关系;(2)证明CN =
;(3)若AB =5,BE =,求BM 的长
初三:(1)连接MF ,证明AF =MF ;(2)证明MN =;(3)若:BE DF =,求AF CN
的值
且∠MAN =60°,BD 分别交AM 、AN 于点E 、F .
初一:(1)BM 、DN 、MN 的数量关系;(2)证明AN 平分∠MND ;(3)若BD =4,求△MNC 周长
初二:(1)若BE =2,DF =4,求EF 的长;(2)证明2CN BE =;(3)若AB =5,BE =BM 的长 初三:(1)连接MF ,证明AF ⊥MF ;(2)证明2MN EF =;(3)若:1:2BE DF =,求AF CN 的值
且∠MAN =30°,BD 分别交AM 、AN 于点E 、F .
初一:(1)BM 、DN 、MN 的数量关系;(2)证明AN 平分∠MND ;(3)若BC =4,求△MNC 周长
初二:(1)若BE =4,DF =2,求EF 的长;(2)证明3
CN BE =;(3)若AB =9,BE =3,求BM 的长
初三:(1)连接MF ,证明AF ⊥MF ;(2)证明3MN EF =
;(3)若:2:(1)BE DF =,求AF CN
的值
【旋转原理】
1、如图,等腰△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,∠BDC=∠BAC=60°,猜想DA、DB、DC数量关系并证明;(2)如图2,∠BDC=∠BAC=90°,猜想DA、DB、DC数量关系并证明;(3)如图2,∠BDC=∠BAC,猜想DE、DB、DC数量关系并证明;
2、如图,等腰△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,∠BAC=60°,∠BDC=120°,猜想DA、DB、DC数量关系并证明;(2)如图2,∠BDC=∠BAC=90°,猜想DA、DB、DC数量关系并证明;
(3)如图2,∠BAC=120°,∠BDC=60°,猜想DA、DB、DC数量关系并证明;(4)如图4,∠BDC+∠BAC=180°,证明AD平分∠BDC.
【对称中心】
1、如图,△ABC是等边三角形,点E、F为直线BC、AC上的动点,且BE=CF,连接AE、BF. (1)如图1,当点E、F分别在边BC、CA上时,求直线AE、BF的夹角;
(2)如图2,当点E、F分别在边BC、CA的延长线上时,直线AE、BF的夹角大小是否改变?(3)如图3,当点E、F分别在边BC、CA上时,以AB为边作等边△ABD.
①连接DG,直接写出∠DGA的度数以及GA、GB、GD的数量关系;
②作DH⊥AG于点H,猜想GA、GB、GH数量关系并证明;
③在②的条件下且H在菱形ADBC内部,若AG=8,DH ADBC的面积.
2、(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F、G分别为边AD、BC、CD上的动点,连接BG、EF,若BG⊥EF,求证BG=EF;
(2)如图2,在菱形ABCD中,∠B<90°,E、F分别为边CD、BC上的动点,连接AE、DF交于点G,若∠AGF=∠B,且DE:CF=2:3,试猜想AE与DF的数量关系并证明;
(3)如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别为边CD、DE上的动点,若CM=DN,求∠BGN的度数;(4)如图4,在正六边形ABCDEF中,M、N分别为边CD、DE上的动点,若CM=DN,求∠AGN的度数;
【头动手拉手】
1、如图,四边形ABCD为正方形.
(1)如图1,E为BC边上一动点,连接AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于点F,求证AE=EF;(2)如图2,E为对角线AC上一动点,连接DE,作EF⊥DE交边BC于点F,证明DE=EF;
(3)如图3,在(2)的条件下,作FM⊥AC于点M,证明AC=2EM.
2、如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,E是BC边上一点,CF//AB,连接AE、CF,∠AEF=∠BAC. (1)如图1,若∠BAC=60°,证明AE=EF;
(2)如图2,若∠BAC=90°,证明AE=EF;
(3)如图3,若EF平分∠AEC交AC于点G,连接AF,证明AF=AG并说明CF、CG、CA的数量关系.
【头定手拉手】
1、(1)如图1,△ABC为等边三角形,D、M、N分别为AB、BC、AC中点,以D为顶点作等边△DEF,顶点E恰好在CB延长线上.
①如图1,连接MF,证明MF//AB;②如图2,连接NF,证明NF经过点M,EM=NF.
(2)如图3,△ABC为等腰直角三角形,D为边AB上一点,以D为直角顶点作等腰直角△DEF,顶点E 恰好在边BC上.
①如图3,若D为AB中点,连接AF,证明AF⊥BC,并说明AF、BE、AB之间的数量关系;
②如图4,若AB=8,BD=2,在E点从B到C的运动过程中,求线段AF的最小值.
2、在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,AB=23,点P 是射线BD 上一动点,以AP 为边向右侧作等边△APE ,点E 的位置随点P 的位置变化而变化.
(1)如图1,当点E 在菱形ABCD 内部时,连接CE ,直接写出BP 与CE 的数量关系位置关系;
(2)如图2,在(1)的条件下,延长AP 、AE 分别交BC 、CD 于点Q 、F ,证明PQ =EF ;
(3)如图3,M 为CD 中点,连接ME ,在点P 从B 到D 的运动过程中,求ME 的最小值和最大值;
(4)如图4,当点P 在线段BD 的延长线上时,连接BE ,若BE=219,求四边形ADPE 的面积.
几何模型之半角模型 一、旋转性质 1.图形对应边相等(易得等腰,且等腰均相似) 2.对应角相等 3.对应点与旋转中心连线构成旋转角,旋转角处处相等 二、半角模型 半角模型(90°含45°) 条件模型结论 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°①EF=BE+DF; ②△CEF的周长是正方形周长的一半; ③点A到EF的距离等于正方形的边长. ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°EF=DF-BE 三、模型演练 1.如图,在正方形ABCD中,AB=1,E,F分别是边BC,CD上的点,连接EF、AE、AF,过A作AH⊥EF 于点H.若EF=BF+DF.那么下列结论:①AE平分∠BEF;②FH=FD; ③∠EAF=45°;④S△E A F=S△A B E+S△A D F;⑤△CEF的周长为2.其中正确结论的 是.
2.在Rt△ABC中,AB=AC,D?E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论①△AEF≌△AED;②∠AED=45°; ③BE+DC=DE;④BE2+DC2=DE2,其中正确的是() A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 3如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长. 4.如图,在正方形OABC中,点B的坐标是(4,4),点E、F分别在边BC、BA上,OE=25.若∠EOF=45°,则F点的坐标是. 5.已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?????? ?? ?? ??? ???? ? ????????等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形(包含正方形)等边三角形(包含费马点)特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角 等线段变换(与圆相关) 【练1】 (2013北京中考)在ABC △中,AB AC =,BAC α∠=(060α?<),将线段 BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD . (1)如图1,直接写出ABD ∠的大小(用含α的式子表示); (2)如图2,15060BCE ABE ∠=?∠=?, ,判断ABE △的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连结DE ,若45DEC ∠=?,求α的值. 知识关联图 真题演练
【练2】 (2012年北京中考)在ABC △中,BA BC BAC α=∠=, ,M 是AC 的中点,P 是线段上的动点,将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ . (1)若α=60?且点P 与点M 重合(如图1),线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ,请补全图形,并写出CDB ∠的度数; (2)在图2中,点P 不与点B M ,重合,线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ,猜想CDB ∠的大小(用含α的代数式表示),并加以证明; (3)对于适当大小的α,当点P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点B ,M 重合)时,能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ,且PQ QD =,请直接写出α的范围.
例题精讲 考点1:手拉手模型:全等和相似 包含:等腰三角形、等腰直角三角形(正方形)、等边三角形伴随旋转出全等,处于各种位置的旋转模型,及残缺的旋转模型都要能很快看出来 (1)等腰三角形旋转模型图(共顶点旋转等腰出伴随全等) (2)等边三角形旋转模型图(共顶点旋转等边出伴随全等) (3)等腰直角旋转模型图(共顶点旋转等腰直角出伴随全等) (4)不等边旋转模型图(共顶点旋转不等腰出伴随相似)
.内容:半角旋转模型,三垂直模型,以及旋转相似模型 探究:(1)如图1,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF =45°,试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果: ; (2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠EAF= 2 1 ∠BAD”,则(1)问中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由; (3)在(2)问中,若将△AE F 绕点A 逆时针旋转,当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时, 如图3所示,其它条件不变,则(1)问中的结论是否发生变化?若变化,请给出结论并予以证明.. 小伟遇到这样一个问题:如图1,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点,∠EAF =45° ,连结EF ,求证:DE +BF =EF . 小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法,发现通过旋转可以解决此问题.他的方法是将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG (如图2),此时GF 即是DE +BF . 请回答:在图2中,∠GAF 的度数是 . 参考小伟得到的结论和思考问题的方法,解决下列问题: (1)如图3,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC (AD >BC ), F E D A B C B E D A G F D A B C C 图1 图2 图3 C D A O B x y 图4 F E D A B C B E D A G F E D A B C C 图1 图2 图3 C D A O B x y 图4
中考常考几何模型 专题20 半角模型 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形 如图①: (1)∠2=2 1 ∠AOB ;(2)OA=OB 。 如图②: 连接 FB ,将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置,连接 F ′E 、FE ,可得△OEF ′≌△OEF 。 模型精练 1.(2019秋?九龙坡区校级月考)如图.在四边形ABCD 中,∠B +∠ADC =180°,AB =AD ,E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点,且∠EAF =1 2 ∠BAD ,求证:EF =BE ﹣FD . 【点睛】在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG .根据SAA 证明△ABG ≌△ADF 得到AG =AF ,∠BAG =∠DAF ,根据∠EAF =1 2∠BAD ,可知∠GAE =∠EAF ,可证明△AEG ≌△AEF ,EG =EF ,那么EF =
GE =BE ﹣BG =BE ﹣DF . 【解析】证明:在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG . ∵∠B +∠ADC =180°,∠ADF +∠ADC =180°, ∴∠B =∠ADF . 在△ABG 和△ADF 中, {AB =AD ∠B =∠ADF BG =DF , ∴△ABG ≌△ADF (SAS ), ∴∠BAG =∠DAF ,AG =AF . ∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =1 2∠BAD . ∴∠GAE =∠EAF . 在△AEG 和△AEF 中, {AG =AF ∠GAE =∠EAF AE =AE , ∴△AEG ≌△AEF (SAS ). ∴EG =EF ,
旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即,在数学中考中,几何变换往往是中考中最令人头痛的题型,其辅助线的添加非常灵活,和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中,旋转是最为常见、也是最为重要的变换,本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型,这部分是本期内容的第三讲:旋转综合之角含半角模型,希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示,在等腰Rt △ABC 中,点 D , E 在斜边上,∠DAE = 45? ,将 连接 EF .则△ADE ≌△AFE , DE 2 = BD 2 + CE 2 △ABD 旋转至△ACF , 2、如图所示,在正方形 ABCD 中,点 E , F 分别在边 BC , CD 上,∠EAF = 45? ,将△ABE 旋转至△ADG ,则△AEF ≌△AGF , EF = BE + DF 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点(含半角的角的顶点),构造旋转; 2、证全等; 3、利用全等、相似得到边角的关系. 例 1 如图,已知等边△ABC 的边长为1 , D 是△ABC 外一点且∠BDC =120? , BD = CD , ∠MDN = 60? .求△AMN 的周长.
解 延长 AC 到 E ,使CE = BM ,连接 DE . 易证 所以 可得 所以 从而 所以△AMN 周长为 △BMD ≌ △CED (SAS). ∠BDM = ∠CDE , DM = DE . ∠NDE = ∠NDM = 60?, △MDN ≌△EDN (SAS). MN = EN = CN + CE = CN + BM , C △AMN = AB + AC = 2. 例 2 如图,正方形 ABCD 的边长为 a , BM , DN 分别平分正方形的两个外角,且满足 ∠MAN = 45? ,连接 MC , NC , MN . (1) 填空:与△ABM 相似的三角形是 , ;(用含a 的代数式表示) (2) 求∠MCN 的度数; (3) 猜想线段 BM , DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论.
半角模型专题专练
半角模型例题 已知,正方形ABCD 中,∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ,且∠EAF ﹦45° 结论1:BE ﹢DF ﹦EF 结论2:S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3:AH ﹦AD 结论4:△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5:当BE ﹦DF 时,△CEF 的面积最小 结论6:BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论8:EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9:四点共圆 结论10:△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论11:MN ﹦√2 2EF (可由相似得到) 结论12:S △AEF ﹦2S △AMN (可由相似的性质得到) 结论5的证明: 设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3 ﹦1﹣12x ﹣12y ﹣1 2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1 2﹣1 2xy 所以当x ﹦y 时,△AEF 的面积最小 结论6的证明: 将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′ 易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′ 在Rt △BMN ′中,由勾股定理可得: BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7的所有相似三角形:
△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE 结论8的证明: 因为△AMN ∽△AFE ∴∠3=∠2 因为△AMN ∽△BAN ∴∠3=∠4 ∴∠2=∠4 因为AB ∥CD ∴∠1=∠4 ∴∠1=∠2 结论9的证明: 因为∠EAN ﹦∠EBN =45° ∴A 、B 、E 、N 四点共圆(辅圆定理:共边同侧等顶角) 同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆 **必会结论-------- 图形研究正方形半角模型 已知:正方形ABCD ,E 、F 分别在边BC 、CD 上,且?=∠45EAF ,AE 、AF 分别交BD 于H 、G ,连EF . 一、全等关系 (1)求证:①EF BE DF =+;②DG 2﹢BH 2﹦HG 2;③AE 平分BEF ∠,AF 平分DFE ∠. 二、相似关系 (2)求证:①DG CE 2=;②BH CF 2=;③HG EF 2=. (3)求证:④DH BG AB ?=2;⑤HG BG AG ?=2;⑥21=?CF DF CE BE . 三、垂直关系 (4)求证:①EG AG ⊥;②FH AH ⊥;③BE AB HCF =∠tan . (5)、和差关系 求证:①BE DG BG 2=-;②DH DF AD 2=+; ③||2||DG BH DF BE -=-.
手拉手模型 一.填空题(共18小题) 1.已知△ABC中,∠ABC=45°,AB=7,BC=17,以AC为斜边在△ABC外作等腰Rt△ACD,连接BD,则BD的长为. 2.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=3,BC=5,以AC为边在△ABC外作正△ACD,则BD的长为. 3.四边形ABCD中,AC=BC,∠ACB=90°,∠ADB=30°,AD=,CD=14,则BD=. 4.已知在四边形ABCD中,AB=AC,∠ABC=∠ADC=60°,连接BD,若CD=2,AB =2,则BD的长度为. 5.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=45°,CD=,BC=,连接AC、BD,若AC⊥AB,则BD的长度为.
6.如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°,△DBC的面积为8,则BC 长为. 7.如图,D为△ABC内一点,且AD=BD,若∠ACD=∠DAB=45°,AC=5,则S△ABC =. 8.如图,线段AB绕着点A逆时针方向旋转120°得到线段AC,点B对应点C,在∠BAC 的内部有一点P,P A=8,PB=4,PC=4,则线段AB的长为. 9.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,=,D为△ABC外一点,连接AD、CD.若∠ADC=30°,AC=AD,则的值为.
10.如图,△ABC、△CDE是两个直角三角板,其中∠ECD=∠ACB=90°,∠CED=45°,∠CAB=30°,若AB=DE=2,将直角三角板CDE绕点C旋转一周,则|AD﹣BE|的最大值为. 11.如图,点D为等边△ABC外一点,∠ADC=60°,连接BD,若AD=8,△BCD的面积为,则BD的长为. 12.如图,△ABC中,∠ABC=45°,AB=2,BC=6,AD⊥AC,AD=AC,连接BD,则BD的长为. 13.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=3,BC=12,以AC为腰,点A为顶点作等腰△ACD,且∠DAC=120°,则BD的长为.
《旋转的应用—半角模型》教学设计 一、教学目标: 1、 知识与技能:理解掌握“半角”模型,明确符合旋转类型题的两个特征; 2、 过程与方法:用心经历探究模型演变过程,体会“从特殊到一般”、“分类”、“化归”的研究思想,发展学生观察、比较、分析、推理能力; 3、 情感、态度与价值观:通过自我学习与合作交流,明确辅助线的构造原理,进一步培养学生综合运用知识解决问题的能力。教 学重点、难点: 重点: “半角”模型的辨别及灵活应用。 难点: :辅助线的添加及说明能力。 二、教学流程: (一)常规积累: 如图将AC ,AE 顺时针旋转90o ,∠BAC=900,∠EAF=450 将会得到哪些相等的角?请写出来 : 设计意图:半角模型, ∠BAC=900,∠EAF=450 通过旋转,将另一个半角的的两部分拼在一起,即∠DAF= ∠CAE+∠BAF=450从而构造出一对等角,即∠DAF=∠EAF 为本节 课的学习奠定了基础。
(二)典例解析 在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,连接EF.求证:DE+BF=EF 1、先让学生在学案上独立完成,然后小组交流讨论, 2、让学生讲解思路,互相补充,用多种方法解答。 3、让学生择优选择一种方法整理证明过程,找一名中等生板演证明 过程。其他同学点评错误。 (三)变式训练 1、如图,在四边形ABCD中,2∠EAF=∠BAD AB=AD,∠B=∠D=90° BF、DE、EF三条线段之间的数量关系 是否仍然成立,请证明 本题是对典例解析题目的变式,由旋转角是90度变为任意∠DAB 先让学生在学案上独立完成,然后小组交流讨论,找一名同学板演解 题过程。师生共同点评纠错。
半角模型例题 已知,正方形 ABCD中,∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F,且∠ EAF﹦ 45°结论 1:BE﹢ DF﹦EF 结论 2:S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF 结论 3:AH﹦ AD 结论 4:△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB 结论 5:当 BE﹦DF时,△ CEF的面积最小 22 2 结论 6:BM﹢DN﹦MN 结论 7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论 8:EA、 FA是△ CEF的外角平分线 结论 9:四点共圆 结论 10:△ ANE和△ AMF是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论 11: MN﹦EF(可由相似得到) 结论 12: S△ AEF﹦2S△ AMN(可由相似的性质得到) 结论 5 的证明: 设正方形 ABCD的边长为 1 则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3 ﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1 ﹣x)(1 ﹣y) ﹦﹣ xy 所以当 x﹦y 时,△ AEF的面积最小 结论 6 的证明: 将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合 ′ ∴DN﹦ BN ′ 易证△ AMN≌△ AMN ′ ∴MN﹦ MN ′ 在 Rt△BMN中,由勾股定理可得: 2′ 2′2 BM﹢BN ﹦MN 22 2 即 BM﹢DN﹦MN 结论 7 的所有相似三角形: △ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE
结论 8 的证明: 因为△ AMN∽△ AFE ∴∠ 3=∠ 2 因为△ AMN∽△ BAN ∴∠ 3=∠ 4 ∴∠ 2=∠ 4 因为 AB∥CD ∴∠ 1=∠ 4 ∴∠ 1=∠ 2 结论 9 的证明: 因为∠ EAN﹦∠ EBN= 45° ∴A、B、E、N 四点共圆(辅圆定 理:共边同侧等顶角) 同理可证 C、E、N、F 四点共圆 A、M、 F、 D 四点共圆 C、E、 M、 F 四点共圆 **必会结论 --------图形研究正方形半角模型 已知:正方形 ABCD ,E、F分别在边 BC 、 CD 上,且 EAF 45 ,AE、AF分别交BD于H、 G ,连EF. 一、全等关系 ()求证:① 2 2 2 平分,平分 DF BE EF ;②DG﹢ BH﹦ HG;③AE BEF AF DFE . 1 二、相似关系 (2)求证:①CE 2DG ;② CF 2 BH ;③ EF 2HG . (3)求证:④AB2 BG DH ;⑤ AG 2 BG HG ;⑥BE DF 1 . CE CF 2 三、垂直关系 (4)求证:①AG EG ;②AH FH ;③tan HCF AB . (5) 、和差关系 BE 求证:① BG DG 2BE ;② AD DF 2DH ; ③ | BE DF | 2 | BH DG | .
手拉手模型 手拉手模型 特点:由两个顶角相等的等腰三角形所组成,并且顶角的顶点为公共顶点 结论:(1)△ABD ≌△AEC (2)∠α+∠BOC=180° (3)OA平分∠BOC 变形: 例1.如图,B是线段AC上一点,分别以AB和BC为边长,在直线AC的同一侧作两个等边三角形,△ABD和△ECB,连接AE和CD,AE与DC交于点H,与BD与BE交于点G,F. (1)求证:△BCD≌△BEA; (2)探究△BFG的形状,并证明你的结论. H F G E D A B C
思考:的数量关系。 与DC AE (2) AE 与DC 之间的夹角为60(3) DFB AGB (4) CFB EGB (5)BH 平分 AHC (6)AC GF //变式精练1:如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE 与CD ,证明: (1)AE 与DC 的夹角为60°; (2)AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分∠AHC . 思考:DC AE ;AE 与DC 之间的夹角为60 试一试继续旋转结论是否成立。 H F G E D A B C
变式精练2.以点A为顶点作等腰Rt△ABC,等腰Rt△ADE,其中∠BAC=∠DAE=90°,如图1所示放置,使得一直角边重合,连接BD、CE. (1)试判断BD、CE的数量关系,并说明理由; (2)延长BD交CE于点F,试求∠BFC的度数; (3)把两个等腰直角三角形按如图2放置,(1)中的结论是否仍成立?请说明 理由. 练习:已知:如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=50° (1)求证:①AC=BD;②∠APB=50°; (2)如图②,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系为,∠APB的大小为
旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即,在数学中考中,几何变换往往是中考中最令人头痛的题型,其辅助线的添加非常灵活,和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中,旋转是最为常见、也是最为重要的变换,本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型,这部分是本期内容的第三讲:旋转综合之角含半角模型,希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示,在等腰Rt ABC △中,点D ,E 在斜边上,45DAE ∠=?, 将ABD △旋转至ACF △,连接EF .则ADE △≌AFE △,222DE BD CE =+ 2、如图所示,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,45EAF ∠=?,将ABE △旋转至ADG △,则AEF △≌AGF △,EF BE DF =+ 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点(含半角的角的顶点),构造旋转; 2、证全等; 3、利用全等、相似得到边角的关系. 例1 如图,已知等边ABC △的边长为1,D 是ABC △外一点且120BDC ∠=?,BD CD =,60MDN ∠=?.求AMN △的周长.
解 延长AC 到E ,使CE BM =,连接DE . 易证 BMD △≌(SAS).CED △ 所以 ,.BDM CDE DM DE ∠=∠= 可得 60,NDE NDM ∠∠=?= 所以 MDN △≌(SAS).EDN △ 从而 ,MN EN CN CE CN BM ==+=+ 所以AMN △周长为 2.AMN C AB AC =+=△ 例 2 如图,正方形ABCD 的边长为a ,BM ,DN 分别平分正方形的两个外角,且满足45MAN ∠=?,连接MC ,NC ,MN . (1)填空:与ABM △相似的三角形是_______,_______;(用含a 的代数式表示) (2)求MCN ∠的度数; (3)猜想线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论.