全等三角形
之
手拉手模型与半角模型
目录
1 手拉手模型 (2)
1.1 定义 (2)
1.2 任意等腰三角形下的手拉手模型 (3)
1.3 等边三角形下的手拉手模型 (5)
1.4 等腰直角三角形下的手拉手模型 (6)
1.5 例题 (7)
2 半角模型 (11)
2.1 定义 (11)
2.2 半角模型解题思路 (12)
2.3 半角模型1（等边三角形内含半角）解题方法 (12)
2.4 半角模型2（等腰直角三角形内含半角）解题方法 (14)
2.5 半角模型3（正方形内含半角）解题方法 (16)
2.6 例题 (17)
1 手拉手模型
1.1 定义
B C 左手2
右手2
右手1手拉手模型
如上图所示，手拉手模型是指有公共顶点（A ）、顶角相等（==BAE CAD α∠∠）的两个等腰三角形（△ABE ，AB=AE ；△ACD ，AC=AD ），底边端点相互连接形成的全等三角形模型（△ABD ≌△AEC ）。因为顶角相连的四条边（腰）可形象地看成两双手，所以通常称为手拉手模型。
说明：
➢ 左、右手的定义
将等腰三角形顶角顶点朝上，正对我们，我们左边为左手，右边为右手。
α A
E
左手右手α
A
C 左手右手
➢ 拉手的方式：左手拉左手，右手拉右手。
➢ 构成手拉手模型的3个条件：
1. 两个等腰三角形
2. 有公共顶点
3. 顶角相等
➢ 全等三角形的构成方式：由“顶点+双方各一只手”构成：“顶点+左手+左手”，“顶
点+右手+右手”。搞清这一点，有助于我们快速找到全等三角形。
➢ 等腰三角形的底边（BE 、CD ）不是必须的，可以不连接，所以图中用虚线表示。
这就是为什么做题时发现有时并不存在等腰三角形却仍然用手拉手模型的原因。
1.2 任意等腰三角形下的手拉手模型
下面，将给出一些重要结论，熟悉这些结论有助于我们快速解题。需要强调的是，这些结论不能直接用，需要证明，所以要记住以下每个结论的证明。
结论1：△ABD ≌△AEC
说明：这里的全等三角形的构成方式为“顶点+双方各一只手”构成。
B C 左手2右手2
右手1
证明：∵==BAD BAE EAD EAC CAD EAD
BAE CAD α
∠=∠+∠∠=∠+∠∠∠
∴BAD EAC ∠=∠（等角+公共角相等）
∵在△ABD 和△AEC 中
+（已知）等腰（已证）等角公共角（已知）等腰AB AE BAD EAC
AD AC =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩
∴△ABD ≌△AEC （SAS ）
结论2：BD=EC （左手拉左手等于右手拉右手）
证明：∵△ABD ≌△AEC
∴BD=EC
结论3：α +∠BOC =180°
说明：∠BOC 是手拉手形成的角，我们称O 为“手拉手交点”。
B C 左手2右手2
右手1
证明：∵△ABD ≌△AEC
∴∠ADB=∠ACE
又∵∠APC=∠OPD （对顶角相等）
∠COD =180°-∠OPD -∠ADB （三角形内角和）
∠CAD =180°-∠APC -∠ACE （三角形内角和）
∴∠COD =∠CAD =α
∴α +∠BOC =180°
结论4：OA
平分∠BOC
B C
证明：如图，连接AO ，过点A 做AM ⊥BD 于M ，AN ⊥CE 于N
∵△ABD ≌△AEC
∴BD = EC ，S △ABD ≌S △AEC
∴ 1 2BD ×AM = 1 2EC ×AN ∴ AM =AN （AM 、AN 分别是BD 、EC 边上的高，全等三角形的对应边上
的对应中线、角平分线、高线分别相等）
∴ OA 平分∠BOC （角平分线的判定）
1.3 等边三角形下的手拉手模型
等边三角形是等腰三角的一种特例，自然也有相应的手拉手模型，具有任意等腰三角形下的手拉手模型的结论1~结论4。但由于等边三角形更特殊，所有还有新的结论5。
左手2右手2
右手1左手1A
C B E 手拉手
交点
O P
α=60º
α α=60º 图1 等边三角形下的手拉手模型
结论1：△ABD ≌△AEC
略（同1.2 ）。
结论2：BD=EC （左手拉左手等于右手拉右手）
略（同1.2 ）。
结论3：α +∠BOC =180°
略（同1.2 ）。
结论4：OA 平分∠BOC
略（同1.2 ）。
结论5：∠BOE =∠COD = α =60°
